双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线
一、双曲线及其简单几何性质
（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨
迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
●备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与122
22=-b
x a y （a>0,b>0）的区别和联系
（二）双曲线的简单性质
1．范围： 由标准方程122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的
方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。x 的取值范围________ ,y 的取值范围______
2.对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图)顶点：____________
特殊点：____________
实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长
虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点
4．离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比
a c
a c e =
=
22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________
双曲线形状与e 的关系：1122
222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越
大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
5．双曲线的第二定义：
到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数
)0(>>=
a c a c
e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双
曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：
对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线
c a x l 2
2:=
； 6．渐近线
过双曲线122
2
2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线
围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0
=±b y
a x ），这两条直线就是双曲线
的渐近线
双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
7．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e
8．共渐近线的双曲线系
与双曲线122
22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）共渐近线的双曲线方程可表示为λ=-2222b y a x (λ≠0且λ为待定
常数)
●备注：与双曲线122
22=-b y a x (a ＞b ＞0)共焦点的双曲线方程可表示为1-222
2=+-λ
λb y a x (λ＜a 2,且b 2＞-λ)
例1 求与双曲线 - ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.
9．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三个量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
10 .双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，
设双曲线)0,0( 12
2
22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点则由第二定义：e d MF =11，
∴
e c
a x MF =+
2
01a x MF +=∴01e 同理 a ex MF -=02
11．通径定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦
a b d 2
2=