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函数的凸性及应用[文献综述]

文献综述

信息与计算科学

函数的凸性及应用

一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主

题争论焦点）

凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义，最早是由Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。

本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明Jensen 不等式时的应用；凸函数在Hadamard 不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题

的评述）

凸函数具有一些非常优良的性质[1]

，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen 首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。

2.1凸函数的定义

2.1.1凸函数一些基本定义

通过数学分析的学习，对于函数()2

x x f =和()x x f =

的图像，我们很容易看出它们

之间的不同点：曲线2

x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =

则

相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的

曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。

数学分析[2]

给出了凸函数的基本定义：设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数()1,0∈λ总有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称f 为

I 上的凸函数。

葛丽萍

[3]

介绍了以下的结论：若区间I 上的任意三点321x x x <<，总存在

()()()()2

3231212x x x f x f x x x f x f --≤

--，这个条件是

f 为I 上的凸函数的充要条件，该证明在数学分析

中已经详细的给出了。同理，通过推广，可以得出另一个更进一步的充要条件：在区间I 上的任意三点321x x x <<，有()()()()()()2

3231

3131

212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--成立，则f 为I 上的

凸函数。并且若f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件为

()I x x f ∈≥,0''。

2.1.2严格凸函数的定义

江芹,陈文略[4]

给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间I 上严格凸函数的判定方法。定义：凸函数的定义为函数f 满足以下不等式()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+，其中f 为区间I 上的函数，1x ，2x 为I 上的任意两点和()1,0∈λ。当上面的不等式变为

()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+<-+时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。

判定方法：1、设f 为区间I 上可导函数，'

f 在I 上严格递增，则f 在区间I 上是严格凸函数。反之，不成立；2、设f 为区间I 上二阶可导函数,在I 上(),0'

'≥x f

.则f 在区间

I 上是严格凸函数。

2.1.3凸函数的等价描述

林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若)(x f 在I 上有定义，则以下3个命题等价：

○

1)(x f 在I 上为凸函数； ○20≥?i

q ，121=+++n q q q ，,,,21I x x x n ∈? 有)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ；

○30≥?i q ，且),,1(n i q i

=不全为零，,,,21I x x x n ∈? 有

n n n n n q q q x f q x f q x f q q q q x q x q x q f ++++++≤++++++ 212211

212211)()()()(

。

其中命题○2就是著名的Jensen 不等式。在Jensen 不等式中令),,2,1(1

n i n

q i

==就得到如下定义：设)(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸函数，当且仅当,,,21I x x x n ∈? 有

x f x f x f n x x x f n n )

()()()(

2121+++≤

+++ 。葛丽萍[3]

介绍了函数f 在区间I 上可导的等价条件：若f 为区间I 上的可导函数，可

得出以下等价条件。（1）f 为I 上的凸；（2）'

f 为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点1x ，

2x ，有()()()()'21121≥+-f x f x f x x x 。

2.2凸函数的一些性质

2.2.1凸函数的连续性

凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重

要的特征。由于Jensen 定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，Jensen 意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题：当连续函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的凸函数；

当凸函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的连续函数；连续凸函数在区间I 上具有何种性质？

例如函数??

?=<=1

,21,)(x x x x f ，我们容易证明)(x f 在]1,1[-上是凸函数，但)(x f 在]

1,1[-上不连续。存在函数3

)(x x f =，可以得出函数在R 上是连续的，但是函数在R 上不是凸函数。

上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数。

宋方[6]提出，如果连续函数)(x f 为凸函数，必定满足以下定义：对任意的I x x ∈21,及

[]1,0∈λ，恒有：()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+。

例：证明连续函数2

)(x x f =是一个凸函数。

分析：因为()2

222

112

21212

222

112

2211)(x q x q x x q q x q x q x q x q +≤--+=+，只要存

在1212,0,1≥+=q q q q 就能说明函数)(x f 是一个凸函数。显然能够找到满足条件的

120.4,0.6==q q

性质[7]：若)(x f 在区间I 上连续，且满足

)()()(21

1122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤ 或 0)

(1)(1)(122

≥x f x x f x

x f x 其中I x x ∈21,，则)(x f 是I 上的凸函数。

2.2.2凸函数的微积分性质

刘鸿基，张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，而关于凸函数，一般教材大都从几何意义方面引出定义，描述为：凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦，总是位于曲线弧段的下方；或者，当曲线各点处存在切线时，凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。前者往往作为定义使用，后者是凸函数的充分必要条件，也可以作为定义作用。刘鸿基，张志宏[8]举证了凸函数的4个等价性定义，并对凸函数的微积分性质予以讨论，得到两个重要的微积分性质：

1.设)(x f 在区间),(b a 内可导，则)(x f 在),(b a 上是凸函数的充分必要条件是：对任意点),(0b a x ∈，恒有))(()()(000x x x f x f x f -'+≤。

2.设)(x f 是[]b a ,上的凸函数，则

)()2()()(2)()(a b b

a f d x f a

b b f a f b

-+≤≤-+? 性质2分析：因为)(x f 是闭区间[]b a ,上的凸函数，因而是连续的，也是可积的。

当??

????+∈b b a x ,2

时，?

???+∈-+='2,

b a a x b a x ，因此有b x b

a x

b a a ≤≤+≤-+≤2

。根据定义，可得2)

()(2x f x b a f b a f +-+≥

??+ 即)()(22x f x b a f b a f +-+≥??

??+。

根据定积分性质

dx x f dx x f dx x f b

b a b a a

+++=2

2)()()(对于dx x f b a a

+2)(，

令t b a x -+=则

dt t b a f dt t b a f dx x f b

b a b a b

b a a

+++-+=--+=2

22)()()()(

所以2

()()()[()()]+++=+-+=+-+????b

a b a b a b a

f x dx f a b t dt f x dx f a b x f x dx

)()()22

+++≤=-?b

a b a b a b

f dx f b a 再者，若令a

b x

b t --=

，则b t at x )1(-+=，于是 0

()[((1))]()()[(1))]=+--=-+-?

??b

f x dx f at t b a b dt b a f ta t b dt

0()[()(1)()]≥-+-?b a tf a t f b dt

()(()())22

=-+b a f a f b

综上所述，结论成立。 2.2.3关于凸函数性质的总结

王华[9]提出常见的凸函数定义有八个，此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考，来得出有关凸函数的性质。

根据文中所阐述和定义的，归纳出以下性质：

1．当f 在I 上一阶可导，f 在I 凸?,,0I x x ∈? )())(()(000x f x x x f x f +-'≥ 。由于)())((000x f x x x f f +-'=是过点))(,(00x f x 的曲线的切线，不等式的几何意义是：上凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。

2．f 在I 上二阶可导，f 在I 凸?,I x ∈?0)(≥'x f 。

3．若f 在I 上可导，则下述两个不等式等价（1）)())(()(11212x f x x x f x f +-'≥；（2）2

)()()2(

2121x f x f x x f +≤+。 4．若f 在I 凸，则下述两个不等式等价（1）I x ∈?有0)(≥'x f ；（2）I x x ∈?21,有

)()()2(

2121x f x f x x f +≤+。 5．若f 在I 凸，则（1）I x ∈?0，有)(0x f -'，)(0'x f +都存在，且)()(0'

0'x f x f +-≤；

（2）f 在I 连续。

例：证明上（下）凸函数都是连续的。

针对性质5分析：I x ∈?0，取20x x x <<，据定义得式2

0201

010)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--（﹡）

又据其几何意义，函数1

010)()()(x x x f x f x F --=是单调函数，故当01x x →时1

010)()(x x x f x f --单调

有上界；+

→0

1x x 时2

020)()(x x x f x f --单调有下界，于是极限1

010)()(lim 01x x x f x f x x --+

→及

020)()(lim 0

2x x x f x f x x --+

→存在，而这两个极限即)(0

x f -'及)(0'x f +，故对式（*）取极限，即可得

)()(00x f x f +-'≤'。

同时可知

1020

0102lim [()()]0lim [()()]-

+→→-==-x x x x f x f x f x f x

即)()(lim )(lim 00

1x f x f x f x x x x ==+-→→。故)(x f 在I 的内点连续，即f 在I 上连续是f

在I 上（下）凸的必要条件。

2.3凸函数的一些应用

2.3.1凸函数的应用概述

凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。利用凸函数的性质证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化为证明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。邹自德

[10]

指出：

凸函数具有较好的几何和代数性质，由凸函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。

例：几何平均值不大于算数平均值（利用凸函数导出常用的不等式）

分析：设0a >，1a ≠考虑指数函数x

y a =，(0,)x ∈+∞是凸函数，从而对

1212,,,(0,),,,,(0,),n n x x x λλλ?∈+∞?∈+∞

121

,(0,1),1,n

n k k λλλλ=?∈=∑有

11221212λλλλλλ++

+≤++

+n n

n x x x x x x n a a a a 成立。

令1

212121,,,,n x x x n n a a a a a a n

λλλ====

===，则得到

1121212

,0 ()n n

n n a a a a a a a a a n

+?≥≤

有。

这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。

梁艳

[11]

指出：凸函数是一类非常重要的函数，在不等式的研究中，凸函数所发挥的作

用是无可替代的，可以根据凸凹函数的特性，结合典型事例，来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。

例：证明下列不等式：（1）对任意实数,,b a 有)(2

b a

b a e e e

+≤

+. 分析：（1）设x e x f =)(，由于x e x f x f =''=')()(，而0)(>=''x e x f ，故x

x f =)(是),(+∞-∞上的凸函数，由定义可知，有2

)

()()2(b f a f b a f +≤

+，即)(212b a b

a e e e +≤+. 小结：在不等式的研究中，凸函数所发挥着很重要的作用，在数学规划中有着广泛的应用背景，我们可以根据凸凹函数的特性，来解决一系列拥有较大难度的不等式，以及导出一些较难的不等式，如上面所给出的指数不等式，三角函数不等式都能通过凸函数的性质来得到比较直观的证明，可以来导出如几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式，说明了凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中有着较好的应用。 2.3.2凸函数在证明Jensen 不等式时的应用

王秋亮[12]讨论了凸函数在证明Jensen 不等式时的应用。不论导出不等式还是证明不等式，利用Jensen 不等式的关键在于选取适当的凸函数，并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。并且应用数学归纳法在用凸函数来证明Jensen 不等式时，可以得到较好的效果。

定理1（Jensen 不等式）：若设)(x f 区间I 上有定义，则以下两条件等价：

1. 在I 上)(x f 为凸函数；

2. []1),,2,1(0,,1

==≥∈?∑=n

i i

i i n i b a x λ

λ ，有)()(1

i n

i i i i n i i x f x x f ∑∑==≤λλ （*）

分析：2?1只要令2=n 即得。

1?2应用数学归纳法。当2=n 时，可得函数为凸函数。设k n =时命题成立，即

,2,1(0],,[k i a b a x i i =≥∈?,11

=∑=k

i i

有)()(1

i n

i i i n i i x f a x a f ∑∑==≤，现设

],[b a x i ∈，及),

1,2,1(0+=≥k i i λ,11

=∑+=k i i λ令1

1+-=

k i

i a λλ，k i ,2,1=，

111

=∑+=k i i

。由数学归纳法假设可推得

1111

11111()((1)

)

1 (1)()()

λλλλλλλλ++++=++++++≤-+-≤-+++∑k i i k k

i i k k k i k k k k k k x x f x f x f a x a x f x

11111(1)[()()]()λλ+++≤-+

++k k k k k a f x a f x f x

11111

(1)[()()]()11λλ

λλλλ+++++=-+

+--k

k k k k k k f x f x f x

=)(1

i k i i x f ∑+=λ.

这就证明了对任何正整数)2(≥n ，凸函数)(x f 总有不等式（*）成立。 2.3.3凸函数在证明Hadamard 不等式时的应用

郑宁国[13]给出了Hadamard 不等式的两种证明方法。讨论了凸函数在证明Hadamard 不等式时的应用。选取适当的凸函数来证明Hadamard 不等式，并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。

Hadamard 不等式：设f 是[]b a ,上连续的凸函数，则有?+≤

-≤+b

b f a f dx x f a b b a f 2)()()(1)2(. 分析：根据积分区间具有可加性，有

x d x f dx x f dx x f b

b a b

b a a

+++=2

2)()()(.

因为

++-+=22

)()(b

a a

b a x b a f x d x f （其中令t b a x -+=）

，所以22()[()()]2()2

+++=++-≥???

a b a b

b a

a b

f x dx f x f a b x dx f dx

)2()(b a f a b +-= 即有dx x f a b b a f b

?-≤+)(1)2(。令)10(,)(≤≤--=t t a b b x ，则

()()[(1)] ()[()(1)()]

-+-≤-+-?

??＝b

f x dx b a f ta t b dt b a tf a t f b dt

)

()()

(b f a f a b +-.

即有.2

)()()(1?+≤-b a b f a f dx x f a b 所以Hadamard 不等式成立。 2.3.4凸函数在分析不等式中的应用

关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究，利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处，现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。李艳梅，李雪梅[14]给出了凸函数在分析不等式证明中的应用，利用凸函数的性质及Jensen 不等式，对数学分析中诸多不等式给予证明，从中可举一反三，利用Jensen 不等式的一些特殊情况，可以得到一些常用的分析不等式。

例：R y x a a a a

y x y x ∈>+≤+,,0,2

分析：假设函数2

)(ln ,ln )(,)(a a f a a x f a x f x

=''='=，

,R x ∈?有0)(ln )(2>=''a a x f x ，

由Jensen 不等式取2

,221===q q n 有121=+q q 于是,,R y x ∈? 有2

21212

x y x y x a a a a a

+≤+

小结：此处运用了凸函数的性质及Jensen 不等式，可以很简洁的证得该分析不等式。解

决不等式的证明有着许多方便之处，凸函数适当的应用，使证明过程更加简洁，结论得出更加的方便。

三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展

方向做出预测）

凸函数具有一些非常优良的性质,有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用[15]。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。

本文首先对凸函数定义进行介绍，凸函数的等价性质进行了概述；接下来介绍了凸函数的基本性质，然后由此延伸，进一步提出凸函数的应用，主要集中在下面几方面的应用：凸函数在Hadamard 不等式证明中的应用，凸函数在证明Jensen 不等式时的应用，凸函数在

分析不等式中的应用等方面进行了讨论。

四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）

[1]蒲义书、陈露.凸函数概论[J].高等数学研究,2006，9（4）：34-71.

[2] 数学分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社，2006：148-154.

[3] 葛丽萍.关于凸函数的几个充分必要条件[J].文化教育，2010，(5)：193-193.

[4]江芹、陈文略.严格凸函数的判定[J].高等函授学报,2006,19(4)：27-28.

[5] 林银河.凸函数的等价描述与Jensen不等式[J].丽水师范专科学校学报，2001，23（2）：8-11.

[6] 宋方.关于凸函数的定义和性质[J]. 数学的实践与认识，2007，27(8)：189－194.

[7] Jonathan M.Borwein, Jon Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex Functions[J]. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.

[8]刘鸿基、张志宏.凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论[J].商丘师范学院学报，2008，24(6）：123-125.

[9] 王华.关于凸函数性质的总结[J].科技教育，2005，235-236.

[10] 邹自德.凸函数及应用[J].广州广播电视大学学报，2008，8(1):104-112.

[11]梁艳.凸函数的应用[J].内江师范学院学报，2010，25：90-91.

[12]王秋亮.凸函数在不等式中的应用[J].晋城职业技术学院学报，2009，2（3）：95-96.

[13]郑宁国.凸函数的Hadamard不等式的两种证明方法[J].湖州师范学院学报，2005，27（2）：15-17.

[14]李艳梅、李雪梅.凸函数在分析不等式证明中的应用[J].高等职业教育天津职业大学学报,2003,13(1)：33-37.

[15]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. J.Inequal.Pure and Appl.Math，2006，7(5).