当前位置：文档库 › 专题-高考中的抽象函数-教师版

专题-高考中的抽象函数-教师版

高考中的抽象函数

特殊模型

抽象函数

正比例函数f(x)=kx (k ≠0)

f(x+y)=f(x)+f(y) ;

幂函数 f(x)=x n

f(xy)=f(x)f(y) [或)

y (f )x (f )y

x (f =]

指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)

y (f )x (f )y x (f =-或]

》

对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1)

f(xy)=f(x)+f(y)

[)]y (f )x (f )y

x (f -=或

正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx

)

y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为

11≤≤-x 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。

练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()?

?-x f 3log 2

1 的定义域。；

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。[]11log ,13

评析：已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：

)

,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,

令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=2

2001

)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即

练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （1

2 ）￥

2.(2)(4)(6)

(2000)

()()(),(1)2,(1)(3)(5)

(1999)

f f f f f x y f x f y f f f f f +==++++

如果且则

的值是。2000

2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)

(3)(5)(7)

f f f f f f f f f +++++= .( ()2n f n =,原式=16)

3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C

C. 19

D. 43

；

四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例4. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)

解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)

例5.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:

①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立若存在,求出函数f(x)

的解析式；若不存在，说明理由.

解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)

小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.

》

例6、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2

1()2

3(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，

x x f =)(，则)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ）

A ．2-x

B ．4+x

C ．12++x

D ． 13+-x

解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+;当)0,1(-∈x 时

()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。

五、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）

例7.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

{

解析:由单调性的定义步骤设x 10,∴f(x 2-x 1)<0）

所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),

令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6. 六、奇偶性问题

例8. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，

试判断函数f(x)的奇偶性。

）

解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。

（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ）

=－2

解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.

注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。

￥

例9：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。求实数a 的取值范围。

解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<

（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(a f a f f a f -<+<+或等；也可将定义域作一些调整）七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称） ()()a x f a x f +-=+→对称轴a

x =()y f x a =+是

偶函数； —

()()a x f a x f +--=+→对称中心（a,0）()

y f x a =+是奇函数

结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|

【

(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:

y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a b x -=

对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2

(

b -对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）

例10：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ B ）

解：因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f

(0) = 0。

②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。（x=1/2）

（重庆）已知函数()f x 满足：()1

f =

，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则

()2010f =_____________.

解析：取x=1 y=0得2

)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 例11. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（） A. 3个个个个

解：∵f (0) = 0→x 1= 0，又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x 2 = T ，x 3 = 2T .又因为

??? ?

+=??? ??-22T x f T x f

令x = 0得??

? ??-=??

? ??=??

? ??-222T f T f T f ,∴??

??=??

? ??232T f T f =0.(本题C

易错选为A)

例12．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a 的值。

解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6

练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 x=1 对称。

2、函数)(x f y =满足)

)3(x f x f -

=+，且1)3(=f ，则=)2010(f -1 。 3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22

f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12

x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法

4.设f (x )是R 的奇函数,f (x+2)= — f (x ),当0≤x ≤1,时,f (x )=x ,则f= -

5、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ D ）

6、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=

2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.

解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) -2(4-x) ②

∴由①②得f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当x [1,2]时,f(x)=-x +6x-8

7、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则

1234_________.x x x x +++=-8

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.

(完整版)高考函数专题复习-教师版

函数与基本初等函数函数的概念（1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ ()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π ≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2 ()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2 ()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念 ①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。 []11log ,13 评析：已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc

.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师题号一二三总分得分第 I 卷（选择题）评卷人得分一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为（） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式

【解析】试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得．考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ，又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的，也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数，若，则实数（） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为，所以．

2020高考数学抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①； ②，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因为，所以又取得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1)0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( ) A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负

高考抽象函数技巧全总结[1]

高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知 ()211 x f x x =++,求()f x . 解：设 1 x u x =+,则1u x u = -∴2()2 111u u f u u u -=+= --∴2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知(())()f g x h x = 即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3 3 11()f x x x x + =+ ，求()f x 解：∵22 111()()(1)(f x x x x x x x + =+-+ =11|||1|| x x x =+ ≥ ∴23 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则 22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴2 13()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

专题02 函数-2014年高考数学(理)试题分类解析(教师版)

目录专题21 函数及其表示 (1) 专题22 函数的定义域与值域 (1) 专题23 函数的单调性与最值 (2) 专题24 函数的奇偶性与周期性 (4) 专题25 二次函数与幂函数 (6) 专题26 对数与对数函数 (7) 专题27 函数的图象 (8) 专题28 函数与方程 (10) 专题29 分段函数 (11) 专题210 新定义函数 (13) 专题21 函数及其表示 1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623( πf （） A.21 B 23 C 0 D 21- 【答案】A 【曹亚云·解析】231717()()sin 666f f πππ=+ 111117()sin sin 666 f πππ=++ 551117()sin sin sin 6666f ππππ=+++ 0sin sin sin 666πππ=+-+ 12 = 2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （） A 1 B 2 C 3 D -1 【答案】A 【曹亚云·解析】()()11f g = |(1)|51g ?= ()10g ?= 10a ?-= 1a ?= 专题22 函数的定义域与值域 3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（） A )1,0( B ]1,0[ C ),1()0,(+∞-∞ D ),1[]0,(+∞-∞

【答案】C 【曹亚云·解析】20x x ->，10x x ∴><或所以选C 4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（） A B C D 【答案】C 【曹亚云·解析】()22log 10x ->2log 1x ?>或2log 1x <-，解得 2x >或 102x ∴ <> 专题23 函数的单调性与最值 5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（） A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ 【答案】A 【曹亚云·解析】因为函数y =[1,)-+∞ 上单调递增，所以选项A 正确；因为函数2(1)y x =-在区间(,1)-∞ 上单调递减，在区间[1,)+∞ 上单调递增，所以选项B 错误；因为函数2x y -=在区间(,)-∞+∞ 上单调递减，所以选项C 错误；因为函数0.5log (1)y x =+在区间(1,)-+∞ 上单调递减，所以选项D 错误； “高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入 “高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请 6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（） 1)(log 1 )(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞

高考数学抽象函数专题训练(含答案)

抽象函数训练 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++) ()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）.若f （k ) 293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.

专题04_三角函数(教师版)自己整理

2014届高考数学二轮复习资料专题三：三角函数（教师版）【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2 π, 2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22 sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切； (4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()2 2 αβ αβ ααββ+-=+-=+ ; (5)公式变形:2 1cos 2cos 2αα+= , 2 1cos 2sin 2 αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;

高考抽象函数专题

抽象函数专题几类抽象函数模型练习题 1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (4)＝2，则f (2)的值为_________．答案：12．解：因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝1 2 ． 2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______．答案：1009．解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×1 2＝1009． 3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，若f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1 C ．19 D ．43 答案：D ．解：因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9 累加，得f (8)＝43．

(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，若f (1)＝1，则f (－8)＝ A．－1 B．1 C．19 D．43 答案：C．解：因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得 f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此： f (1)－f (0)＝2 f (0)－f (－1)＝1 f (－1)－f (－2)＝0 f (－2)－f (－3)＝－1 f (－3)－f (－4)＝－2 f (－4)－f (－5)＝－3 f (－5)－f (－6)＝－4 f (－6)－f (－7)＝－5 f (－7)－f (－8)＝－6 累加，得f (－8)＝19．另外： f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (x)＋f (－x)＝x 2－2 4．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法正确的是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数 C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数答案：C 解： x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1． x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数． 5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是 A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8) 答案：B

3.3幂函数教师版

§3.3 幂函数一、基础过关 1．幂函数y ＝f(x)的图象过点(4，1 2 )，那么f(8)的值为 ( ) A ．2 6 B ．64 C.2 4 D.164 2．函数y ＝x 1 2 －1的图象关于x 轴对称的图象大致是 ( ) 3．下列是y ＝x 2 3 的图象的是 ( ) 4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1 2 四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－1 2 5．给出以下结论： ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； ③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________． 6．函数y ＝x 12 ＋x － 1的定义域是________． 7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1)y ＝x 2＋x － 2； (2)y ＝x 12＋x －12； (3)f(x)＝x 12＋3(－x)14. 8．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2 ＋m －1，m 为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．二、能力提升 9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2 5 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>b D ．b>c>a 10．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 11．若(a ＋1)－12<(3－2a)－1 2 ，则a 的取值范围是________． 12．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，1 4 )． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

高考复习---利用函数性质研究函数图像专题-教师版

高考复习---利用函数性质研究函数图像专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数2||1 ()x x f x e -=的图象大致为（）. A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【分析】先由函数解析式，判断函数奇偶性，排除A,B ；再由特殊值验证，排除D ，进而可得出结果. 【详解】因为()21x x f x e -=，所以()()21 x x f x f x e --==，因此()f x 为偶函数，所以排除选项A,B ，又()23 21f e =<，所以排除D. 故选C 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，一般先考虑函数奇偶性，再特殊值验证，属于常考题型. 2．函数f （x ）=的图象大致为（）

A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足()()x -x f x f x e e -==-=-+，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当x 0>时，()f x 0>恒成立，排除A ，D ，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．函数()21cos 1x f x x e ??=- ?+?? 图象的大致形状是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D.

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

第四讲幂函数及反函数(教师)

第四讲幂函数、与反函数一、知识梳理 1．幂函数： ①定义：形如a y x =（a 为常数）的函数叫幂函数。当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0 a 时，函数图象在第一象限剧烈增长；当0 n 时，都过)0,0(和)1,1(，0

高考中的抽象函数专题练习

高考中的抽象函数专题练习 1、下列结论：①函数y = 2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为 [1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3- 其中正确的个数为 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.定义在R 上的函数()f x 满足1 (0)0,()(1)1,()()52 x f f x f x f f x =+-== ，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1 ( )2007 f 等于（） A. 12 B. 116 C. 132 D. 164 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，且3 ()[1()]1()2 f x f x f x +-=+，(2)2f =，则 ()2009f 值为（） A. 2 B. 22 D. 2-4.已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根 1 2 x = ，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007 5.已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______. 6.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题： ①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =. 其中正确的序号为_________. 7.已知函数()f x 定义在(1,1)-上，对于任意的,(1,1)x y ∈-，有()()()1x y f x f y f xy ++=+，且当0x <时，()0f x >. (1)验证函数1()ln 1x f x x -=+是否满足这些条件； (2)若()1,()211a b a b f f ab ab +-==+-，且||1,||1a b <<，求(),()f a f b 的值． (3)若1()12f -=，试解关于x 的方程1 ()2f x =-． 8.已知函数()()f x x R ∈满足：对于任意实数,x y ，都有1 ()()()2 f x y f x f y +=++恒成立，且当0x >时，1 ()2 f x >- 恒成立； (1)求(0)f 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；

抽象函数题型大全例题含答案

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知 ( )211 x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知331 1()f x x x x +=+，求()f x 解：∵2221 1111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22 f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,