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专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

1.1±

2.

2

116

m 3.-3 4.x 5.2b -

专题一 数与式的运算

6.7. -1 提示:先做除法,后做减法,能约分的先要约分.

8. 2

专题一 数与式的运算

- 提示:先分式化简,再代入求值. 9.

1

1

a a +- 提示:直接分式化简. 10.

1n n + 提示:111(1)1

n n n n =-?++. 11.实数a 要满足条件22

101010a a a ?-≥?-≥??+≠?

,,得1,0a b ==,所以1a b +=.

12.因为

(2)()22(2)(2)A B A x Bx A B x A

x x x x x x +++++==+++,所以524A B A +=??=?,,得23A B =??=?

,. 13.原式=

3a a b b c c b c a c a b a b c b c c a a b a b c a b c

+++---+++++=++=++=-. 14.原式

?

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

=22a b b a

专题一 数与式的运算

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专题一 数与式的运算

??+=÷=-.

专题二 因式分解

1.a b -

2.()32a b +

3.(2)(29)x x --

4.155

,22

5.2(1)(3)y y +-

6.(4)(23)x y x y ++

7.1

6(23)n

n n

x y

x y --- 8.1000 9.2

16

m k = 10.1,a 11.(1)2

21112(23)(4)x x x x -+=--; (2)2

8107(21)(47)x x x x +-=-+; (3

)223(2x x x -=;(4)2

专题一 数与式的运算

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专题一 数与式的运算

576(21)(35)x x x x +-=-+-. 12.(1

211

53(5522

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

x x x x -+=--+; (2)4

2

2

2

2

28(2)(4)(2)(2)(2)b b b b b b b --=+-=+-+; (3)2

2

2456(2)()(45)6x xy y x y x y x y x y +--+-=-+---

(22)(3)

x y x y =-++-; 或原式2222(4)562(4)(2)(3)x y x y y x y x y y =+--+-=+---- (22)(3

)x y x y =-++-. 13.(1)1()1(1)(1)xy x y xy x y x y -+-=+--=-+或

原式()(1)(1)(1)xy x y x y =+-+=-+. (2)22()()()x a b xy aby x ay x by -++=--. (3)3287(1)(7)a a a a a -+=-+-.

14. 原式可化为222

2222220a b c ab bc ac ++---=,

∴ 2222222220a a b b

b b

c c c a c a -++-++-+=

. ∴ 222

()

()()0a b b c c a -+-+-=. ∴

000.a b b c c a -=??

-=??-=?

, ∴ a b c ==.

故ABC ?是等边三角形.

专题三 解方程组

1.32x y =??=?

2.4

3.45x y =??=?,或10.x y =-??=?,

4. 3 2

5.175

6. 12b =,121.

x y ?

=???=?,

7.12与13 提示:两数可看作是一元二次方程的根.

专题一 数与式的运算

8.4+ 9.1

3,2a b =-=-

提示:234456x y x y +=??+=?

,的解即为原方程组的解,求得1,2x y =-=代入原方程组即可解出,a b .

10.x y ?=

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

????=??

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

或x y ?=????=?? 11.(1)将23x y +看作一个整体求解得出4,7y x =-=;

(2)运用换元法求解比较方便:设23x k +=,则原方程组可变形为323812311x k y k x y k =-??

=+??+=?

,,

解得1,

k =∴ 方程组的解为13.x y =??=?

12. 设原计划有x 人做,y 天完成任务 由题意,可得(10)(1)(25)(3)x y xy x y xy -+=??

-+=?,,整理得10100325750x y x y --=??--=?,,∴ 1009.

x y =??

=?, 答:原计划有100人做,9天完成任务.

13.(1)2?+③②,得411x y +=④,-④①,得13x =,代入①③得2950

,33y z ==.

(2)?①2+②,得93x z =∴.

3z x =

代入①,得2

3

y z =,∴ ::1:2:3x y z = 14.原方程组化为(23)(23)0(21)(21)0x y x y x y x y -+=??

+-++=?

230210x y x y -=??

+-=?

,或230210x y x y -=??++=?,或230210x y x y +=??+-=?,或230210.x y x y +=??++=?, ∴ 方程组的解为3727x y ?

=????=??,;3727x y ?=-????=-??

,;32x y =-??

=?,

;32x y =??=-?,.

专题四 解含有字母的方程(组)

1.x a b =+

2.4a >

3. 1a < 提示:由0?>且120x x <可得

.

4.3

2

-

提示:消元将方程组转化为ax b =形式,然后讨论一次项系数. 5.9

8

a > 6.3m ≠时,14x m =+,3m =时,任意解

7.23x y =??

=?,或32

x y =??=?,

8.4-或6-

9. 3 10. 121,1x m x m =-=+

11. 3431x y x y +=??+=?,

的解必是232ax y +=的解,∴

10x y =??=?

代入方程得1a =. 12.解方程组,得324

164x a y a ?

=??+??=?+?,,要使,x y 为整数,则a 必须是16和32的正整数因数.

∴ 41,2,4,8,1a +=故整数

a 的值为3,2,0,4,12--. 13.当0a =时,方程无解;当0a ≠时,0?>,即0a <或1a >时,方程的解

专题一 数与式的运算

1,21x =,0?=,即1a =时,方程的解为1x =,0?<,即01a <<时,方程无解.

14.将2y kx =+代入①,整理得22(24)10k x k x +-+= ,(*), 因为方程组有两个不相等的实数解,所以(*)方程有两个不等根.

222

0(24)40.

k k k ?≠??=-->?,

所以 解得1k <且0k ≠.

专题五 函数(一)

1.-2

2. 1

2

k < 3.2- 6.6 7. 1

2

-

提示:由条件得到2,1a b ==或者1,2a b =-=-. 8. -3或1 提示:由图象可以得到3,1,2m k b ===. 9. 02y << 提示:先得到函数表达式,再画出函数图象.

10. 1或-3 提示:由图象得到点C 坐标为(,)D B C x y ,再根据BD 经过坐标原点得到

4D B x y =,从而得到k 的值.

11. 变换过程如下:

①把函数1y x =

的图象沿x 轴方向向右平移1个单位后得到函数11y x =-的图象; ②把函数11y x =-的图象沿y 轴方向向上平移2个单位后得到函数1

21y x =

+-的图象,即为函数21

1

x y x -=-的图象.

y 的取值范围是2y ≠.

12.(1)将(2,)P a -代入2y x =-,得4a =; (2) /(2,4)P

(3)将/(2,4)P 代入k y x =

,得4=2k ,解得8k =,所以反比例函数的解析式为8y x

=. 13.(1)由反比例函数的图象经过点(21,8),可知482

1

=?=?=y x k ,所以反比例函

数解析式为x

y 4

=,

∵ 点Q 是反比例函数和直线b x y +-=的交点, ∴ 14

4

==

m , ∴ 点Q 的坐标是(4,1), ∴ 514=+=+=y x b . ∴ 直线的解析式为5+-=x y .

(2) 如图所示:由直线的解析式5+-=x y 可知与x 轴和y 轴的交点A 与B 的坐标分别为(5,0)、(0,5),由反比例函数与直线的解析式可知两图象的交点坐标分别点(1,4)P 和点(4,1)Q ,过点P 作PC ⊥y 轴,垂足为C ,过点Q 作QD ⊥x 轴,垂足为D , ∴ S △OPQ =S △AOB -S △OAQ -S △OBP =21×OA ×OB -21×OA ×QD -2

1

×OB ×PC =

21×25-21×5×1-21×5×1=2

15

. 14.(1)依题意有15y x y x =-+??

=+?,, 得23.x y =-??=?, 所以双曲线的解析式为6

y x =-.

(2)20x -<<或3x >.

专题六 函数(二)

1.-2

2.4 3.③ 4.1

2

x ≥

5.13y -≤≤ 6.02y ≤≤ 7.-27 提示:抛物线的对称轴为直线3x =-.

8.①③ 提示:抛物线过点(1,0),则有a +b +c =0;对称轴为直线x =-1,则-3+1

2=

-1,另一交点为(-3,0),①③正确;对称轴线x =-b

2a

=-1,b =2a ;又a >0,c <0,则a -2b +c =a -4a +c =-3a +c <0,所以②④错误.

9.-3 提示:根据点P 的纵坐标为1求出它的横坐标的值后,再代入方程.

10.22y x x =+. 提示:与x

专题一 数与式的运算

11.(1)y =(x -20)(-2x +80)=-2x 2+120x -1 600. (2)∵ y =-2x 2+120x -1 600=-2(x -30)2+200, ∴ 当x =30元时,最大利润y =200元.

(3)由题意,得-2(x -30)2+200=150,所以x 1=25,x 2=35,

又销售量W =-2x +80随单价x 的增大而减小,所以当x =25时,既能保证销售量大,又可以每天获得150元的利润. 12.函数的最大值是max

2

4(22)()(2).a f x a a -<

13.将函数表达式配方,得21

(1)32

y x =

--.2

min 215(1)22()3(01)1

3(0).2

t t t f x t t t ?-->??

=-≤≤???-

∵ ()()()2

22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥. ∴ 原方程有两个实数根.

综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.

(2)①∵ 关于x 的二次函数32)1(32

1-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称, ∴ 0)1(3=-m .∴ 1=m .∴ 抛物线的解析式为12

1-=x y .

②∵ ()()2

21212210y y x x x -=---=-≥,∴ 12y y ≥(当且仅当1x =时,等号成立). (3)由②知,当1x =时,120y y ==.∴ 1y 、2y 的图象都经过点()1,0. ∵ 对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴ 23y ax bx c =++的图象必经过点()1,0. 又 23y ax bx c =++经过点()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵ 对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立, ∴ 320y y -≥,

∴ 2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴ 2

4(25)(42)04a a a y a

---=最小

≥.

∴ 2(42)4(25)0a a a ---≤.

∴ 2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥,只有013=-a ,解得13

a =. ∴ 抛物线的解析式为3

5343123-+=

x x y .

专题七 二次不等式

1.12

1

>--

42≤≤-x 5.32>-

6. 6

7.43<<-x

8. 04x ≤≤

9.1k > 10. 22-≤

11.不等式0122

<+--m x mx 恒成立,即函数()122

+--=m x mx x f 的图象全部在x 轴

下方.注意讨论0=m 时的情况.当0=m 时,021<-x ,即当2

1

>

x 时不等式才成立;当0≠m 时,函数()122+--=m x mx x f 为二次函数,需满足开口向下且方程

0122=+--m x mx 无解,即()???<--=?<,

0144,

0m m m 则m 无解. 综上可知不存在这样的

m .

12.根据题意,3,221==x x 是方程02

=+-b ax x 的两个根,所以有

220930.

a b a b -+=??

-+=?,

解得12,7==b a . 13.原不等式等价于?????≤-+->-+.212,11222x x x x 即?????≤-+>+.

032,

0222x x x x 所以???≤≤->-<,13,02x x x 或

所以原不等式的解集为1023≤<-<≤-x x 或. 14.原不等式等价于()()011>+-x ax

① 当0=a 时,由()01>+-x ,得1-a 时,不等式化为()011>+??

?

??

-

x a x ,解得a x x 11>-<或;

③ 当0

?

??

-

x a x , 若

11

,01,11-<<<<--

-=-=a a 即,则不等式无解; 若a

x a a 11,1,11<<--<->则即. 综上所述,

⑴当时,1-

x 1

1<

<-; ⑵ 当1-=a 时,原不等式无解; ⑶ 当1101a x x a ??

-<<<<-????

时,解集为; ⑷0=a 时,解为1x <-; ⑸当0>a 时,解为a

x x 1

1>

-<或. 专题八 分式不等式、简单的高次不等式

1.11>-≤x x 或

2.321><

x x 或 3.312><<-x x 或 4.2

1->x 5.101><<-x x 或 6.02>-

1

3<>x x 或 8.01<>x x 或 9.102

1

><<-

x x 或 10.20<

11.32102x x x <<--<<>-或或 12.由解在“两根之外”可知0

21

-

=x 是对应方程的一个根,代入可得2-=a

13.⑴当1--<x ;

⑶当21<<-a 时,不等式的解为12x a x -<<>或; ⑷当2=a 时,不等式的解为21≠->x x 且. ⑸当2>a 时,不等式的解为a x x ><<-或21;

14.⑴不等式2)(≥x f 的解是0>x ,2)(-≤x f 的解是0

⑵由⑴可知,方程1)(=x f 无解.当方程m x f =)(无解时,实数m 的取值范围是

22<<-m .

⑶由⑴可知,0>x 时,2)(≥x f 恒成立,也就是)(x f 的最小值是 2.而不等式

0)(≥-a x f 恒成立,则)(x f a ≤恒成立,所以)(x f a ≤的最小值,因此2≤a .

专题九 三角形

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

1.

52 2.359 3.4, 4.等边三角形 5. 6.钝角三角形 7.()12a b c +-(或ab a b c ++) 提示:模仿例2利用圆外一点作圆的两条切线长相等,

可得()12a b c +-,利用()1122ABC S ab a b c r ?==++,可得ab r a b c

=++.

8.120

,120

提示:注意圆周角与圆心角的关系.

9.

55

3

提示:因为AD 是BAC ∠的平分线,所以::AB AC BD CD =. 所以():():AB AC AC BD CD CD -=-,得403AC =,所以4055

33

AB AC =+=.

10.1 提示:连结AO BO CO 、、,因为圆O 是ABC ?的内切圆且切点为D E F 、、,

所以1,3,2AF AE BD BF CE CD ======,所以4,5,3AB BC AC ===.

又因为ABC ?的面积为6,所以

1

(453)62

r ++=.所以1r =. 11.由重心定理知:6,10GD BG ==,由勾股定理,得8BD =,所以16BC =.

12.(1)连结CG 并延长交AB 于点D ,因为在Rt ABC ?中,90ACB ∠=

4,3AC BC ==,所以5AB =.因为G 是ABC ?的重心,所以CD 是边AB 上的中线.所以

52CD =

,2533

CG CD ==. (2)作CF AB ⊥于点F ,作GE AB ⊥于点E ,则125CF =,所以14

35

GE CF ==. 13.因为2

4

R π

π=,所以12

R =

.因为1AB =,所以AB 是外接圆直径.所以22

1AC BC +=, 即()

2

21AC BC AC BC +-?=,所以2

25122155m m m -??-?= ?

++??

.所以218400m m --=. 所以20m =或2m =-.当2m =-时,0?<(舍去),所以20m =.

14.连结BM CM 、,因为BC 是圆的直径,所以BM CM ⊥.因为AD BC ⊥,

所以2

DM BD DC =?.又BE CE ⊥,所以DBH DAC ∠=∠.所以DBH ?∽DAC ?.

所以BD DH AD DC

=.所以BD DC DH AD ?=?.所以2

DM DH AD =?.

专题十 圆(一)

1. 2.1或15 3.52 4.8 5.21 cm 6.3 cm

专题一 数与式的运算

7 8.14

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

9.3 提示:由切割线定理2

AD AE AB =?,从而得4AB =.

5

2AO =

,由A O D ?∽ACB ?,得::AO AC AD AB =,所以5AC =.所以3C D A C A D =-=.

10.4 提示:由相交弦定理,得PC PD PA PB ?=?,故2PD =,由切割线定理,得 ()28AE DE CE DE DE =?=+,解得2DE =,所以4PE =.

11.延长CP 交圆O 于点D ,因为P C O P ⊥

,所以PC PD =.所以

2P C P C P D P A P B

=

?=?. 12.设PT 与大圆的另一个交点为A ,因为T 是小圆上的切点,所以AT TQ =. 因为PU 是大圆的切线,所以()()2

PU PA PQ PT AT PT TQ =?=-?+

()()22PT TQ PT TQ PT TQ =-?+=-. 所以222PT PU TQ -=.

13.因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以CAE CBA ∠=∠.

又因为AD 是BAC ∠的平分线,所以BAD CAD ∠=∠. 所以DAE DAC EAC BAD CBA ADE ∠=∠+∠=∠+∠=∠ .

所以EAD ?是等腰三角形.所以EA ED =.又2

EA EC EB =?,所以2

ED EB EC =?.

14.(1)因为//EF CB ,所以BCE FED ∠=∠.又BAD BCD ∠=∠, 所以BAD FED ∠=∠.又EFD EFD ∠=∠,所以DFE ?∽EFA ?. (2)由(1),得

EF FD FA EF =,所以2

EF FA FD =?.因为FG 是圆O 的切线, 所以2

FG FD FA =?.所以1EF FG ==.

专题十一 圆(二)

1.90

2.120

3.125

4.110

5.70

6.130,65,115 7.30

提示:因为A B C D 、、、四点共圆,110D ABC ∠=∠=

,因为40APB ∠=

,由三角形的内角和定理知,30BCD ∠=

.

8.OH AB ⊥ 提示:连结OH ,则OH OC =,所以OCH OHC ∠=∠.因为CH 平分OCD ∠,所以OCH DCH ∠=∠.所以OHC DCH ∠=∠.所以//OH CD .因为CD AB ⊥,所以OH AB ⊥.

9.6 提示A E H F 、、、四点共圆;B D H F 、、、四点共圆;C D H E 、、、四点共圆;B C E F 、、、四点共圆;A C D F 、、、四点共圆;A B D E 、、、四点共圆. 10.①②③ 提示:连结BG ,则G C ∠=∠,由条件,易得BHE AHD C ∠=∠=∠,

所以G B H E ∠=∠,AE BC ⊥.所以E H E G =.所以①正确;因为45BAC ∠=

BD AC ⊥,所以AD BD =.从而得ADH ?≌BDC ?,所以AH BC =,DH DC =.所以

②③正确;

若BD AE =,则易证得AEC ?≌BDC ?,这与ADH ?≌BDC ?矛盾,所以④不正确. 11.连结AB .因为四边形ABEC 是圆1O 的内接四边形,所以BAD E ∠=∠.因为四边形ADFB 是圆2O 的内接四边形,所以180BAD F ∠+∠=

.所以180E F ∠+∠=

.所以

//CE DF .

12.因为60B ∠=

,所以120BAC ACB ∠+∠=

.因为AD CE 、分别是BAC ∠和ACB ∠的平分线,所以11

6022

AHE DAC ACE BAC ACB B ∠=∠+∠=

∠+∠==∠ .所以B D H E 、、、四点共圆.

13.连结EF ,因为,DE AB DF AC ⊥⊥,所以A E D F 、、、四点共圆.

所以ADE AFE ∠=∠.又因为AD 是边BC 上的高,所以B ADE ∠=∠.所以B AFE ∠=∠.

所以E B C F 、、、四点共圆.

14.连结,AE BD ,过点C 作CF AB ⊥,垂足为F .因为AB 是⊙O 的直径, 所以90AEB ADB ∠=∠=

,因为90AFC ∠=

,所以A F C E 、、、四点共圆. 所以BC BE BF BA ?=?.同理B F C D 、、、四点共圆,所以AC AD AF AB ?=?. 所以()2

AC AD BC BE AF AB BF BA AB AF BF AB ?+?=?+?=+=.

专题十二 自我检测

1.4±

2.

2

16

1m 3.()()21--x x 4.7 提示: 1

3,x x +=∴

2

19,x x ?

?+= ??

?即

71,9122

2

22=+=+

+x x x x 即 5.6 提示:

()()

222A x Bx A B

x x x x +++=

++()()()24522++=+++=x x x x x A x B A , ∴ 5,

2 4.A B A +=??

=?

解得.3,2==B A 6AB =. 6. 2e = 提示:在02522

2=+-a ac c 两边同除以()02≠a a ,得

02522=+-e e ,∴ ()()2120.

e e --=∴ ()1

2.2

e e ==∴舍去,或 2e =. 7.15-≤≥x x 或

8. 3=x 提示:两边平方,得0122

=-+x x ,解得4,321-==x x ,经检验知3=x .

9. 1 提示:1)(23))((32222233=+=++=++-+=++y x y xy x xy y xy x y x xy y x .

10. 8

9

a 提示:对于实数a 有以下情形: ⑴当0=a 时,方程变为023=+x ,有实数解,

⑵当0≠a 时,由方程0232

=++x ax 有实数解,得980,a ?=-≥∴ 9

08

a a ≤

≠且. 综上可知,实数a 的取值范围是8

9≤

a . 11. 21312><<--

1)(13(04

1232

2

>+--+?>---x x x x x x x ,由序轴标根法,可得213

12><<--

12.

c

b a S

++2 提示:连接圆心和三角形的顶点,把三角形分割成3个小三角形,由三

角形面积等于3个小三角形面积的和可求得半径为c

b a S

++2.

13. ED EC EB EA ?=? 提示:过点E 作的切线,切点为F .由切割线定理,得

ED EC EF EB EA EF ?=?=22,,所以写出的一个正确结论是ED EC EB EA ?=?.

14.

5

6

1>

-

)0(02≠=++a c bx ax 的两根,所以6,5==-

a c a

b ,即6,5=-=a

c

a b ,由0++c ax bx 可化为02<++a

c

x x a b ,代入,整理得0652>--x x ,解得5

61>

-

1

21132=-+++--x x x x x ,

去分母,整理得01232

=--x x ,解得3

1,121-

==x x . 经检验,1=x 使原方程的分母为零,是增根,∴ 13

x =-是原方程的根.

16.由切割线定理,得2

PD PE PF =?2163

412

PD PE PF ??===

8EF ?=,4OD =,∵ OD PD ⊥,1

2

OD PO =

,∴ 30P ∠= , 60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠= .

所以圆O 的半径为4,?=∠30EFD . 17.⑴设该二次函数为()02≠++=a c bx ax y .

由函数图象过点()()()8,2,8,0,22,1---,可得??

?

??++==-+-=-,248,8,22c b a c c b a

解得8,12,2-==-=c b a .∴ 所求的二次函数为81222

-+-=x x y .

⑵作二次函数图象,观察图象可知10)3()(max ==f x f ,)(x f 最小值接近于

22)1(-=-f ,

所以10)(22≤<-x f .

⑶不等式

02)(>--x f m x ,即0562<+--x x m x 0)

5)(1(<---?x x m

x .

所以⑴当1≤m 时,解为51<<

⑵当51<m 时,解为m x x <<<51或 ⑷当5=m 时,解为1

x x x x x x f ,即2

1

1-=-x y , 所以函数)(x f 的对称中心为点)1,2(.

⑵11221--=?--=

y y x x x y ,解不等式31

12≥--=y y x ,即012

≤--y y ,得21≤

因此)(x f 函数值的取值范围是2)(1≤

x g 1

)(=

. 19. 12x x 和是一元二次方程03522

=-+x x 的两根,∴ 121253,22

x x x x +=-

=-. ⑴ ()

2

2

2

2212

121212125349

244224x x x x x x x x x x ????-=+-=+-=--?-=

? ?????

, ∴ 127

2

x x -=

. ⑵()()()212523*********=+??

?

??---

=++-=--x x x x x x . 20.⑴由6,3y x

y kx ?

=???=+?,

得0632

=-+x kx .① 方程①有两解,∴ 3

9240,,08

k k k ?=+>>-≠即且.

∴ k 的取值范围是0,8

3

≠->k k 且.

⑵ 22

12

,x x 是方程①的解,∴

12x x k -==

专题一 数与式的运算

专题一 数与式的运算

. ⑶由韦达定理知.6

,32121k

x x k x x -=-

=+ ∴ ()222

12

1212122912325,3,,5

x x x x x x k k k k +=+-=+===-解得 注意到8

3

532-<-=k ,不符合,舍去.

又当3=k 时,方程①化为022

=-+x x ,解得??

?-=-=??

?==.

3,

2;6,12211y x y x ∴ 3=k ,两点的坐标为()()()().6,1,3,23,2,6,1B A B A ----或