圆锥曲线第三定义及扩展

圆锥曲线第三定义

在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中,Ａ,B 两点关于原点对称,Ｐ是椭圆上异于A,B 两点的任意一点,若PB PA k k ,存在,则22a

b k k PB PA -=?。(反之亦成立） 在双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 中,Ａ,B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于Ａ，B 两点的任意一点,若PB PA k k ,存在,则22a

b k k PB PA =?。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时,椭圆满足22b a k k PB PA -=?,双曲线满足22b

a k k PB PA =? 例、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴长为4，若点Ｐ是椭圆上任意一点,过原点的直线l 与椭圆相交与Ｍ、Ｎ两点，记直线ＰＭ、PN 的斜率分别为k １、k ２.若k1?k ２=41-,则椭圆的方程为 ．

变式:

1、设点A ，B 的坐标为(—２,0),(2，0），点Ｐ是曲线Ｃ上任意一点，且直线ＰA 与ＰB 的斜率之积为41-

,则曲线C 的方程为 。

2、设点Ｐ是曲线C 上任意一点,坐标原点是Ｏ，曲线C 与X 轴相交于两点M(-2,０）， N(2,0)，直线P Ｍ，P Ｎ的斜率之积为4

3-

,则OP 的最小值是 。

３、已知ABC ?的两个顶点坐标分别是(—8,０),(8,0),且AC ，BC 所在直线斜率之积为m

（0≠m )，求顶点C 的轨迹。

4、P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上一点,Ｍ,N 分别是双曲线的左右顶点,直线PM,ＰN 的斜率之积为

5

1,则双曲线离心率为 . 5、已知椭圆12

32

2=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，Ｍ是椭圆上异于A 、B 的动点,求证:MB MA k k ?为定值。

６、平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；

第三定义的应用 例、椭圆14

22

=+y x 的左右顶点分别是A ，B,点S 是椭圆上位于X 轴上方的动点，直线AS,ＢS 与直线3

10:=

x l 分别交于点M 、N ，求线段MN 长度的最小值。

变式：已知A ，B 分别为曲线C ： 2

2x a

+2y ＝1(ｙ≥0，a 〉0)与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点Ｂ,且与x 轴垂直，Ｓ为l 上异于点B 的一点,连结A Ｓ交曲线C 于点Ｔ。 （１)若曲线Ｃ为半圆,点T 为圆弧AB 的三等分点,试求出点S 的坐标；