数学一轮课件(理科)人教A第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算

〔壬夯基释疑〕

〔乞考点突破〕

一（考点三）（例3 ）［训练

3 ）

（乞课堂小结〕

1.判断正误(在括号内打“ J ”或“ X ”)

⑴若向量a, b共线，则向量a, 0的方向相同.(X)

(2)若a〃瓦b//c9则a〃c?(x)

(3)向量乔与向量筋是共线向量，则4, B, C,。四点在一条直线上.(X)

(4)若a//b,贝归；I G R使b =加(X)

【例1】给出下列命题：①若\a\ = \b\,贝!| a=b；

②若A, B, C, D是不共线的四点，贝iAB =DC^四边形平行四边形的充要条件；

③若a=b, b=c,则a=c；④若a//b f方〃c,贝|）a〃c. 其中正确命题的序号是（）

A.②③

B.②④

C.③④

D.②③④

解析①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

②正确.VAfe=Dt, AI Aft I = IDt Ifi AS // Dt, 又A, B, C, D是不

共线的四点，???四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则A&l = IDtl, 且砸，方向相同，因此，A&=Dt.

【例1】给出下列命题：①若\a\ = \b\9贝!| a=b；②若A, B, C, D是不共线的四点，则布=庞是四边形ABCD为

平行四边形的充要条件；

③若a=b, b=c9贝!| a=c；

④若a//by b//c9贝!)a//c.

其中正确命题的序号是（

A.②③

B.②④

C.③④

D.②③④

解析③正确??九=方，方的长度相等且方向相同，又b=c, :?b, c的长度相等且方向相同，:?a, c的长度相等且方向相同，故

a=c.

④不正确.当b=0时，a, c可能不平行. 综上所述，正确命题的

序号是②③.

答案A

规律方法

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.

⑷非零向量a与盒的关系：打是与。同方向的单位向量.

《第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？ 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．

2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________． 知识讲解 考点1 向量的有关概念

考点2 向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的 和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

例题精析 【例题1】 【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【例题2】 【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是

人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计

2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C

O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa

平面向量线性运算教案

向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】

（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

(完整版)平面向量的线性运算测试题

平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题

平面向量的线性运算教学设计

《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟

§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算

a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终 点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB →)． 3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )

平面向量的线性运算随堂练习(答案)

§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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最新平面向量的线性运算及练习

平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 （1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则 以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =uu u r r ，以OA,OB 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r 就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． ③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ， （3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， ③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）向量加法的运算律 ①向量加法的交换律：a +b =b +a ②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法

高中数学必修4《平面向量线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量线性运算》教案 High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan

高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 教学准备 教学目标 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法; 教学重难点 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.

教学工具 投影仪 教学过程 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律;

平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案

海伊教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：九年级课时数： 学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师 课 题 平面向量的线性运算 授课时间：2013 年10月18日备课时间：2013 年10月16日 教学目 标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。 3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。 5.学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。 6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。 重点、难 点1.向量加法的运算及其几何意义。 2.对向量加法法则定义的理解。 3.向量的减法运算及其几何意义。 4.对向量减法定义的理解。 5.实数与向量积的意义。 6.实数与向量积的运算律。 7.两个向量共线的等价条件及其运用。 8.对向量共线的等价条件的理解运用。

授课方 法 联想质疑——交流研讨——归纳总结— —实践提高 教学过程 一、情景设置（知识导入） 二、探索研究 【知识点总结与归纳】 一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行： (1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式； (2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。 二、1. 向量的加法定义 向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2. 向量加法的法则： （1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特

平面向量定义及线性运算练习题

平面向量定义及线性运算练习题 一．选择题 1、下列说法正确的是（ ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（ ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假： （1）向量AB u u u r 的长度与向量BA uu u r 的长度相等； （2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（ ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r

教案平面向量的概念及线性运算

平面向量地概念及线性运算 考纲要求 1.了解向量地实际背景． 2.理解平面向量地概念,理解两个向量相等地含义． 3.理解向量地几何表示． 4.掌握向量加法、减法地运算,并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘地运算及其几何意义,理解两个向量共线地含义． 6.了解向量线性运算地性质及其几何意义. 考情分析 1.平面向量地线性运算是考查重点． 2.共线向量定理地理解和应用是重点,也是难点． 3.题型以选择题、填空题为主,常与解析几何相联系. 教学过程 基础梳理 1．向量地有关概念 (1)向量：既有又有地量叫向量；向量地大小叫做向量地 (2)零向量：长度等于地向量,其方向是任意地． (3)单位向量：长度等于地向量． (4)平行向量：方向或地非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且相同地向量． (6)相反向量：长度相等且相反地向量．

(1)定义：实数λ与向量a地积是一个向量,这种运算叫向量地数乘,记作,它地长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时,λa与a地方向；当λ＜0时,λa与a地方向；当λ＝0时,λa ＝0. (2)运算律：设λ,μ是两个实数,则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线地充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 双基自测 1．下列给出地命题正确地是 () A．零向量是唯一没有方向地向量 B．平面内地单位向量有且仅有一个 C．a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同地向量 D．相等地向量必是共线向量 2．如右图所示,向量a－b等于 () A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 3．(教材习题改编)设a,b为不共线向量,AB＝a＋2b,BC＝ －4a－b,CD＝－5a－3b,则下列关系式中正确地是( ) A．AD＝BC B．AD＝2BC C．AD=-BCD．AD=-2BC 4．化简：AB＋DA＋CD＝________. 5．已知a与b是两个不共线向量,且向量a＋λb与－(b－3a)共线,则λ＝________. 典例分析 考点一、平面向量地基本概念 [例1] 给出下列命题： ①两个具有共同终点地向量,一定是共线向量； ②若A,B,C,D是不共线地四点,则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形地充要条件； ③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b； ④λ,μ为实数,若λa＝μb,则a与b共线． 其中假命题地个数为 () A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．设a0为单位向量,①若a为平面内地某个向量,则a＝ |a|a0；②若a与a0平行,则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1,则a＝a0.

高中数学必修4公开课教案2.2.1 向量加法运算及其几何意义

2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件. 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算. 向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点. 三维目标 1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量. 2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力. 重点难点 教学重点:向量加法的运算及其几何意义. 教学难点:对向量加法法则定义的理解. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法. 思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.

平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算预习学案 主备人：毕永燕审核人：张滨远备课日期：2012-10-3 使用日期： 自主学习

加法求两个向量和的运算(1)交换律： = + → → b a．(2)结合律： = + ? ? ? ? ?+→ → → c b a． 减法求 → a与 → b的相反向量 － → b的和的运算叫做 → a与 → b的差三角形法则 → a－ → b＝ → a＋(－ → b)

3、向量求和的多边形法则 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相接，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量. 4、向量的数乘运算及其几何意义 （1）定义：实数λ与向量→ a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 . 它的长度与方向规定如下： ①=→ a λ ； ②当0>λ时，→ a λ与→ a 的方向 ；当0<λ时，→ a λ与→ a 的方向 ； 当0=λ时，=→ a λ . (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μ→a )＝ ；②(λ＋μ) →a ＝ ；③λ(→a ＋→ b )＝ . 5、平行向量基本定理 . 6、轴上向量的坐标及其运算 （1）给定单位向量→ e ，能生成与它平行的所有向量的集合}|{R x e x ∈→ ．这里的单位向量→ e 叫做轴l 的 ，x 叫做→ a 在l 的坐标（或数量）．x 的绝对值等于→ a 的长，当→ a 与→ e 同方向时，x 是正数，当→ a 与→ e 反方向时，x 是负数． （2）轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和． （3）轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 （二）基础自测 1．[2011·四川卷] 如图K25－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝( ) 图K25－1

平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →

题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算 例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

最新整理高二数学教案《平面向量的概念及线性运算》教学反思.docx

最新整理高二数学教案《平面向量的概念及线性运算》 教学反思 《平面向量的概念及线性运算》教学反思 本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念：向量、有向线段、零向量、 单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量；掌握基本方法：向量加法 的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。因为 向量知识比较抽象，就像学生说的有点“横空出世”，很难想到，学生容易产生 厌烦的情绪。 建议：1、借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象具体的问题；2、 向量有两种表示方法：即有向线段和字母法，但是书写时必须加箭头，必须强调 这一点。 7.2平面向量的坐标表示 反思：本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义，并且能熟练掌握平面 向量的坐标运算。向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。只是课 上和学生的交流太少，几乎都是自己在讲，而且学生的呼应不够，有时候问他们， 并没有多少人会回答。 建议：1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别，前者有等号连接，后 者无等号，这点要向学生强调；2.必须强化“数形结合”的思想；3.多和学生进 行眼神交流。4.讲解速度可以放慢一点。 7.3平面向量的内积 反思：本节课主要是①通过物理中“功“等实例，理解平面向量数量积的含 义及其物理意义；②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式；③掌握数量积的 坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹

角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。由于公式比较多，学生有点消化良；学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。 建议：1、讲课速度放慢点，花多点时间放在练习上。让学生熟练数量积的性质、运算律的应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。2、鼓励学生积极参与到课堂中来。 第七章反思和体会 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特。用学生的话说：有些解法真有点“横空出世”，很难想到，所以学生就可能会有畏难情绪，针对前一段的教学做了简单的总结： 一、向量的三类运算 （一）几何运算：数形结合是求解向量问题的基本方法。向量加法重点讲解了三角形法则、平行四边形法则，减法讲解了三角形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，充分体现了数形结合的数学思想。 （二）代数运算：1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。 （三）坐标运算：平面向量的坐标运算是联结几何运算与数量运算的桥梁，在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用“解析法“来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。 二、教学要求：1、掌握相关概念、性质、运算公式、法则以及基本运算技能；2、明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐