概率论重点及课后题答案4
第4章二维随机变量
一、大纲要求
（1）理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的意义、性质及其基本形式：离散型联合分布、边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度.会利用二维概率分布求有关事件的概率.
（2）理解二维随机变量的独立性及不相关的概念，掌握二维离散型和连续型随机变量独立的条件.
（3）掌握二维均分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.
（4）会求两个独立的二维随机变量的简单函数的分布.
二、重点知识结构图
三、基本知识
1.二维随机变量及其分布
定义1设E 是一个随机实验,它的基本空间为}{ω=Ω)(,),(),(21ωωωn x x x 是定义在这个基本空间Ω上的n 个随机变量,则X=()(,),(),(21ωωωn x x x )称n 维随机变量.
定义2设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x 、y,二元函数 F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的联合分布函数.
定理1F(x,y)为二维随机变量(X,Y)联合分布函数，则 （1）F(x,y)对每个变量是单调不减的函数，即 当21x x ≤时，),(),(21y x F y x F ≤； 当21y y ≤时，),(),(21y x F y x F ≤. （2）F(x,y)对每个变量是左连续的，即
),()0,(),,(),0(y x F y x F y x F y x F =-=-.
（3）1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F . （4）对任意两点),(),,(2121y y x x ,若
2
121,y y x x ≤≤，则
0),(),(),(),(11211222≥---y x F y x F y x F y x F .
2．二维离散型随机变量
定义若二维随机变量（X ，Y ）的所有可能取值是有限或可列多对
),2,1,(),,( =j i y x i i ，则称（X ，Y ）的联合分布律（概率函数）.其具有以下性质：
①),2,1,(10 =≤≤j i p ij . ②111=∑∑∞
=∞
=i j ij p .
离散型随机变量（X ，Y ）的分布函数，可用分布律表示为
∑∑∑∑<<<<====x x y
y ij x x y
y j i i j i j p y Y x X P y x F },{),(.
3．二维连续型随机变量
定义若二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式：
dudv v u f y x F x
y
?
?
∞-∞
-=),(),(
则称（X ，Y ）是二维连续型随机变量.被积函数f(x,y)为（X ，Y ）的联合概率密度，其具有如下性质： ①0),(≥y x f . ②?
?
+∞∞-+∞
∞
-=1),(dxdy y x f .
称以
1/,(,)0,(,){
D S x y D f x y ∈=当其它
为密度函数的二维随机变量（X ，Y ）服从二维均匀分布.其中D S 为平面区域D
的面积. 称密度函数
)
1(2/])(
))(
(
2)[(
2
21222
2
2
2
1
1
1
1
121),(ρσμσμσμρσμρ
σπσ--+------=
y y x x e
y x f
为二维正态分布，记作(X,Y)～N(ρσσμμ,,,2
2212,1).
4．边缘分布
若二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F(x,y)，则称随机变量X 或Y 的分布函数)(x F x 或)(y F Y 为F(x,y)的边缘分布函数; 对于二维离散随机变量（X ，Y ），其边缘分布律为
∑∑======?j
ij j
j i i i p y Y x X P x X P p },{}{（i=1,2,…）
∑∑======?i
ij i
j i j j p y Y x X P y Y P p },{}{（j=1,2,…）
对于二维连续随机变量（X ，Y ），其边缘密度函数为
??+∞
∞
-+∞∞
-==dx y x f y f dy y x f x f Y X ),()(,),()(
5 条件分布
对二维离散型随机变量，当j p ?>0时，称
j
ij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ??=
====
==}
{},{}|{（i=1,2,…）
为Y=j y 条件下X 的条件分布律. 类似地，当?i p >0时，称
?
=
==i ij i j p p x X y Y P }|{（j=1,2,…）
对二维连续型随机变量，当0)(>y f Y 时，称)
()
,()|(|y f y x f y x f Y Y X =（+∞<<∞-x ） 为Y=y 条件下X 的条件密度.
类似地，当0)(>x f X 时，在X=x 条件下Y 的条件密度为
)
()
,()|(|x f y x f x y f X X Y =
（+∞<<∞-y ）
6．二维随机变量的相互独立性 定义若对任意实数x 、y 有
)()(),(y F x F y x F Y X =
则称随机变量X 、Y 互独立的.
对二维离散型随机变量，X 、Y 相互独立的充要条件是：对任意一组可能值i x 、
j y ,有
}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====
即j i ij p p p ?=（i,j=1,2,…）
对二维连续型随机变量，X 、Y 相互独立的充要条件是：对任意x 、y,有
)()(),(y f x f y x f Y X = 四、典型例题
例1设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：=-==-=}1{}1{Y P X P
=
===}1{}1{Y P X P 2
1
,则下列各式中成立的是（）. (A)2
1
}{=
+Y X P (B) 1}{=+Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D)4
1
}1{==XY P
解}1,1{}1,1{}{==+-=-===Y X P Y X P Y X P
=
21×21+21×21=2
1
}1,1{}1,1{}0{=-=+-====+Y X P Y X P Y X P
=
21×21+21×21=2
1 }1,1{}1,1{}1{==+-=-===Y X P Y X P XY P =
21×21+21×21=2
1 所以B 、C 、D 项均不对，只有A 项正确.
例2（1999年研究生入学考试数学四）已知随机变量1X 和2X 的概率分布为
1X ～??????-4/12/14/1101，2X ～?
?
????2/12/110
， 且1}0{21==X X P ，求1X 和2X 的联合分布列. 解 由1}0{21==X X P ，有0}0{21=≠X X P ，故
0}1,1{,0}1,1{21322112======-==X X P p X X P p . 由,4/1011=+p 得4/111=p ；由,4/1031=+p 得4/131=p ； 由1312111?=++p p p p ，即2/14/14/121=++p ，得021=p ； 最后由?=+22221p p p ，即2/1022=+p ，得2/122=p . 于是所求的1X 和2X 的联合分布列
1X 0 1 i p
2X
-1 1/4 0 1/4
0 0 1/2 1/2 1 1/4 0 1/4
j p 1/2 1/2 1
例3甲乙两人独立地进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 、Y
分别表示甲和乙的命中次数，试求X 和Y 的联合分布率.
解 设事件i A ={甲第i 次击中}，i B ={乙第i 次击中}，则事件i A ={甲第i 次未击中}，i B ={乙第i 次未击中}，（i=1,2）,且由两次实验（射击）相互独立可知i A 、i B 相互独立，又2.0)(=i A P ，5.0)(=i B P ，8.0)(=i A P ，5.0)(=i B P ，
引入随机变量
1(1,2)0i i i A X i A ?==??当发生当不发生1(1,2)0i i i B Y i B ?==??当发生当不发生
则64.0)()()(}0,0{}0{212121======A P A P A A P X X P X P
}0,1{}1,0{}1{2121==+====X X P X X P X P =)()()()(1221A P A P A P A P + =32.02.08.02.08.0=?+?
)()(}1,1{}2{2121A P A P X X P X P =====
=04.02.02.0=?
25.0}0{==Y P ,5.0}1{==Y P ,25.0}2{==Y P
于是X 、Y 的分布列分别为
X 0 1 2X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 P 0.250.5 0.25 由于i A 、i B 相互独立，故X 、Y 相互独立，则
}{}{},{j Y P i X P j Y i X P p ij ====== （i,j=0,1,2） 因此得16.0}0,0{===Y X P ，32.0}1,0{===Y X P ，
16.0}2,0{===Y X P ，08.0}0,1{===Y X P ， 16.0}1,1{===Y X P ，08.0}2,1{===Y X P ， 01.0}0,2{===Y X P ，02.0}1,2{===Y X P ， 01.0}2,2{===Y X P .
所求的联合分布列为
Y 0 1 2 X
0 0.16 0.32 0.16
1 0.08 0.16 0.08
2 0.01 0.02 0.01
例4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）服从均匀分布，Y 的概率密度为
/2
10()2
0y Y e
y f y y -?>?=??≤?当当
（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设有a 的二元方程022=++Y Xa a ，求有
实根的概率.已知（5.0)0(843
.0)1(=Φ=Φ，） 解（1）有题设可知
101
()0X x f x <
?
当其他 又因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度为
/2
101,0(,)()()2
y X Y e
x y f x y f x f y -?<<>?==???当其他 （2）2
2
2
2
{}{440}{}(,)x y
P a P X Y P X Y f x y dxdy >=?=-≥=≥=
??
有实根
2
21
1/2/20
00122x x y y y dx e dy dx e d --??
==-- ???
??
??
2
2
1
1
/2
/20
(1)1x
x e dx e dx --=--=-??
()
2
2
1
/2/21x x e dx e dx ---∞
-∞
=-
-?
?
2
21
/2/2
1x x e dx e dx ---∞
-∞
?=??
]1(1)(0)φφ=-
已知(1)0.843,(0)0.5φφ==，代入上式得{}0.1448P a =有实根. 例5设X 和Y 为两个随机变量，且3{0,0}7P X Y ≥≥=
,4{0}{0}7
P X P Y ≥=≥=,求{max(,)0}P X Y ≥的值.
解法一{max(,)0}{(0)(0)}P X Y P X Y ≥=≥≥
{0}{0}{0,0}P X P Y P X Y =≥+≥-≥≥ 4435
7777
=
+-= 解法二由于{0,0}{0}{0|0}P X Y P X P Y X ≥≥=≥≥≥
43{0|0}77
P Y X =
≥≥=
故3{0|0}4
P Y X ≥≥=
. 同理，3
{0|0}4
P X Y ≥≥=
.因此 {max(,)0}{0,0}{0,0}{0,0}P X Y P X Y P X Y P X Y ≥=≥≥+≥<+<≥ 3
{0}{0|0}{0}{0|0}7
P X P Y X P Y P X Y =
+≥<≥+≥<≥ 341415774747
=+?+?= 例6设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,):02,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，求
Z X Y =-的概率密度.
解有已知条件可得，X 和Y 相互独立，从而X 与Y -也相互独立，记U Y =-，则U 的密
度函数为
1
20()2
0U u f u ?-≤≤?
=???当其他
于是Z X Y X U =-=+的概率密度为
()()()Z X U f z f x f z x dx +∞
-∞
=-?
由于02,20,02,2.x z x x z x z ≤≤-≤-≤≤≤≤≤+即 当2z <-时，()0Z f z =；
当20z -≤<时，222111
()0(2);244
z Z z f z du du z ---=+=+?? 当2z >时，()0Z f z =. 综上起来，有
112()24
Z z
z f z ?-≤?=???当其他
例7设随机变量(,)X Y 的概率密度为
101,(,)0x y x
f x y ?<<<=?
?当其他
求条件概率密度||(|),(|).Y X X Y f y x f x y
解由于概率密度(,)f x y 仅在阴影部分为非零值.故(,)f x y 的边缘密度为
201
101()00
x x X x y dy y f x -?<<<
????当当其他其他 11111
()00
y Y dx y y
y f y ?<
==??
????当-1当-1其他
其他
所以，当01x <<时，
|1
(,)(|)2()0
Y X X y x f x y f y x x
f x ?
==??
?当其他 当1y <时，
|1
1(,)1(|)()0
X Y Y y x f x y y
f x y f y ?<
-==??
?当其他
例8设随机变量(,)X Y 的概率密度为
()
1()0,0(,)2
x y x y e
x y f x y -+?+>>?=???当其他 试求：（1）X 和Y 是否独立？（2）Z X Y =+的概率密度.
解（1）X 的边缘密度为
()0
1
()0()2
0x y X x y e dy x f x x +∞-+?+>?=??
0x
x e
x x -?+>?=??
1(1)0()2
0y
Y y e
y f y y -?+>?=??>时，
()()11
(,)()(1)(1)()()24
x y x y X Y f x y x y e x y e f x f y -+-+=
+≠++= 因此，X Y 与不独立.
（2）Z 的概率密度为
20
11
()(,)()22
z
z z Z f z f x z x dx x z x e dx z e +∞
---∞
=-=+-=?
?
(0)z > 当0z ≤时，()0Z f z =，所以
210()2
0z
Z z e
z f z z -?>?=??≤?当当 例9 设X 、Y 是相互独立的随机变量，12~(),~()X P Y P λλ.证明： 证因为X 、Y 分别服从参数为12λλ、的泊松分布，故X 、Y 的分布律分别为
11{}!
k
P X k e k λλ-==
1(0)λ>
22{}!
r
P Y r e r λλ-==
2(0)λ>
而Z X Y =+的分布律为
1
2120
{}{}{}!
()!
k
i k
i i
k k P Z i P X k P Y i k e
e k i k λλλλ---======-=-∑∑
12()
1201!
!
!()!
i
k i k k e i i k i k λλλλ-+-==
-∑ 12()
12()!
i e i λλλλ-++=(0,1,2,)i =
即Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布.
例10在10件产品中有2件一级品、7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回地抽取3件，用X 表示其中的一级品件数，Y 表示其中的二级品件数.（1）求X Y 与的联合分布；（2）求X Y 、的边缘分布；（3）X Y 与相互独立吗？（4）求在0X =的条件下，Y 的条件分布，以及在2Y =的条件下X 的条件分布.
[思路点拨]对于二维离散随机变量，用表格的形式表示它们的联合分布律，这便于求边缘分布及判定相互独立.
解（1）根据题意，X 只能取0,1,2三个值；Y 只能去0,1,2,3四个值，要求()X Y ，的联合分布律，就是求X Y 与在各种搭配下的概率，由古典概率公式得
2713
10
{,}i j k
ij C C C p P X i Y j C ====(3;0,1,2;0,1,2,3;0,1)i j k i j k ++==== 将(,)i j 取各种值的概率逐个算出，即得(,)X Y 的联合分布列：
ij p Y 0 1 2 3
X
0 0 0 2112035
120
1 0 1412042
120 0
2 11207
120
0 0
（2）由（1）可得X Y 、的边缘分布分别为
X 0 1 2
P
56561208
120
Y 0 1 2 3
P
1120211206312035
120
（3）因为{0,0}P X Y ==
=，但561
{0}{0}0120120
P X P Y
===?≠，所以{0,0}{0}{P X Y P X P Y ==≠==，因此
X Y 与并不相互独立. （4）在0X =的条件下，Y 的条件概率为
{0,}
{|0}{0}
P X Y j P Y j X P X =====
=(0,1,2,3)j =
因此，Y 的条件分布为
01232135005656????????，即0123350088??
?????
?
类似地，在2Y =的条件下，X 的条件分布为
01212033??
??????
例11设(,)X Y 的联合概率密度为
1
1,02(,)2
0x y f x y ?≤≤≤≤?
=???当0其他
求X Y 与中至少有一个小于
1
2
的概率. [思路点拨]利用对立事件的目的，在于容易确定二重积分的积分限，这是解本题的关键. 解1111()()1,2
222P X Y P X Y ????<<=-≥
≥?????
???
1
1
2
2
1(,)f x y dxdy +∞
+∞
=-??
1
2
11
2
2
15128
dxdy =-=?? 例12一旅客到达火车站的时间X 均匀分布在早上7点55分至8点之间，而火车在这
段时间开出的时刻为Y ，且Y 具有密度函数.
2
(5)05
()25
Y y y f y ?-≤≤?=???当其他 求旅客能乘上火车的概率.
[思路点拨]找出X Y 、之间的关系是解本题的关键.
解因为X 均匀分布在7点55分至8点之间，将7点55分作为时间轴（单位：分）的起点，则X 在区间[0,5]上服从均匀分布，其密度函数为
1
5
()5
0X x f x ?≤≤?=???当0其他
由于X Y 与之间互不影响，可认为相互独立，于是可得X Y （，）的联合密度函数为
1
(5)5,05(,)125
y x y f x y ?-≤≤≤≤?
=???当0其他 事件“旅客能乘上火车”可以表示为“Y X >”，也就是“05Y X <-≤”，因此问题
归结为求“05Y X <-≤”的概率.所求概率为
05
{05}(,)y x P Y X f x y dxdy <-≤<-≤=
??
五、课本习题全解
4-1
X 1 2 3 Y
1 0
161
12
2
16161
6
3 1121
6
4-2 4352
4
10
{,}i j i j C C C P X i Y j C --=== 4-3 由于
11
(,)14
R
A
f x y dxdy Axydxdy A xdx ydy +∞
+∞
-∞
-∞
===
=??
????， 故4A =，代入密度函数，得
401,01
(,)0xy x y f x y <<<
?
当其他 所以11
2
300111{,}42336
P X Y xdx ydy <<==??
4-4 （1）当0X >且0Y >时，()0
(,)(1)(1)x
y
u v x y F x y du e dv e e -+--=
=--?
?；
当00x y <<或时，(,)0F x y =.
所以(1)(1)0,0(,)0
x y e e x y F x y --?--<<+∞<<+∞
=??当其他
（2）由于{(,):0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤，有
11()10
(,)(,)12x
x y D
P X Y f x y dxdy dx e dy e --+-===-????
4-5 由题意可知：1
4(,)111(,)220
x y B f x y ?=∈??
??=??
??当其他
当1
2
x ≤-
或0y ≤时，(,)0F x y =； 当1
02x -
<≤且021y x <≤+时，102
(,)42(21)x y y F x y dudv y x y -==--??；
当1
02x -<≤且21y x >+时，212102
(,)42(21)x x F x y dudv x +-==+??； 当0x >且01y <
≤时，10
2
(,)42(1)x y
y F x y dudv y y -==-+??；
当0x >且1y >时，(,)1F x y =.
因此21
00
21
2(21)0021
2
(,)1
2(21)021
2
2(1)0011
01
x y y x y x y x F x y x x y x y y x y x y ?≤-≤??
?-+-<≤<≤+??
=?
?+-<≤>+?
?-><≤?>>??当或当且当且当且当且
4-6
1{0}6P X ==
，7{0}12P Y ==，5{1}12
P X =-=，
1{1}3P Y ==，5{2}12P X ==，11
{}312
P Y ==.
4-7 由于
()(,)X f x f x v dv +∞
-∞
=?
，得
1(,)(,)0x y D
f x y ∈?=??当其他
当[0,1]x ∈时，220
()122x
X f x dv x -==-?
；
当[0,1]x ?时，
()0X f x =.
因此
2201
()0
X x x f x -<
当[0,2]y ∈时，220
1
()1(2)2
y
Y f y du y -==-?
；
当[0,2]y ?时，
()0Y f y =.
因此1
102
()2
Y y y f y ?-≤≤?=???当其他 4-8 由于
()(,)X f x f x v dv +∞
-∞
=?
，()(,)Y f y f u y du +∞
-∞
=?
当0x >时，0
()x v x X f x e dv e +∞---==?；
当0y
>时，0
()u y y Y f y e du e +∞---==?.
因此0()00x X e x f x x -?>=?≤?当当，0
()0
0y Y e y f y y -?>=?≤?当当
4-9 由题意可知
1X 0 1
2X
0 0.1 0.8
1 0.1 0 4-10 由于
1X -1 0 1 2X
-1 0
1
4
0 14 0 14
1 0
1
4
0 4-11 （1）由于
(34)
(34)0
(,)112
x y x y R
A
f x y dxdy Ae
dxdy A dx e dy +∞+∞
+∞
+∞
-+-+-∞
-∞
===
=??
????， 故12A =.
（2）当0x <或0y <时，(,)0F x y =；
当00x y <<且时，(34)340
(,)12(1)(1)x y
u v x y F x y e dudv e e -+--=
=--??
.
故34(1)(1)0,0
(,)0
x y e e x y F x y --?-->>=??当其他
（3）34
(34)9160
{03,04}12(1)(1)x y P X Y dx e dy e e -+--<
≤<≤==--??
4-12 由题意可知
1
(,)(,)2
0x y D f x y ?∈?
=???当其他
当10x -≤<时，
1
11
()12
x X x f x dv x +--==+?
； 当01x ≤≤时，
1
1
1
()12
x X x f x dv x -+-==-+?
. 故110()1010X x x f x x x +-≤
=-≤≤???
当当其他
4-13 （1）11111111118812121216161616a ??????
+++++++++=
? ? ???????
， 故14
a =
.
（2）1{}4P X i ==
(1,2,3,4)i =，25{1}48
P Y ==， 13{2}48P Y ==
，27{3}48P Y ==，3{4}48
P Y ==.
（3）111125
{}48121648
P X Y ==
+++=
. 4-14 由联合分布函数的性质可知 （1）(,)()()122
F A B C ππ
+∞+∞=
++=，
(,)()()022
F A B C ππ
-∞-∞=--=， (,)()(arctan )023
y
F y A B C π-∞=-+=，
(,)(arctan )()022
x F x A B C π
-∞=+-=，
故2
1
A π
=
，2
B π
=
，2
C π
=
.
（2）21(,)arctan arctan 2223x y F x y πππ????=
++ ???????
， 22
22
(,)6
(,)(4)(9)
F x y f x y x y x y π?==??++. （3）
222262
()(4)(9)(4)
X f x dy x y x ππ+∞
-∞==+++?
， 222263()(4)(9)(9)
Y f y dx x y y ππ+∞
-∞==+++?
4-15 （1）由于
1
2
200
2
(,)()13
f x y dxdy x Cxy dxdy C +∞+∞
-∞
-∞
=+=
+=??
?
?
， 故13
C
=. （2）当00x y <<或时，(,)0F x y =；
当1,2x y >>时，(,)1F x y =；
当01,02x y ≤
≤≤≤时，
232200111
(,)()3312
x y F x y du u uv dv x y x y =+=+??；
当01,2x y ≤≤>时，
223200121(,)()333
x F x y du u uv dv x x =+=+??
当1,02x y >≤≤时，
1
2200111
(,)()3312
y
F x y du u uv dv y y =+=+??.
故322
32
2
001
101,023
1221
(,)01,23
3111,023121
1,2
x y x y x y x y F x y x x x y y y x y x y <???+>≤≤??>>??当或当当当当
（3）由于
()(,)X f x f x v dv +∞
-∞
=?
，()(,)Y f y f u y du +∞-∞
=?
，
当[0,1]x ∈时，222012()233X f x x xy dy x x ??=+=+ ??
??；
当[0,1]x ?时，
()0X f x =.
故22
201
()3
X x x x f x ?+≤≤?=???当其他 当[0,2]y ∈时，1
20111()336Y f y x xy dx y ?
?=+=+ ??
??；
当[0,2]y ?时，
()0Y f y =.
故11
02
()360
Y y y f y ?+≤≤?=???当其他
（4）由于
|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =
，|(,)
(|)()
Y X X f x y f y x f x =，
故26201,02(|)20x xy
x y f x y y ?+≤≤≤≤?
=+???
当其他
故301,02(|)620
x y
x y f y x x +?≤≤≤≤?
=+???当其他
4-16 由于
|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =
，|(,)
(|)()
Y X X f x y f y x f x =，
（1）当0x >时，(2)20
()22x y x X f x e dy e +∞-+-==?；
当0y
>时，(2)0
()2x y y Y f y e dx e +∞-+-==?.
故2|20,0
(|)0x X Y e x y f x y -?>>=??当其他
|0,0
(|)0
y Y X e x y f y x -?>>=?
?当其他 （2）2
1
(2)0
01
2{2,1}
{2|1}{1}x y y
dx e dy
P X Y P X Y P Y e
dy
-+-≤≤≤≤==
≤?
??
1454
1
111e e e e e
-------+==--. 4-17 （1）由于
()1X f x =(01)x <<
|1
(|)1Y X f y x x
=
-(01,1)x x y <<<< 故1
01,1(,)10
x x y f x y x ?<<<
=-???当其他
（2）由于
01
()(,)ln(1)1y
Y f y f x y dx dx y x
+∞
-∞
===---?
?
故ln(1)01
()0
Y y y f y --<
（3）1
112
1
{()1}ln 21y
y P X Y dy dx x -+>==-??
4-18
X Y 与相互独立的充要条件是ij i j p p p = (1,2;1,2,3)i j ==，因此有
{1,3}{1}{3}P X Y P X P Y =====
11111
69181818
B ????=+++= ??????? {2,3}{2}{3}P X Y P X P Y =====
11318A B B B ????
=+++= ???????
解得21
,99
A B =
=. 4-19 （1）由0.5()0.5()(,)0.251x x
u v x X F x f u v dvdu e dvdu e +∞
+∞
-+--∞-∞
-∞-∞
=
==-??
?
?
故0.510
()0
0x X e x F x x -?->=?≤?当当
同理可得
0.510
()0
0y Y e y F y y -?->=?
≤?当当 （2）0.5()20.250,0
(,)(,)0
x y e x y F x y f x y x y -+?>>?==?
???当其他 当0x >时，0.5()0.50
()(,)0.250.5x v x X f x f x v dv e dv e +∞+∞
-+--∞
===??；
当0x ≤时，
()0X f x =.
故0.50.50
()0
0x X e x f x x -?>=?≤?当当
同理可得
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论课后习题答案
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 <1）理解条件概率的定义. <2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. <3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. <4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 为2这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,, ,n A A A 为任意n 个事件<2n ≥），且121()0n P A A A ->，则有 12112131212 1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3．全概率公式 定理设12,,B B 为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ，有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ，有 1()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足，则称A B 、<或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、； 、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成 立： ()()()i j i j P A A P A P A =<共2n C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =<共3n C 个） 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =<共n n C 个） 则称12,,n A A A 相互独立. 定理设n 个事件12,, n A A A 相互独立，那么，把其中任意m <1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两 习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=） 【解】 0010 /20.025 0.025 : 4.55;: 4.55. 5,0.05, 1.96,0.108 4.364, (4.364 4.55) 3.851, 0.108 . H H n Z Z x x Z Z Z α μμμμ ασ ==≠= ===== = - ===- > 所以拒绝H0，认为总体平均值有显着性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为： 设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设 0010 /20.005 0.005 : 3.25;: 3.25. 5,0.01,(1)(4) 4.6041 3.252,0.013, (3.252 3.25) 0.344, 0.013 (4). H H n t n t x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-== == - === < 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为. 3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）. 【解】设 0010 /20.025 2 0.025 : 1.1;: 1.1. 36,0.05,(1)(35) 2.0301,36, 1.008,0.1, 6 1.7456, 1.7456(35) 2.0301. H H n t n t n x s x t t t α μμμμ α ==≠= ==-=== == === =<= 所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常. 4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近似地 222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为 .习题 1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随 机变量，并求η的分布函数． 证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξ η e =也是随机变量． η的分布函数为 }{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη 当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η； 当 >y 时 ， ) (ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<= 因此，η的分布函数为 ???≤>=00 ),(ln )(y y y F y F ξ η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为 (01)p p <<，反复抛这 枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率． 解：（1）}{k =ξ 表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出 现反(正)面，据题意知， p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ，Λ ,4,3,2=k 所以，抛掷次数ξ的密度阵为 22112322(1)(1)k k k p p p p p p p p --?? ? ?---+-? ? L L K K (2) 恰好抛掷偶数次的概率为： Λ Λ+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ Λ++++++++ =--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533 ) 1()1(4242ΛΛ+++++++=q q qp p p pq 2 211 11q qp p pq -? +-?= ) 1(1 )1(1q p qp q p pq +? ++? = q q p p +++= 11 4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3 2{R P > ξ ．解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为 }{)(x P x F <=ξ 当0x ≤时，φξ =<}{x ，()0F x =； 当0x R <<时，22 2 2}{)(R x R x x P x F ==<=ππξ； 当x R ≥ 时， ()1F x = 故ξ的分布函数为 ???????≥<<≤=R x R x R x x x F , 10,0, 0)(22． 95 941)3/2(1)32(1}32{2 2=-=-=-=>R R R F R P ξ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数． 解：当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =； 当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为 ()(){}{}1arccos(1,1122R x F x F P R ππξππ --=-∞=<= ==； 当裂纹距离地面高度为x ()01x <<时，分布函数为 1 = 1x = R 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件 =A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}. 3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}. 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件 =A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}. 答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现. }),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =; }),(),,(),,({H T T H H H C =. 2) 由题意,可只考虑组合,则 ? ?? ?? ?=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω; {})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A . 3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则 ??? ? ????? ?????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A . 4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则 {}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =. 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有 概率论与数理统计统计课后习题答案 第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3． 5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6. 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . 第1章随机事件与概率 一、大纲要求 （1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.随机试验的特征 （1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果. （3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果. 3.随机事件 在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ?. 6.事件的相等 若A 与B 互相蕴含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与B 相等，记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆） 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A . 9.事件的并（或称和） 一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案 1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率． (1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率； (2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)． 解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有 30)(=X E ，1.29)(=X D ， 由切比雪夫不等式，得 ) 3040303020()4020(-<-<-=<概率论与数理统计习题集及答案
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