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第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛解析(四年级组)

+(20?

第十四届“小机灵杯”数学竞赛

初赛解析(四年级组)

时间:60 分钟总分:120 分

(第1题~第5题,每题6分.)

1.我们规定a ★b =a ?a -b ?b ,那么3★2+4★3+5★4+

+20★19= .

【答案】396

【考点】定义新运算 【分析】

原式=(3?3-2?2)+(4?4-3?3)+(5?5-4?4)+

20 -19?19)

=3?3-2?2+4?4-3?3+5?5-4?4+ +20?20-19?19

=20?20-2?2 =400 -4 =396

2.将一个等边三角形的三个角分别剪去,剩余部分是一个正六边形,剩余部分的面积是原来等边三角形面积的.(得数用分数表示)

【答案】2

3

【考点】图形分割 【分析】

6 如图所示,将剩余部分分割可得,剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 9 2

,即 .

3

第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛解析(四年级组)

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3.小明去超市买牛奶.若买每盒6元的鲜奶,所带的钱正好用完;若买每盒9元的酸奶,钱

也正好用完,但比鲜奶少买6 盒.小明共带了元. 【答案】108元

【考点】列方程解应用题 【分析】

设小明能买酸奶x 盒,则能买鲜奶(x +6)盒;由题意可列得方程:6(x +6)=9x ,解得x =12;

所以小明共带了9?12=108元.

4.用一根长1米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形,共有 种不同的围法.其中长方形面积的最大值是平方厘米. 【答案】25种,625平方厘米

【考点】长方形的周长,最值问题 【分析】

1 米=100 厘米,即为长方形的周长, 因此长方形的长+宽=100÷2=50厘米; 不同围法有:50=49+1=48+2=47+3= =25+25,共25种;由于长与宽的和一定,当它们的差越小时,它们的乘积也就是长方形的面积越大,因此长方形面积的最大值是25?25=625平方厘米.

5.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面,周围用白瓷砖,中间用黑瓷砖(如图1和图2

的铺法).当正方形地面周围铺了80 块白瓷砖是,黑瓷砖需要块.

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图1

【答案】361块 【考点】方阵问题 【分析】

铺有80块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有(80-4)÷4=19块;因此黑瓷砖需要19 ?19 =361块.

(第6题~第10题,每题8分.)

6.在下列每个2?2的方格中,4个数的排列存在着某种规律

.根据这样的排列规律,可知 ◆= .

【答案】◆=5

【考点】找规律填数 【分析】

观察发现:在表1中:2?9=(1?6)?3;在表2中:3?8=(4?2)?3;在表3中:6?8=(4?4)?3;所以在表4中,应该有5?6=(◆?2)?3,求得◆=5.

5 ◆ 2 6

6 4 4 8

3 4 2 8

2 1 6 9

1 2 7.学生们手中有1、2、3三种数字卡片,每种数卡都有很多张.老师请每位学生取出两张或三张数卡排成一个两位数或三位数,如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的,那么这些学生至少有人. 【答案】73 人 【考点】抽屉原理 【分析】

学生可能排成的不同两位数有3?3=9个,可能排成的不同三位数有3?3?3=27个,因此学生可能排成的不同的数一共有9 +27 =36 个;如果要保证其中至少有三名学生排出的数完全相同,那么这些学生至少有2?36+1=73人.

8.已知2014+迎=2015+新=2016+年,且迎?新?年=504,那么迎?新+新?年

= .

【答案】128

【考点】分解质因数 【分析】

根据2014+迎=2015+新=2016+年可知:迎=新+1=年+2;

由504=23?32?7可得,只有504=9?8?7满足条件,即迎=9,新=8,年=7;迎?新+新?年=9?8+8?7=72+56=128.

9.一个正方体的六个面上各自写着一些数,相对面上的两个数的和等于50.如果我们将右图 的正方体先从左往右翻转97次,再从前往后翻转98次,这时这个正方体底面的数是 ,

前面的数是,右面的数是.(翻转一次表示翻转一个面)

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【答案】底面的数是37,前面的数是35,右面的数是11 【考点】周期问题 【分析】 根据题意,初始时左面的数是50-13=37,后面的数是50-15=35,底面的数是50-11=39; 对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转4 次就会回到初始方向; 由于97÷4=24 ,98÷4=24 ,

所以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转1次,再从前往后翻转2次;先从左往右翻转1次后,正方体的六个面分别为:

左面的数39,右面的数11,前面的数15,后面的数35,顶面的数37,底面的数13; 再从前往后翻转2 次后,正方体的六个面分别为:

左面的数39,右面的数11,前面的数35,后面的数15,顶面的数13,底面的数37; 所以按要求操作后,这个正方体底面的数是37,前面的数是35,右面的数是11.

10.学校用一笔钱来买球,如果只买排球正好能买15 个,如果只买篮球正好能买12个.现在用这些钱买来排球与篮球共14 只,买来的排球与篮球相差只. 【答案】6 只

【考点】鸡兔同笼 【分析】

由于[15,12]=60,因此可以假设这笔钱是60,

那么一只排球的价格是60 ÷15 = 4 ,一只篮球的价格是60 ÷12 = 5 ;现在用这些钱买来的14只球中篮球有(60-4?14)÷(5-4)=4只,排球有14-4=10只,所以买来的排球与篮球相差10 - 4 = 6只.

(第11题~第15题,每题10分.)

11.小明骑车,小明爸爸步行,他们分别从A 、B 两地相向而行,相遇后小明又经过了18分钟到达了B 地.已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的倍,小4明爸爸从相遇地点步行到A 地还需要分钟. 【答案】288分钟 【考点】行程问题 【分析】

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小明

小明爸爸

如图所示,当小明与爸爸相遇时,由于小明的速度是爸爸的 4 倍且二人运动时间相同,因此小明的路程应该是爸爸的4倍(图中的4S 与S );

而相遇后小明又经过18 分钟前进了S 的路程才到达了B 地;因为小明的速度是爸爸的4倍,所以爸爸步行S 的路程需要18?4=72分钟;又因为爸爸从相遇地点步行到A 地还需要再走4S 的路程,所以小明爸爸从相遇地点步行到A 地还需要72?4=288分钟.

12.如图所示,两个正方形的周长相差12 厘米,面积相差69平方厘米,大、小两个正方形的面积分别是平方厘米,平方厘米.

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a

2 2 【答案】169 平方厘米,100平方厘米

【考点】正方形的周长与面积,平方差公式 【分析】

设大正方形的边长是a 厘米,小正方形的边长是b 厘米,由题意得:

?4a -4b =12

??a -b =3 ?a -b =3 ? -b =69,整理得?(a +b )(a -b )=69

,即为?a +b =23; ? ?? ?

?a =13 解得? ?b =10 ,所以大正方形面积是132=169平方厘米,小正方形面积是102=100平方厘米.

13.甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果,甲买的是铁盒装的,乙买的是纸盒装的.两人都尽可能多地购买,结果甲比乙少买了4盒且余下6 元,而乙用完了所带的钱.如果甲用元原来3倍的钱去购买铁盒装的糖果,就会比乙多买31盒,而且仍余下6元.那么铁盒装的糖果售价为每盒元,纸盒装的糖果售价为每盒元. 【答案】12 元,10元

【考点】约数与倍数,列方程解应用题 【分析】

甲用原有的钱去买铁盒余下6元,那么用3倍的钱去买铁盒理论上应余下6?3=18元,

然而仍余下6 元,说明18 - 6 =12 元刚好又可买若干个铁盒,即铁盒的单价应为12 的约数; 有根据余下6元可知铁盒的单价必定大于6元,所以铁盒的单价只能是每盒12元;设乙买了x 盒纸盒,由甲两次所用的钱数关系可列得方程: 3??12(x -4)+6??=12(x +31)+6,解得x =21;

所以两人原有的钱数为12?(21-4)+6=210元,纸盒的单价是每盒210÷21=10元.

14.如下图所示,将一个由3个小正方形组成的形放入右边的L 格子中,共有几种放法.(图形可旋转)L

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【答案】48 种

【考点】对应法计数 【分析】

首先,右图中共有9

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,每个田字格中L 形有4种放法,分别为:

,共4?9=36种;

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+210

+210 = 其次,还有一些L 形不包含于图中的某个田字格,例如下图中的L 形1号:

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观察发现这些L 形分别对应了图中方格外部的一个凹拐角,

而这样的凹拐角共有12 个(如图所示),因此不包含于图中的某个田字格的L 形也有12 种;综上所述,图中的L 形共有36+12=48种放法.

15.一棵生命力极强的树苗,第一周在树干上长出2条树枝(如图1),第二周在原先长出

的每条树枝上又长出2 条新的树枝(如图2 2)

,第三周又在第二周新长出的每条树枝上再长 出条新2枝(如图3)这棵树苗按此规律生长,到第十周新的树枝长出来后,共有

条树枝.

图2

【答案】2046 条

【考点】等比数列求和 【分析】

第一周树上新长出1?2条树枝,共有2条树枝;

第二周树上新长出2?2=22条树枝,共有2+22条树枝;

第三周树上新长出22?2=23条树枝,共有2+22+23条树枝;依次类推 第十周树上新长出210条树枝,共有2+22 +23+ 条树枝; 因为2 + 22 + 23+ 211 - 2 = 2046,

所以第十周新的树枝长出来后共有2046 条树枝.