学年论文浅谈泊松分布及其应用
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杭州师范大学钱江学院教学部制
浅谈泊松分布及其应用
摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。根据泊松分布的一些性质,引出这些性质在实际生活中的重要应用。
关键词：泊松分布概念实际应用
Discuss poisson distribution and its application
WuSuLing guidance teacher：QiuLiangHua
Abstract: the poisson distribution as a large number of test rare event of frequence of the probability distribution of the mathematical model, it is to point to a system in running the super load caused by the failure frequency distribution form. According to some properties of poisson distribution, leads to these properties in real life important application.
Keywords: poisson distribution concept practical application.
目录
1 引言 (4)
1.1 泊松分布 (4)
2 泊松分布的基础知识 (4)
3 泊松分布下的非线性拟合 (4)
3.1 拟合函数是非线性的近似方法 (4)
3.2 求解泊松分布问题的一般途径 (5)
4 泊松分布在现实生活中的应用 (5)
4.1 “非典”的流行和传播服从泊松分布 (5)
4.2 泊松分布在生物学中的应用 (6)
4.2.1泊松分布在遗传图距计算中的应用 (6)
4.2.2泊松分布在计算病毒粒体对细胞感染率中的应用 (6)
4.2.3泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用 (6)
4.3 初步研究固体火箭发动机可靠性 (7)
4.4 保险损失费若干问题研究 (8)
5 .结论 (8)
5.1 结语 (8)
泊松分布存在在现实生活的各地，在各个领域都有泊松分布 (8)
5.2 参考文献 (8)
浅谈泊松分布及其应用
1引言
1.1泊松分布
泊松分布，是一种统计与或然率学里常见到的离散或然率分布，由法国数学家西莫恩德尼·泊松在1838年时发表，是在推广伯努利形式下的大数定律时，研究得出的一种概率分布，因而命名为泊松分布。在概率论中现称泊松分布。 常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质，泊松分布在实际生活中起着很大的重要作用。
2 泊松分布的基础知识
泊松分布定义:设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 2, …; 且 p{X = k} =λke-λ/k! (k=0，1，2，……n), λ> 0为常数。则称 X 服从参数为 λ的泊松分布, 记作 X ~ D ()λ。
特征：泊松分布的特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性。
定理1.如果 X 是一个具有以λ为参数的泊松分布, 则 E ()x =λ且D ()x =λ。
定理 2.设随机变量 xn(n = 1, 2, ) 服从二项分布, 其分布律为 P{xn = k} = Cn(k)Pn(k)[( 1- pn)^(n-k)]k =0, 1, 2, ?, n 。 又设 npn =λ> 0 是常数, 则lim {xn = k} =λke-λ/k!(n 趋向无穷大)。
泊松分布参数的最短置信区间：由于泊松分布的数学期望 E (X ) =λ,从而E( k)=∑E (xi) = λn 。因此如果我们对总体参数λ进行区间估计, 可以先求出 λn 的置信区间的上下
限,再分别除以样本容量 n,便得到λ的置信区间。 利用泊松分布的分布函数可以计算出参数 λn 的置信区间, 当 k>=1时, 可分别解出置信下限 a=1λn 和置信上限 b= 2λn
其中, k 为样本总计数, 1- α为所需的置信度, 0<α <1 , 0<β<α。
3 泊松分布下的非线性拟合
3.1拟合函数是非线性的近似方法
对服从泊松概率分布的实验数据组进行拟合，如果拟合函数是非线性的，常常以下近似方法。
近似性之一：表现在将拟合函数线性化,或者采用某种参数寻优 的方法。
近似性之二：则是将泊松问题近似地看作高斯分布问题。
泊松分布与高斯分布：
泊松分布与高斯分布是既相近又有差别的两种概率分布。
在概率论中,泊松分布和高斯分布都是二项分布中总项数 N 趋于无限大时的极限形式。不同的是,泊松分布很适合描述其数据的可能值在一端严格有界,在另一端无界的实验。而高斯分布的两端都可以无界。并且,对事件的平均值而言,高斯分布是绝对对称的。仅当事件的平均值远远大于 1时,泊松分布才接近于对称分布,与高斯分布相似。
3.2求解泊松分布问题的一般途径
首先还是比较一下当数据涨落分别服从两种不同概率分布情况 下的异同.对于高斯概率分布问题,观测到该数据组的概率为
()???????????? ??--=∏=2121exp 21'i i i m
i i x y y p σπσ 最大或然法与最小二乘法均给出同样结果,即
()()[]()0121'ln 122=??-=??-=??∑=j
i i i m i i j j a x y x y y a x a p σ j=1,2,…n 4 泊松分布在现实生活中的应用
4.1 “非典”的流行和传播服从泊松分布
2003年，春， 肆虐的“非典”病毒向人类发起了猖狂攻击。 来势汹涌的“非典”， “非典”给了置身其中的我们很多很多的思索。 比如，为什么我国会成为“非典”的重灾区？“非典”的传播和扩散是否遵循一定的规律呢？
2003年5月26日10时至5月27日10时，全国各地共报告新增非典型肺炎临床诊断病例9例，治愈出院115例，死亡4例。 其中，北京新增临床诊断病例9例， 治愈出院81例， 死亡4
例； 其他省份都没有新增临床诊断病例和死亡病例。 ”从“非典”在我国流行和传播的空间分布来看，主要发生在北京，显现总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性的特点； 从时间上看，从发现病例以来，以2003年为高峰期，它符合泊松分布的特点， 各段时间出现失效与否，是相互独立的。 所以，“非典”在我国的流行和传播是符合泊松分布规律的的爆发，其流行和传播都是服从泊松分布规律的。
腐败现象的产生与发展符合泊松分布
腐败现象作为社会现象中的一种非常态， 它的发生和发展规与泊松分布规律完全相同， 特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性，具体表现有“前腐后继案”“串案”“窝案”等形式。 “前腐后继案”表明了腐败现象在时间上是呈泊松分布，“窝案” 表明了腐败现象在空间上呈泊松分布，而“串案”则表明了腐败现象在立体上呈泊松分布。
4.2泊松分布在生物学中的应用
泊松分布广泛应用于遗传学的遗传图距计算、生物物理学的辐射生物学的定量分析、病毒学中的病毒感染率计算、分子生物学中一个基因文库所需克隆数的估计、PCR扩增片段保真率的估算以及酵母单双杂交中转化率的估计等学科领域。
4.2.1泊松分布在遗传图距计算中的应用
在遗传学上,计算遗传图距的基本方法是建立在重组率基础上的, 根据重组率的大小作出有关基因间的距离, 绘出线性基因图。如果所研究的两基因座相距甚远, 其间可发生双交换、三交换、四
交换或更高数目交换, 而形成的配子总有一半是非重组型的。因此，我们可利用泊松分布原理来描述减数分裂过程中染色体上某区段交换的分布。
4.2.2泊松分布在计算病毒粒体对细胞感染率中的应用
在感染病毒的细胞培养物中, 培养细胞可被不同数量的病毒粒体感染, 了解病毒粒体在培养细胞上的分布, 即了解病毒粒体所感染的细胞比率。而受感染的细胞比率取决于每个细胞中所含有的病毒粒体的平均数, 称感染重数( m )。感染细胞的病毒粒体是指那些早期起始感染的粒体, 无活性病毒粒体不计。因此, m同感染细胞病毒粒体总数( N)和细胞总数( C)的关系是m =aN/C, 这里a是指细胞早期起始感染病毒粒体的比率, 如果a能确定, 则m 值可由已知的N值与C值计算出来。实际上细胞大小和表面特性等许多方面细胞是不同的, 但这些偏差是
可忽略的, 现假定对细胞来说被感染的能力都一样。由泊松分布可知p(n)=(m^n)(e^-m)/n!z则未被感染的细胞比率p (0)=(m^0)(e^-m)/0!
=e^-m那么感染重数m也可以通过未被感染的细胞比率p ( 0 )的实验测定来求得:m = - Inp (0)。
4.2.3泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用
在分子生物学中, 一个完整的基因文库所需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设计具有重要意义。由于基因组DNA是从大量细胞中提取的, 每个细胞中均含有全部基因组DNA, 那么每一种限制性片段的数目是大量的, 因此可以说各限制性片段的数目是相等的。在基因克隆中, 基因组DNA 用限制性酶切割后与载体混合反应以及随后的过程均是随机的生化反应过程。第一, 对克隆来说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有这两种结果;第二, 由于总体限制性片段是大量的, 被克隆的对总体影响很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率为f( f较小), 不被克隆的概率为1- ,
f 且克隆时这两种概率都不变。综上所述, 基因克隆的过程符合泊松分布, 可用泊松分布来分析计算。设 p 为基因被克隆的概率; N 为要求的克隆的概率为 p 时一个基因
文库所需含有重组 DNA 的克隆数; f 为限制性片段的平均长度与 基因组 DNA 总长度之比, 若基因 组DNA 被限制性酶切割成 n 个 DNA 片段, f 即1/n 。则在克隆数为 N 时, 任一段被克隆一次或一次以上的概 率 为 p = 1 - p ( 0 ) = 1 –e
Nf -, 可 推 出 N =1n( 1- p )/f, 一般要求目的基因序列出现的概率 p 的
期望值定为99%,那么N =- n1n (1- p)=- n1n ( 1- 0. 99) = 4. 605n 。
4.3初步研究固体火箭发动机可靠性
固体火箭发动机研制一般要经过模样、初样、试样、定型等阶段, 在研制中进行可靠性增长试验是提高产品可靠性的有效手段. 通过这种试验, 不断发现和消除系统性缺陷, 提高产品的可靠性. 发动机可靠性增长研究是近年来发动机可靠性研究的一个重要方向, 已引起国内外学者的高度重视.
数学模型
假设: 研制生产的固体火箭发动机总数为 n; 最初设计的固体火箭发动机系统性缺陷数为 B0; 各系统性缺陷失效率均为 p;若试验失败, 则导致失败的故障模式可以确定, 并从以后的固体火箭发动机产品中成功消除.
研究问题: 给定产品总数 n, 选择试验量 t,通过可靠性增长试验发现固体火箭发动机产品的系统性缺陷, 通过改进设计, 使余下的 (n- t)台固体火箭发动机成功数期望值最大.
成功数 S0服从成功率为 ( 1- p)B0的二项分布, 即S0 ~ B in(n, (1- p )B0), 则条件期望为E[ S0 | B0] = n( 1- p )0B ).
进一步, 假设完成了 t 次试验, E [St | Bt] = (n - t)( 1- p)
Bt
其中, Bt 是 t 次试验后剩余的系统性缺陷数. 注意到 t 次试验后任一缺陷继续存在的概率为( 1- p)t , 则 Bt 关于 B0的条件分布为二项分布:P {Bt = k | B0}=(B0 ; k)(列矩阵） (( 1- p )t )k (1- ( 1- p)t )
K B -0 其母函数为 gBt|B0(z) = E[ z
Bt | B0] 设 gB0( z) 为 B0的母函数, 由条件期望的性质为gBt(z) = EBt[z Bt | B0] = EB0[E [z Bt | B0] ]= EB0[ (z( 1- p)t + (1- ( 1- p)t )
0B ]= gB0(z( 1- p)t + ( 1- ( 1-
p )^t) ).至此, 只要知道 B0的分布特征, 就可求得E [z
Bt ], 进而得到 E [St].一般取初始系统性缺陷数 B0为服从均值为λ的泊松分布, 则其母函数为 gB0(z) = ()1-z e λ, 所以EBt[z Bt ] = gB0(z ( 1- p)t + ( 1- ( 1- p)t ) )= ()()11--z t p e .推出E [St]= = (n - t) ()t p p e --1λ。此时, 若所有参
数已知或可估计, 就可得到最佳试验量 t = topt(n), 使剩余产品成功数期望值最大. 实际应用过程中, 参数 p 值不易确定, 为消除E [ St] 与 p 的相关性, 设
f (p ) = lnE [St] = ln(n - t) – λ(( 1- p)t
)p. 令 df (p ) /dp = 0 , 求出 p, 即 p 的最小值 pm
in =1/(1+ t). 则Em in[St] = (n - t) exp{- λ(t/(1+ t)t )(1/(1+ t))}. 最佳可靠性增长试验量的
准则是选取使Em in[ St] 最大的试验量t . 这一准则称为极大-极小准则. 此时, Em in[ St] 值只与n, λ和t有关, 消除了p对试验量选择的影响.
4.4保险损失费若干问题研究
设在某一时段内共有N 个投保者, 第i 个在此时段内的损失费用Xi 表示( i= 1, 2, ,, N) , 且设X i 间相互独立, N 为随机变量, X 1, X 2, ,,XN, N 间相互独立, 则在此时段内承保者所面临的风险为S= X 1+ X 2+ ,+ X N事实上, 危险事故保险( 如汽车保险、火灾保险等)的损失费可由指数分布来描述, 这是由这些保险具有/ 无记忆性0的特征所决定的. 即投保人投保后已发生危险事故所发生的损失费在超过t的前提下再次发生危险事故其损失费超过s 的条件概率与自投保后首次发生危险事故其损失费超过的无条件概率相等, 即可由下列简单过程导出.以X 表示投保人在某一时间内发生危险事故的损失费, 令g(t) = P { X> t }, 则由/ 无记忆性0的涵义可得: P{ X > s+ t | X > t } = P { X >s}, 这里s> 0, t> 0. 则由条件概率的计算公式易得, g( t+ s) = g( t ) g( s). 通过适当的运算, 可以得到, 当t> 0 时, g( t)= e-K t, 这里K > 0. 显然P{ t F0}= 0, 即当t F0时, 都有g( t) = 0.综合之, 可知, X 为服从参数K的指数分布.本文将以危险事所发生的损失费为研究对象, 讨论投保人数N 服从泊松分布下总损失费的分布。
保险损失费分布是保险精算中的重要内容,对其加以研究是必要的. 由于分布的复杂, 总损失费的分布问题成为关注的问题. 矩母函数和近似方法对一般分布是较为有效的, 但如能就某些分
布求出总损失费的精确分布, 那无疑是有重要意义的. 本文就集体风险模型, 在各投保个体的损失费独立同分布于指数分布, 投保个体数为泊松分布时, 导出了总损失费的分布. 有关损失分布问题, 将作进一步的研究.
5.结论
5.1结语
泊松分布存在在现实生活的各地，在各个领域都有泊松分布的参与，比如医学，天文学，生物学等等。每个性质都有其特殊的应用。
5.2参考文献
[1]庄军, 林奇英.泊松分布在生物学中的应用[J].福建：农林大学植物病毒研究所，
2007，16（5）：62-68.
[2]刘飞, 窦毅芳, 张为华,王中伟. 固体火箭发动机可靠性增长试验规划初步研究[J].
北京：中国人民解放军96630部队，2007, (6): 01~ 03
[3]黄迎秋, 吴和成. 保险损失费若干问题研究(I) [J].江苏: 淮海工学院数理系,2006,23(1),98-100
[4]徐玉华, 曾明,.泊松分布性质及应用研究[J]. 湖北: 郧阳师范高等专科学校数学系,2006,3(2):475-476
[5]项慧慧. 浅谈泊松分布及其应用[J]. 学周刊,2012(4)
[6]吴光节.泊松分布下线性多重回归问题[J].昆明: 中国科学院云南天文台,1993,(2):47-53
[7]吴光节. 泊松分布下的非线性拟合[J]. 昆明: 中国科学院云南天文台,1993,(3):62-68
[8]岑忠,丁勇. 泊松分布参数的最短置信区间[J]. 南京医科大学基础医学院,2010,27(2):133-135
泊松分布的概念及表和查表方法
目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例
泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例
泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质
命名原因 泊松分布实例 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： 例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。 推导 泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。
泊松分布在金融领域的应用
Random (Poisson distribution) in the field of financial applications 【Abstract】 mathematical finance as a subject. Using a great deal of teaching theory and method study and solve major theories in financial issues, practical problems, and some, such as the pricing of financial innovation. Due to financial problems the complexity of the mathematical knowledge, in addition to the base of knowledge, there are plenty of theories and methods of modern mathematics. In this article we introduce the volume fluctuations in stock price model. Application of Poisson process theory describes the volatility of stock prices, and based on option pricing theory, European call option pricing formula is derived. In the course of financial investment, investors typically shy away from risks, and control the risks in the first place, so we further risk aversion in the market of European call options price range. In order to give investors a more specific reference. 【Key words】 stochastic process of compound Poisson process shares traded options pricing Along with rapid economic development, a variety of financial tools continue to produce. The correct valuation of financial instruments is a necessary condition for effective management of risk, we used the prices of securities described in geometric Brownian motion process is continuous. With fair prices and financial instruments is that they are reasonable and the key. Mathematical finance is 20 centuries later developed a new cross discipline. It is observed with a unique way to meet financial problems, which combine mathematical tools and financial problems. Provide a basis for creative research, solving financial problems and guidance. Through mathematics built die, and theory analysis, and theory is derived, and numerical calculation, quantitative analysis, research and analysis financial trading in the of various problem, to precise to description out financial trading process in the of some behavior and may of results, while research its corresponding of forecast theory, reached avoided financial risk, and achieved financial trading returns maximize of purpose, to makes about financial trading of decision more simple and accurate. Because of financial phenomena studied in mathematical finance strong uncertainty, stochastic process theory as an important branch of probability theory, and are widely used in the financial research. Stochastic process theory include: theory of probability spaces. Poisson process, the updating process, discrete Markov chains and continuous parameters of the Markov chain, theBrown campaign, martingales theory and stochastic integration, stochastic differential equations, and so on. In recent decades, theory and applications of stochastic processes has been developing rapidly. Physics, automation, communication sciences, economics and Management Sciences and many other fields are active figure of the theory of stochastic processes. This stochastic process theory of option pricing using Poisson process theory to the study of regularity of stock price fluctuation in the stock market, consider the impact of transactions on stock prices, stock price process model is constructed. And gives the option of avoiding risks in the investment process. And thePoisson process concepts
泊松分布
概率论大作业 --泊松分布 班级：11011001班 姓名：郭敏 学号：2010302612 2013年1月10日
摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 泊松分布在现实生活中应用非常广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。在某些函数关系泊松分布起着一种重要作用，例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质以及基本相关知识, 并讨论了这些知识在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松分布性质及其应用、二项分布、泊松过程
近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了了解概率论中最重要的几个分布之一。 一、泊松分布的由来 在历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入。 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。又设0>=λn np 是常数, 则{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: {}()()n n k n k k n k n n n k n n k n n k k n n n k x P ?--??? ??-??????? ??? ??--????? ??-???? ? ?-?= ? ? ? ??-??? ??+--==λλλλ11121111!1!11 显然,当k = 0 时,故λ -n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有 λλ-?-→? ? ? ??-→??? ??--????? ??-???? ??-?e n n k n n n n k n 1,11121111 从而{}λ λ-→ =e k k x P k n 1 ，故{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 在应用中，当p 相当小时（一般当p<=0.1）时，用下面近似公式 np k e k np p n k b -≈! )(),;( 对于不同λ值得泊松分布图：
数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解
数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：
离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布
概率论与数理统计课程报告：泊松分布及其在实际中的应用
泊松分布及其在实际中的应用 摘要：本文从泊松分布的定义和基本性质出发，举例讨论了泊松分布在实际中的重要应用。 关键字：泊松分布；应用；运筹学；分子生物学；核衰变 泊松分布是法国数学家泊松于1837年引入的，是概率论中的几大重要分布之一。作为一种常见的离散型随机变量的分布，其在实际中有着非常广泛的应用。 1泊松分布的定义及基本知识 1.1定义： （1）若随机变量X 的分布列为 ）， ?=>= =-,2,1,0(0,! )(k k e k X P k λλλ 则称X 服从参数为λ的泊松分布，并用记号X~P(λ)表示。 （2）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可以看作泊松流。 1.2有关泊松分布的一些性质 （1）满足分布列的两个性质：P(X=k)≥0(k=0,1,2,…）， 且有 1! ! )(0 =?====-∞ =-∞=∞ =-∑∑∑ λλλ λ λλe e k e k e k X P k k k o k k . （2）若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的期望和方差分别为：E （X)=λ; D(X)=λ. （3）以n ，p 为参数的二项分布，当n →∞，p →0时，使得np=λ保持为正常数，则 λλ--→ -e k p p C k k n k k n ! ) 1(对于k=0,1,2，…一致成立。 由如上定理的条件λ=np 知，当n 很大时，p 很小时，有下面的近似公式 λλ--→ -=e k p p C k P k k n k k n n ! ) 1()( 2泊松分布的应用 对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程, 都可以很自然的应用于泊松分布的理论。在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ，减少了对参数的确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。 以下具体举例说明泊松分布在实际中的重要应用。 （1）泊松分布在经济生活中的应用： 泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港发
泊松分布及其应用研究
泊松分布及其应用研究 Prepared on 22 November 2020
湖南科技大学 信息与电气工程学院 《课程论文》 题目：泊松分布及其应用研究 专业：通信工程 班级： 13级3班 姓名：黄夏妮 学号： 目录 一、摘要 (1) 二、泊松分布的概念 (2) 三、计数过程为广义的泊松过程 (4) 四、泊松分布及泊松分布增量 (5) 五、泊松分布的特征 (5) 六、泊松分布的应用 (6) 七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8) 八、参考文献 (12)
摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
二、泊松分布的概念： 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论： 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 则()()λλλλλλλλ λ=?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()() () λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑2122 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+== 定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。 又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞ →==e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: 显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有
06二项分布及泊松分布
●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）： 将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验 ●二项分布（binomial distribution）： 是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。 ●Poisson分布（Poisson distribution）： 随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为 …的分布。 ★二项分布成立的条件： ①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。 ★二项分布的图形： 当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。 ★二项分布的应用 总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较 ★Poisson 分布的应用 总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。 ★Poisson 分布成立的条件： ①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。 Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX ★Poisson分布的性质 1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。 2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。 3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。 4、泊松分布具有可加性。 ★泊松分布的图形 当总体均数越小，分布就越偏态，当总体均数越大，泊松分布就越趋近正态分布。当总体均数小于等于1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当总体均数大于1时，P(X)值先增大而后变小，若总体均数取整数时，则P(X)在X=总体均数，和X=总体均数—1取得最大值。 ★二项分布和泊松分布的特性 1．可加性 二项分布和Poisson 分布都具有可加性。 如果X1，X2，?Xk 相互独立，且它们分别服从以ni，p（i=1,2, ?,k）为参数的二项分 布，则X=X1＋X2＋?＋Xk 服从以n，p（n=n1+n2+?+nk）为参数的二项分布。如果X1，X2，?，Xk相互独立，且它们分别服从以μi（i=1,2, ?,k）为参数的Poisson 分布，则X=X1＋X2＋?＋Xk服从以μ（μ=μ1+μ2+?+μk）为参数的Poisson 分布。 2．近似分布
浅析二项分布与泊松分布之间的关系
学年论文 题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系 学生： 学号： 院（系）：理学院 专业：信息与计算科学 指导教师：安晓钢 2013 年11月25日
浅析二项分布与泊松分布之间的关系 信息121班; 指导教师：安晓钢 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。它们有着密切的关系。泊松分布是二项分布的特例。某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。 关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似 The Application of Asignment Poblem ABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality. KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate
泊松分布的应用
泊松分布的应用
泊松分布的应用 摘要 泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；
一、 计数过程为广义的泊松过程 1．计数过程 设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t )( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。 将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤?=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。 2．泊松过程 计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)0 (0) N =; (3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1?+?==?+=?+λ其中常数 0>λ,称为过程)(t N 的强度。 (4)对于充分小的Δt (){}()t j t t t N P t t t P j j j ?==?+=?+∑∑∞ =∞=ο2 2 ,),( 亦即对于充分小的t ?,在()t t t ?+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。 二、 泊松分布的概念： 泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。
学年论文浅谈泊松分布及其应用资料
本科生学年论文（设计） （级） 论文（设计）题目浅谈泊松分布及其应用 作者 分院、专业 班级 指导教师（职称） 字数 成果完成时间 杭州师范大学钱江学院教学部制
浅谈泊松分布及其应用 摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。根据泊松分布的一些性质,引出这些性质在实际生活中的重要应用。 关键词：泊松分布概念实际应用 Discuss poisson distribution and its application WuSuLing guidance teacher：QiuLiangHua Abstract: the poisson distribution as a large number of test rare event of frequence of the probability distribution of the mathematical model, it is to point to a system in running the super load caused by the failure frequency distribution form. According to some properties of poisson distribution, leads to these properties in real life important application. Keywords: poisson distribution concept practical application.
二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系
二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系 二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览8,9732 个回答猴子微信公众号：猴子聊人物之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中有哪些应用的例子，可以看我之前的《投资赚钱与概率》）。 今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。这个知识目前来看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数学推导公式。我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。相比熟悉公式，我更想知道学的这个知识能用到什么地方。可惜，还没有人讲清楚。今天，就让我来当回雷锋吧。 首先，你想到的问题肯定是：1. 什么是概率分布？2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？好了，我们先看下：什么是概率分布？ 1. 什么是概率分布？要明白概率分布，你需要知道先两个东东：1）数据有哪些类型2）什么是分布数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种。第1种是离散数据。离散数据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。例如掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要么是正面，要么是反面）。你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调到另一个数
值，同时每个数值之间都有明确的间隔。 第2种是连续数据。连续数据正好相反，它能取任意的数值。例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。 什么是分布呢？数据在统计图中的形状，叫做它的分布。 其实我们生活中也会聊到各种分布。比如下面不同季节男人的目光分布.。 各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地方。美女也看了，现在该专注学习了吧。现在，我们已经知道了两件事情：1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时间）2）分布：数据在统计图中的形状现在我们来看看什么是概率。概率分布就是将上面两个东东（数据类型+分布）组合起来的一种表现手段：概率分布就是在统计图中表示概率，横轴是数据的值，纵轴是横轴上对应数据值的概率。很显然的，根据数据类型的不同，概率分布分为两种：离散概率分布，连续概率分布。那么，问题就来了。为什么你要关心数据类型呢？因为数据类型会影响求概率的方法。对于离散概率分布，我们关心的是取得一个特定数值的概率。例如抛硬币正面向上的概率为:p(x=正面)=1/2而对于连续概率分布来说，我们无法给出每一个数值的概率，因为我们不可能列举每一
正确理解泊松分布
正确理解泊松分布 很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。虽然那个时候大家都会背“当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正的理解还有很大距离。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。 而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在18XX年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在18XX年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。 在一段时间t（比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如在1个小时内来200 个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 也就是在单位时间内有k个学生到达的概率为： 其中为单位时间内学生的期望到达数。 问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。
浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系
浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 1预备知识 1.1二项分布 在同一条件下重复做n次独立试验，每次试验只可能有两种对立的结果:A和A之一，并设在同一次试验中A发生的 概率是P (A) = p，0
泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质
命名原因 泊松分布实例 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： 例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。 推导
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- 复习二项分布和泊松分布参数的区间估计.ppt
- §2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释
- 6-5二项分布和泊松分布中总体参数的检验
- 医药数理统计方法6-5二项分布和泊松分布中总体参数的检验
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- 二项分布的可加性与泊松分布的例题
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