完全平方公式导学案

14.2.2 完全平方公式导学案姓名：

一自主学习

1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律？

(1) (p+1)2=( p+1) ( p+1）= ;

(2) (m+2)2= ;

(3) (p-1)2 =( p–1) ( p–1）= ;

(4) (m-2)2= .

猜测：(a+b)2 =

(a-b)2 =

2.你能通过计算验证你的猜想吗？试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。

3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗？

（1）(a+b)2 =a2+2ab+b2

探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加b，

形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。

①整体看：

是边长为的大正方形，面积= ；

②部分看：（用分割法）四块面积分别为，

四块面积的和= 。

所以=

（2）(a–b)2 =a2–2ab+b2

探究2.如图一块边长为a 的正方形，现将其边长减少 b ，

形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。 （试着画一画图）

① 整体看：

是边长为 的正方形，面积= ；

②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积？

所以 =

4.试着用文字来描述这两个公式：

5. 判断计算结果正误，错误的请写出正确答案

（1）(a+1)2=a 2+1

（2）(a-2)2=a 2-4

（3）(a-2b)2=a 2-2ab+2b 2

二. 新知讲授

例1．运用完全平方公式计算：

(1)(4m+n)2 (2) 992

练习运用完全平方公式计算

（1）(2x+1)2 （2）2)32

43(y x

（3）1022 (4) (- x -2y )2

例2. 若 求a 2 + b 2的值。

小测

1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来.

(1)(a +b )2=a 2+b 2；（ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2；（

） (3)(a +b )2=(-a -b )2；（ ） (4)(a -b )2=(b -a )2（

） 2、计算(1)（x –2y ）2 (2)（- x - y ）2

3、已知 x – y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值

,6,5-==+ab b a

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

完全平方公式教案

完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出准确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践水平等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则的准确应用。 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能准确的应用公式。

三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。 3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。 （二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下坚实的基础。 （三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断 或大胆的猜测； （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和使用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，理解到数学是解决实际问题和实行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断能够获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的

平方差完全平方公式(培优)

平方差完全平方公式 ?选择题（共1小题） 二.填空题（共3小题） 2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次 3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个） 4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _ 5. (1999?内江)配方：X 2+4X + =(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 2 2 三.解答题(共小题) 5.计算： (1) (x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c ) 6 .计算：1232 - 124 X 122 . 7 .计算： 2004 2tfi)4 2- 2005X2003 8. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ). 9 .运用乘法公式计算. (1) (x+y ) 2-(x -y ) 2; (2) (x+y - 2) (x - y+2); (3) X ； (4) . 10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2). 11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m ) 12 .计算 (1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b ); (2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4). 13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12. 14 .利用乘法公式计算： ◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c ) ② 472 - 94 X 27+272. 1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普 ，其中整式有（ A . 1个 B . 2个 C. 3个 D. 4个 项式.

【学案】初中数学《完全平方公式》导学案

初中数学 完全平方公式（学案） 一、学习目标 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 2．了解完全平方公式的几何背景 二、学习重点：会用完全平方公式进行运算 三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算 四、学习设计 （一）预习准备 （1）预习书p47-49 （2）思考：和的平方等于平方的和吗？ （3）预习作业： （1）(32)(32)a b a b -+= （2）(32)(32)a b a b --=＝ （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m += （5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -= （7）2()a b += （8）2()a b -= （二）学习过程 观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而 221,422p p m m ==，恰好是两个数乘积的二倍． （3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用． 因此我们得到完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍． 公式表示为：2()a b += 2()a b -= 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减） 例1．应用完全平方公式计算： （1）2(4)m n + （2）21()2 y - （3）2()a b -- （4）2(2)x y -+

变式训练1： 1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正： （1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+ （3）22(1)21a a a --=--- 2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同： 222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=- 结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项 3．计算： （1）2(12)x -- （2）2(21)x -+ （3）()()n m n m +--22 （4）??? ??-??? ??+b a b a 2131213 1 例2．计算： （1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)32 1()321(b a b a +-； （3）)432)(432(-++-y x y x . 方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合

完全平方公式教学设计

《完全平方公式》教学设计 淮南实验中学卞贤磊

公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 文字叙述： 两数和（或差）的平方等于它们平方的和，加上（或减去）它们乘积的两倍． 记忆口诀： 完全平方有三项 首尾符号是同样 首平方，尾平方 首尾二倍放中央 中央符号随尾项 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 练习1 练习2 课 后 反 思 1、这堂课我通过复习平方差公式，然后利用练习引出问题．学生通过多项式乘以多项式的方法得到了结论，并有同学指出))((b a b a ++的结果是有规律的．接着我通过让学生尝试用他们认为的规律直接说出2)(n m +及2)32(y x +的答案，再用多项式乘以多项式的方法验证规律的正确性．在这个环节中学生得到的规律是正确的，但在用规律直接说出2)32(y x +的答案时，却得到了 223244y xy x ++这个错误结论．事实上，学生的错误是将首末两项积的两倍错 误的做成的了每一项都乘2 ，但在处理这个问题时，我过于急躁，直接让学生用多项式乘以多项式的方法得到结果后，就总结了规律，而未能让说错的同学自己找出错误的原因，我想这在今后的教学中是要注意的，因为，学生自己找出错误的原因永远比老师直接告诉他原因记得更牢． 2、在得到两数和的完全平方公式后，我让学生尝试说出公式的的特征，再用面积的方法说明完全平方公式．然后，让学生自己猜测2)(b a -的结论，并模仿第一环节，分别用多项式乘以多项式以及面积的方法说明结论的正确性，再归纳公式的结构特征，然后，利用两数和的完全平方公式说明两数差的完全平方公式，揭示出两个公式间的关系．这一环节都是按照预想的进行，效果不错，只是未能点一下为何要学公式．（方便计算） 3、公式引出后，就进入了这节课的另一个重要环节，即运用公式进行计算．运

完全平方公式与平方差公式培优训练

变形公式???????-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式???????+-=+-+=+ 2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 知识点一、多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。由多项式乘多项式法则可以得到： bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())(( 知识点二、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。 1、即：=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方 2、平方差公式可以逆用，即：))((2 2b a b a b a +-=-。 3、能否运用平方差公式的判定 ①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2-b 2 或-b 2+a 2 知识点三、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 知识点四、变形公式 例题讲解 1、计算 10199? 2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 298 (22)(22)a b c a b c +++-

数学教案的运用完全平方公式法

数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

完全平方公式导学案

14.2.2 完全平方公式导学案姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=( p+1) ( p+1）= ; (2) (m+2)2= ; (3) (p-1)2 =( p–1) ( p–1）= ; (4) (m-2)2= . 猜测：(a+b)2 = (a-b)2 = 2.你能通过计算验证你的猜想吗？试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗？ （1）(a+b)2 =a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加 b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积= ； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和= 。 所以= （2）(a–b)2 =a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少 b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积= ； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积？ 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2

二. 新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 (2) 992 练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)2 （2）2)32 43(y x - （3）1022 (4) (- x -2y )2 例2. 若 求a 2 + b 2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a +b )2=a 2+b 2；（ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2；（ ） (3)(a +b )2=(-a -b )2；（ ） (4)(a -b )2=(b -a )2（ ） 2、计算(1)（x –2y ）2 (2)（- x - y ）2 3、已知 x – y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 ,6,5-==+ab b a

初中数学课程教学设计案例(完全平方公式)

初中数学课程教学设计案例 学科：数学年级：九年级 课题名称：完全平方公式（1） 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。 三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 （二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、方程、不等式、函数等进行描述。 （三）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （四）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。 四、教育理念和教学方式： 1.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。 2.采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。 3.教学评价方式：（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。 五、教学媒体：多媒体 六、教学和活动过程： 〈一〉、提出问题

平方差完全平方公式(培优)

平方差完全平方公式 一．选择题（共1小题） 1．（1999?烟台）下列代数式，x 2+x ﹣，，，其中整式有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 二．填空题（共3小题） 2．（2011?湛江）多项式2x 2﹣3x+5是 _________ 次 _________ 项式． 3．（2010?毕节地区）写出含有字母x ，y 的四次单项式 _________ ．（答案不唯一，只要写出一个） 4．（2004?南平）把多项式2x 2﹣3x+x 3按x 的降幂排列是 _________ ． 5．（1999?内江）配方：x 2+4x+___=(x+___）2 配方：x 2-x+ ___=(x- 2 1）2 三．解答题（共26小题） 5．计算： （1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2） （2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ） 6．计算：1232﹣124×122． 7．计算：． 8．（x ﹣2y+z ）（﹣x+2y+z ）． 9．运用乘法公式计算． （1）（x+y ）2﹣（x ﹣y ）2； （2）（x+y ﹣2）（x ﹣y+2）； （3）×； （4）． 10．化简：（m+n ﹣2）（m+n+2）． 11．（x ﹣2y ﹣m ）（x ﹣2y+m ） 12．计算 （1）（a ﹣b+c ﹣d ）（c ﹣a ﹣d ﹣b ）； （2）（x+2y ）（x ﹣2y ）（x 4﹣8x 2y 2+16y 4）． 13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12． 14．利用乘法公式计算： ①（a ﹣3b+2c ）（a+3b ﹣2c ）

运用公式法

运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考

课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2

《完全平方公式》学案

完全平方公式（第二课时） 学习目标：掌握添括号应用乘法公式 一、预习案 一、复习巩固： 平方差： 完全平方公式： )3)(3(n m n m -+ 2)34(y x - 二、课前预习 （阅读课本P155-156） 1、完成下列去括号： =-+)(c b a =--)(c b a 2、添加括号使得下列等式成立： =-+c b a =--c b a 3、添括号时，如果括号前面是正号，括号里面的各项 ，如果括号前面是负号，括号里面的各项 。 4、在等号右边的括号内填空。 （1）a c b a =-++（ ） （2）-=+-a c b a （ ） （3）-=--a c b a （ ） （4）-=++a c b a （ ） 5、应用乘法公式计算： （1）])][()[(c b a c b a -+++ 分析：把)(b a +看作一个整体。 （2）2])[(c b a +- 分析：把)(b a -看作一个整体。 6、尝试添加括号再应用乘法公式计算： （1）)1)(1(-+++y x y x （2）2)12(-+b a （3）2)1(+-y x 二、学习案 1、平方差公式 完全平法公式 2、添加括号的法则 3、训练题 （1）、)52)(52(-+++y x y x （2）、))((c b a c b a +--+

（3）、2) 2(z y x- - 三、小测 1、下列成立的等式有（填序号）： ①) (b a b a+ - = + -②) (a b b a+ - = + - ③)2 3( 3 2- - = -x x④) 6(5 30x x- = - 2、填空 （1）- = - -x x x1（）（2）- = + -a c b a（）（3）- = - -a c b a（）（4）- = + +a c b a（）3、添括号应用公式计算（1）、)2 3 )( 2 3(- + - +y x y x （2）、) 2 )( 2 (c b a c b a+ + - - （3）、2)1 2 (- +b a （4）、2)1 3 2(+ -b a

(完整版)完全平方公式培优训练题(含答案)

平方差公式培优训练 ◆基础训练 平方差公式：(a+b)(a-b)=________________________________， 1.下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）3．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．A．5 B．6 C．－6 D．－5 4．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． 5（1）（2+1）（22+1）（24+1（28+1） （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 6．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．， 22007 200720082006 -? ， 2 2007 200820061 ?+ ． 完全平方公式培优训练 ◆基础训练 1．完全平方公式：（a+b）2=______，（a－b）2=______．即两数的_____的平方等于它们的_____，加上（或减去）________． 2．计算: （1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；

（2）（2x－3y）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．3．（____）2=a2+12ab+36b2；（______）2=4a2－12ab+9b2． 4．（3x+A）2=9x2－12x+B，则A=_____，B=______． 5．m2－8m+_____=（m－_____）2． 6．下列计算正确的是（） A．（a－b）2=a2－b2B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2 C．（a2－1）2=a4－2a2+1 D．（－a+b）2=a2+2ab+b2 7．运算结果为1－2ab2+a2b4的是（） A．（－1+ab2）2B．（1+ab2）2C．（－1+a2b2）2D．（－1－ab2）2 8．计算（x+2y）2－（3x－2y）2的结果为（） A．－8x2+16xy B．－4x2+16xy C．－4x2－16xy D．8x2－16xy 9．计算（a+1）（－a－1）的结果是（） A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．a2－1 D．－a2+2a－1 10．运用完全平方公式计算: （1）（－1+3a）2 （2）（1 3 a+ 1 5 b）2 （3）（－a－b）2（4）（－a+1 2 ）2 （5）（xy+4）2（6）（a+1）2－a2（7）1012（8）1982 11．计算: （1）（a+2b）（a－2b）－（a+b）2（2）17.计算(a－2b+3c)2－(a+2b－3c)2

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

八年级数学下册 完全平方公式学案

4.3 公式法 第2课时 完全平方公式 学习目标： 1.了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用完全平方公式进行因式分解； 3.清楚优先提取公因式，然后考虑用公式 本节重难点： 1、 用完全平方公式进行因式分解 2、 综合应用提公因式法和公式法分解因式 中考考点：正向、逆向运用公式，特别是配方法是必考点。 预习作业： 请同学们预习作业教材P57~P58的内容： 1. 完全平方公式字母表示: . 2、形如222a ab b ++或222a ab b -+的式子称为 3. 结构特征：项数、次数、系数、符号 填空： （1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ； （3）（a –b ）2= ； 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ； （3）a 2+2ab +b 2= ； 结 论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式． a 2–2ab+ b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。 例1： 把下列各式因式分解： （1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2 （3）m 2– 9 132+m （4）()()1682++++n m n m 例2、将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy

注：优先提取公因式，然后考虑用公式 例3： 分解因式 （1） （2） （3） （4） 点拨：把 分解因式时： 1、如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P 的符号相同 2、如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P 的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P 变式练习： （1） （2） （3） 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法 口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。 拓展训练： 1、 若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m,k 为常数，求m+k 的值 2、 已知22 46130x y x y +-++=，求x,y 的值 3、 当x 为何值时，多项式221x x ++取得最小值，其最小值为多少？ 4、 5、 6、 7、 232++x x 6 72+-x x 2142--x x 15 22-+x x q px x ++28 624++x x 2 223y xy x +-2 34283x x x --

《完全平方公式》教学设计 (2)

§14.2.2 完全平方公式(1) 学习目标 1.会推导完全平方公式，会用几何图形解释完全平方公式； 2.记住完全平方公式的结构特征； 3.会用完全平方公式进行计算. 学习重点 完全平方公式()2222b ab a b a +±=±的推导及运用． 学习难点 理解完全平方公式的几何意义． 一、复习旧知 1.请说出多项式乘以多项式的法则. 2.计算下列各式，你能发现什么规律？ ⑴()()()=++= +1p 1p 1p 2___________________________ ⑵()()()=++=+b a b a b a 2 ____________________________ ⑶()()()=--=-b a b a b a 2______________________________ 二、合作探究 活动一： 老李有一块边长为a 米的正方形试验田.因需要将边长增加b 米，使其变成一个大的正方形试验田. 1.请用手中的卡片拼出变化后的试验田. 2.请用不同的方法表示变化后的试验田总面积, 并进行比较, 你能得到什么结论？ 活动二： 老王有一块边长为a 米的正方形试验田.因需要将边长减少b 米，使其变成一个小的正

方形试验田. 1.请用手中的卡片拼出变化后的试验田. 2.请用不同的方法表示变化后的试验田总面积, 并进行比较, 你能得到什么结论？ 三、课堂练习 运用完全平方公式计算： （1）2102 （2）()26+x （3）()2 52+-x （4）23243??? ??-y x （5）()22y x -- （6）()225-y 四、课堂小结 1.本节课你的收获是______________________ ________________________ 2.本节课你的疑惑是________________________________________ ______ 五、达标检测 1.下列各式计算正确的是 ( ) A.222)(b a b a +=+ B.22224)2(b ab a b a +-=- C.2224)2(b a b a +=+ D.96)3(22++=+a a a 2.运用完全平方公式计算: (1) ()212-m (2) 2 32??? ??+y x (3) 1032

七年级完全平方公式培优

32 5 2 乘法公式 1.乘法公式： 平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2+b 2， 完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2 2．运用平方差公式应注意的问题： （1）公式中的 a 和 b 可以表示单项式，也可以是多项式； （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式． 如 （a ＋b －c ）（b －a+c ）=[（b +a ）－c ）]［b －（a －c ）］ =b 2 －（a －c ） 3．运用完全平方公式应注意的问题： （1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的 结构特征，就可以用公式计算； （2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数 积的“ 2”倍； （3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以 直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式 进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算． 【典例评析】: 例 1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c) 例 2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16) 例 3、计算： (1)20 1 ×19 8 ; (2) 9 9 100 2 99 ? 101 + 1 例 4、逆用平方差公式巧算： (1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－ 1 )(1－ 1 )(1－ 1 )(1－ 1 )(1－ 1 ) 22 42 62 例 5.．已知 x - y = a, z - y = 10, 则代数式 x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx 的最小值等于多 少？

12.5.3因式分解完全平方公式法

12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=

完全平方公式导学案

完全平方公式 【学习目标】 会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 【学习重点】 运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 【学习难点】 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 【学习过程】 一、预习准备 1．利用完全平方公式计算 （1） （2） （3） （4）2．计算： （1） （2）平方差公式和完全平方公式的逆运用 由 反之 反之 二、课堂练习 1．填空： （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）若 ，则k = （8）若是完全平方式，则k = 298220321022 19722(3)x x +-22 (1)(1)ab ab +--()()22b a b a b a -=-+()() b a b a b a -+=-22()2222b ab a b a +±=±()2 222b a b ab a ±=+±24(2)()a a -=+225(5)()x x -=-22()( ) m n -=264()()x -=2449(27)() m m -=-442222()()()()() a m a m a m -=+=+22)2(4+=++x k x x 92++kx x

例1． 计算：1． 2．现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，它是由两个小正方形和两个矩形组成， 所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。则S ＝ ＝ 即： 如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 。从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积。 也就是：（a-b ）2= 。这也正好符合完全平方公式。 例2．计算： （1） （2）三、变式训练： （1） （2）()()42122+--+a a a ()()2 21212+--xy xy 2(3)x y --2 ()a b c ++2)3(-+b a ) 2)(2(-++-y x y x