历年数列高考题汇编
历年高考真题汇编---数列（含）
1、(全国新课标卷理）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.
(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??
????
的前项和.
解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21
9
q =
。有条件可知a>0,故1
3
q =。
由12231a a +=得12231a a q +=，所以11
3
a =。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。
（Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)(1)
2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n n -+
2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为21
2n n a -=。 （Ⅱ）由21
2n n n b na n -==?知
35211222322n n S n -=?+?+?+
+? ①
从而 2357
2121222322n n S n +?=?+?+?+
+? ②
①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。
即 211[(31)22]9
n n S n +=-+
3.设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令 2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ． 。 4、（辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列?
??
??
?-12n n a 的前n 项和
解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11
0,
21210,a d a d +=??+=-?
解得11,
1.a d =??=-?
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1
{
}2
n n n a n S -的前项和为，即2
111,122
n
n n a a S a S -=+++
=故， 12
.224
2n n
n
S a a a =+++ 所以，当1n >时，
121
1111222211121()2422
121(1)22
n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=---
=
.2n n 所以1
.2n n n S -= 综上，数列11{
}.22
n n n n a n
n S --=的前项和 5、（陕西省）
已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0，
由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得
121d +＝1812d
d
++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2
m
a =2n ，由等比数列前n 项和公式得
S n =2+22+23+…+2n =
2(12)12
n --=2n+1
- 6、（全国卷）
设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
由3317a b +=得2
12317d q ++= ① 由3312T S -=得2
4q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d ==
故所求的通项公式为 1
21,32n n n a n b -=-=?
7、（浙江卷）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且
1
1
a ，21a ，4
1
a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n a a a a 2
322221...111++++与11
a 的大小．
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214
111(
)a a a =? 即2111()(3)a d a a d +=+，从而2
1a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以
故通项公式.n a na =
（Ⅱ）解：记2
2222111
,2n n
n n T a a a a a =
+++
=因为
所以2
11(1())
111111122()[1()]12222
12
n n n n T a a a -=
+++=?=--
从而，当0a >时，11n T a <
；当1
10,.n a T a <>时
8、（湖北卷）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。 (I) 求数列{}n b 的通项公式；
(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列5
4n S ??
+???
?
是等比数列。
9、（2010年山东卷）
已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S （Ⅰ）求n a 及n S ；
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
由于73=a ，2675=+a a ，所以721=+d a ，261021=+d a ， 解得31=a ，2=d ，由于d n a a n )1(1-+=，2
)
(1n n a a n S += ， 所以12+=n a n ，)2(+=n n S n
（Ⅱ）因为12+=n a n ，所以)1(412
+=-n n a n
因此)1
1
1(41)1(41+-=+=
n n n n b n
故n n b b b T +++= 21)1
113121211(41+-++-+-=
n n )1
1
1(41+-=
n )1(4+=
n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n （Ⅱ）令1
12
-=
n n a b （*
N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T 。 10、（重庆卷）
已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；
（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .
11、（四川卷）
已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设
1*(4)(0,)
n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，1
n n b n q -=，于是
0121
123n n S q q q n q -=+++
+．
若1q ≠，将上式两边同乘以q 有
()121121n n
n qS q q n q n q -=+++-+．
两式相减得到
()121
11n n n q S n q q q q --=-----
1
1n n
q nq q -=-- ()1
11
1n n nq n q q +-++=
-．
于是
()()
12
11
1n n n nq n q S q +-++=
-．
若1q =，则
()11232n n n S n +=+++
+=
．
所以，()
()()()()1
21,1,211,1.1n n n n n q S nq n q q q ++?=?
?=?-++?≠?-? (12)
12、（上海卷）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ 证明：{}1n a -是等比数列；并求数列{}n a 的通项公式
解：由*
585,n n S n a n N =--∈ （1）
可得：1111585a S a ==--，即114a =-。
同时 11(1)585n n S n a ++=+-- （2） 从而由(2)(1)-可得：1115()n n n a a a ++=--
即：*151(1),6n n a a n N +-=
-∈，从而{1}n a -为等比数列，首项1115a -=-，公比为56
，通项公式为15115*()6n n a --=-，从而1
515*()16
n n a -=-+