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也谈牛顿第二定律的应用

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中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ中国科教创新导刊

２００９ＮＯ．３２

Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ

理　论　前　沿

中专物理教材写到:英国科学牛顿总结了前人研究的成果,并且进行了创造性的研究,在1687年出版了他的名著《自然哲学的数学原理》。在这部著作中,牛顿提出了三条定律,它解决了物体运动和力关系问题,总称为牛顿运动定律。本人认为,在牛顿三大定律中,尤以第二定律最为重要,无论在理论上,还是在实际应用中,都是构成牛顿力学的重要组成部分,是整个力学的灵魂。

牛顿第二定律定量地给出了物体的加速度的大小跟它所受的合力成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同,其数学表达式为F =ma 。

本人从事大中专及高职物理教学工作多年,发现这样一种现象,在经典力学重点章节中,除运动学一章外,其余各章节的主要内容都可以由牛顿第二定律推导而来,力学中几乎所有的定理、定律都要用到牛顿第二定律来推导、证明。下面举几个例子来说明。

1 结合功的定义、运动学公式推导动能定理

如图1所示,设质量为m 的物体,在水平拉力F 作用下,在光滑的水平面上运动,设物体初速度为V 1,发生一段位移

S 后速度变为V 2。

图1

在这一运动过程中,外力F 对物体所做的功为W =FS 。

根据牛顿第二定律F =ma 和运动学公式代入上式可得

＝Ek 2-Ek 1

其中Ek 2,Ek 1分别表示物体的末动能和初动能。上式表明,合外力对物体所的功等于物体动能的变化。

以上过程就是动能定理的推导。利用动能定理还可以导出机械能守恒定律。

2 结合加速度的定义公式推导动量定理

设一个质量为m 的物体,初速度为V 0,在合外力F 的作用下,经过时间t 后速度变为V t ,根据牛顿第二定律有F

ma 。

而加速度的定义为

所以

即F ?t =p t -p 0

上式表明,物体所受合外力冲量等于物体动量的变化。

以上就是动量定理的推导,利用动量定理和牛顿第三定律即可推导出动量守恒定律。

3 应用牛顿第二定律推导向心力公式

牛顿第二定律除了在推导相关定理、定律中起主要作作用外,还在高职教材第6章曲线运动中有重要的应用,比如向心力公式的推导。

如图2所示,一质点受到拉力F

的作用在光滑的平面内而做匀速圆周运动

,则据牛顿第二定律有:

。

图2

而

即

如图3所示,根据放大了的矢量三角形△ACD

。

图

当

时

加速度的大小为:

所以,向心力的公式为:

4 应用牛顿第二定律解题

应用牛顿第二定律解题,主要有以下三种类型:(1)直接套用公式

例:一个铁块在8N 的力作用下,产生的加速度是

,它在12N 作

用下产生的加速度是多少？

分析与解答:这是一道直接套用公式的题目。

物体的质量一定,加速度与力成正比。

(2)已知物体的受力情况,求运动情况。

例:如图4所示:一质量为5kg 的滑块在F =15N 水平拉力作用下由静止开始做匀加速直线运动,若滑块与水平之间的动摩擦因数为0.2,则

也谈牛顿第二定律的应用

丁邦兵

(南通电大如皋分校江苏南通 226500)

摘要:本文从著名的牛顿第二定律入手,紧扣中专信高职物理教材的体系,理论上阐明了牛顿第二定律是贯穿整个力学的主线,是整个力学的灵魂,力学中几个重要的定理都可以从牛顿第二定律引伸出来,强调了牛顿第二定律在力学中的地位。关键词:牛顿第二定律动能定理达朗伯原理中图分类号:G633.7文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2009)11(b)-0095-02

９６中国科教创新导刊

中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ

２００９ＮＯ．３２

Ｃｈｉｎａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ

理　论　前　沿

求:滑块受到水平面的支持力;滑块运动的加速度;滑块在力F 作用下经过5S 通过的位移。

图4

分析与解答:这是一个已知物体的受力情况求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析它的受力情况。木块受到四个力的作用:水平方向的拉力F 和滑动摩擦力f 、竖直方向的重力G 和水平面对木块的支持力

N 如图5所示。

图5

其次分析木块的加速度情况。依题意,木块加速度与合外力方向相同,木块做匀加速直线运动。选取水平向右方向为x 轴正方向,竖直向上的方向为y 轴的正方向。

应用牛顿运动定律列出方程求解。沿y 轴方向平衡,N -G =0

N =G =mg =5×10N =50N 沿x 方向产生加速度F -f =m a

f =ηm

g =0.2×5

×10N =10

运用运动学公式求出滑块在5S 内的位移为:

(3)已知物体的运动情况,求受力情况

如图6所示,质量为m 的物块在与水平方向成θ

=37°角的斜向上拉力F 的作用下沿水平面以

的加速度运动,物块与水平面间的动摩

因数为0.2,求拉力的大小。(sin37

°=0.6,cos37°=0.8)

图6

分析与解答:这是一个已知物体的受力情况,求运动情况的问题。

首先要确定问题的研究对象,分析物块的受力情况。物块受到四个力的作用:重力G,方向竖直向下;地面的支持力N,方向垂直向上;拉力F,方向与水平方向成37°;滑动摩擦力f ,方向水平向左

,如图7所示。

图7

其次分析物块的加速度情况。物体运动的加速度题目中已告之。选取直角坐标系,将力F 分解成F cos θ 和F sin θ 应用牛顿运动定律求解。

沿y 方向受力平衡,N +F sin θ -mg =0N =mg +F sin θ

∴f =μ N =μ (mg +F sin θ )

沿x 方向合力产生加速度F sin θ -f =ma 即F sin θ -μ (mg +F

sin θ )=ma

5 在其它学科中的应用

本人在从事高职机电专业工程力学的教学中,发现牛顿第二定律在该教材第16章构件动力学基础;第18章动静法中都有重要的应用。例如:第18章动静法中,惯性力的概念是这样讲的:质点由于惯性必然给施力物体以反作用力,该反作用力即为质点的惯性力。质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积(其表达式与牛顿第二定律相同),方向与加速度的方向相反。作用于质点上的主动力、约束反力及惯性力,在形式上构成一平衡力系。此即为达朗伯原理。

可见,牛顿第二定律在经典力学中占有十分重要的地位和作用。学好它,对于后续课程的学习将起到很好的帮助作用。

参考文献

[1] 林理忠,李跃红.物理(上)[M].北京:中央广播电视大学出版社,2002.[2] 物理编写组.物理第一册[M].苏州:苏州大学出版社,2001.[3] 姚琴芬.物理练习册[C].江苏:江苏广播电视大学出版社,2002.[4] 人民教育出版社职业教育中心编.物理[M].北京:人民教育出版社,

2002.

[5] 白鸿辉.工程力学[M].江苏:江苏科学技术出版社,2005.

(5)引入泰勒公式并证明(改变泰勒公式的表达方式)。

泰勒中值定理:设函数f (x )在包含x 0的某个开区间(a ,b )内有直到

+1阶的导数,令

,R n (x )=f (x )-P n (x ),

则对任意的

存在x 与x

0之间的某个值

ξ,

使得

根据泰勒中值定理可得

(ξ为x 与x 0之间的某个值ξ) (5)

公式(5)称为n 阶泰勒公式,特别地x 0=0时称为麦克劳林公式。

(证明略)

(6)举例说明泰勒公式的应用(改变例1的重点)。

教材中的例1:写出函数f (x )=e x 的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式。

例1 利用f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式求e 的近似值,使之误差不超过10-6。

参考文献

[1] 郭鑫,林卓.浅议泰勒公式应用[J].黑龙江科技信息,2008(2):130.[2] 赵占锋,周志权,乔晓林.基于泰勒中值定理的QDDFS 超高压缩比

算法[J].电子学报,2008,36(1):152～154.

[3] 孟赵玲,李秀淳.有关泰勒公式教学方法的探讨[J].北京印刷学院学

报,2002,10(2):54～55.

[4] 庄毅杰.泰勒定理教学初探[J].漳州职业大学学报,2004(1):91～93.

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