6、定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2) 求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;
《函数的奇偶性与周期性》教案
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道,每道10分) 1.已知函数是上的增函数,若,则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有.若 ,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有 .若,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A., B., C., D., 答案:A 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数,则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数,则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2,2]上的奇函数,若在[-2,0]上单调递减,则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1,2] B. C.(0,1) D.
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析[1]
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性 一、典例分析 1.求函数值 例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时,x x f =)(,则)5.7(f 等于( ) (A )0.5; (B )-0.5; (C )1.5; (D )-1.5. 例2.已知)(x f 是定义在实数集上的函数,且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+,,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。 2、比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数,当[]1,0∈x 时,,)(1998 1x x f =试比较)1998( f 、)17101(f 、)15 104(f 的大小. 3、求函数解析式 例 4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数,对Z k ∈,用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当 0I x ∈时,.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 例5.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数,且)(x f 是偶函数,在区间[]3,2上,. 4)3(2)(2 +--=x x f 求[]2,1∈x 时,)(x f 的解析式. 4、判断函数奇偶性 例6.已知)(x f 的周期为4,且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立,判断函数)(x f 的奇偶性. 5、确定函数图象与x 轴交点的个数 例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+,=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析
高一数学函数奇偶性练习题及答案解析 数学函数奇偶性练习题及答案解析 1.下列命题中,真命题是 A.函数y=1x是奇函数,且在定义域内为减函数 B.函数y=x3x-10是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数,且在-3,0上为减函数 D.函数y=ax2+cac≠0是偶函数,且在0,2上为增函数 解析:选C.选项A中,y=1x在定义域内不具有单调性;B中,函数的定义域不关于原点对称;D中,当a<0时,y=ax2+cac≠0在0,2上为减函数,故选C. 2.奇函数fx在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f-6+f-3的值为 A.10 B.-10 C.-15 D.15 解析:选C.fx在[3,6]上为增函数,fxmax=f6=8,fxmin=f3=-1.∴2f-6+f-3=-2f6- f3=-2×8+1=-15. 3.fx=x3+1x的图象关于 A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析:选A.x≠0,f-x=-x3+1-x=-fx,fx为奇函数,关于原点对称. 4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数fx为奇函数,那么a=________. 解析:∵fx是[3-a,5]上的奇函数, ∴区间[3-a,5]关于原点对称, ∴3-a=-5,a=8. 答案:8 1.函数fx=x的奇偶性为
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:选D.定义域为{x|x≥0},不关于原点对称. 2.下列函数为偶函数的是 A.fx=|x|+x B.fx=x2+1x C.fx=x2+x D.fx=|x|x2 解析:选D.只有D符合偶函数定义. 3.设fx是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 A.fxf-x是奇函数 B.fx|f-x|是奇函数 C.fx-f-x是偶函数 D.fx+f-x是偶函数 解析:选D.设Fx=fxf-x 则F-x=Fx为偶函数. 设Gx=fx|f-x|, 则G-x=f-x|fx|. ∴Gx与G-x关系不定. 设Mx=fx-f-x, ∴M-x=f-x-fx=-Mx为奇函数. 设Nx=fx+f-x,则N-x=f-x+fx. Nx为偶函数. 4.已知函数fx=ax2+bx+ca≠0是偶函数,那么gx=ax3+bx2+cx A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数
(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1.函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是..减函数的是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D .(1,+∞) 2.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ) A .y =-3x +1 B .x y 2 = C .y =x 2-4x +5 D .y =|x -1|+2 3.设函数y =(2a -1)x 在R 上是减函数,则有 A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 4.若函数f (x )在区间[1,3)上是增函数,在区间[3,5]上也是增函数,则函数f (x )在区间[1,5]上( ) A .必是增函数 B .不一定是增函数 C .必是减函数 D .是增函数或减函数 (二)填空题 5.函数f (x )=2x 2-mx +3在[-2,+∞)上为增函数,在(-∞,-2)上为减函数,则m =______. 6.若函数x a x f = )(在(1,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. 7.函数f (x )=1-|2-x |的单调递减区间是______,单调递增区间是______. 8.函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,那么f (a 2-a +1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9.若函数f (x )=|x -a |+2在x ∈[0,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. (三)解答题 10.函数f (x ),x ∈(a ,b )∪(b ,c )的图象如图所示,有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断: 甲说f (x )在定义域上是增函数; 乙说f (x )在定义域上不是增函数,但有增区间, 丙说f (x )的增区间有两个,分别为(a ,b )和(b ,c ) 请你判断他们的说法是否正确,并说明理由。 11.已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域; (2)证明函数f (x )在(0,+∞)上为减函数. 12.已知函数| |1)(x x f = . (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式;
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点,因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开,而高考中会出现这一题型,本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类,大概有以下几种题型: 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意图,以形助数,问题迅速获解。 例1.如果奇函数f x ()在区间[]37,上是增函数且有最小值为5,那 么f x ()在区间[]--73,上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析:画出满足题意的示意图,易知选B 。 例2.偶函数f x ()在(0),+∞上是减函数,问f x ()在()-∞,0上是 增函数还是减函数,并证明你的结论。 分析:如图所示,易知f x ()在()-∞,0上是增函数,证明如下: 任取 x x x x 121200<->-> 因为f x ()在(0),+∞上是减函数,所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数,所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122,, 从而f x f x ()()12<,故f x ()在()-∞,0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3.若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称,判断:函数 y f x =()是什么函数。
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
最新函数的奇偶性和单调性综合训练及答案
一、选择题 1.下列判断正确的是( ) A .函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B .函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C .函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D .函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2.若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A .(],40-∞ B .[40,64] C .(][),4064,-∞+∞ D .[)64,+∞ 3.函数11y x x = +--的值域为( ) A .( ]2,∞- B .(] 2,0 C .[ ) +∞,2 D .[)+∞,0 4.已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数, 则实数a 的取值范围是( ) A .3a ≤- B .3a ≥- C .5a ≤ D .3a ≥ 5.下列四个命题:(1)函数f x ()在0x >时是增函数,0x <也是增函数,所以)(x f 是增函数;(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点,则2 80b a -<且0a >;(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞;(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) 二、填空题 1.函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时,1||)(2 -+=x x x f , 那么0x <时,()f x = . d d 0 t 0 t O A . d d 0 t 0 t O B . d d 0 t 0 t O C . d d 0 t 0 t O D .
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义: 对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT (,0k Z k ∈≠)也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期:设)(x f y =是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移,即得在其他周期的图像: []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数: 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数;则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性: (1)中心对称即点对称: ①点对称;关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称;关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称;关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称;关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与(函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= (2)轴对称:对称轴方程为:0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 )(x f y =,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 )()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==, 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 (2)函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,即) (11x f y =,通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知, b x f x a f 2)()2(11=+-,所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 (3)函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0,则 有可能会出现关于 b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性: (1)函数 )(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)
高中数学函数的奇偶性说课稿
《函数的奇偶性》说课稿 各位评委老师,上午好,我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的奇偶性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 函数是中学数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容,它不仅与现实生活中的对称性密切相关联,而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此,本节课的内容是至关重要的,它对知识起到了承上启下的作用。 二.教学目标 1.知识目标: 理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判断函数的奇偶性; 2.能力目标: 通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想. 3.情感目标: 通过函数的奇偶性教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力.三.教学重点和难点: 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 四、教学方法 为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取: 1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性。 2、在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念。 3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达。 五、学习方法
1、让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。 2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 六.教学程序 (一)创设情景,揭示课题 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下列各函数有什么共性? 观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性. 2()f x x = ()||1f x x =- 2 1()x x = x x x 通过讨论归纳:函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线;函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线;函数21()f x x =是定义域为非零实数的两支曲线,各函数之间的共性为图象关于y 轴对称.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系? 归纳:若点(,())x f x 在函数图象上,则相应的点(,())x f x -也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. (二)互动交流 研讨新知 函数的奇偶性定义: 1.偶函数 一般地,对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ,都有()()f x f x -=,那么
9运用函数地单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版
教学容概要
教学容 【知识精讲】 一、常见的抽象函数模型: ① 正比例函数模型:()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型:()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=;() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型:()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+;()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型:()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=;()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型:()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。 如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点,其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点,如何攻克这个难点呢?一个词:去壳。 二、奇偶函数的性质:
奇函数:(1)()()f x f x -=-; (2)若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =; (3)图像关于原点对称; (4)y 轴左右两侧的单调性相同; 偶函数:(1)()()f x f x -=; (3)图像关于y 轴对称; (4)y 轴左右两侧的单调性相反; 三、函数单调性的逆用: 若()f x 在区间D 上递增,则1212()()f x f x x x <(1x 2,x D ∈); 若()f x 在区间D 上递减,则1212()()f x f x x x >.(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化,转换为函数求最值的问题。 【经典例题】
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1.函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f (-x )=f (x )?f (-x )-f (x )=0?f (-x ) f (x )=1?f (x )为偶函数; (2)f (-x )=-f (x )?f (-x )+f (x )=0?f (-x ) f (x )=-1?f (x )为奇函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 二、常用结论 1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )= 1 f (x ) ,则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1 f (x ),则T =2a (a >0). 3.函数图象的对称性 (1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称. 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2 |x +3|-3; (2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2) |x -2|-2 ; (4)f (x )=? ??? ? x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0. [解] (1)由f (x )=36-x 2 |x +3|-3,可知????? 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0?????? -6≤x ≤6, x ≠0且x ≠-6, 故函数f (x )的定 义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.
高一数学函数的奇偶性知识及例题
高一数学函数的奇偶性 提出问题 ① 如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性 对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x). 定义: 1 ?偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f( x) f (x),那么f (x) 就叫做偶函数. 2 ?奇函数:一般地,对于函数 f (x)的定义域的任意一个x,都有f( x) f (x),那么f (x) 就叫做奇函数. 1、如果函数y f (x)是奇函数或偶函数,我们就说函数y f (x)具有奇偶性;函数的奇偶性是函 数的整体性质; 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数; 3、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .如果一个函数的定义域不关于“0”(原点)对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数; 4、偶函数的图象关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶 函数且f(x) f (|x|)。奇函数的图象关于原点对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点 对称,那么这个函数为奇函数? 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f( x) f (x)或f ( x) f (x)是否恒成立;
(3)、作出相应结论. 若f ( x) f(x)或彳(x) f(x) 0,则f(x)是偶函数; 若 f( x) f (x)或 f ( x) f (x) 0,则 f (x)是奇函数 例?判断下列函数的奇偶性 x 3 x 2 为非奇非偶函数;(2)f (x) 为非奇非偶函数 x 1 x 1 奇函数;(4) f (x) (x 1). \ x 1 (7) f (x) .1 x 2 . x 2 1 既是奇函数又是偶函数 (8) f (x) a,a 0 为非奇非偶函数 常用结论: (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . ⑶.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 一?分段函数奇偶性的判断 1 2 —x 2 1 (x 0) 例1.判断函数的奇偶性: g(x) 2 1 2 —X 2 1 (x 0) 2 解:当x >0时,一x v 0,于是 1 2 1 2 g( x) -( x)2 1 (-x 2 1) g(x) 2 2 当x v 0时,一x > 0,于是 1 2 1 2 1 2 g( x) ( x) 1 x 1 ( x 1) g(x) 2 2 2 综上可知, g(x)是奇函数. 2 (1)f (x) x x [ 1,2] 3 (3) f (x) x x (5)f(x) =x+ 丄; x 奇函数;(6) f (x) ■, 1 x 2 2 |x 2| 奇函数
函数奇偶性与单调性
一、函数的奇偶性 奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数; ()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数. 性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言; (2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分) (3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分) (4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数?()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数?函数()f x 图像关于原点对称; 函数()f x 是偶函数?函数()f x 图像关于y 轴对称. (6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有:
(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数?偶次项系数全为0; 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数?奇次项系数全为0. 二、函数的单调性 单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间. 性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式: ① ()() ()121200f x f x x x ->-在D 上单调递增(递减); ② ()()()()121200x x f x f x -->????()f x 在D 上单调递增(递减). (3)若()f x 在R 上单调递增,则()()f a f b a b >?>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x -->????在D 上是增(减)函数. (5)单调性与奇偶性:若奇函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递增(减);若偶函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递减(增); (6)复合函数单调性:两个单调函数()f x 与()g x 复合,不论复合结果是()f g x ????还是()g f x ????,有如下性质:若()f x 与()g x 单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若()f x 与()g x 单调性相反,一个增一个减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”. 单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、 B 上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上是增(减)函数.例如1 ()f x x = 在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数.事实上,若取1211x x =-<=,有(1)11(1)f f -=-<<.
专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明.
特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f (x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y )=f(x )f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x )=lo ga x (a 〉0且a≠1) f(xy)=f(x )+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x )=si nx f (x)=cosx f(x+T )=f(x ) 正切函数 f(x )=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=co tx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1。已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。 证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。 2.奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解:由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在(—1,1)内递减,∴2 21111110111m m m m m -<-?-<-<?->-? 3。如果()f x =2 ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在[2,+∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)〈f (4),∴f (2)〈f (1)〈f (4) 4。 已知函数f (x )对任意实数x,y ,均有f(x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x)>0,f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数f (x )是的抽象函数,因此求函数f (x )的值域,关键在于研究它的单调性。 解:设,∵当 ,∴ , ∵, ∴ ,即,∴f (x )为增函数. 在条件中,令y =-x ,则,再令x =y=0,则f (0)=2 f (0),∴f (0)=0,故f(-x)=f (x ),f(x )为奇函数, ∴f (1)=-f (-1)=2,又f (-2)=2 f (-1)=-4, ∴f(x )的值域为[-4,2]。