第二十二章复习 一元二次方程综合复习
第二十二章复习 一元二次方程综合复习
【本章知识框架】
【本章重点】
1．一元二次方程的定义
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行
整理．如果能整理为0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
我们把0c bx ax 2=++(a ≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不
为0，b 、c 可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．
0ax 2=(a ≠0)，0c ax 2=+(a ≠0)， 0bx x 2=+(a ≠0)都为一元二次方程．
3．一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．
4．一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为ac 4b 2
-=?．
△>0?方程有两个不相等的实数根．
△＝0?方程有两个相等的实数根．
△<0?方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
5．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，． 6．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
【解题思想】
1．转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一
次方程等．
2．从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．
3．分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．
【经典例题精讲】
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数
不为0．
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法
和因式分解法，再考虑用公式法．
3．一元二次方程0c bx ax 2
=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，
求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【中考热点】
本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单
独出现或和其他内容结合出现．
【历届中考题目】
一、填空题
1．(2003·吉林)方程03x 2x 2=-+的解是_____________．
2．(2002·江苏泰州)如果21x x ，是方程03x 4x 2=++的两根，那么2112x x x x +＝
_____________．
3．(2002·杭州)已知2是关于x 的方程0a 2x 232=-的一个解，则2a －1的值为
_____________．
4．(2003·大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率
为x ，则可列方程为_____________．
5．(2003·四川)已知关于x 的一元二次方程07m x )1m (x 82
=-+++有两个负数根，那么
实数m 的取值范围是_____________．
6．(2003·青岛)九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是
这样的：“解方程05x 6x 24=+-”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设y x 2=，那么24y x =，于是原方程可变为05y 6y 2=+- ①，解这个方程得：
5y 1y 21==，．当y ＝1时，1x 2=，∴x ＝±1；当y ＝5时，5x 2=，∴5x ±=．所以原方程有四个根：5x 5x 1x 1
x 4321-==-==，，，． (1)在由原方程得方程①的过程中，利用_____________法达到降次的目的，体现了转化
的数学思想．
(2)解方程012)x x (4)x x (222=----，若设x x y 2-=，则原方程可化为_____________．
7．(2003·泰安)已知实数x 、y 满足
06y 2x y 4xy 4x 22=-++++，则x ＋2y 的值为_____________．
8．(2003·泰安)如图22－1，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条
直角边的长分别为_____________．
9．(2003·济宁)关于x 的二次方程03k 4x k x 22=---的两个实数根为21x x 、，如果
1)1x )(1x (21=--，那么k ＝_____________．
二、选择题
1．(2002·泰州)k 为实数，则关于x 的方程01k x )1k 2(x 2=-+++的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定 2．(2002·杭州)用配方法将二次三项式5a 4a 2+-变形的结果是( )
A ．1)2a (2+-
B ．1)2a (2++
C ．1)2a (2-+
D ．1)2a (2--
3．(2002·桂林)如果方程0m x 2x 2=++有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是
( )
A ．m<1
B ．m>1
C ．m<－1
D ．m>－1
4．(2003·重庆)下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A ．01x 2x 2=-+
B ．02x 22x 2=++
C ．01x 2x 2=++
D ．02x 4x 32=-+ 5．(2003·威海)对于一元二次方程0c bx x =++2，下面的结论错误的是( )
A ．若c ＝0，则方程必有一个根为0
B ．若c<0，则方程必有两个正数根
C ．若c>0，b<0，则方程必有两个正数根
D ．若b>c ＋1，则方程有一个根大于－1，一个根小于－1
6．(2003·青岛)已知010122=-β+β=-α+α，，且α≠β，则αβ＋α＋β的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．0
三、解答题
1．(2003·潍坊)已知关于x 的方程01k x )3k 2(x )1k (2=++-+-有两个不相等的实数根
21x x 、．
(1)求k 的取值范围．
(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？
解：(1)根据题意，得
)1k )(1k (4)3k 2(2+---=?
4k 49k 12k 422+-+-=
＝－12k ＋13>0， 所以，
1213k <． 所以，当1213
k <时，方程有两个不相等的实数根．
(2)存在．
如果方程的两个实数根互为相反数，则
01k 3k 2x x 21=---=+， 解得
23k =， 检验知：
23k =是01k 3k 2=---的解．
所以，23
k =时，方程的两实数根21x x 与互为相反数．
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？
如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案．
2．(2003·菏泽)已知方程02m x )1m 2(x 22=-+++的两个实数根的平方和等于11，求m
的值．
3．(2003·滨州)设(a ，b)是一次函数y ＝(k －2)x ＋m 与反比例函数
x n y =的图象的交点，且a ，b 是关于x 的一元二次方程0)3k (x )3k (2kx 2=-+-+的两个不相等的实数根，其中k 为
非负数，m ，n 为常数．
(1)求k 的值；
(2)求一次函数与反比例函数的解析式．
4．(2003·淄博)下面是一位同学做的一道练习题．
已知关于x 的方程0q px x 2=++的两个实数根为p 、q ，求p 、q 的值．
解：将p 、q 分别代入0q px x 2=++，得
?????=++=++0q pq q 0q p p 222，
???==0q 0p ；?
??????-=-=21q 21p ；???-==2q 1p ． (1)请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；
(2)这道题还可以怎样解？请写出你的解法．
参考答案
【历届中考题目】
一、
1．1x 3x 21=-=，
2．310
3．5
4．7)x 1(42=+
5．m>7
6．换元法，012y 4y 2=--
7．－3或2
8．4，6
9．－3
二、
1．A 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B
三、
1．(1)中忽视k －1≠0的情况，当k －1＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实数根． 正确答案为：当1213
k <，且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根．
(2)中的实数k 不存在，当
23
k =时，判别式△＝－5<0，方程没有实数根． 应为：不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数
2．解：设方程的两根为21x x ，，由韦达定理，得2m x x )1m 2(x x 22121-=+-=+，．
又11)2m (2)]1m 2([x x 2)x x (x x 22212212221=--+-=-+=+，
整理，得03m 2m 2=-+，
解之，得1m 3m 21=-=，．
由二次方程有两个实数根，
∴09m 4)2m (4)1m 2(22≥+=--+=?， 解之，得
49m -≥．
故m ＝－3不合题意应舍去．
取m ＝1，即m ＝1为所求．
3．解：(1)∵关于x 的方程0)3k (x )3k (2kx 2=-+-+有两个不相等的实数根，
∴
???>---=?≠0)3k (k 4)3k (40k 2， 解得k<3，且k ≠0．
又∵一次函数y ＝(k －2)x ＋m 存在且k 为非负整数，
∴k ＝1．
(2)∵k ＝1，
∴原方程可变形为02x 4x 2=--．
∴a ＋b ＝4，ab ＝－2．
又当k ＝1时，一次函数y ＝－x ＋m 过点(a ，b)，
∴a ＋b ＝m ．
∴m ＝4．
同理可得n ＝－2．
故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝－x ＋4与
x 2y -=．
4．答：(1)该同学的解法存在问题．
问题出在没有把求出的解代入根的判别式进行检验．
因为，当???==0q 0p 时，方程0x 2=，此时△＝0；
当???-==2q 1p 时，方程02x x 2=-+，此时△>0，符合题意． 而当???????-=-=21q 21p 时，方程021x 21x 2=--，此时△>0，与方程有等根不符．
所以，p 、q 的值只能取???==0q 0p ；???-==2q 1p ．
(2)解：由根与系数的关系，得
???=-=+q pq p q p ，
解得???==0q 0p ；???-==2q 1p ．
分别对p ，q 的两组值对应的方程判别式检验，知这两组值符合题意要求．
一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)
一元二次方程 本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容： 建立一元二次方程 此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题， [课时作业]的第6、7题。 １．一元二次方程的概念 此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。 2.一元二次方程的解的含义 利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。 点击一：一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程． 针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。 （1）x 2+ x 1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0 （3）x+12 x =4 （4）m 3－2m+3=0 （5） 2 2x 2－5=0 （6）ax 2－bx=4 答案： （5） 针对练习2: 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是 。 答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m≠－3 点击二：一元二次方程的一般形式 元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.
第22章一元二次方程
22.1 一元二次方程 一.知识点总结 1> 一元二次方程的概念 2、 一元二次方程的一般形式 3、 一元二次方程的解(根) 题型一：一元二次方程的概念问题 卜列方程中，一元二次方程共有( ). 1 * ①谿+ “0②加-3&+—0③八严 ④宀］⑤宀§+3=0 A. 2个 B ?3个 C ?4个 D ?5 卜列方程中是关丁 X 的一元二次方程的是 14、 __________________________________________ 方程3妒=7x+3的一般形式是 . 15、 _____________________________________________________ 把一元二次方程兀仗~9 = 4化简为一般形式是 ________________________________________________ ?一 16、 若方程（m-2） x m2_5m+8+（m+3）x +5=0是一元二次方程，求m 的值 17、 已知关丁?x 的方程⑷一加八十側十1）工十3心1二0.当尬为何值时，该方程是-元二 次方程？ 18、已知关丁? x 的方程（圧/ +必+，-1 = 0 题型总结 2、 A. %2+ 7 = 0 B .卅+加+*O c （兀一1）（兀+2） = 1 D =0 3、 卜列方程中，是一元二次方程的是( ）. A. r+3=0 B. x 2-3y = 0 c. 4 、 A r- - = 0 x 5、 A. (x +3)(1-3) = 1 D. 若5x2=6x —8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是 5, 6, —8 B 、5, —6, —8 C 、5, —6, 8 D 、6, 5, —8 一元二次方程3X 2-4X =5的二次项系数是( ) 3 B. - 4 C. 5 D.?5 C> 5, —6, 8
(完整版)一元二次方程全章测试及答案
一元二次方程全章测试及答案 一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化 简结果是______． 二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2 22.2 一元二次方程的解法 ［课前预习］ 1、用直接开平方法解下列方程： （1）2 (2)2x -= （2）(x －2m)2=4m 2－4mn+n 2 (x 为未 知数) （3）(3x －1)2 =－5 （4）2 2 (2)9(3)x x -=+ 2、用因式分解法解下列方程： （1）2 (2)4(2)x x -=- （2）2 (2)(24)(2)0x x x x -+-+= 3、用配方法解方程： （1）02222 =--t t （2）02 =++q px x (x 为未知数) 4、用公式法解方程：012=-+x x （精确到0.01） ［课内练习］ 5、关于x 的方程043)5(2 =+--mx x m x 是一元二次方程的条件是＿＿＿＿。 6、分式1 ||3 22---x x x 的值为零，则x ＝＿＿＿。 7、若最简二次根式132342 +--x x x 与是同类二次根式，则x ＝＿＿＿。 8、解方程：m m x +=-3)(2 3m +一定是非负数吗？ 9、解关于x 的方程： （1）0)23(2 =--x m x （2）0)1(2)1(2 =-+-y y y （3）)0(0)(2 ≠=---m n x n m mx 10、若(0)n n ≠是关于x 的方程02=++n mx x 的根，则m+n ＝＿＿＿＿。 11、若单项式22++m m m y ax 是六次单项式，则m ＝＿＿＿＿。 12、已知：关于x 的二次三项式102)42(2 2 +-++-a a x a x 是完全平方式，求a 的值。 13、（1）方程02=++c bx ax 中，若0=++c b a ，则一定有一个根为＿＿＿。 （2）当m_______时，方程02)()1(2 2 =-++-x m m x m 有一个根为1。 14、已知：的值求2 2 2 2 2 2 ,10)2)(1(y x y x y x +=++-+。 15、已知：y x y x y xy x 43,01272 2 ===+-或求证：。（求x y 呢） 16、已知：x 、y 满足等式)(6)(y x y y x x -=+,求x y 的值。 第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程1 2 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21 x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5） 12 x 2 =0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1 x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． / 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）． 10．代数式1 2 x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分） 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12．若分式226 32 x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ）． A ．3或－2 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． # A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的 n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？ 【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】 在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意. 设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324 n +- ，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=- 12 ，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14 (舍)， 综上所述，n=0. 2．计算题 （1）先化简，再求值：2 1 x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】 分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用； （2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可. 详解：（1）2 1 x x -÷（1+211x -） =2221111 x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-?- =x+1， 当x=2017时，原式=2017+1=2018 第二章一元二次方程复习卷1 姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（）． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 x =5 （D）x2=0 2．方程x（x-1）=5（x-1）的解是（）． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 3．已知x=2是关于x的方程3 2 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是（）． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4．把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 5．下列方程中，无实数根的是（）． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0（C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 6．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（）． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 7．方程（x+1）（x+2）=6的解是（）． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，?那么这个一元二次方程是（）． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 9．某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是（）． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 10．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶 一条金色纸边，?制成一幅矩形挂图，如图所示．如 果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的 宽为xcm，?那么x满足的方程是（）． （A）x2+130x-1 400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1 400=0 （D）x2-65x-350=0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项 系数是________，?常数项是________． 12．若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______． 13．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________． 14．请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 15．如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是________． 知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0. x 22．1 一元二次方程（1） 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学一学（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。） 问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ② 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________ 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程 ____________________________ 化简整理得 ____________________________ ③ 请口答下面问题： （1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________ 方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程. 1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是 二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一 元二次方程的一般形式．其中ax 2 是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。） 3. 例 将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练一练 1:判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？ 2222 2(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22 ｘ (2)2(x -1)=3y 12 ｘ－－ (4) －=0 (6)9x =5－4x ___________ 一名师推荐____ 精心整理_______ 学习必备. 21章一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2? bx ? c = 0（a = 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如ax2 bx 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a = 0时是一元二次方程。 二、一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，女口：当x = 2 2 2 时，x -3x 2 = 0所以x=2是x -3x 2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法： 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b_0时，x a=g b，x =「a—b， 当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）x2二aa-0的解是x二 a ； __________ 名师推荐_______ 精心整理______ 学习必备. (2) (x+m)2= n(n 兰0 )的解是x = 土亦一m ; (3) mx n $ = c m = 0,且 c _ 0 的解是x = ——n。 m 2、配方法： 配方法的理论根据是完全平方公式a2_2ab b2二(a b)2，把公式中的a看做未知数X,并用X代替，则有X2_2bx b2=(x_b)2。 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3)把原方程变为(x+m$=n的形式。 (4)若n 一0,用直接开平方法求出x的值，若n<0,原方程无解。 (二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为ax2? bx ? c = 0 a = 0,a = 1时，用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把一元二次方程化成一般形式 (2)先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方 程的左、右两边同时除以二项的系数； (3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为(x+m f=n的形式； (4)若n 一0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 【最新整理，下载后即可编辑】 一元二次方程全章测试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中. 1. 关于x 的一元二次方程()22120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ） A. 1a ≠ B. 1a ≠- C. 1a ≠± D.为任意实数 2．已知一元二次方程已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 3．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -= 4．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B 。 1k >-且0k ≠ C.。1k < D 。1k <且0k ≠ 5．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 7．下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A ．若x 2 =4，则x=2 B 若3x 2 =6x ，则x=2 C ．02=-+k x x 的一个根是1，则k=2 D ．若分式 ()x x x 2- 的值为零，则x=2 8． 在创建“国家园林县城”工作中，荣昌县通过切实加强园林绿化的组织管理、规划设计、景观保护、绿化建设、公园建设、生态建设、市政建设等工作，城区的园林绿化得到了长足的发展。到2010年，该县绿化覆盖率达到48.85%，人为了让荣昌的山更绿、水更清，计划2012年实现绿化覆盖率达到53%的目标，设从2010年起我县绿化覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．48.85(1+2x)=53% B ．48.85(1+2x)=53 第三讲 一元二次方程 一、主要知识点 二、典型例题分析 例1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） Ａ．()()12132 +=+x x Ｂ． 02112 =-+ x x Ｃ．02=++c bx ax Ｄ． 1222-=+x x x 例2、已知1x =是一元二次方程2 400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2 2 22a b a b --的值. 例3、关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( ) (A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2． 例4、设a b ，是方程2 20090x x +-=的两个实数根，则2 2a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 例5、对于方程()()()()2 2 2 2 140;2230;3320;441290;x x x x x x x -=+=--=-+= ()()()()()2 22 2 5336;670;76;8241x x x x x x =-==+=把最适宜解法的序号填在下面 的横线上。 （1）直接开平方法____ _______；（2）因式分解法_____ __； （3）配方法____ ___；（4）求根公式法_____ ____。 通常可以这样选择合适的解法： （1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。 （2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。 （3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。 （4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。 例6、解方程：2(3)4(3)0x x x -+-=． 例7、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000 kg ，根据市场需要，今 年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000 kg ，求南瓜亩产量的增长率． 例8、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出 100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ 例9、已知关于x 的方程2 (2)210m x x --+=有解，那么m 的取值范围是（ ） Ａ．3m < Ｂ．3m ≤ Ｃ．3m ≤且2m ≠ Ｄ．3m <且2m ≠ 例10、已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k 的值并解这 个方程。 一元二次方程复习题 一、填空题： 1、方程1382-=x x 的二次项系数为 ，一次项为 ，常数项为 。 2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 是一元二次方程。 第22章一元二次方程单元检测试题 （满分120分；时间：120分钟） 一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 1. 下列方程为一元二次方程的是（） A.x?2＝0 B.x2?2x?3 C.x2?4x+1＝0 D.y＝x2?1 2. 方程x2+2x=5的根是（） A.x=2±√6 2B.x=?1±√6 C.x=2±√6 4 D.x=?2+√6 3. 一元二次方程x2?3x?4=0的常数项是（） A.?4 B.?3 C.1 D.2 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2+2x+3=0 B.x2+2x?3=0 C.x2?2x+3=0 D.x2+2x+1=0 5. 方程(x+1)2=4的解是（） A.x1=?3，x2=3 B.x1=?3，x2=1 C.x1=?1，x2=1 D.x1=1，x2=3 6. 已知x＝1关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0的一个解，则a的值是（） A.?1 B.?2 C.?3 D.1 7. 已知x1+x2＝?7，x1x2＝8，则x1，x2是下列哪个方程的两个实数根（） A.x2?7x?8＝0 B.x2?7x+8＝0 C.x2+7x+8＝0 D.x2+7x?8＝0 8. 在实数范围内定义一种新运算“¤”，其规则为a¤b=a2?b2，根据这个规则，方程(x+ 2)¤3=0的解为（） A.x=?5或x=?1 B.x=5或x=1 C.x=5或x=?1 D.x=?5或x=1 9. 王刚同学在解关于x的方程x2?3x+c=0时，误将?3x看作+3x，结果解得x1=1，x2=?4，则原方程的解为() A.x1=?1，x2=?4 B.x1=1，x2=4 C.x1=?1，x2=4 D.x1=2，x2=3 10. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（） A.20人 B.22人 C.61人 D.121人 二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，） 11. 把x2+6x+5=0化成(x+m)2=k的形式，则m=________． 12. 当关于x的方程(m?1)x m2+1?(m+1)x?2=0是一元二次方程时，m的值为 ________． 13. 一元二次方程x2?5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=________．（只需填一个）． 14. 如果关于x的方程x2?4x+m2＝0有两个相等的实数根，那么m＝________． 15. 方程2x2+6x?1=0的两根为x1，x2，则x1+x2等于________． 16. 若k为整数，关于x的一元二次方程(k?1)x2?2(k+1)x+k+5=0有实数根，则整数k的最大值为________． 一元二次方程 一、本章知识结构框图 二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=； 当0=n 时，021==x x ； 当0 第二十二章一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 一元二次方程复习 A组 1.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 2.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4 米的绿化带，使余下部分面积为 100 平方米.求原正方形广场的边长.（精确到0.1 米） 3.村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6 平方米的等腰梯形，它的上底比渠 深多2 米，下底比渠深多0.4米.求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度. 4.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率（. 精确到 0.1%） 5.求出习题22.1中第3（2）题所列方程的解的近似值.（精确到0.1 米） B组 6. 解下列方程 2 (1) (y+ 3) (1-3y)二1 + 2y2; (2) (x—7) (x+ 3) + ( x—1) (x+ 5)= 38; (3) (3x+ 5) 2—5 (3x+ 5)+ 4 = 0; (4) x2+ ax—2a2= 0. (a 为已知常数) 7. (1)已知关于x的方程2x2—mx—m2= 0有一个根是1,求m的值; (2)已知关于x的方程(2x—m) (mx+ 1) = ( 3x+ 1) ( mx—1)有一个根是0,求另一个根和m 的值. 8. 学校原有一块面积为1500平方米的长方形操场，现围绕操场开辟了一圈绿化 带，结果使操场的面积增加了150平方米.求现在操场的长和宽. C组 9. 先用配方法说明：不论 取何值时，代数式x2－x 取何值，代数x2－5x＋7 的值总大于0.再求出当x 10.说明不论m取何值，关 实根. :于x的方程(x—1) (x —2)= m2总有两个不相等的 2016年九年级质量检测 数 学 试 题 （时间 100分钟 满分150分） 温馨提示： 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间100分钟。考生答题全部答在答题纸上，在草稿纸、试卷上答题无效。 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。 3．答题卡上作答内容不得使用胶带纸和涂改液，答错的用黑笔涂掉并在上（下）方空白处添上。 4．保持答题纸清洁，不要折叠、不要弄破。 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．一元二次方程32x =5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A 3，5 B 3，－5 C 3，0 D 5，0 ２．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）． A ()()2 3121x x +=+ B 211 x x +－2=0 C 20ax bx c ++= D 2221x x x -=+ 3. 关于x 一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，p =（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1- 4．方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根 5．若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是（ ） A 2320x x +-= B.2320x x -+= C.2230x x -+= D.2320x x ++= 6．根据下列表格对应值： 判断关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是（ ） A.x ＜3.24 B.3.24＜x ＜3.25 C.3.25＜x ＜3.26 D.3.26＜x ＜3.28 7．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（ ） A.15或12 B.12 C.15 D.以上都不对 8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，可列出的方程是（ ） A.340.515x x +-=）（ （ ） B.340.515x x ++=（）（） C.430.515x x +-=（）（） D.140.515x x +-=（）（） 二．填空题（每小题4分，共32分） 9. 方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 10．x 的一元二次方程1 (1)(2)30n n x n x n +++-+=中，一次项系数 是 . 11．一元二次方程2 230x x --=的根是 . 12．若关于x 的一元二次方程()()2 2111x m x x x -++=+化成一般形式后 二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为 。华东师大版初中数学九年级上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法测试题6
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