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第十四章整式乘除与因式分解知识点归纳及经典例题

第十四章整式乘除与因式分解知识点归纳及经典例题
第十四章整式乘除与因式分解知识点归纳及经典例题

第十四章 整式乘除与因式分解

知识点归纳:

一、幂的运算:

1、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数)

同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如:532)()()(b a b a b a +=+?+

2、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数)

幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253)3(=-

幂的乘方法则可以逆用:即m n n m m n a a a )()(== 如:23326)4()4(4==

3、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)。积的乘方,等于各因数乘方的积。 如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???-

4、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m

同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷

5、零指数; 10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。

二、单项式、多项式的乘法运算:

6、单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。如:=?-xy z y x 3232 。

7、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,

即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如:)(3)32(2y x y y x x +--= 。

8、多项式与多项式相乘,用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。

9、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项

公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如:))((z y x z y x +--+ =

10、完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=±

完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,首尾2倍中间放,符号和前一个样。

公式的变形使用:(1)ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+;ab b a b a 4)()(22-+=-

222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- ;222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

(2)三项式的完全平方公式: bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

11、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 如:b a m b a 242497÷-

12、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。即:c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(

三、因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)会找多项式中的公因式;公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;

(2)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.

(3)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是:把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:

①平方差公式: a 2-b 2= (a +b )(a -b )

②完全平方公式:a 2+2ab +b 2=(a +b )2

a 2-2a

b +b 2=(a -b )2

3、在数学学习过程中,学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。

如:对于任意自然数n ,22)5()7(--+n n 都能被动24整除。

练习题

1.若225722+-++m n n m b a b a 的运算结果是753b a ,则n m +的值是( )

A .-2

B .2

C .-3

D .3

2.若a 为整数,则a a +2一定能被( )整除

A .2

B .3

C .4

D .5

3.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于…………………( )

A.3

B.-5

C.7.

D.7或-1

4.如图,矩形花园ABCD 中,AB=a ,AD=b ,花园中建有一条矩形道路LMQP 及一条平行四边形道路RSTK ,若LM=RS=c ,则花园中可绿化部分的面积为( )

A .2b ac ab bc ++-

B .ac bc ab a -++2

C .2c ac bc ab +--

D .ab a bc b -+-22

5.分解因式:

=-+-ab b a 2122__________________________.

6. 3x(7-x)=18-x(3x-15);

7. (x+3)(x-7)+8>(x+5)(x-1).

8.2,3==n m x x ,求n m x 23+、n m x 23-的值

整式的乘除知识点归纳

整 式 的 乘 除 知识点归纳: 1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,所有字母指数和叫单项式的次数。 如:bc a 22-的 系数为2-,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。 如:122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1,二次项为2a 、ab 2-,一次项为x ,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式。 注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升(降)幂排列: 如:1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列:3223221x y x xy y +-+-- 按x 的降幂排列:1223223--+-y xy y x x 5、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如:532)()()(b a b a b a +=+?+ 6、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数) 幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m m n a a a )()(== 如:23326)4()4(4== 已知:23a =,326b =,求3102a b +的值; 7、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数) 积的乘方,等于各因数乘方的积。 如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???-

整式的乘除典型例题

整式的乘除典型例题 一.幂的运算: 1.若16,8m n a a ==,则m n a +=_______。 2.已知2,5m n a a ==,求值:(1)m n a +;(2)2m n a +。 3.23,24,m n ==求322m n +的值。 4.如果254,x y +=求432x y ?的值。 5.若0a >,且2,3,x y a a ==则x y a -的值为( ) A . 1- B. 1 C. 23 D. 32 6同306P T :已知5,5,x y a b ==求25x y -的值 二.对应数相等: 1.若83,x x a a a ?=则x =__________ 2.若43282,n ?=则n =__________ 3.若2153,m m m a a a +-÷=则m =_________ 4.若122153()()m n n a b a b a b ++-?=,求m n +的值。 5.若235232(3)26,m n x y x y xy x y x y --+=-求m n +的值。 6.若312226834,m n ax y x y x y ÷=求2m n a +-的值。 7.若25,23,230,a b c ===试用,a b 表示出c 变式:25,23,245,a b c ===试用,a b 表示出c 8.若22(),x m x x a -=++则m =__________a = __________ 。 9.若a 的值使得22 4(2)1x x a x ++=+-成立,则a 的值为_________。 三.比较大小:(化同底或者同指数) 1.在554433222,3,4,5中,数值最大的一个是 2.比较505与25 24的大小

高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题 Revised on November 25, 2020

集合 一、知识点: 1、元素: (1)集合中的对象称为元素,若a 是集合A 的元素,记作A a ∈;若b 不是集合A 的元素,记作A b ?; (2)集合中对象元素的性质:确定性、互异性、无序性; (3)集合表示方法:列举法、描述法、图示法; (4)常用数集:R Q Z N N N ;;;;;*+ 2、集合的关系: 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质: (1);,,A B B A A A A A ?=?=?=?φφ (2) ;,A B B A A A ?=?=?φ (3) );()(B A B A ??? (4);B B A A B A B A =??=??? (5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ?=??=? 二、典型例题 例1. 已知集合 }33,)1(,2{22++++=a a a a A ,若A ∈1,求a 。 例2. 已知集合M ={}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素,求a 的值。 例3. 已知集合 },01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ,求a 的值。 \ 例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1, x 2. 设C ={x 1, x 2}, A ={1,3,5,7,9}, B ={1,4,7,10},若C B C C A =Φ= ,,试求b , c 的值。 例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A , (1)若Φ=B A , 求m 的范围; (2)若A B A = , 求m 的范围。 例6. 已知A ={0,1}, B ={x|x ?A},用列举法表示集合B ,并指出集合A 与B 的关系。 三、练习题 1. 设集合M =,24},17|{=≤a x x 则( ) A. M a ∈ B. M a ? C. a = M D. a > M

整式的乘除知识点整理

知识点 1:幂的运算 4)同底数幂的除法法则: 知识点 5 :因式分解 因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式,也叫分解因式。 因式分解最终结果特别注意以下几点: 第一,必须分解成积的形式; 第二,分解成的各因式必须是整式; 第三,必须分解到不能再分解为止。 1) 同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即, n m n aa 2) 幂的乘方法则: 幂的乘方,底数不变,指数相乘。即, mn a m )n mn a 3) 积的乘方法则: 积的乘方,等于把积中每一个因式分别乘方, 再把所得的幂相乘。即, n n n ( ab) a b 同底数幂相除,底数不变,指数相减。即, mn aa mn a 知识点 2:整式的乘法运算 1)单项式与单项式相乘法则: 单项式与单项式相乘, 只要将系数、 相同字母的幂分别相乘, 对于只在一个单项式中出现的 字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式 2)单项式与多项式相乘法则: 单项式与多项式相乘,先用单项式分别乘以多项式的每一项,再把所得的积相加。 3)多项式与多项式相乘法则: 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项, 再把所得 的积相加。 知识点 3:整式的除法运算 1)单项式与单项式相除法则: 单项式除以单项式, 只要将系数、 相同字母的幂分别相除, 对于只在一个被除式中出现的字 母,则连同它的指数一起作为商的一个因式 2)多项式除以单项式法则: 多项式除以单项式,先用多项式的每一项分别除以单项式, 再把所得的商相加。 知识点 4:乘法公式 1)两数和乘以这两数的差公式(又叫做:平方差公式) 2)两数和的平方公式(又叫做:完全平方和公式) 3)两数差的平方公式(又叫做:完全平方差公式) : (a : ( a b) 2 : ( a b)2 b)(a 2 a b) 2ab 2ab a 2 b 2 b 2 b 2

整式的乘除题型及典型习题

整式乘除 一.典型例题分析: 一、同底数幂的乘法 1、下面各式的运算结果为14a 的就是( ) A 、 347a a a a ??? B 、 59()()a a -?- C 、 86 ()a a -?- D 、 77a a + 2、化简32()()x y y x --为 ( ) A.5()x y - B.6()x y - C.5()y x - D. 6 ()y x - 二、幂的乘方 1、计算 23 )x -(的结果就是( ) A.5x - B.5x C.6x - D.6x 2、下列各式计算正确的就是( ) A.34()n n n x x = B.23326()()2x x x += C.3131()n n a a ++= D.24816()a a a -?=- 三、积的乘方 1、 ()3423a b -等于( ) A.1269a b - B.7527a b - C.1269a b D.12627a b - 2、 下列等式,错误的就是( ) A 、64232)(y x y x = B 、3 3)(xy xy -=- C 、442229)3(n m n m = D 、64232)(b a b a =- 四、单项式与多项式的乘法 1、计算 (1)3(421)a a b -+ (2)2 (2).(3)x x xy x -++- (3)(3)(2)x y y x -+ (4)22()()a b a ab b +-+ 五、乘法公式(平方差公式) 1、下列式子可用平方差公式计算的式子就是( ) A.))((a b b a -- B.)1)(1(-+-x x C.))((b a b a +--- D.)1)(1(+--x x

期末复习第一章《整式的乘除》知识点及试题

第一章《整式的乘除》知识点 一、幂的四种运算: 1、同底数幂的乘法: ⑴语言叙述:同底数幂相乘,底数不变,指数相加; ⑵字母表示:a m ·a n = a m+n ;(m ,n 都是整数) ; ⑶逆运用:a m+n = a m ·a n 2、幂的乘方: ⑴语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘; ⑵字母表示:(a m ) n = a mn ;(m ,n 都是整数); ⑶逆运用:a mn =(a m )n =(a n )m ; 3、积的乘方: ⑴语言叙述:积的乘方,等于每个因式乘方的积; ⑵字母表示:(ab)n = a n b n ;(n 是整数); ⑶逆运用:a n b n = (a b)n ; 4、同底数幂的除法: ⑴语言叙述:同底数幂相除,底数不变,指数相减; ⑵字母表示:a m ÷a n = a m-n ;(a≠0,m 、n 都是整数); ⑶逆运用:a m-n = a m ÷a n ⑷零指数与负指数: 01a =(a≠0); 1p p a a -= (a≠0); ③ 用科学记数法表示较小的数如:即0.000 ……01=10-n 二、整式的乘法: 1、单项式乘以单项式: ⑴语言叙述:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的 指数不变,作为积的因式。 ⑵实质:分三类乘:⑴系数乘系数;⑵同底数幂相乘;⑶单独一类字母,则连同它的指数照抄; 2、单项式乘以多项式: ⑴语言叙述:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。 ⑵字母表示:=ma +mb +mc ;(注意各项之间的符号!) 3、多项式乘以多项式: (1)语言叙述:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再 (2)字母表示:=mn +mb +an +ab ;(注意各项之间的符号!) 注意点:

高考集合知识点总结与典型例题

集合 一.【课标要求】 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用二.【命题走向】 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体 三.【要点精讲】 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 a∈;若b不是集合A的元素,(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A b?; 记作A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或 者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;

互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集),记作N ; 正整数集,记作N *或N +; 整数集,记作Z ; 有理数集,记作Q ; 实数集,记作R 。 2.集合的包含关系: (1)集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ?B (或B A ?); 集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ,则称A 等于B ,记作A =B ;若A ?B 且A ≠B ,则称A 是B 的真子集,记作A B ; (2)简单性质:1)A ?A ;2)Φ?A ;3)若A ?B ,B ?C ,则A ?C ;4)若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有2n 个子集(其中2n -1个真子集); 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U ; (2)若S 是一个集合,A ?S ,则,S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集; (3)简单性质:1)S C (S C )=A ;2)S C S=Φ,ΦS C =S 4.交集与并集:

【离散数学】知识点典型例题整理

【半群】G非空,·为G上的二元代数运算,满足结合律。 【群】(非空,封闭,结合律,单位元,逆元)恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。 【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=(a)。a所有幂的集合an,n=0,±1,±2,…做成G的一个子群,由a生成的子群。若G的元数是一个质数,则G必是循环群。 n元循环群(a)中,元素ak是(a)的生成元的充要条件是(n,k)=1。共有?(n)个。【三次对称群】{I(12)(13)(23)(123)(132)} 【陪集】a,b∈G,若有h∈H,使得a =bh,则称a合同于b(右模H),a≡b(右mod H)。H有限,则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 求右陪集:H本身是一个;任取a?H而求aH又得到一个;任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g,gH=Hg。(H=gHg-1对任意g∈G都成立) Lagrange定理G为有限群,则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商,记为(G:H),叫做H在G中的指数,H的指数也就是H的右(左)陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G,有an=1。 3若H在G中的指数是2,则H必然是G的正规子群。证明:此时对H的左陪集aH,右陪集Ha,都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且,G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合,则HN是G的子群。 【同态映射】K是乘法系统,G到K的一个映射σ(ab)=σ(a)σ(b)。 设(G,*),(K,+)是两个群,令σ:x→e,?x∈G,其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射,且对a,b∈G,有σ(a*b)=e=σ(a)+ σ(b)。即,σ是G到K的同态映射,G~σ(G)。σ(G)={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K是乘法系统,σ是G到σ(G)上的1-1映射。称G与σ(G)同构,G?G′。同构的群或代数系统,抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态,则可以说G′是G的一个缩影。 【同态核】σ是G到G′上的同态映射,核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合,即N=σ-1(1′)={g∈G∣σ(g)=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ,σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。 设N是G的正规子群。若A,B是N的陪集,则AB也是N的陪集。 【环】R非空,有加、乘两种运算 a+b=b+a2)a+(b+c)=(a+b)+c, 3)R中有一个元素0,适合a+0=a, 4)对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0, 5)a(bc)=(ab)c,

七年下整式的乘除知识点归纳

整式的乘除 1.同底数幂的乘法 【知识盘点】 若m、n均为正整数,则a m·a n=_______,即同底数幂相乘,底数________,指数_______. 【基础过关】 1.下列计算正确的是() A.y3·y5=y15 B.y2+y3=y5 C.y2+y2=2y4 D.y3·y5=y8 2.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是() A.(a+b)(a+b)2 B.(a+b)(a-b)2 C.-(a-b)(b-a)2 D.(a+b)(a+b)3(a+b)2 3.下列计算中,错误的是() A.2y4+y4=2y8 B.(-7)5·(-7)3·74=712 C.(-a)2·a5·a3=a10 D.(a-b)3(b-a)2=(a-b)5 【应用拓展】 4.计算: (1)-a4(-a)4 = (2)-x5·x3·(-x)4 = (3)(x-y)5·(x-y)6 = 5.计算: (1)(-b)2·(-b)3+b·(-b)4(2)a·a6+a2·a5+a3·a4 6.已知a x=2,a y=3,求a x+y的值. 7.已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求a b的值. 【综合提高】 8.小王喜欢数学,爱思考,学了同底数幂乘法后,对于指数相同的幂相乘,他发现:由(2×3)2=62=36,22×32=4×9=36,得出(2×3)2=22×32 由23×33=8×27=216,(2×3)3=6=216,得出(2×3)2=23×33 请聪明的你也试一试: 24×34=_______,(2×3)4=________,得出__________; 归纳(2×3)m=________(m为正整数); 猜想:(a×b)m=_______(m为正整数,ab≠0). 2.积的乘方 【知识盘点】 积的乘方法则用字母表示就是:当n为正整数时,(ab)n=_______. 【基础过关】 1.下列计算中:(1)(xyz)2=xyz2;(2)(xyz)2=x2y2z2;(3)-(5ab)2=-10a2b2;(4)-(5ab)2=-25a2b2;其中结果正确的是()

整式的乘除知识点(1)

一、幂的四种运算: 1、同底数幂的乘法: 表示:a m ·a n = a m+n ;(m ,n 都是整数) ;逆运用:a m+n = a m ·a n 2、幂的乘方: 表示:(a m ) n = a mn ;(m ,n 都是整数);逆运用:a mn =(a m )n =(a n )m ; 3、积的乘方: 表示:(ab)n = a n b n ;(n 是整数); 逆运用:a n b n = (a b)n ; 4、同底数幂的除法: 表示:a m ÷a n = a m-n ;(a≠0,m 、n 都是整数);逆运用:a m-n = a m ÷a n 零指数与负指数: 01a =(a≠0); 1p p a -=(a≠0); 二、整式的乘法: 1、单项式乘以单项式: 实质:分三类乘:⑴系数乘系数;⑵同底数幂相乘;⑶单独一类字母,则连同它的指数照抄; 2、单项式乘以多项式: 表示:m(a +b +c)=ma +mb +mc ;(注意各项之间的符号!) 的符号!) 注意点: ⑴在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。 ⑵多项式的每一项都包含它前面的符号,确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。 ⑶运算结果中如果有同类项,则要 合并同类项 ! 三、乘法公式:(重点) 1、平方差公式: 表示:()().22b a b a b a -=-+; (3平方差公式的条件:⑴二项式×二项式; ⑵要有完全相同项与互

为相反项; 平方差公式的结论:⑴二项式;⑵(完全相同项)2-(互为相反项)2; 2、完全平方公式: 表示:()2222b ab a b a ++=+; ().222 2b ab a b a +-=- 完全平方公式的条件:⑴二项式的平方; 完全平方公式的结论:⑴ 三项式 ;⑵有两项平方项,且是正的;另一项是二倍项,符号看前面;口诀记忆:“首平方,尾平方,首尾两倍中间放”; 变形: 四、整式的除法: 1、单项式除以单项式: 实质:分三类除:⑴系数除以系数;⑵同底数幂相除;⑶被除式单独一类字母,则连同它的指数照抄; 2、多项式除以单项式: 表示: (a +b +c)÷m =a ÷m +b ÷m +c ÷m ; () ab b a b a 2222-+=+() ab b a b a 2222+-=+()() ab b a b a 422=--+

函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案

函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域,掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 (1) 定义:定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 (2) 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时,函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数定义域要使函数有意义,同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据: ①f(x)是整式(无分母),则定义域为 ; ②f(x)是分式,则定义域为 的集合; ③f(x)是偶次根式,则定义域为 的集合; ④对数式中真数 ,当指数式、对数式底中含有变量x 时,底数 ; ⑤零次幂中, ,即x 0中 ; ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数,则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域(难点) (1)已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可 得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 (2)已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

整式的乘除题型及典型习题

整式乘除 一.典型例题分析: 一、 同底数幕的乘法 1.下面各式的运算结果为 A. a 3 a 4 a 7 a B . (_a)5 a 14的是 (-a) 9 C. () -a 8 (-a)6D. a 7 -a 7 2?化简(x —y)3(y —x)2为() A. (x-y)5 B. (x-y)6 二、 幕的乘方 1. 计算(- x 2)3 的结果是() . 5 5 A. -X B . x C. 2. 下列各式计算正确的是() _x c . (y-x)5 , 、6 D . (y-x) D . x 6 n\3n 4n 2、3 3、2 A. (x ) =X B . (x ) (x ) / 2\4 8 (~a ) a 3\n 1 3n 1 C . (a ) a D. 三、积的乘方 3 1. -3a 4 b 2 等于() 12 6 A. -9a b B. 2. 下列等式,错误的是 A. 2 3、2 4 6 - = 2x 6 16 --a c 12 6 C . 9a b -27 a 7 b 5 () 232 4 6 3 (x y ) x y B. (-xy) xy 22、2 小 44 2, 3、2 4 6 C. (3m n ) 9m n D. (-a b ) a b 四、 单项式与多项式的乘法 1、计算 (1) 3a(4a-2b 1)(2) ( -x 2x 2 xy).( -3x) (3) (x-3y)(2y x) (4) (a b)(a 2-ab b 2) 五、 乘法公式(平方差公式) 1. 下列式子可用平方差公式计算的式子是() A. (a-b)Q-aB. (-x 1)(x-1) C. (~a-t)(-a b) D. (-1)(x 1) 2. 计算(a -b c)(a-b -c)等于() A.(a -b C )2B . (a 「b )2-c 2 C. a 2 - (b - c) $ D . a -( b ' c) 3. 化简(a ,1)2 - (a -1)2 的值为() A. 2 B. 4 C. 4a D. 乘法公式(完全平方公式) 1 1. 下列各式计算结果是 」 m 2n 2 4 1.2 . 1 八 2 A. (mn ) B. ( mn 1) 2 2 1 2 1 2 C. ( mn -1)2 D . ( mn -1)2 2 4 2. 加上下列单项式后,仍不能使 4 A. 4x B . 4xC. -4x D. 4 六、 同底数幕的除法 1.下列运算正确的是() 2a 2 2 -mn ? 1 的是() D . 12 6 —27 a b 2 4x ? 1成为一个整式的完全平方式的是(

整式的乘除知识点及题型复习.

VIP 个性化辅导教案(华宇名都18-1-3) 学生 学科 数学 教材版本 北师大版 教师 胡清清 年级 七年级 课时统计 第( )课时,共( 2 )课时 课 题 整式的运算 授课时间 2013年 7 月 6 日 授课时段 教学目标 1、 巩固幂的运算法则与整式的乘除; 2、 综合运用。 重点、难点 1、 幂的运算; 2、 整式的乘除。 考点及考试要求 详见教学内容 教学内容 整式运算 考点1、幂的有关运算 ①=?n m a a (m 、n 都是正整数) ② =n m a )( (m 、n 都是正整数) ③ =n ab )( (n 是正整数) ④=÷n m a a (a ≠0,m 、n 都是正整数,且m>n )

⑤=0 a (a ≠0) ⑥ =-p a (a ≠0,p 是正整数) 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 积的乘方法则:积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 例:在下列运算中,计算正确的是( ) (A )326a a a ?= (B )235()a a = (C )824a a a ÷= (D )2224()ab a b = 练习: 1、() ()10 3 x x -?-=________. 2、()()()3 2 10 1036a a a a -÷-÷-÷ = 。 3、2 3 132--??-+ ??? = 。 4、322(3)---?- = 。 5、下列运算中正确的是( ) A .336x y x =; B .235()m m =; C .22 122x x -= ; D .633 ()()a a a -÷-=- 6、计算() 8p m n a a a ?÷的结果是( ) A 、8 mnp a - B 、()8 m n p a ++ C 、8 mp np a +- D 、8 mn p a +- 7、下列计算中,正确的有( ) ①325a a a ?= ②()()()4 2 2 2ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()7 52a a a -÷=。 A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、②④ 8、在①5x x ? ②7x y xy ÷ ③()3 2x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有( ) A 、① B 、①② C 、①②③④ D 、①②④ 提高点1:巧妙变化幂的底数、指数 例:已知:23a =,326b =,求3102 a b +的值; 点评: 2a 、532(2)b b =中的5(2)b 分别看作一个整体,通过整体变换进行求值,则有:

高一数学集合知识点归纳与典型例题

集合 一、知识点: 1、元素: a 是集合A的元素,记作a A ;若b不是集合A的 ( 1)集合中的对象称为元素,若 元素,记作 b A ; ( 2)集合中对象元素的性质:确定性、互异性、无序性; (3)集合表示方法:列举法、描述法、图示法; (4)常用数集:N; N*; N ;Z; Q;R 2、集合的关系: 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质: (1)A A A,A,ABBA; (2)A A, A B B A; (3)( A B)(A B); (4)A B A B A ABB; (5) C S(A B) (C S A) (C S B),C S( A B) (C S A) (C S B); 二、典型例题 例1.已知集合 A { a 2, (a 1)2 ,a 23a 3} ,若1 A ,求a。 例 2. 已知集合M =x R | ax 2 2x10 中只含有一个元素,求a的值。

例3.已知集合 A { x | x2x 6 0}, B { x | ax 1 0}, 且B A ,求 a 的值。\ 例 4. 已知方程x2bx c 0 有两个不相等的实根x , x 2.设 C= {x , x 2},A={1,3, 11 5,7,9}, B={1 ,4,7,10} ,若A C,C B C ,试求 b, c 的值。 例 5.设集合A { x | 2 x 5}, B { x | m 1 x 2m 1} , (1)若A B,求 m 的范围;(2)若A B A ,求m的范围。

例 6. 已知 A ={0 ,1} , B = {x|x A} ,用列举法表示集合 B ,并指出集合 A 与 B 的关系。 三、练习题 1. 设集合 M = { x | x 17}, a 4 2,则( ) A. a M B. a M C. a = M D. a > M 2. 有 下 列 命 题 : ① { } 是 空 集 ② 若 a N, b N , 则 a b 2③ 集合 100 N , x Z} 为无限集,其中正确命 { x | x 2 2x 1 0} 有两个元素 ④ 集合 B { x | x 题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列集合中,表示同一集合的是( ) A. M ={ (3, 2)} , N ={ (2, 3)} B. M ={3 ,2} , N ={( 2,3)} C. M ={ ( x , y ) |x + y = 1} , N = {y|x + y = 1} D.M ={1 ,2} , N ={2,1} 4. 设集合 M { 2,3, a 2 1}, N { a 2 a 4,2a 1},若M N { 2} , 则 a 的取值集 合是( ) { 3,2, 1 } B. { -3} C. { 3, 1 } D. { - 3,2} A. 2 2 5. 设集合A = {x| 1 < x < 2} , B = {x| x < a} , 且 A B , 则实数 a 的范围是 ( ) A. a 2 B. a 2 C. a 1 D. a 1 {( x, y) | y 1} 6. x 设 x ,y ∈ R ,A = {( x ,y )|y = x} , B = , 则集合 A ,B 的关系是( ) A.A B B.B A C. A =B D.A B 7. 已知 M = {x|y = x 2- 1} , N = {y|y =x 2 -1} , 那么 M ∩ N =( ) A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A = {-2,- 1,0,1} , B = {x|x = |y|,y ∈ A} ,则集合 B = _________________ 9. 若 A { x | x 2 3x 2 0}, B { x | x 2 ax a 1 0}, 且B A ,则 a 的值为 _____ 10. 若 {1,2, 3} A {1 , 2,3, 4, 5} , 则 A = ____________ 11. 已知 M = {2 , a , b} , N = {2a , 2,b 2 } ,且 M =N 表示相同的集合,求 a , b 的值 12. 已知集合 A { x | x 2 4x p 0}, B { x | x 2 x 2 0}且A B, 求实数 p 的范 围。 13. 已知 A { x | x 2 ax a 2 19 0}, B { x | x 2 5x 6 0} ,且 A , B 满足下列三 个条件:① A B ② A B B ③ Φ A B ,求实数 a 的值。

整式的乘除知识点及题型复习58707.

整式运算 考点1、幂的有关运算 ①=?n m a a (m 、n 都是正整数) ② =n m a )( (m 、n 都是正整数) ③ =n ab )( (n 是正整数) ④=÷n m a a (a ≠0,m 、n 都是正整数,且m>n ) ⑤=0 a (a ≠0) ⑥ =-p a (a ≠0,p 是正整数) 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 积的乘方法则:积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 例:在下列运算中,计算正确的是( ) (A )326a a a ?= (B )235()a a = (C )824a a a ÷= (D )2224()ab a b = 练习: 1、 ()()10 3 x x -?-=________. 2、()()()3 2 10 1036a a a a -÷-÷-÷ = 。 3、2 3 132--??-+ ??? = 。 4、322(3)---?- = 。 5、下列运算中正确的是( ) A .336x y x = ; B .235()m m =; C .22 122x x -= ; D .633 ()()a a a -÷-=- 6、计算() 8p m n a a a ?÷的结果是( ) A 、8 mnp a - B 、()8 m n p a ++ C 、8 mp np a +- D 、8 mn p a +-

7、下列计算中,正确的有( ) ①325a a a ?= ②()()()4 2 2 2ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()7 52a a a -÷=。 A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、②④ 8、在①5x x ? ②7x y xy ÷ ③()3 2x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有( ) A 、① B 、①② C 、①②③④ D 、①②④ 提高点1:巧妙变化幂的底数、指数 例:已知:23a =,326b =,求3102 a b +的值; 1、 已知2a x =,3b x =,求23a b x -的值。 2、 已知36m =,92n =,求241 3 m n --的值。 3、 若4m a =,8n a =,则32m n a -=__________。 4、 若5320x y --=,则531010x y ÷=_________。 5、 若31 29 327m m +÷=,则m =__________。 6、 已知8m x =,5n x =,求m n x -的值。 7、 已知102m =,10 3n =,则3210m n +=____________. 提高点2:同类项的概念 例: 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项,求n m 的值. 练习: 1、已知31323m x y -与521 14n x y +-的和是单项式,则53m n +的值是______. 经典题目: 1、已知整式210x x +-=,求322014x x -+的值。 考点2、整式的乘法运算 例:计算:31(2)(1)4 a a -?- = . 解:)141()2(3-?-a a =1)2(41)2(3?--?-a a a =a a 22 1 4+-.

高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、、知识点: 本周主要学习集合的初步知识,包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 集合是集合论中的不定义的原始概念,教材中对集合的概念进行了描述性说明:“一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)”。理解这句话,应该把握4个关键词:对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的,它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。 几个常用数集N、N*、N+、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法(1)列举法的表示形式比较容易掌握,并不是所有的集合都能用列举法表示,同学们需要知道能用列举法表示的三种集合: ①元素不太多的有限集,如{0,1,8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集,如{1,2,3,?,100} ③呈现一定规律的无限集,如 {1,2,3,?,n,?} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时,集合元素的“无序性”。 (2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准,然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外,弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}, {y|y =x2}, {(x,y)|y=x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概念,学会正确使用“”等符号,会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程,是一个创造新的集合的过程。在这里,我们学习了三种创造新集合的方式:交集、并集和补集。 一方面,我们应该严格把握它们的运算规则。同时,我们还要掌握它们的运算性质: A?CUA?U A?B?B?AA?A?A A?????A?? A?B?A?B?A

最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题

☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】 第一章 整式的乘除 一、 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要 注意以下几点: ①法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a 可以是一个具体的数字式字母,也可以是 一个单项或多项式; ②指数是1时,不要误以为没有指数; ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加; ④当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??(其中m 、n 、p 均为正数); ⑤公式还可以逆用:n m n m a a a ?=+(m 、n 均为正整数) 二.幂的乘方与积的乘方 1. 幂的乘方法则:mn n m a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆. 2. ),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==. 3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底, 如将(-a )3化成-a 3 ???-=-). (), ()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n 4.底数有时形式不同,但可以化成相同。 5.要注意区别(ab )n 与(a+b )n 意义是不同的,不要误以为(a+b )n =a n +b n (a 、b 均不为零)。 6.积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即n n n b a ab =)((n 为正整数)。 7.幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 三. 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数, 且m>n). 2. 在应用时需要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0. ②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10 ≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1= -( a ≠0,p 是

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