概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-1
1、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。 解：据题意知，X 的分布律为
X 0
1 k p 1p -
p
根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =?-+?=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。 解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k = ），则12k X X X X =+++ 。 因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。 所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1
{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n
==
== ， 即i X 的分布律为1
{},(1,2,,)i P X m m n n
==
= ， 所以11
()(12)2
i n E X n n +=+++= ，
所以，1(1)
()()2
k k n E X E X X +=++= 。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）
解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，
0010119
1010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，
因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==?=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。应如何确定b 才能使公司可期望获益？若有m 个人参加保险，公司可期望从中收益多少？
解：设X 表示从一个被保险人身上获得的收益，则其分布律为
X a a b -
k p p
1p -
所以()()(1)(1)E X ap a b p a b p =+--=--，
要使公司获利，需()0E X >，即(1)0a b p -->，所以有1a b p
<
-， 对于m 个人，有()()(1)(1)E mX map m a b p ma mb p =+--=--。 注：此题的关键在于假设随机变量，从而确定公司获益的期望。
5、对任意随机变量X ，若()E X 存在，则{[()]}E E E X 等于 。
解：由于()E X 表示随机变量X 的平均值，是一个数。据数学期望的性质，知{[()]}()E E E X E X =。 6、设随机变量X 的分布为
X
2- 0 2
i p
0.4
0.3
0.3
求()E X ，2()E X ，2(35)E X +。
解：()(2)0.400.320.30.2E X =-?+?+?=-，2222()(2)0.400.320.3 2.8E X =-?+?+?=，
22(35)3()53 2.8513.4E X E X +=+=?+=。
7、设连续型随机变量X 的概率密度为,01
()0,kx x f x α?<<=??其它
，其中,0k α>，又已知()0.75E X =，
求,k α的值。
解：由概率密度函数的性质和已知条件，得10
1
1()10.750.75kx dx f x dx EX xkx dx αα
∞-∞?=?=???????==?????，解得3,2k α==。 8、设随机变量X 的概率密度为1|1|,02
()0,
x x f x --<
?其它，求()E X 。
解：据题意知，随机变量X 的概率密度为1(1),01()1(1),120,x x f x x x --<
=--≤
其它，
所以，12
1
()()[1(1)][1(1)]1E X xf x dx x x dx x x dx ∞
-∞
=
=--+--=?
??。
9、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为?????≤>=-0
,00
,41)(41x x e x f x
，工厂
规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
解：一台设备在一年内损坏的概率为11
11
44400
1{1}14x x P X e dx e e ---<==-=-?
故114
4
{1}1{1}1(1)P X P X e e -
-
≥=-<=--=。
设Y 表示出售一台设备的净赢利， 则
(300100)200,1
()100,1X Y g X X -+=-
≥?
， 故 1
14
4
()(200){1}100{1}200200100E Y P X P X e e
--
=-?<+?≥=-++64.332003004
1≈-=-
e
。
注：此题为随机变量函数的期望的计算。
10、设随机变量X 的概率密度为?
??≤>=-0,00
,)(x x e x f x ，
（1）求2Y X =的数学期望；（2）2X
Y e -=的数学期望。
解：（1）0
()2()2x E Y xf x dx xe dx +∞
+∞
--∞
=
=?
? [
]2022=∞+--=--x
x e xe ；
（2）?
?
+∞
--+∞
∞
--=
=
22)()(ex e e dx x f e
Y E x x x
3
1
0313=∞-
=-x e 。 11、设(,)X Y 的分布律为 (1) 求()E X ，()E Y 。 (2) 设/Z Y X =，求()E Z 。 (3) 设Z= (X －Y )2，求E (Z )。
解：（1）由(,)X Y 的分布律易得边缘分布为
E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
=0.4+0.4+1.2=2。 E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4
+1×0.3=0。 （2）
E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.
X
Y 1 2 3 －1
0 1
0.2 0.1 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
X Y
1 2 3 j p ?
－1 0.2 0.1 0 0.3 0 0.1 0 0.3 0.4 1
0.1 0.1 0.1 0.3 i p ?
0.4
0.2 0.4
1
/Z Y X =
－1
－1/2 －1/3
1/3
1/2
1
p k 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1
（3）
()00.110.240.390.41605E Z =?+?+?+?+?=。
12、设(,)X Y 的概率密度为212,01
(,)0,y y x f x y other
?≤≤≤=??，求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +。
解：120
4()(,)125
x
E X xf x y dxdy dx x y dy ∞∞
-∞-∞
=
=?=
????， 1
20
03()(,)125
x
E Y yf x y dxdy dx y y dy ∞∞
-∞-∞
=
=?=
????， 1
20
1()(,)122
x
E XY xyf x y dxdy dx xy y dy ∞∞
-∞-∞
=
=?=
????， 122
222220
16()()(,)()1215
x
E X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞
-∞-∞
+=
+=+?=????
。 13、设X 和Y 相互独立，概率密度分别为12,01
()0,x x x ?≤≤?=??其它，(5)2,5()0,y e y y ?--?>=?
?
其它，求()E XY 。 解：由于X 和Y 相互独立，
所以1
(5)1205
2
()(,)()()2643
y E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x e dydx ??∞∞
∞∞
∞
---∞-∞
-∞-∞
=
=
=??=?=??
???
?
。
习题4－2
1、设随机变量X 服从泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，求(),()E X D X 。
解：设~()X P λ，由题意得2
1!
2!
e
e λ
λλ
λ--=
，整理得22λλ=，解得2λ=，0λ=（舍去），
所以()()2E X D X λ===。
2、下列命题错误的是（ ）
()A 若~()X P λ，则()()E X D X λ==；
()B 若X 服从参数为λ的指数分布，则1
()()E X D X λ
==；
()C 若~(1,)X B θ，则(),()(1)E X D X θθθ==-；
()D 若X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，则22
2
()3
a a
b b E X ++=。
Z= (X －Y )2
(1-1)2
1
(1- 0)2或(2-1)2 4 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 9 (3- 0)2或(2-(-1))2 16
(3-(-1))2
p k
0.1
0.2
0.3
0.4
解：由于若X 服从参数为λ的指数分布，则2
1
1
(),()E X D X λ
λ=
=
，所以错误的命题是()B 。
3、设12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布2
(,)N μσ（0σ>），则1
1n
i i X X n ==∑服
从的分布是 。
解：由于12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布，根据正态分布的线性组合仍服从正
态分布，故1
1n
i i X X n ==∑服从正态分布；
根据期望和方差的性质，得111
111()()()n n n
i i i i i E X E X E X n n n μμ=======∑∑∑，
2
222111111()()()n n n i i i i i D X D X D X n n n n σσ=======
∑∑∑， 综上，可得2
11~(,)n i i X X N n n
σμ==∑。
注：此题与总习题四中的30题类似。
5、设随机变量X 服从泊松分布，且3{1}2{2}4{0}P X P X P X =+===，求X 的期望与方差。
解：设~()X P λ，由题意得2
3
2
4
1!
2!
0!
e
e
e λ
λ
λλ
λλ---+=，整理得2
340λλ+-=，解得1λ=，4
λ=-（舍去），所以()()1E X D X λ===。
注：此题与本节第1题类似。
6、设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命（单位：小时）X 和Y 的分布律分别为
X
900 1000 1100 i p
0.1
0.8
0.1
Y 950 1000 1050
i p
0.3 0.4 0.3
试问那家工厂生产的灯泡质量较好？
提示：先比较数学期望，若相等，再比较方差。期望越大质量越好；期望相同，则方差越小，质量越好
解：()9000.110000.811000.11000E X =?+?+?=，()9500.310000.410500.31000E Y =?+?+?=，
2222()9000.110000.811000.11002000E X =?+?+?=， 2222()9500.310000.410500.31001500E Y =?+?+?=， 222()()[()]100200010002000D X E X E X =-=-=，
222()()[()]100150010001500D Y E Y E Y =-=-=，
由于()()E X E Y =，且()()D Y D X <，所以乙家工厂生产的灯泡质量较好。
7、已知~(,)X b n p ，且()3,()2E X D X ==，试求X 的所有可能取值，并计算{8}P X ≤。
解：由~(,)X b n p ，得()()(1)E X np D X np p =??=-?，又由于()3,()2E X D X ==，即3
(1)2np np p =??-=?
，
解得1
9,3
n p ==
，所以X 的所有可能取值为0,1,2,,9 ， 所以99
9911{8}1{9}1()1()33
P X P X C ≤=-==-=-。
8、设~(1,2)X N ，Y 服从参数为3的泊松分布，且X 与Y 独立，求()D XY 。
解：据题意得，()1,()2E X D X ==，()()3E Y D Y ==，由于22()()[()]D X E X E X =-，即
22()()[()]E X D X E X =+，故22()213E X =+=，22()3312E Y =+=，
又由于X 与Y 独立，所以
222222222()()[()]()[()()]()()[()][()]D XY E XY E XY E X Y E X E Y E X E Y E X E Y =-=-=-
223121327=?-?=。
9、设随机变量(1,2,3,4)i X i =相互独立，且,5i i EX i DX i ==-；设1234230.5Y X X X X =-+-，求
(),()E Y D Y 。
提示：利用期望和方差的性质直接计算即可。
解：据题意知，12341234()(230.5)2()()3()0.5()E Y E X X X X E X E X E X E X =-+-=-+-
212330.547=?-+?-?=，
22212341234()(230.5)2()()3()0.5()D Y D X X X X D X D X D X D X =-+-=+++
2222(51)(52)3(53)0.5(54)37.25=?-+-+?-+?-=。
10、5家商店联营，每两周售出的产品的数量记为(1,2,3,4,5)i X i =，且相互独立，其中
12341~(200,225),~(240,240),~(180,225),~(260,2625),~(300,270)X N X N X N X N X N ，
（1）求5家商店两周的总销量的均值和方差；
（2）商店每两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？
解：设5家商店两周的总销量为为Y ，则125...Y X X X =+++
（1）1251251200;1225EY EX EX EX DY DX DX DX =+++==+++= ，且2~(1200,35)Y N （2）设商店的仓库应至少储存该产品m 千克 则由题意120012001200
{}0.99{
}0.99()0.99353535
Y m m P Y m P ---≤>?≤>?Φ>，查标准正态分布表， (2.32)0.9898Φ=，(2.33)0.9901Φ=，
1200
2.3335
m ->，解得1281.55m >。即商店的仓库应至少储存该产品1281.55千克。
11、设12,,...n X X X 独立同分布与(1)e ，求12min(,,...)n Z X X X =的期望与方差。
解：因为~(1)i X E ，所以1,0
()0,0
x e x F x x -?->=?≤?
所以1,0()1[1()]0,0nx n
Z e x F x F x x -?->=--=?≤?，,0
()0,0
nx Z ne x f x x -?>=?≤?，即~()Z e n ，
所以21/;1/EZ n DZ n ==。
注：此题应先求出Z 的概率密度函数。
习题4-3
1、设(,)X Y 服从二维正态分布，则下列条件中不是,X Y 相互独立的充分必要条件是（ ） (A) ,X Y 不相关； (B)()()()E XY E X E Y =； (C)(,)0Cov X Y =； (D)()()0E X E Y ==。
解：由于二维正态分布,X Y 相互独立的充要条件是,X Y 不相关，而,X Y 不相关，根据相关系数的定义知(,)0Cov X Y =，而(,)0Cov X Y =，根据协方差的常用公式知，()()()E XY E X E Y =。选择(D)。
2、设X 服从参数为2的泊松分布，32Y X =-，试求(),(),(,)E Y D Y Cov X Y 及XY ρ。 解：据题意知，()()2E X D X ==，据期望和方差的性质，知
()(32)3()23224E Y E X E X =-=-=?-=，22()(32)3()(2)32018D Y D X D X D =-=+=?+=，
222()((32))(32)3()2()3[()(())]2()
E XY E X X E X X E X E X D X E X E X =-=-=-=+-
23(22)2214=?+-?=，
所以，(,)()()()14246Cov X Y E XY E X E Y =-=-?=，
(,)61()()218
XY Cov X Y D X D Y ρ=
==。
3、设随机变量X 的方差()16D X =，随机变量Y 的方差()25D Y =，又X 与Y 的相关系数0.5XY ρ=，
求()D X Y +与()D X Y -。
解：()()()2(,)()()2()()XY D X Y D X D Y Cov X Y D X D Y D X D Y ρ+=++=++
162520.5162561=++??=，
()()()2(,)()()2()()XY D X Y D X D Y Cov X Y D X D Y D X D Y ρ-=+-=+-
162520.5162521=+-??=。
注：此题主要考察方差的性质。
4、设(,)X Y 服从单位圆域22:1G x y +≤上的均匀分布，证明,X Y 不相关。
证：据题意知，(,)X Y 的概率密度函数为22
1,1
(,)0,
x y f x y π?+≤?=???其它，
2
2
1
1111
()(,)0y y
E X xf x y dxdy x dxdy π
∞
∞
--∞-∞
---==?=??
??
， 2
2
1
1111
()(,)0x x E Y yf x y dxdy y dydx π
∞
∞--∞-∞
---==?=?
?
?
?
，
2
2
1
1111()(,)0y y
E XY xyf x y dxdy xy dxdy π
∞
∞
--∞-∞
---==?=?
?
?
?
， 由于(,)()()()
0()()()()
XY Cov X Y E XY E X E Y D X D Y D X D Y ρ-=
==，故,X Y 不相关。
5、设100件产品中的一、二、三等品率分别为0.8，0.1和0.1。现从中随机地取1件，并记
1,0,
i i X ?=?
?取得等品
其它 1,2,3i =，求12X X ρ。 解：据题意知，1{1}0.8P X ==，2{1}0.1P X ==，3{1}0.1P X ==，1()0.8E X =，1()0.80.20.16D X =?=，2()0.1E X =，2()0.10.90.09D X =?=，3()0.1E X =，3()0.10.90.09D X =?=， 由于从中随机地取1件不可能同时取到一、二等品，故12()0E X X =， 所以，(,)()()()00.80.12
3()()()()0.160.09
XY Cov X Y E XY E X E Y D X D Y D X D Y ρ--?=
===-。
6、设2
~(,)X N μσ，2
~(,)Y N μσ，且,X Y 相互独立。试求1Z X Y αβ=+和2Z X Y αβ=-的相关系数（其中βα,是不为零的常数）。
解：由于,X Y 相互独立，
故121212(,)()()()()()()()Cov Z Z E Z Z E Z E Z E X Y X Y E X Y E X Y αβαβαβαβ=-=+--+-
2222()[()()][()()]
E X Y E X E Y E X E Y αβαβαβ=--+?-22222222()()[(())(())]E X E Y E X E Y αβαβ=---
2222222222222()[(())[()(())]()()()E X E X E Y E Y D X D Y ααββαβαβσ=---=-=-，
222221()()()()()D Z D X Y D X D Y αβαβαβσ=+=+=+， 222222()()()()()D Z D X Y D X D Y αβαβαβσ=-=+=+，
故12
222221222222
12(,)()()()()Z Z Cov Z Z DZ DZ αβσαβραβσ
αβ--===++。 7、设随机变量(,)X Y 具有概率密度1
(),02,02
(,)80,
x y x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其它，
求()E X ，(),(,)E Y Cov X Y ，XY ρ，()D X Y +。
解：220017
()(,)()86
E X xf x y dxdy dx x x y dy ∞∞
-∞-∞=
=?+=????， 220017
()(,)()86
E Y yf x y dxdy dx y x y dy ∞∞-∞-∞==?+=????，
77
(,){()()}
66
Cov X Y E X Y =--2200777711()()(,)()()()6666836
x y f x y dxdy dx x y x y dy ∞∞-∞-∞=--=--?+=-????， 2
222220
1711
()()[()]()8636
D X
E X E X dx x x y dy ??=-=?+-= ?????
，
2
2222
2
1711()()[()]()8636
D Y
E Y E Y dx y x y dy ??=-=?+-= ?????
，
1
(,)136111136
XY Cov X Y DX DY
ρ-
===-，
111115
()()()2(,)2()3636369
D X Y D X D Y Cov X Y +=++=++?-=。
8、设随机变量(,)X Y 的分布律为
X
－1
0 1
Y －1 81 8
1 81 0 81 0
81 1
8
1 8
1 8
1 试验证X 和Y 不相关，且X 和Y 不相互独立。
证：据联合分布律与边缘分布律的关系，得
X
Y
－1
0 1
j p ?
－1 81 8
1 81 38 0 81 0
81 28 1
8
1 8
1 8
1 38
i p ?
38 28 38
由于1{1,1}8P X Y ===
，3{1}8P X ==，3{1}8
P Y ==， {1,1}{1}{1}P X Y P X P Y ==≠==
所以X 和Y 不相互独立。
又323()1010888E X =-?
+?+?=，323
()1010888E Y =-?+?+?=， 11111111
()(1)(1)(1)0(1)10(1)000011(1)10110
88888888
E XY =-?-?+-??+-??+?-?+??+??+?-?+??+??=，(,)()()()0000Cov X Y E XY E X E Y =-=-?=，所以，X 和Y 不相关。
9、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为22
1,1
(,)0,
x y f x y π?+≤?=???其它，
试验证X 和Y 是不相关的，且X 和Y 不相互独立。
解：据题意知，
2
2
1
1111()(,)0y y
E X xf x y dxdy x dxdy π
∞
∞
--∞-∞
---==?=??
??
， 2
2
1
1111
()(,)0x x E Y yf x y dxdy y dydx π
∞
∞--∞-∞
---==?=?
?
?
?
，
2
2
1
1111()(,)0y y
E XY xyf x y dxdy xy dxdy π
∞
∞
--∞-∞
---==?=?
?
?
?
，
由于(,)()()()
0()()()()
XY Cov X Y E XY E X E Y D X D Y D X D Y ρ-=
==，故,X Y 不相关。
又由于222111
21,11,11
()(,)0,0,x x X x dy x x f x f x y dy ππ-∞
---∞
??--≤≤??-≤≤=
==??????
??
其它其它，
222111
21,11,11
()(,)0,0,y y Y y dx y y f y f x y dx ππ-∞
---∞
??--≤≤??-≤≤===??????
??
其它其它，
由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 和Y 不相互独立。
10、设(,)X Y 服从二维正态分布，且~(0,3)X N ，~(0,4)Y N ，相关系数1
4
XY ρ=-，试写出X 与Y 的联合概率密度。
解：据题意知，120μμ==，213σ=，2
24σ=，14
XY ρ=-
， 而(,)X Y 服从二维正态分布，它的概率密度函数为
22112222221122
12
()()()()11
(,)exp{[2]}2(1)21x x y y f x y μμμμρρσσσσπσσρ----=
--+--， 所以，X 与Y 的联合概率密度为
22
221
1(0)(0)(0)(0)(,)exp{[2(1/4)]}2(1(1/4))34322321(1/4)
x x y y f x y π----=--?-+--??-- 22
18exp{[]}1534
3543x xy y π=-++?。
11、设(,)X Y 服从二维正态分布，且2()X D X σ=，2()Y
D Y σ=，证明：当2
2
2X
Y
a σσ=时，随机变量
W X aY =-与V X aY =+相互独立。
证：据多维正态分布的性质，由于(,)X Y 服从二维正态分布，所以随机变量W X aY =-与V X aY =+的联合分布仍服从二维正态分布。据二维正态分布的性质，不相关性和独立性是等价的，所以，要证随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立，只需证明W X a Y =-与V X aY =+不相关即可，即要证
(,)0Cov W V =。
而(,)(,)()()()()Cov W V Cov X aY X aY E X aY X aY E X aY E X aY =-+=-+--+
222222222()[()()][()()]()(){[()][()]}E X a Y E X aE Y E X aE Y E X a E Y E X a E Y =---+=---
2222
()()X Y
D X a D Y a σσ=-=-，
即22
20X
Y
a σσ-=，解得22
2X
Y
a σσ=，
所以，当22
2X
Y
a σσ=时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
12、设随机变量X 的概率密度为0.5,02
()0,x x f x <
其它，求随机变量X 的1至4阶原点矩和中心矩。
解：随机变量X 的1阶原点矩：2
4
()()0.53
E X xf x dx x xdx ∞
-∞
==?=
??， 随机变量X 的2阶原点矩：2
2
220
()()0.52E X x f x dx x xdx ∞
-∞==?=?
?，
随机变量X 的3阶原点矩：2
3
330
()()0.5 3.2E X x f x dx x xdx ∞
-∞==?=?
?，
随机变量X 的4阶原点矩：2
4
4
40
16()()0.53
E X x f x dx x xdx ∞
-∞
=
=?=
?
?； 随机变量X 的1阶中点矩：(())()()0E X E X E X E X -=-=，
随机变量X 的2阶中点矩：2
2
2
2
42(())()(())2()3
9
E X E X E X E X -=-=-=
， 随机变量X 的3阶中点矩：23
330448
(())()()()0.533135E X E X x f x dx x xdx ∞
-∞-=-=-?=-??，
随机变量X 的4阶中点矩：24
440446(())()()()0.533135
E X E X x f x dx x xdx ∞-∞-=-=-?=??。
13、设随机变量X 服从拉普拉斯分布，其概率密度为||
1()2x f x e λ
λ
-=，x -∞<<∞，其中0λ>为常数，求X 的k 阶中心矩。
解：由于||
1()()02x E X x f x dx x
e dx λ
λ
-∞
∞
-∞-∞===??， ||
1(())(0)()()2x k
k
k
k
k
E X E X E X E X x f x dx x e dx λ
λ
-∞
∞
-∞-∞-=-===??，
当k 为奇数时，被积函数为奇函数，积分区间对称，因此积分为零，即(())0k E X E X -=；
当k 为偶数时，||00
111(())222x x x k
k
k k E X E X x
e dx x e dx x e dx λλλ
λλλ--∞
∞-∞-∞-==+??? 0
1
(1)!x
k
k k t k k x e dx t e dt k k λλλλλ-
∞
∞
-=
==Γ+=???，
所以，当k 为奇数时，(())0k E X E X -=；当k 为偶数时，(())!k k
E X E X k λ-=?。
习题4-4
1、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，试估计{1018}P X <<。 解：令i X 表示第i 次掷骰子时的点数，1,2,3,4i =，据题意知，
1234X X X X X =+++，1234,,,X X X X 相互独立，
1
{}6
i P X k ==
，1,2,,6k = ， 则6
117()62i k E X k ==?=∑，6
2
21
191()66i k E X k ==?=∑，22291735()()(())()6212i i i D X E X E X =-=-=， 故据期望和方差的性质，得123412347
()()()()()()4142
E X E X X X X E X E X E X E X =+++=+++=?
=， 123412343535()()()()()()4123
D X D X X X X D X D X D X D X =+++=+++=?
=， 所以，据切比雪夫不等式，得
{1018}{1014141814}{4144}{|14|4}P X P X P X P X <<=-<-<-=-<-<=-<2
35/313
1448
≥-
=。 2、设随机变量X 与Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，根据切比雪夫不等式估计{||6}P X Y +≥。
解：根据期望和方差的性质，得()()()220E X Y E X E Y +=+=-+=，
()()()2(,)()()2()()142(0.5)123XY D X Y D X D Y Cov X Y D X D Y D X D Y ρ+=++=++=++?-??=， 所以，根据切比雪夫不等式，得22
()31{||6}{|()|6}6612
D X Y P X Y P X Y
E X Y ++≥=+-+≥≤
==。 3、设12,,,n X X X 为随机变量序列，a 为常数，则{}n X 以概率收敛于a 是指 。 解：根据以概率收敛的定义，得对任意0ε>，有lim {||}1n n P X a ε→∞
-<=。
4、设总体X 服从参数为2的泊松分布，12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，则当n →∞，
2
1
1n n i i Y X n ==∑以概率收敛于 。
解：由于总体X 服从参数为2的泊松分布，故()()2E X D X ==，又由于2
2
()()(())D X E X E X =-， 故2
2
2
()()(())226E X D X E X =+=+=，
又因为12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，所以12,,,n X X X 独立同分布于参数为2的泊松分
布。而22
111
111()()()66n n n n i i i i i E Y E X E X n n n =======∑∑∑，
所以，根据以概率收敛的定义，则当n →∞，2
1
1n n i i Y X n ==∑以概率收敛于6。
5、从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品，我们能否相信该产品的废品率不超过0.005？ 解：用反证法。
假设该产品的废品率不超过0.005，即0.005p ≤，
设X 表示任取的200件产品中的废品件数，则~(200,)X B p ，
所以44442004
2002000.005200
(200)(2000.005){4}(1)
0.01534!4!
p p P X C
p p e e ---??==-≈≤=，
即从中抽取4件废品的概率为0.0153，这是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，概率很小的事件在一
次试验中几乎不可能发生，而实际上它确实发生了，因此我们的假设是不成立的，即我们不能相信该产品的废品率不超过0.005.
注：该题目放在第二章中更合适，讲完泊松逼近定理后。
6、一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给死者家属1000元，求：（1）保险公司年利润为0的概率；（2）保险公司年利润不少于60000元的概率。
解：令X 表示一年内投保人死亡的人数，则根据题意知，~(10000,0.006)X b ， （1）保险公司年利润为0表示公司收入等于公司支出，
所求概率为120
120988010000{10000121000}{120}0.0060.9940P X P X C ?====≈，
（2）所求概率为
100000.00660100000.006
{1000012100060000}{60}{
}100000.0060.994100000.0060.994
X P X P X P -?-??-≥=≤=≤????。
60100000.006
(
)(0)0.5100000.0060.994
-?≈Φ=Φ=??。
7、某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一，为此，一家保险公司决定在这个城市新开
一种交通事故险，每个投保人每年缴付18元保险费，一旦发生事故将得到1万元的赔偿，经调查，预计有10万人购买这种保险，假设其他成本为40万元，问保险公司亏本的概率有多大？平均利润是多少？
解：令X 表示该城市的市民在一年里遭遇交通事故的人数， 据题意知，~(100000,0.001)X b ，保险公司亏本的概率为
1000000.0011401000000.001
{1000001840000010000}{140}{
}
1000000.0010.9991000000.0010.999
X P X P X P -?-??-<=>=>????1401000000.001
1(
)1(4)1000000.0010.999
-?≈-Φ=-Φ??，
令Y 表示保险公司的利润，则1000001840000010000Y X =?--，
所以，平均利润为()(1000001840000010000)1000001840000010000()E Y E X E X =?--=?--
1400000100001000000.001400000=-??=元。
8、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05mm ，规定总长度为（200.1±）mm 时产品合格，试求产品合格的概率。
解：令i X 表示第i 部分的长度，1,2,,10i = ，据题意知，
1210,,,X X X 相互独立同分布，且()2i E X =，2()0.05i D X =，
故产品合格的概率为10
10
11
102
19.910220.1102
{200.1200.1}{}100.05100.05100.05i i i i X P X P ==-?-?-?-≤≤+=≤≤???∑∑
10
11020.10.1
{}2(0.63)120.735710.4714100.05100.05100.05
i i X P =-?-=≤≤≈Φ-=?-=???∑。
9、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
解：令i X 表示第i 只元件的寿命，1,2,,16i = ，据题意知，
~(0.01)i X e ，()100i E X =，2()100i D X =，1216,,,X X X 相互独立同分布，
所求概率为16
16
1
2
2
1
16100
192016100{
1920}{}1(0.8)10.78810.211916100
16100
i
i i i X
P X P ==-?-?>=>
≈-Φ=-=??∑∑。
10、检验员逐个地检查某种产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10秒钟，假定每个产品需要重复检查的概率为0.5，求在8小时内检验员检查的产品多于1900个的概率。
解：“8小时内检查员检查的产品多于1900个”等价于“检查1900件产品用的时间小于8小时”。 设10,i X ?=?
?第i 件产品不需重新检查20，第i 件产品需要重新检查
，
由题意知i X 的分布律为
所以100.5200.515i EX =?+?=；222100.5200.5250i EX =?+?=，22()25i i i DX EX EX =-=， 则检查1900件产品需要的时间为121900X X X X =+++ ，且相互独立，
所以1900
1
(
)19001528500i
i EX E X ===?=∑，1900
1
()19002547500i
i DX D X ===?=∑，
因而所求概率为
P{8小时内检查员检查的产品多于1900个}=P{检查1900件产品用的时间小于8小时”}
i X
10 20 p
0.5
0.5
2850083600285006
{8}{
}()(1.38)0.9162475004750019
X P X P -?-=<=<≈Φ≈Φ=。
11、某商店负责供应某地区1000人所需的商品，某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6，假
定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。
解：令1,0,i i X i ?=??
第人需用一件商品
第人不用商品，1,2,,1000i = ，
据题意知，{1}0.6i P X ==，{0}0.4i P X ==，121000,,,X X X 相互独立同分布，
()0.6,()0.60.40.24i i E X D X ==?=，
设商店应预备n 件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销，即1000
1
{}0.997i
i P X
n =≤≥∑。
根据独立同分布下的中心极限定理，得
1000
1000
1
1
10000.6
10000.610000.6
{}{}()0.99710000.24
10000.2410000.24
i
i i i X
n n P X n P ==-?-?-?≤=≤
≈Φ≥???∑∑，
查标准正态分布表，得(2.75)0.997Φ=，所以
10000.6
2.7510000.24
n -?≥?，解得642.6n ≥，
即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。
12、某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月应生产多少只显像管？
解：为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，设该车间每月应生产n 只显像管。 令1,0,i i X i ?=?
?第只像管是正品
第只像管是次品
，1,2,,i n = ，
据题意得，12,,,n X X X 独立同分布，且{1}0.8i P X ==，{0}0.2i P X ==，
()0.8,()0.80.20.16i i E X D X ==?=，
据题意知，1
{
10000}0.997n
i
i P X
=≥≥∑，
根据独立同分布下的中心极限定理，得
1
1
0.8
100000.8100000.8
{10000}{}1()0.9970.16
0.160.16
n
i
n
i i i X
n n n P X P n n n ==-?-?-?≥=≥
≈-Φ≥???∑∑，
查标准正态分布表，得(2.75)0.997Φ=，所以100000.8
2.750.16
n n -?-
≥?，解得12654.58n ≥，
为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，该车间每月应生产12655只显像管。
13、一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而，售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元），1.2（元），1.5（元）各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5，某天售出300只蛋糕，
（1）求这天的收入至少为400（元）的概率；
（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率。
解：（1）令i X 表示售出第i 只蛋糕的价格，1,2,,300i = ， 据题意知，12300,,,X X X 独立同分布，且i X 的分布律为
i X 1 1.2 1.5
k p
0.3 0.2 0.5
所以，()10.3 1.20.2 1.50.5 1.29i E X =?+?+?=，2222()10.3 1.20.2 1.50.5 1.713i E X =?+?+?=，
222()()(()) 1.713 1.290.0489i i i D X E X E X =-=-=，
所求概率为300
300
1
1
300 1.29
400300 1.29400300 1.29
{
400}{}1()3000.0489
3000.04893000.0489
i
i i i X
P X P ==-?-?-?≥=≥
≈-Φ???∑∑
1(3.394)1(3.4)10.99970.0003=-Φ≈-Φ=-=，
（2）令1, 1.20,i i Y ?=?
?
第只蛋糕的价格是
元反之，1,2,,300i =
据题意知，12300,,,Y Y Y 独立同分布，且{1}0.2i P Y ==，{0}0.8i P Y ==， 故()0.2i E Y =，()0.20.80.16i D Y =?=，
所求概率为300
300
1
1
3000.2
603000.2603000.2
{
60}{
}1()1(0)0.53000.16
3000.163000.16
i i i i Y P Y P ==-?-?-?≥=≥
≈-Φ=-Φ=???∑∑。
14、抽样检查产品质量时，如果发现有多于10个的次品，则拒绝接受这批产品。设某批产品的次品率为
10%，问至少应抽取多少个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？
解：设至少应抽取n 个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9。
令1,0,i i X ?=??
第件是次品
反之，1,2,,i n = ，
据题意得，12,,,n X X X 独立同分布，且{1}0.1i P X ==，{0}0.9i P X ==，
()0.1,()0.10.90.09i i E X D X ==?=，
据题意知，1
{
10}0.9n
i
i P X
=≥≥∑，
根据独立同分布下的中心极限定理，得
1
1
0.1
100.1100.1
{10}{}1()0.90.09
0.090.09
n
i
n
i i i X
n n n P X P n n n ==-?-?-?≥=≥
≈-Φ≥???∑∑，
查标准正态分布表，得(1.28)0.8997Φ=，(1.29)0.9015Φ=，所以100.1
1.2820.09
n n -?-
≥?，解得147n ≥，
即至少应抽取147个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9。
总习题四
1、10个人随机地进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X 表示有人的房间数，求()E X （设每个人进入每房间是等可能的，且各人是否进入房间是相互独立的）
解：设0,1i i X i ?=?
?第房间无人，第房间有人
（1,2,,15i = ）
则1215X X X X =+++ ，且i X 之间相互独立。
某人不在第i 个房间，即他在其余14个房间中的任一个，所以某人不在第i 房间的概率为11411514
15
C C =，
第i 个房间无人，即10个人都不在第i 房间，且相互独立，所以其概率为10
14(
)15
， 即1014{0}()15i P X ==，所以1014{1}1()15i P X ==-，因而10
14()1()15
i E X =-
所以10
1215121514()()()()()15[1()]15
E X E X X X E X E X E X =+++=+++=- 。
2、某城市一天内发生严重刑事案件数Y 服从以1/3为参数的泊松分布，以X 记一年内未发生严重刑事案件的天数，求X 的数学期望。
解：Y 的分布律为1/3
(1/3){}!
k P Y k e k -==
，0,1,2,k = ， 设1,(1,2,,365)0,i i X i i ?==?
? 第天未发生重大刑事案件；
第天发生重大刑事案件；
所以1/3{1}{}{}{0}i P X P i P i P Y e -======第天未发生第天发生0次， 所以1/3
{0}1{1}1i i P X P X e
-==-==-，
则一年内未发生严重刑事案件的天数12365X X X X =+++
所以，365
1/3
123651
()()()365i
i E X E X X X E X e
-==+++=
=∑ 。
3、将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求()E X 。
解：引入随机变量?
??=号球号盒装非第号球
号盒装第第i i i i X i 01，1,2,,i n = ，
则球盒对号的总配对数为∑==
n
i i
X
X 1
， i X 的分布律为
1()i E X n
=
，
1,2,,i n = ，
11
)()(
)(1
1
=?
===∑∑==n
n X E X E X E n
i i n
i i 。 4、某车间生产的圆盘直径在区间(,)a b 服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。 解：设X 为圆盘的直径，则其概率密度为
1
,()0,a x b f x b a
?<
=-???
其它 用Y 表示圆盘的面积，则从而,4
1
2X πY =
33222211()()()()444()312
b a b a E Y x f x dx x dx a ab b b a b a ππππ+∞
-∞
-===?=++--?
?。 5、设X 与Y 是相互独立且均服从正态分布(0,0.5)N ，求||X Y -的数学期望。
解：因为X 与Y 独立同分布于(0,0.5)N ，所以根据正态分布的性质及期望与方差的性质，得
~(0,1)Z X Y N =-，
所以，22
1
2
(||)(||)||()22z z E X Y E Z z f z dz z
e dz π
π
∞
∞
-
-∞
-==
==
?
?。
6、甲乙两人约定于某地在12：00~13：00会面，设X ，Y 分别表示甲乙到达的时间，且相互独立，已
知X ，Y 的概率密度分别为23,01()0,X x x f x other
?<<=??，2,01
()0,Y y y f y other <
X i :
1
i
p
n 1
n
n 1
-
求先到达者需要等待的时间的数学期望。
解：设Z 表示先到达者需要等待的时间，则||Z X Y =-，
因为X ，Y 相互独立，所以26,01,01
(,)()()0,X Y x y x y f x y f x f y other
?<<<<==??
所以，11122
0001()(||)||(,)()6()64
x x E Z E X Y x y f x y dxdy dx x y x ydy dx y x x ydy ∞∞
-∞-∞=-=-=-+-=?
?????（小时）。 7、设某厂生产的某种产品不合格率为10%，假设生产一件不合格品，要亏损2元，每生产一件合格品，则获利10元，求每件产品的平均利润。
解：令X 表示每件产品的利润，据题意知， X 的分布律为
X 2-
10 i p
0.1 0.9 则每件产品的平均利润为()(2)0.1100.98.8E X =-?+?=（元）。
8、投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第i 次投中得分为(4)i -分，1,2,3i =。若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试的平均次数为1.56次，
（1）求该人投篮的命中率；（2）求该人投篮的平均得分。
解：令X 表示该人投篮的次数，Y 表示该人投篮的得分，p 表示该人投篮的命中率， （1）据题意得，X 的分布律为
X
1 2 3
i p
p
(1)p p - 23(1)(1)p p p -+-
232()12(1)3[(1)(1)]33E X p p p p p p p p =?+?-?+?-+-=-+，
而已知某人投篮测试的平均次数为1.56次，即() 1.56E X =，即233 1.56p p -+=，解得0.6p =，
2.4p =（舍去），即该人投篮的命中率为0.6。
（2）Y 的全部可能取值为0,1,2,3,
33{0}(1)(10.6)0.064P Y p ==-=-=，22{1}(1)(10.6)0.60.096P Y p p ==-=-?=，
{2}(1)(10.6)0.60.24P Y p p ==-=-?=，{3}0.6P Y p ===，
即Y 的分布律为
Y 0 1 2 3
k p
0.064 0.096 0.24 0.6
随机变量的数字特征试题答案
随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26
7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ）
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10
2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy
《概率论与数理统计》实验报告答案
《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期
实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-
随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=<
四、随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
随机变量的数字特征练习题
1.设随机变量X的概率分布为 X 1234 p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知 E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8; E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42× 1/8=61/8; E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8. 2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 ; ; ; . 因此E(X)=0×7/24+1× 21/40+2×7/40+3×1/120=9/10; E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10; ∴
D (X )= E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100. 3.一批零件中有9个合格品与3个废品 , 在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差. 解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数. 所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为 P (X =0)=9/12=3/4 ; ; ; . 所以由数学期望公式得到 E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ; E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ; ∴ D (X )= E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319. 4.射击比赛,每人射 四次(每次一发),约定全部不中得0分, 只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中 解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）
A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥-
第三章 随机变量的数字特征答案
第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-=
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》
实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数
a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+?
设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX
例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX
随机变量的数字特征教案
§2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分
100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：
凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=??
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>
plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果：
随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。
教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛）
随机变量数字特征习题课
第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数
常微分 练习题
习题四 随机变量的数字特征 一、填空题 1.若随机变量X 服从区间[a,b]的均匀分布，则E X =______, D X =_____ 2.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)( X-2)]=1,则λ=___ 3.设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，k,b 为常数，则有E(k X+b )=_______ D(k X+b )=__________ 4.若随机变量X 服从二项分布B(n,p )，且EX=6，DX=3.6，则n =______, p =____ 5.设随机变量X 1,X 2,X 3互相独立,且X 1～U(0,6),X 2～N(0,),X 2 23～P(3),记Y= X 1-2X 2+3X 3，则E(Y)=__,D （Y ）=___. 6*.设X 与的联合分布律为： 则Y X 与Y 的联合相关系数 XY ρ=____________ 7. 设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，则随机变量 1,0,,Y ?? =??? 若X>0若X=0-1若X<0，则方差D(Y)= . 8*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y 与Z 的相关系数为 。 9*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX 2=EY 2=2,则E(X+Y)2= . 10.随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X > = 。 二、选择题 1.设随机变量X 的概率密度函数为f （x ）=0.10.100 0x e x x ??>??≤?? ，则E （2X+1）=【 】 A 1.2 B 41 C 21 D 20 2. 设X 是随机变量，EX=1，DX=3，则E[3(X ?2+2)]= 【 】 A 18 B 9 C 30 D 36 3.设X 是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C ，必有 【 】 A E(X-C)2=EX 2-C 2 B E(X-C)2=E(X-μ)2 C E(X-C)2≤E(X-μ)2 D E(X-C)2≥E(X-μ)2
随机变量的数字特征归纳
第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布
设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1
(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=
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