椭圆周长和面积计算公式
椭圆周长、面积公式
椭圆定理（又名：椭圆猜想）
椭圆定理
（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。）
一、椭圆第一定义
椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。）
M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。
二、椭圆定理
（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）
椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）
（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）
定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）
椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；
2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；
3、当椭圆b 定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位） 当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。 定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。 椭圆定理Ⅲ：椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b 三、椭圆周长、面积计算公式和定理 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周 长、面积计算公式，一个为体，一个为用。 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4a 椭圆周长猜想：L=(2πa-4a)T （2） T是猜想的椭圆周率。将（1）等式与（2）等式合并，得： 4a<(2πa-4a)T<2πa（3） 根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有： 4a/(2πa-4a) 简化表达式（4）： 2/(π-2) 定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2) 计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数： K1＝1.75193839388411……K2＝2.75193839388411…… 椭圆第二常数：K2=K1+1 椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。 （二）椭圆周长公式推导 长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，f=b/a 。根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0 K1+f 定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有： L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f) =2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b) 椭圆周长计算公式：L=2πb+4(a-b) （三）椭圆面积公式推导 椭圆面积的取值范围：0 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。如：上式中πa2为π乘a的二次方。）椭圆面积猜想：S=πa2T（6） T是猜想的椭圆面积率。将（5）等式与（6）等式合并，得： 0<πa2T<πa2（7） 根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：0 S=πa2T=πa2(K+f)（8） 在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中： S=πa2b/a=πab 椭圆面积计算公式：S=πab 关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题 易亚苏 《椭圆定理》一文中有：“定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。定义3：T=K1+f，T为椭圆周率”。有聪明的网友提出“定义：T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。 （一） 在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并“定义：T=K1+f”（《椭圆定理》中也有此定义，见上）。《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:2/(π-2) 定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)。这样定义理当无可非议。 那么，K1 由椭圆定义，a>b>0,因为f=b/a,即0 注：椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念，“定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。 其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于“椭圆单位”的思考而来。 （二） 研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数： K1＝1.75193839388411…… K2＝2.75193839388411…… 这两个奇特的数里包含了π，π是圆周率，f=b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了π的特定数，所以定义T为“椭圆周率”。椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值π，椭圆周率是变化的值T=k1+f，它随椭圆b与a的比值变化而变化。从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了a>b>0，所以只能称“圆是椭圆的范围”，而不能称圆是特殊的椭圆。但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出“圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。 （三） 笔者认为任何科学研究的方法都基于：1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出结论；4、对结论进行检验。《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。笔者认为论文不在长短，而在其价值。当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式），那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。任何科学的原始依据从哪里来？从发现来。对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。 （四） 椭圆周长无疑在4a 在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”，可惜网上尚未能表示出“验算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)进行序列的直观检验。椭圆周长计算公式L=2πb+4(a-b)中虽然没有出现椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 （五） 当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0，也可以不代表0。随着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。 任一部分椭圆面积 椭圆周长 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 近似L=√(4abπ^2+15(a-b)^2)(1+MN) ( M=4/√15-1 、N=((a-b)/a)^9 ) 近似L=πQ(1+3h/(10+√(4-3h))(1+MN) ( Q=a+b、H=((a-b)/(a+b))^2、M=22/7π-1、M=((a-b)/a)^33.697 、) 标准L＝Qπ(1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…) (h＝(a-b)/(a+b)，Q＝a+b，) 几何图形及计算公式查询 中考数学椭圆的面积公式考点总结 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，那么 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/ C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A, B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△0无交点 相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2 b^2/a 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 谈一谈椭圆周长公式的求法 基础数学对于我们各各学科的发展中都起着非常重要的作用，但在基础数学领域中也有许多令我们无法精确解决的问题。比如：如何精确计算椭圆周长公式，体现在实际应用中的像在航天方面如何更精确计算卫星所经过的轨道等等。基础数学看上去是很枯燥的，但它是值得我们深入探究的一门基础学科，在十几年的学习和研究过程中，数学的魅力深深地吸引着我。 为了让我们比较容易地了解椭圆，请看下面圆在各种情况下的投影图；在投影图中，我们假定光线垂直射向纸面，那么 1) 当圆面平行于纸面时，则圆在纸面上的投影就是圆本身，此时b=a 。 2）当圆面与纸面倾斜任意角度α时 （α>0℃，α<90℃），则圆在纸面上 的投影都是椭圆，此时b ≠a ，b ≠0。 3）当圆面垂直于纸面时，则圆的上半 周与下半周重合，他们在纸面上的投 影是圆的两条重合的直径，此时b ＝0。 以上投影图的描述就是椭圆变化的全过程，任何椭圆都可以在这个变化过程中找到。 椭圆是人们很熟悉的几何图形，可是要想计算他的周长可不是那么容易，请看高等数学关于椭圆周长的证明； ?-20 22t cos e 14πa L ＝dt ＝4a ·E(e ·π/2) 由上式的证明可以导出： ()??? ? ??++++++=????????-??? ??????=??? ????-??? ??-=ΛΛΛΛ1638425256644156425313423121128 6422624222 1λλλλππαb a L e e e L 注：a b a a c e 22-==,b a b a +-=λ,当b=a 时，则e=λ=0,这时： ()()()ΛΛΛΛ++++++==----=0000120001221a a L a a L πππ 当b=0时，则e=λ=1,这时： ()?? ? ??++++++=??? ?????-??? ??????-??? ????-??? ??-=ΛΛΛΛ16384252561641411051642531314231211222221a L a L ππ 演示表明：L 1和L 2仅是椭圆的近似公式，迄今为止高等数学也不能彻底精确地解决椭圆周长的计算问题。 我通过大量的实验、观察与计算求导出来的以下精确计算椭圆周长的公式，其中c 2=a 2-b 2 当b ＞a/2时， ()2222222 224224c b c a b a b b a a c b L +??????-++++=ππ 当b ＝a/2时， 222222424c b b a a c b L ++++=ππ （中点公式） 当b ＜a/2时， ()2222222 224224c b c b b a a b a a c b L +??????-++++=ππ 以上这三个公式实质是一个公式，它表明了椭圆的不同状态，这种状态 椭圆面积公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 1、同学们，你们喜欢打篮球吗？一定熟悉篮球场吧。 2、出示篮球场的挂图，让学生仔细观察。 师：从图中你知道了什么？ 生：（回答从略） 师：你能提出数学问题吗？ 生1：沿着篮球场的边线走一圈，走了多少米？ 生2：篮球场的周长是多少米？ 3、自己动手算一算。 4、在小组里说一说自己的算法，并说明这样算的理由。 5、全班进行交流。 生1：28+15+28+15，我是一条一条加起来的。 生2：28+28+15+15，我是二条长加上二条宽的。 生3：28×2=56（米）15×2=30（米）56+30=86（米），我二条长是用乘法算的。 生4：28+15=43（米）43×2=86（米），我上台来说明，指着图说出来。 师：你喜欢哪种算法？说说你的想法。 师：你认为求长方形的周长需要知道什么条件？怎样计算呢？ 6、试一试：“一条正方形的手帕的边长是25厘米，它的周长是多少？” （1）学生试做。 （2）在小组里交流你的做法。 [反思] 教师应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在研究长方形的周长的计算方法过程中，教师给学生营造了自主探索、合作交流的氛围，学生是学习过程的主人。长方形周长的计算方法，是学生在观察、思考、计算、讨论等活动中自主探索并掌握的。让学生在比较的过程中，自己来选一选，来感悟体验哪一种长方形周长的计算方法好，既有利于培养学生主动学习和探索的习惯，促进学生学习方式的转变，同时也有利于学生实现算法的优化，有利于对长方形周长计算方法的掌握。 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上，在学生初步理解掌握长方形周长的计算方法后，将正方形周长的计算方法直接放给学生试做，教师为学生创造了发现、探索、研究的机会，体现了数学学习是一个再创造的过程。 教学目标： 1.使学生通过观察.交流等活动，探索并掌握长方形和正方形的周长计算方法。 2.使学生通过观察.测量和计算等活动，在获得直观经验的同时发展空间观念。 3.使学生在学习活动中体会现实生活中的数学，发展对数学的兴趣，培养交往.合作的探究的意识与能力。 设计理念 一、创设生动情境，激发学生探索的动机。 椭圆定理（又名：椭圆猜想） 椭圆定理 易亚苏 （关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。） 圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。 一、椭圆第一定义 椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式： MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。） M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且 a>b>0；2c表示焦距。 二、椭圆定理 （一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理） 椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。 附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略） （二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理） 定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。 定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。 定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。 椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。 （三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理） 椭圆具有三特性，也称椭圆三态。 1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内； 2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上； 3、当椭圆b 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 正方形 面积：边长×边长 周长：边长×4 长方形 面积：长×宽 周长：（长+宽）*2 平行四边形 面积=底边*高/2 周长=（底+高）×2 三角形 面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边 周长c=a+b+c 梯形 面积=｛（上底+下底）×高｝÷2 周长=四边之和 圆形 面积=πR2 周长=2πR （R为半径） 椭圆形 面积=A = PI * 半长轴长* 半短轴长 周长= 4A * SQRT(1-E^SIN^T)的(0 - π/2)积分, 其中A为椭圆长轴,E为离心率精确计算要用到积分或无穷级数的求和 半圆形 周长=2R(丌+1) 面积=(丌R的平方)/2 正多边形 面积： 正多边形内角计算公式与半径无关 要已知正多边形边数为N 内角和=180(N-2) 半径为R 圆的内接三角形面积公式:(3倍根号3)除以4再乘以R方 外切三角形面积公式:3倍根号3 R方 外切正方形:4R方 内接正方形:2R方 五边形以上的就分割成等边三角形再算 内角和公式——（n-2）*180` 我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为 |x1 x2 x3| S(A,B,C) = |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)]*0.5 |1 1 1 | (当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的) 对多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)，设平面上有任意的一点P，则有： S(A1,A2,A3，、、、,An) = abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1)) P是可以取任意的一点，用(0，0)时就是下面的了： 设点顺序(x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn) 则面积等于 |x1 y1| |x2 y2| |xn yn| 0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | ) |x2 y2| |x3 y3| |x1 y1| 其中 |x1 y1| | |=x1*y2-y1*x2 |x2 y2| 因此面积公式展开为: |x1 y1| |x2 y2| |xn yn| 0.5 * abs( | | + | | + ...... + | | )=0.5*abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) |x2 y2| |x3 y3| |x1 y1| 周长=n*边长 扇形 面积=1/2rl或1/2ar^2 r为半径，l为扇形弧长，a为扇形的圆心角 l=ar 周长=弧长+2r=nπr/180 +2r 《圆的周长计算公式》 万建里 教学《圆的周长计算公式》时，教师可让学生利用圆片、铁丝圈、直尺、彩带等材料，测量圆周长。当学生探讨出不同的测量方法后，教师演示（拿着一个一端系有小球的绳子，手执另一端并不停地甩动形式成圆的轨迹），设疑；你们还能用刚才的方法测量出这个圆的周长吗？然后让学生猜一猜，圆的周长可能与它的什么有关？接着让学生把圆的周长与直径比一比，看看它们有什么关系？并让学生小组合作量出圆的周长和直径，算出圆的周长与直径的比值。通过实践探索，学生不难发现圆的周长与直径之间的倍数关系。这样学生就很自然地推导出圆的周长公式。由此可见，学生借助学具自主操作亲自去经历、去实践，获得的圆的周长公式，比教师直接灌输的知识理解得更深刻、记忆更牢固。 首先教师为学生提供了几个大小不一的圆，材质也不一样，有的是用纸板做的，有的是用软布做的，有的是用铁丝围成，有的画在纸上，要求学生分组活动测量出这些圆的周长，每一小组桌上都有教师预先放在桌上的材料工具，包括绳子、纸条、彩笔、尺子、剪刀等。小组活动时，学生纷纷把材料一一选出，逐样试验。一会用绳子绕，一会用纸条围，一会在桌上滚圆一会用剪刀比划着……在学生作讨论、动手活动中产生了许多简易又灵活的方法：生1：圆周是曲线不能直接用尺量，先用纸条围纸板圆一周，再把纸条展开后用尺量。生2：也能用绳子绕。生3：先在纸板圆周上用彩笔做一点标记，把标记放在尺的0刻度上，向前滚动一周，读出刻度。生4：把铁丝圈剪开，再拉直了测量。生5：沿桌边滚一周后直接测量桌边也行。生6：我把布圆对折再对折下去，这条曲线就能用尺小心的量了。这所有的方法归结起来就是绕圈法、滚动法、化曲为直法，而且这些方法得到了很多小组的赞同与证实。 丰富的实践源自巧妙的设计这个活动只是《圆的周长》一课中的一部分，教学目标是为了使学生掌握一些生活中的简易又灵活的测量圆周长的方法，是下面测量圆周长和直径、探求他们比值关系的基础。教师设计安排的这个小组活动充分体现了数学新课程表准中强调的“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”这一理念。现代教育主张“要让学生动手做科学，而不是只用耳朵听科学”。因此，在教学中要加强学生动手操作能力的培养，把操作同观察、思维、语言表达有机结合，使学生逐步从具体的操作有效的转化为内部智力活动。特别是教师提供的不同材质的圆，深化了知识难度。每一个圆都是一个新问题，它们向学生设置了一个个具体的问题情境，激起学生寻找适当方法解决不同问题的愿 世界上精度最高的椭圆周长初等公式 成都七中高中远程教学 周钰承 根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式： ??? ? ?????+??? ??+??? ?????+??? ???+??? ??++?=82624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C （1） 公式（2）中，b a b a +-= λ。 这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +?π，我们可以把（1）中括号里从第二项起称为椭圆率多项式： ?+?? ? ??+??? ?????+??? ???+??? ??=8 2 624222!!8!!56423142121)(λλλλλf （2） 通常，我们要计算椭圆周长，必须先给出一个精确度。 假如要求我们误差率低于d ，我们设需要计算到椭圆率多项式第n 项，不妨设2≥n ，则椭圆率多项式（2）中，第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式： d n n n n n n n n n λ λd n （3） 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4a 高中数学课题研究：椭圆的面积和周长 成都七中高中远程教学 周钰承 ★ 目标：综合运用高中所学知识，计算椭圆面积和周长，以提高学生的学习 兴趣和实际运用能力。 ★ 重点：函数模型；无穷等比数列求和；极限与导数；几何概型。 ★ 难点：用数学归纳法证明不等式；近似值与误差的笔算方法。 课题引入：宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，现实世界椭圆无处不在。美丽的椭圆无时无刻出现在我们的视野，但无时无刻被我们所忽视或回避。 椭圆面积与周长的计算，可以在高中阶段进行学习吗？ 经过笔者探索发现，高中阶段不仅可以理解、计算椭圆面积与周长，而且在这个学习过程中，学生对函数建模、不等式证明、数列、指数运算等知识点都能起到复习与提高的作用。 本课题以计算椭圆面积和周长为契机，训练学生的数学思维能力和实际运用能力。 １．椭圆面积公式的推导 如图１，用一个平面斜截一个圆柱，再补合成一个斜圆柱，则底面必是一个椭圆。根据祖暅原理，斜圆柱的体积等于底面积乘高。根据图中有关信息，让学生推导椭圆面积公式。 图１．椭圆面积的推导 根据图示，我们推导得出椭圆面积公式： ab S ?=π椭圆 (1) 例1．小明与小红做游戏，规定：小明在区间)2,0(内任写一个实数x ，小红在区间 )1,0(内任写一个实数y 。若满足不等式4412 2 <+ 集，因为)1,0(),2,0(∈∈y x ，所以公共部分是一个小椭圆外部与一个大椭圆内部在第一象限部分，如图2中阴影部分： ()8 321112414 1πππ=??? ????-??= -= 小椭圆 大椭圆 阴影S S S 图2 所以，小明获胜的概率是：()2 116 3128 3> = ?÷= ππ矩形 阴影 S S 答：小明获胜概率大。 ２．椭圆周长的精确计算 根据微积分基本定理，可以写出椭圆周长的定积分公式。但由于被积函数的原函数不 是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式： ??? ??????+??? ??+??? ?????+??? ???+??? ??++?=8 2 624222!!8!!564231421211)(λλλλπb a C (2) 公式（2）中，b a b a +-= λ。 这个公式表明，椭圆周长的主要部分为)(b a +?π，我们 可以把（2）式中括号里从第二项起称为椭圆率多项式： ?+?? ????-++??? ?????+??? ???+??? ??=n n n f 22 6 2 42 22 !)!2(!)!32(...6423142121)(λλλλλ (3) 一般情况下求椭圆周长，只须计算到)(λf 前两项就能达到较高的精确度，因而往 往可以笔算。但是，当λ很大时，比如95.0=λ时，得算到椭圆率多项式第五十多项才 能保证误差率低于一万分之一。为了减少计算项数，我们可以构建一个新的函数模型，用以解决λ很大时的计算问题。 我们把椭圆率多项式)(λf 中的系数简化得： ?+??????????? ?-+++++=n n n f 28 76 44 32 !)!2(!)!32( (425) 41 41 41 )(λλλλλλ (4) 椭圆周长和面积计算公式 椭圆周长、面积公式 椭圆定理（又名：椭圆猜想） 椭圆定理 （关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。） 一、椭圆第一定义 椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。） M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。 二、椭圆定理 （一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理） 椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。 附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略） （二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理） 定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。 椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭 圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的 数值等于椭圆周率T的数值。 （三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理） 椭圆具有三特性，也称椭圆三态。 1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内； 2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上； 3、当椭圆b 常用图形周长面积体积计算公式: 1、正方形 C周长 S面积 a边长 周长=边长×4 面积=边长×边长 C=4a S=a×a S=a2 2、正方体 V体积 a棱长 (1)表面积=棱长×棱长×6 (2)体积=棱长×棱长×棱长S表=a×a×6 表=6a2 V=a×a×a V= a3 3、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 V体积 S面积 a长 b宽 h高 (1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 (2)体积=长×宽×高 S=2(ab+ah+bh) V=abh 5、三角形 S面积 a底 h高 面积=底×高÷2 S=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形 S面积 a底 h高 面积=底×高 S=ah 7、梯形 S面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)× h÷2 8、圆形 S面积 C周长π圆周率 d直径 r半径 周长=直径×π 周长=2×π×半径 面积=半径×半径×π C=πd C=2πr S=πr2 d=C÷π d=2r r=d÷2 r=C÷2÷π S环=π(R2-r2) 9、圆柱体 V体积 h高 S底面积 r底面半径 C底面周长侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 S侧=Ch S侧=πdh V=Sh V=πr2h 圆柱体积=侧面积÷2×半径 10、圆锥体 V体积 h高 S底面积 r底面半径 体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3 长度单位换算 1千米=1000米；1米=10分米；1分米=10厘米； 1米=100厘米；1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷；1公顷=10000平方米； 1平方米=100平方分米；1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米；1平方米＝0.0015亩； 1万平方米=15亩； 1公顷＝15亩＝100公亩＝10000平方米； 1公亩等于100平方米；1(市)亩等于666.66平方米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米；1立方分米=1000立方厘米；1立方分米=1升；1立方厘米=1毫升； 1立方米=1000升 重量单位换算 1吨=1000千克；1千克=1000克；1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角；1角=10分；1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年；1年=12月； 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月； 小月(30天)的有:4\6\9\11月 平年2月28天,闰年2月29天； 平年全年365天,闰年全年366天 1日=24小时1时=60分； 1分=60秒1时=3600秒 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式： (和＋差)÷2＝大数；(和－差)÷2＝小数 和倍问题： 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数) 差倍问题： 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 植树问题 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 椭圆周长 椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。 在平面坐标系内 椭圆的标准方程为 1 22 22=+b y a x ，.0,0>>b a 参数方程为 ()πθθθ20,sin ,cos ≤≤==b y a x 当b a >时，椭圆图像为 微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。 若某条光滑曲线，能用参数方程表示 ()t X x =，()t Y y = 当βα≤≤t 时，该段曲线的长度L 可表示为 ()[]()[] dt t Y t X L ? +=β α 2 2 '' 下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则 () θ θθ θθθθθπ π π d e a d b a d b a L ???-=+-=+=2 2 2 2 22222 2222cos 14cos cos 14cos sin 4 …………………○ 1 其中a c a b a e =-= 2 22，椭圆的离心率。 这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公式把θ22cos 1e -展开。 ()()+--+-+ +=+3 2! 3)2)(1(!2111x k k k x k k kx x k …… 当2 1=k 时，可得 ()()∑∞ =---++=+2 1 ! 2!!321211n n n n n x n x x 在此式中令θ2 2cos e x -=可得 长方体和正方体的周长面积和体积计算公式大全 周长： 长方形周长公式=（长+宽）X2 正方形周长公式=边长X4 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径，或=圆周率×半径×2 面积： 长方形面积=长X宽 正方形面积公式=边长X边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 圆的面积=圆周率×半径×半径 容积：容器若能容纳的物体的体积： 表面积：长方体或正方体六个面的总面积。 正方体的表面积：S=6a×a（棱长×棱长×6） 正方体体积公式：V=a×a×a（棱长×棱长×棱长） 长方体的表面积：S=2×(ab+bc+ac)((长×宽＋长×高＋宽×高）×2） 长方体体积公式：长X宽X高 长方体棱长总和公式：（长+宽+高）X4 正方体体积：Va×b×c（长×宽×高） 正方体棱长总：棱长X12 圆柱体的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱体表面积=上下底面面积+侧面积，[或S=2π*r*r+2π*r*h（2×π×半径×半径+2×π×半径×高）] 圆柱体的体积=底面积×高，[或V=π *r*r*h（π×半径×半径×高）] 圆锥体积：V=S底×h÷3（底面积×高÷3） 正方体体积公式：棱长X棱长X棱长 通用体积公式：底面积X高 长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之，两个相同，体或长方体拼在一起， 一次会减少两个面。 长方体和正方体的特征，相同点和不同点要牢记。 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 初中数学《椭圆》的几何公式定理 中考数学考点复习指导：椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L=∫[0，π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1，因为2a>2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c，0)与准线x=+a^2/C)的距离，数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m① x^2/a^2+y^2/b^2=1② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式：A(x1，y1)B(x2，y2) |AB|=d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)(y1-y2)^2 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2b^2/a 椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(x，y)的切线斜率为-(b^2)X/(a^2)y 椭圆周长公式的推导 椭圆周长 椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。 在平面坐标系内 椭圆的标准方程为 122 22=+b y a x ，.0,0>>b a 参数方程为 ()πθθθ20,sin ,cos ≤≤==b y a x 当b a >时，椭圆图像为 微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。 若某条光滑曲线，能用参数方程表示 ()t X x =，()t Y y = 当βα≤≤t 时，该段曲线的长度L 可表示为 ()[]()[]dt t Y t X L ?+=β α22'' 下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则 () θθθθθθ θθπ π π d e a d b a d b a L ???-=+-=+=2 0222 022222 02222cos 14cos cos 14cos sin 4 …………………○ 1 其中a c a b a e =-=222，椭圆的离心率。 这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公式把θ22cos 1e -展开。 ()()+--+-+ +=+32!3)2)(1(!2111x k k k x k k kx x k …… 当21=k 时，可得 ()()∑∞=---++=+21!2!!321211n n n n n x n x x 在此式中令θ22cos e x -=可得中考数学椭圆的面积公式考点总结
椭圆周长公式的求法
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高中数学课题研究：椭圆的面积和周长
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初中数学《椭圆》的几何公式定理
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