三年级奥数-周长
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第六讲
几何问题（一）
基本概念
①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长.
②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积.
基本公式：
①长方形的周长=2 （长…宽），面积=长宽.
②正方形的周长=4边长，正方形的面积 =边长边长.
常用方法：
对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一
些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解.
转化是一种重要的数学思想方法：在转化过程中要抓住变”与不变”两个部分.转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积.转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图
形.
寻求正确有效的解题思路：意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径?因此，我们在
解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题. 也
就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题?这种解决问题的思想在数学中叫化归”它是数学思维中重要的思想和方法.
在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的.这样的图形我们称为不规则图形?不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算?那么，不规则图形的面积怎样去计
在原有图形结构中
解决问题较困难
在新的图形结构中
解决问题较容易
算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段.
平移：在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计 算?其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状 与大小，所以图形面积是保持不变的?利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷 明快，颇有新意.
割补：割补法在我国古代叫 出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在 《九章
算术注》中就明确地提出 出入相补，各从其类”的出入相补原理.这个原理的内容是几何图 形经过分、合、移、补
所拼凑成的新图形，它的面积不变.
对称：平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形?轴对称图形沿对称轴折叠，轴 两侧可以完全重合?也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的 面积?熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助.
代换：在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧.
本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化 为规则图形的方法，包括平移、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求 周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.
例题精讲
【例1】下图表示一块地，四周都用篱笆围起来, 南边篱笆长
23米?四周篱笆长多少米？
【解析】因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，可以将东西方向的篱笆平移到最 外边得到线段
AD ,将南
北方向的篱笆平移到最外边得到线段 BD ,则折线ACB 的
长等于折线ADB 的长.
所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等?列式为： 四周篱笆长为：(23 17) 2=80(米)
【解析】把那些与水平方向平行的小线段都 ”放”下来，恰好与底边一致；把竖直方向的小
线段都依次”贴到”左边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为 6分米，所 有的短竖线的长的和为 7分米，图形的周长为(6 7) 2 =26(分米)
转弯处都是直角.已知西边篱笆长17米,
东
【巩固】
【巩固】计算右边图形的周长（单位：厘米）。
【解析】要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件。但是，我们仔细观察这个图 形，发现它的每一个角都
是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别 向上、向右平行移动到虚线处 （见右下图），这样正好移补成一个长方形。求长方形 的周长就易如反掌了。所以图形的周长是： （10 15） 2=50
（厘米）。
【解析】 平移法转化为长方形再求.［（120 + 130+60） + （70+250）:
8283= 3780（米）.
【巩固】图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是
22厘米，那么图
⑵的周长是多少厘米?
【解析】图⑴的周长是小正方形边长的
12倍，图⑵的周长是小正方形边长的 18倍，因此, 图⑵的周长为22-12
心8=33厘米.
【例3】下图的小正方形边长为 1厘米?这个图形的外沿的周长是多少厘米?
【例2】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米.
它的周长是多少厘米
?
【解析】平移转化为求长方形的周长，长方形的长
5+6=11（厘米），宽1+3=4（厘米），周长
【巩固】 (11+4) 2=30(厘米),[(5+6)+(1+3)]
2=80(厘米)，它的周长是 30 厘米.
如下图是某校的平面图，已知线段
=250米.杨老师每天早晨绕学校跑
a = 120 米，
b = 130 米，
c = 70 米，
d = 60 米，I 3圈，问每天跑多少米？
(1) (2)
【解析】28
厘米
【例4】一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是 6厘米的正方形，剩下的图形的周 长是 .（写出所有可
能的结果）
【解析】周长为
6厘米的正方形的边长为：
6-、4=1.5（厘米），周长为20厘米的正方形的边
长为20-4 =5（厘米），在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：
对于图1的周长，与原来正方形的周长相等，为 20厘米；图2的周长，观察可以发
现，比原来正方形的周长多了两条小正方形的边，即为：
20 1.5 2 = 23（厘米）.
【巩固】求右图的周长.
【解析】140
厘米
【例引求下图的周长.
通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上
（50+35） 2+10 >2=190（厘米）.
【例6】（第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛
）下面两张图中，周长较大的是 ______________________ .（在横
线上填写表示图名的字母
）
【解析】 AB 、CD 的长，即有周长为
【巩固】如下图，正方形操场边长 100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地
我们分别求甲、乙的周长.甲的周长可转化为长方形周长（如图），即为
（100+50+30） 2=360（米）.再求乙的周长.
乙的周长等于长方形周长加上
2个30
米，即为（100+50） >2+30X2=360（米）.所以它俩走的一样长.
八
50
V
-------- 50 --------- 7
10
这道题最简单的方法也是用平移法来解?下面我们来看一个基本解法.
这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图 形的周长.仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就 可以使左边的矩形变得完整?所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再 加上右边矩形的一条已知边长的 2倍. 即：（50 10） 2 50 2=220（分米）
如图是一个机器零件的侧面图， 图中每一条最短线段长 5厘米，这个零件高30厘
米，求这个零件侧面的周长是多少厘米？
14
10
14
【解析】通过平移比较发现
B 比A 多两小段边，题得 B 的周长较大.
它们各走了多少米?
【解析】 【巩固】 求右图所示图形的周长（单位：分米） 【解析】 【例7】
low
走了一圈，谁走的路长? 100
米
【解析】采用平移，零件侧面的周长等于长方形周长加上内部
（5 >7+30）忽+5 X10=180（厘米）.
【例8】下图是一面砖墙的平面图， 每块砖长
20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层… 一共摆十层，求摆好
后这十层砖墙的周长是多少？
【解析】我们仍然可以通过平移转化为长方形来求?长方形的长是
10块砖的长度，即
20 >0=200（厘米），宽是10块砖的宽度，即 8 >0=80（厘米），所以十层砖墙的周长 是（200+80） >2=560（厘米）.
【巩固】 把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长?
【例9】右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是 400平方厘米,
那么它的周长是多少厘米？
【解析】考虑此类问题我们即可以局部分析，各个突破，也可以纵观全局整体思考.
每个正方形的面积为 400F6 =25（平方厘米）,所以每个正方形的边长是 5厘米.观 察右图，这个图形的周长从上下方向来看是由
7 2=14条正方形的边组成，从左
10条最短线段长，即
1 l
「 i
| 1 f "i r 1 ； | 1 r □
1 J J L H H i ：
1 1 1 1 ;i L 1
丄
L
il
r
?
.1
-
.■■
J
1. J .1
1 4
■ fl
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【解析】 66厘米
t ~I
1 T
右方向来看是由4 2-3 4 =20条正方形的边组成，所以其周长为
5 14 5 20 =170厘米.
【巩固】下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的土”字图形?试求出其周长.
【解析】周长是由24条1厘米的边长组成，所以周长=1X24=24（厘米）.
【例10】如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见
图（单位：厘米）?求：图中所有长方形的周长之和.
【解析】类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次?因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可以利用上一个问题的结论来解决这个问题.当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算?先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为
4、3、1、2的线段分别被计算了4、6、6、4次?然后再考虑大长方形的宽：因为共有4*1=10个长
方形，所以长度为2的宽被计算了
10 2 =20 （次）.
故总周长可以用下式计算得到： 2 4 4 3 61 6 2 4 2 20 =136 （厘米）.
【铺垫】求图中所有线段的总长（单位：厘米）
* 4 百 3 * 1 * 2 *
A B CD E
【解析】要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB、BC、CD、DE四段，还包括AC、BE等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和.同时应该注意到，AC二AB ? BC = 4 ? 3 ; BE二BC CD ? DE =3 ? 1 ? 2 =6，等等?因此，为了计
算图中所有线段的总长，需要先计算AB、BC、CD、DE这四条线段分别被累加了几次?这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB、
BC、CD、DE，而求和过程中AB、BC、CD、DE这四条线段各被累加了1次.类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，
BC、CD各被累加了2次.由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，
BC、CD各被累加了2次.由4段组成的线段只有AE，其中AB、
BC、CD、DE各被计算了1次.综上所述，AB、DE各被计算了4次，BC、CD 各被计算了6次.因
而图中所有线段的总长度为：4 4*23 1 48（厘米）【例11】如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形
的所有周长之和.
【解析】4 4 ? 4 5 2 =56 .
【巩固】（希望杯”第一试）如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正