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概率统计常见题型及方法总结

概率统计常见题型及方法总结
概率统计常见题型及方法总结

常见大题:

1. 全概率公式与贝叶斯公式问题

B 瞧做“结果",有多个“原因或者条件”可以导致B 这个“结果"发生,考虑结果B 发生得概率,或者求在B 发生得条件下,源于某个原因得概率问题 全概率公式: 贝叶斯公式:

一(12分)今有四个口袋,它们就是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有只红球与只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球得概率为多少? 解 表示从第个口袋放入第个口袋红球,

表示从第个口袋中任取一个球为红球, 2分

, 2分

2分 依次类推 2分

二(10分)袋中装有只正品硬币,只次品硬币(次品硬币得两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷次,已知每次都出现国徽,问这只硬币就是次品得概率为多少?

、解 记={取到次品},={取到正品},={将硬币投掷次每次都出现国徽} 则,,―—5分

()()1()212()()()()12

r r r n

P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===

++?+?++ 三、(10分)一批产品共100件,其中有4件次品,其余皆为正品。现在每次从中任取

一件产品进行检验,检验后放回,连续检验3次,如果发现有次品,则认为这批产品不合格。在检验时,一件正品被误判为次品得概率为0、05,而一件次品被误判为正品得概率为0.01。(1)求任取一件产品被检验为正品得概率;(2)求这批产品被检验为合格品得概率。

解设表示“任取一件产品被检验为正品”,表示“任取一件产品就是正品”,则

,,,

(1)由全概率公式得

(2)这批产品被检验为合格品得概率为

四、在电报通讯中不断发出信号‘0’与‘1',统计资料表明,发出‘0'与‘1’得概率分别为0.6与0。4,由于存在干扰,发出‘0’时,分别以概率0。7与0。1接收到‘0’与‘1’,以0、2得概率收为模糊信号‘’;发出‘1’时,分别以概率0、85与0、05收到‘1’与‘0’,以概率0。1收到模糊信号‘’。

(1)求收到模糊信号‘'得概率;

(2)当收到模糊信号‘’时,以译成哪个信号为好?为什么?

解设=“发出信号”, =“收到信号"、由题意知

, , , 、

(1)由全概率公式得

4分

。 2分

(2)由贝叶斯公式得

, 3分

3分

二、随机变量函数得分布及其边缘密度及其独立性得判断记住如下知识点:

常见分布律与概率密度:

一般正态分布得计算转化为标准正态分布去做:

连续随机变量X:

二维随机变量得分布函数:

联合密度:

掌握如下解决随机变量函数分布得解题方法:

对于二维随机变量函数得概率密度,注意:除了求随机变量 Z =X +Y 得密度函数用公式:

()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy

+∞

+∞

-∞

-∞

=-=

-?

?

注意:

先写出联合密度:,根据联合密度写出?

或者,

在平面x0z 或者y0z 上画出被积函数不为零得区域,然后穿线通过区域确定x 得上下限。

她得函数Z = g ( X , Y )得概率密度,只能使用分布函数法 其步骤如下:

第一步 求联合密度:

,根据联合密度写出或者

第二步 求z 得分布函数:

难点就是画出二重积分得积分区域,然后把二重积分化为二次积分定上下限,

画图:先画出被积函数也就就是联合密度非零得区域,再确定区域与

密度非零区域得重合区域就就是二重积分得积分区域,穿线定积分限:然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限,求出分布函数

第三步 求密度函数: 分析:

一、设总体服从上得均匀分布,就是来自总体得一个样本,最大顺序统计量, 1.求随机变量得概率密度; 解:,其分布函数为 而得分布函数为

,

二、(10分)设二维随机变量得概率密度为

(1)求常数得值;(2)求与得协方差。

解 (1)由,得 (2)()()20001,12

y y y

E X xf x y dxdy dy xe dx y e dy +∞

+∞

∞∞

---∞-∞=

===?????

()()30001,32

y y

y E XY xyf x y dxdy dy xye dx y e dy +∞+∞∞∞---∞-∞====?????

()()20

,2y y

y E Y yf x y dxdy dy ye dx y e dy +∞

+∞

∞∞

---∞

-∞

====?

?

???

三(16分)设二维随机变量得概率密度为

(1) 求边缘密度函数,; (2) 求边缘分布函数,;

(3) 判断与就是否相互独立; (4) 求。 (1) ,

当≤0时,=0,于就是=0

当>0时, =,

所以得边缘概率密度为=

得边缘概率密度

当≤0时, =0

当〉0时 = 4分

(2)

4分

(3)独立4分

(3) 4分

四(10分)设随机变量得概率密度为

求随机变量得分布函数。

当时,

当时,

所以得分布函数为

3.中心极限定理得问题:用正态分布近似计算

共两类:

一类就是二项分布得近似计算问题

,即

,

这个公式给出了n 较大时二项分布得概率计算方法。

另一类就是除二项分布之外得其她分布得独立变量连加与得计算问题,

设独立同分布,()()201,2,,.

k k E X D X k n μσ==>= 近似有连加与服从正态分布:

一、 (14分) 设粮仓内老鼠得数目就是一个服从泊松分布得随机变量,且仓内无鼠得概率为。 (1)写出随机变量得分布律;

(2)试用中心极限定理计算,在200个同类粮仓内老鼠总数超过350只得概率。 解 (1); 5分

(2)表示任意老鼠个数,由中心极限定理

3分

3分

3分

二、(10分)某保险公司多年得统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以表示在随意抽查得100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔得数、

(1)写出得概率分布;

(2)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户得概率得近似值、 [解] (1),

, (2),

根据棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理

三(10分)某银行得柜台替每一位顾客得服务时间(单位:分钟)服从参数得指数分布,且各位顾客得服务时间就是相互独立得,试用中心极限定理计算,对100位顾客得总服务时间不超过240分钟得概率。

解 设分别表示每一位顾客得服务时间,则它们相互独立相同分布,且 -----—----——--------——------—-- 5分

100100

1

1

100

2

(

240)(2)0.9772100

4

1004i i i i X P X P ==??

-? ? ?≤=≤

≈Φ=?? ? ???

∑∑ 点估计得问题:矩估计与似然估计

似然函数得构造:

例题分析:

一、设总体得概率密度为

就是未知参数,就是来自得样本,

1、求得矩估计量;

矩估计法:,令, =〉

2.求得最大似然估计量;

3.判断,就是否为无偏估计

解:最大似然估计法:设为样本得观察值,则

似然函数为

,

按似然估计得思想,当似然函数关于就是增函数,故。

得最大似然估计量为。

二(10分)设为样本,总体得概率密度为

求参数得最大似然估计量;问它就是否为得无偏估计量

解设就是相应得样本值,则似然函数为

=

令为无偏估计量

三、设就是总体得样本, 得概率密度为

其中、求与得最大似然估计量。

设就是得样本值, 则似然函数

,

当()时, , 令

显然, 第二个等式就是矛盾等式, 所以由上述似然方程求不出与。由于, 这表明就是得严格递增函数, 注意到(), 因此当时最大. 于就是与得最大似然估计值

, ,

于就是与得最大似然估计量为

, 、

四、(10分)设总体X得概率密度为

其中就是未知参数。设为总体得样本。

(1)求参数得最大似然估计量;(2)判断就是否为得无偏估计量。

解(1)设就是得观测值,则似然函数为

,

令,得,解得

得最大似然估计量为

(2)由于,就是得无偏估计量。

五(10分)设电池得寿命服从指数分布,其概率密度为

其中为未知参数,今随机抽取5只,测得寿命如下:

1150,1190,1310,1380,1420

求电池得平均寿命得最大似然估计值。

解似然函数, 3分

3分令得2分

2分

六、设总体X得概率密度为

其中就是未知参数、设为总体得样本。求参数得矩估计量

与最大似然估计量。

解矩估计

且 ,令

,则

从而得矩估计量

最大似然估计

设就是得样本观测值, 则似然函数为

取对数得,

令,得,解得,

所以, 得最大似然估计量为、

七、、设总体得分布律为

,,

其中为未知参数。现抽得一个样本:,,,求参数得矩估计值与极大似然估计值、解 ,

由,即,得参数得矩估计值为

统计量得分布判断问题:

主要利用性质:

独立正态分布得线性组合还就是正态分布三大分布得定义:

例题分析:

一、设就是正态总体得样本,

1、试问服从什么分布(指明自由度)?

且独立,

2。假定,求得分布、

,

,,

又与相互独立,故=

二、设就是来自正态总体得样本,分别记为得样本均值与样本方差,求得分布、解,,且与相互独立,所以

,

由于,且与相互独立,因此由分布得定义得

三、, 、

(1) 证明都就是得无偏估计量;(2)判断中哪一个估计量更有效.

利用卡方分布:

四设就是来自正态总体得样本,记,,,求统计量得分布?

五、设为X得样本,求统计量得分布、

六、、设总体,就是X得样本,统计量

,()

服从分布,求参数得值与得分布得自由度。

解由,得

且相互独立,即

,

且相互独立。于就是

且相互独立。所以当时,

该分布得自由度为2、

假设检验与区间估计得题目类型:

记住正态总体得抽样分布定理,弄懂上分位数得含义,在密度曲线图上用分位数给出各个分布得大概率区域与小概率区域

能够从图上用分位数标出各种分布得双侧小概率区域与单侧小概率区域

,

,

1(10分)某工厂生产铜线,根据长期积累得数据知,铜线得折断力服从正态分布,方差为、今从某天生产得铜线中随机抽取根,测得折断力如下:

概率论与数理统计知识点总结!

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率 古典概型公式:P (A )= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A : “每个盒子恰有1个球”。求:P(A)=?Ω所含样本点数:n n n n n =???... Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少? 解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求:P(A i )=? Ω所含样本点数:6444 443==?? A 1所含样本点数:24234=?? 8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数: 363423=??C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数:443 3 =?C 16 1644)(3== ∴A P 注:由概率定义得出的几个性质: 1、0

P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2:设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组,则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3: P (A )=1-P (A ) 推论4:若B ?A ,则P(B -A)= P(B)-P(A) 推论5(广义加法公式): 对任意两个事件A 与B ,有P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A B) 补充——对偶律: n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121) §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式:P(A/B)= )()(B P AB P (P(B)≠0)P(B/A)= ) () (A P AB P (P(A)≠0) ∴P (AB )=P (A /B )P (B )= P (B / A )P (A ) 有时须与P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )中的P (AB )联系解题。 全概率与逆概率公式: 全概率公式: ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式: ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = (注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。) §1.5 独立试验概型 事件的独立性: )()()(B P A P AB P B A =?相互独立与 贝努里公式(n 重贝努里试验概率计算公式):课本P24 另两个解题中常用的结论—— 1、定理:有四对事件:A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ,如果其中有一对相互 独立,则其余三对也相互独立。 2、公式:)...(1)...(2121 n n A A A P A A A P ???-=??? 第二章 随机变量及其分布

概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结

概率知识点总结及题型汇总 一、确定事件:包括必然事件和不可能事件 1、在一定条件下必然要发生的事件,叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件,或者说发生的可能性是100%;如:从一包红球中,随便取出一个球,一定是红球。 2、在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件,或者说发生的可能性是0,如:太阳从西边出来。这是不可能事件。 3、必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0 二、随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。 一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。 三、例题:指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是随机事件,哪些是不可能事件,哪些是确定事件? ①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破; ②明天太阳从西方升起;③掷一枚硬币,正面朝上; ④某人买彩票,连续两次中奖;⑤今天天气不好,飞机会晚些到达. 解:必然事件是①;随机事件是③④⑤;不可能事件是②.确定事件是①② 三、概率 1、一般地,对于一个随机事件A ,把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A 发生的概率,记为P(A) . (1)一个事件在多次试验中发生的可能性,反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。(2)概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法:一般地,如果在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性 都相等,事件 A 包含其中的m种结果,那么事件A 发生的概率为P(A) = m n . (1)一般地,所有情况的总概率之和为1。(2)在一次实验中,可能出现的结果有限多个. (3)在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. (4)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小,事件发生的可能性越大,则它的概率越接近1;反之,事件发生的可能性越小,则它的概率越接近0。 (5)一个事件的概率取值:0≤P(A)≤1 当这个事件为必然事件时,必然事件的概率为1,即P(必然事件)=1 不可能事件的概率为0,即P(不可能事件)=0 随机事件的概率:如果A为随机事件,则0<P(A)<1 (6)可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大,它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小,则它的概率越接近0.

最新统计概率文科题型总结

精品文档 统计和概率高考题型总结 题型一、频率分布直方图 1.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取M 名学生作为样本,得到这M 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: (Ⅰ)求出表中,M p 及图中a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30)内的概率. 题型二、古典概型 2.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: (I )若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a ,b ,c 的值; (Ⅱ)在(I )的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3,等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2,现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 题型三、回归方程 3.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5

精品文档 (I )从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,,求事件“,均小于25”的概率; (II )请根据3月2日至3月4日的数据,求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+; (III )若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方 程是可靠的,试问(II )所得的线性回归方程是否可靠? (参考公式:回归直线方程式???y bx a =+,其中1 2 2 1 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑) 题型四、独立性检验 4. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关,对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表: (1(2(参考公式:2 () ()()()() n a d b c K a bc d a cb d -=+ +++,其中na b cd =+++ ) 题型五、茎叶图 5.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量它们的身高(单位:cm ),获得身高数据的茎叶图如图所示。 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 (1) 根据茎叶图判断哪两个班的平均身高较高; (2) 计算甲班的样本方差; (3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 题型六、分层抽样 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. (1) 求x 的值;

概率论重点及课后题答案2

第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 (1)理解条件概率的定义. (2)掌握概率的加法公式、乘法公式,会应用全概率公式和贝叶斯公式. (3)理解事件独立性的概念,掌握应用事件独立性进行概率计算. (4)了解独立重复试验概型,掌握计算有关事件概率的方法,熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.条件概率 定义设有事件A B 、,且()0P B ≠,在给定B 发生的条件下A 的条件概率,记为(|)P A B ,有 ()(|)() P AB P A B P B = 2.乘法公式

定理若对于任意事件A B 、,都有()0,()0P A P B >>,则 ()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B == 这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,,,n A A A 为任意n 个事件(2n ≥),且121()0n P A A A -> ,则有 121121312121()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3.全概率公式 定理设12,,B B 为一列(有限或无限个)两两互不相容的事件,有 1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ,有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列(有限或无限个)两两互不相容的事件,有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ,有 1 ()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足,则称A B 、(或B A 、)相互独立,简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、;、 中有一对是相互独立的, 则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立,或者都相互不独立. 定义设12n A A A ,,,是n 个事件,若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤ 成立: ()()()i j i j P A A P A P A =(共2n C 个)

概率统计大题总结

概率与统计大题总结 一、 知识点汇编: 1.线性回归分析 (1)函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)线性回归分析:方法是画散点图,求回归直线方程,并用回归直线方程进行预报.其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为: 回归模型中,R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R 2越接近于1,表示回归的效果越好.如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析,也可以通过比较几个R 2,选择R 2大的模型作为这组数据的模型. 说明:r 只能用于线性模型,R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说,2 2 =R r . 3、独立性检验 (1)对于性别变量,其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别,像这类变量称为分类变量. (2)假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表

称为 y 1 y 2 总计 x 1 a b a +b x 2 c d c +d 总计 a +c b +d a + b + c +d (3)构造随机变量()()()()()() 2 2 +++-= ++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d 利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为 如:如果k >7.879,就有99.5%的把握认为“X 与Y 有关系”. 4、概率 事件的关系: ⑴事件B 包含事件A :事件A 发生,事件B 一定发生,记作B A ?; ⑵事件A 与事件B 相等:若A B B A ??,,则事件A 与B 相等,记作A=B ; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生或B 发生,记作B A ?(或B A +) ; ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生且B 发生,记作B A ?(或 AB ) ; ⑸事件A 与事件B 互斥:若B A ?为不可能事件(φ=?B A ),则事件A 与互斥;

概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结

概率与统计高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 (一)解题思路思维导图 (二)常见题型及解题思路 1.正确读取统计图表的信息 典例1:(2017全国3卷理科3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论错误的是().

A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A 选项错误,选A. 2.古典概型概率问题 典例2:( 全国卷理科)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A. B. C. D. 解:不超过30的素数有2,3,5,7,11,13 ,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有 种方法,因为 ,所以随机选取两个不同的数,其和等于30的有3种方 法,故概率为 ,选C. 典例3: (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解:设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得 ,故选A. 3.几何概型问题 典例4:(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C. 23 D.3 4

概率统计常见题型及方法总结

常见大题: 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”,有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这 个“结果”发生,考虑结果B 发生的概率,或者求在B 发生的条件下,源于某个原因 i A 的概率问题 全概率公式:()()() 1 B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式: 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑|| 一(12分)今有四个口袋,它们是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球的概率为多少? 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球,4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球,2分 则 b a a B P += )(1,2分 111++++ ++++=b a a b a b b a a b a a b a a +=2分 依次类推2分 二(10分)袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都出现国徽,问这只硬币是次品的概率为多少? 、解记B ={取到次品},B ={取到正品},A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++,()1P A B =,()1 2r P A B =―—5分 三、(10分)一批产品共100件,其中有4件次品,其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品 进行检验,检验后放回,连续检验3次,如果发现有次品,则认为这批产品不合格。在检验时,一件正品被误判为次品的概率为0.05,而一件次品被误判为正品的概率为0.01。(1)求任取一件产品被检验为正品的概率;(2)求这批产品被检验为合格品的概率。 解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”,B 表示“任取一件产品是正品”,则 ()96100P B = ,()4100 P B =,()|0.95P A B =,()|0.01P A B =

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.(2013广东理17)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.(2013新课标Ⅱ理)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温(o C )数据的茎叶图如下: 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是( ) A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

XX考研数学概率论重要考点总结

XX考研数学概率论重要考点总结 第一章随机事件和概率 一、本章的重点内容: 四个关系:包含,相等,互斥,对立﹔ 五个运算:并,交,差﹔ 四个运算律:交换律,结合律,分配律,对偶律(德摩根律)﹔ 概率的基本性质:非负性,规范性,有限可加性,逆概率公式﹔ 五大公式:加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式﹔· 条件概率﹔利用独立性进行概率计算﹔·重伯努利概型的计算。 近几年单独考查本章的考题相对较少,从考试的角度来说不是重点,但第一章是基础,大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核,都会用到第一章的知识。 二、常见典型题型: 1.随机事件的关系运算﹔ 2.求随机事件的概率﹔ 3.综合利用五大公式解题,尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。 第二章随机变量及其分布 一、本章的重点内容: 随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔

分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔ 八大常见的分布:0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用﹔ 会计算与随机变量相联系的任一事件的概率﹔ 随机变量简单函数的概率分布。 近几年单独考核本章内容不太多,主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布 二、常见典型题型: 1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数﹔ 2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定﹔ 3.反求或判定分布中的参数﹔ 4.求一维随机变量在某一区间的概率﹔ 5.求一维随机变量函的分布。 第三章二维随机变量及其分布 一、本章的重点内容: 二维随机变量及其分布的概念和性质, 边缘分布,边缘密度,条件分布和条件密度, 随机变量的独立性及不相关性, 一些常见分布:二维均匀分布,二维正态分布, 几个随机变量的简单函数的分布。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数:①、常规平均数:12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+= ++???+ 3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差:2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距;频率=频数/总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。 2、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于时x 的值。 4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程:???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ; 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程:???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差:??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好; 2、残差平方和:21?()n i i i y y =-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度(相关指数):221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高; 4、相关系数:1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ()() ()() ()() n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x y nx y r x x y y x x y y ======---?∑∑= = ----∑∑∑∑ 分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②.犯错误上界P 对照表 1x 2x 合计 1y a b a b + 2y c d c d + 合计 a c + b d + n

统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: (1) 计算一次试验的基本事件总数n ; (2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n =求值; (4) 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

概率统计常见题型及方法总结

概率统计常见题型及方法 总结 Prepared on 22 November 2020

常见大题: 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”,有多个“原因或者条件 i A ”可以导致B 这个“结果”发生,考虑结果B 发生的概率,或者求在B 发生的条件下,源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式: ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式: 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑|| 一(12分)今有四个口袋,它们是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球的概率为多少 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球,4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球, 2分 则 b a a B P +=)(1, 2分

)()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++ ++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二(10分)袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都出现国徽,问这只硬币是次品的概率为多少 、解 记B ={取到次品},B ={取到正品},A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++,()1P A B =,()1 2r P A B =―—5分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、(10分)一批产品共100件,其中有4件次品,其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品进行检验,检验后放回,连续检验3次,如果发现有次品,则认为这批产品不合格。在检验时,一件正品被误判为次品的概率为,而一件次品被误判为正品的概率为。(1)求任取一件产品被检验为正品的概率;(2)求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”, B 表示“任取一件产品是正品”,则 ()96100P B = ,()4100 P B =,()|0.95P A B =,()|0.01P A B = (1)由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= (2)这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’,统计资料表明,发出‘0’和‘1’的概率分别为和,由于存在干扰,发出‘0’时,分别以概率和接收到‘0’和‘1’,以的概率收为模糊信号‘x ’;发出‘1’时,分别以概率和收到‘1’和‘0’,以概率收到模糊信号‘x ’。

概率论和数理统计知识点与练习题集

第一章概率论的基本概念 §概率的定义 一、概率的性质 (1)1 P. ≤A ) ( 0≤ (2)0 ) P,1 φ (= P. S ) (= (3)()()()() P A B P A P B P AB. ?=+- (4)) A P- =. P (A ( 1 ) (5)) P A B B A = P P- -.特别地,若A = ( ) ( ) ( P (AB ) A B?,-,) = P- ( ) B P A P≥. (A ( B ( ) ) ) P A P (B 例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3 P A B ?= P A P B A,则()_____. =-= 解:,3.0 A P B B P()()()()0.7 P A B P A P B P AB ?=+-= P -AB ( ) ( ) (= = - )

§ 条件概率 一、 条件概率 定义 设B A ,是两个事件,且0)(>A P ,称)|(A B P = ) () (A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 二、全概率公式 全概率公式:12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组,且满足: (1)12,, ,n A A A 互不相容,且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则对S 中的任意一个事件B 都有 ) ()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=

例设有一仓库有一批产品,已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的,且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20 1 ,151,101,现从这批产品中任取一件,求取得正品的概率 解 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”;以B 表示事件“取得的产品为正品”,于是: ;20 19 )|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321====== A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ,有: 112233()(|)()(|)()(|)() =++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010 2 20191031514105109=?+?+?= 三、 贝叶斯公式 设B 是样本空间S 的一个事件,12,,,n A A A 为S 的一个事件组, 且满足:(1)12,, ,n A A A 互不相容,且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则 ) ()()()()()()() ()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++= = 这个公式称为贝叶斯公式。 例:有甲乙两个袋子,甲袋中有4个白球,5个红球,乙袋中有4个白球,4个红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋中任取一球,

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数 :一组数据中,出现次数最多的数。 2、平均数 : ①、常规平均数: x x 1 x 2 x n ②、加权平均数: x x 1 1 x 2 2 x n n n 1 2 n 3、中位数: 从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数 。 4、方差: s 2 1 [( x 1 x) 2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 ] n 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积: f S y 距 d ;频率 =频数 / 总数 2、频率之和 : f 1 f 2 f n 1 ;同时 S 1 S 2 S n 1 ; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数: 最高小矩形底边的中点。 2、平均数: x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n x x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n 3、中位数: 从左到右或者从右到左累加,面积等于 0.5 时 x 的值。 4、方差: s 2 ( x 1 x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2 ( x n x) 2 f n 四、线性回归直线方程 : ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy ? ? 其中: b i 1 i 1 , a? y bx n n ( x i x )2 x i 2 nx 2 i 1 i 1 1、线性回归直线方程必过样本中心 ( x , y ) ; ? ? 0 : 负相关。 2、 b 0 : 正相关; b ? 3、线性回归直线方程: y? ? bx a?的斜率 b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 ?i 1、残差 : ?i y i ?i 越小越好; e y (残差 =真实值—预报值)。分析: e 2、残差平方和 : n ? ) 2 ( y i , i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1 y ) 2 ( y y ) 2 ( y y ) 2 分析:①意义:越小越好; ②计算: ?i ?1 2 ?2 n ?n i 1 n ?i ) 2 3、拟合度(相关指数) : R 2 1 ( y y ,分析:① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高; i 1 的常数; n y)2 i ( y i 1 n n 4、相关系数 : r i ( x i x )( y i y) x i y i nx y 1 i 1 n x)2 n y) 2 n x) 2 n y )2 i 1( x i i ( y i ( x i ( y i 1 i 1 i 1 分析:① . r [ 1,1]的常数; ② . r 0: 正相关; r 0: 负相关 ③. r [0,0.25] ;相关性很弱; r (0.25,0.75) ;相关性一般; r [0.75,1] ;相关性很强; 六、独立性检验 x 1 x 2 1、2×2 列联表 : 合计 2、独立性检验公式 bc)2 y 1 a b a b ①. k 2 (a n( ad d ) y 2 c d c d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n ②.犯错误上界 P 对照表 3、独立性检验步骤

概率统计大题题型总结 理 学生版

统计概率大题题型总结 题型一频率分布直方图与茎叶图 例1.(2013广东理17)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. 第17题图 (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.(2013新课标Ⅱ理)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润500元,未售出的产品,每t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,150 100≤ ≤X)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入 X∈,则取该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110) X=的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T的数学期105 X=,且105 望. 变式1.【2015高考重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温(o C)数据的茎叶图如下: 则这组数据的中位数是() A、19 B、20 C、 D、23 变式2.【2015高考新课标2,理18】(本题满分12分)

某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 记时间C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 变式3.(2012辽宁理)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情 况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图; 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关 A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9

概率论重点附课后题答案

第1章随机事件与概率 一、大纲要求 (1)理解随机事件的概率,了解样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算. (2)了解概率的统计定义和公理化定义,掌握概率的基本性质. (3)会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.随机试验的特征 (1)试验可以在相同的条件下重复地进行. (2)试验的可能结果不止一个,但明确知道其所有可能会出现的结果.

(3)在每次试验前,不能确知这次试验的结果,但可以肯定,试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时,试验的所有可能结果的集合是明确知道的,称这个集合为该实验的样本空间,常用()S Ω或表示,其元素称为样本点,常用ω记之,它是试验的一个可能结果. 3.随机事件 在实际问题中,面对一个随机试验,人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如,投资者关心明日收市股价是否上涨,即明日股价>今日收市价,它是样本空间的一部分.因此,称样本空间的一些子集为随机事件,简称事件,通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件,通过种种关系,可使其与一些较为简单的事件联系起来,这时,我们就可设法利用这种联系,通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件,用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件A 发生时B 必发生,则称A 蕴含B ,或者说B 包含A ,记作A B ?. 6.事件的相等 若A 与B 互相蕴含,即A B ?且B A ?,则称事件A 与B 相等,记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生),则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容,则称这些事件是两两互不相容的,或简称互不相容的. 8.事件的对立(或称逆) 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件,常记作A . 9.事件的并(或称和)

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