2011年数学建模A题参考答案

城市表层土壤重金属污染分析

摘要

随着人们生活质量的提高和城市人口的增加，城市土壤的污染日益加剧。通过对某城区土壤中的重金属元素含量的测定，分析污染情况。根据所给数据，用MATLAB做出散点图及浓度的等值线图，找到各重金属元素的分布区。然后，用单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法对采样地区土壤重金属污染程度作

出分析，并根据重金属污染物的传播特征,利用聚类分析法建模，以确定污染源的位置。

重金属的分布在不同地区有所差异，并且距离污染源的位置越远其含量越少。据此，用MATLAB作出浓度的等值线，即可看出As、Cd、Cr、Hg主要分布在工业区，Cu、Zn、Pb主要分布在主干道区。用单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法，计算各元素的平均值与其环境背景值的比值，求得污染指数。依据污染指数标准，可得污染程度由大到小依次为：工业区、主干道路区、生活区、公园绿地区、山区。

每个样品的重金属元素组成并不是独立、互不相干的，来自同一种源的成分之间存在较强的相关性。因此可以通过主成分分析法缩减分析变量，找出主因子。用SPSS进行因子分析，采用主成分分析法进行主因子的提取。从输出数据中得到因子载荷量和累计贡献率，因子载荷量大的元素Cr，Ni，Cu，即为污染源的主要因素，累计贡献率大的为第一主因子，可代表主要污染源，即主要来源于工业污染和交通污染。

进入土壤中的重金属元素大部分通过渗透向外扩散(汞除外)，从高浓度到底浓度，高海拔到低海拔逐层扩散。重金属的分布在同一污染源周围有一定的规律，相似性高；不同的污染源在其周围的污染程度不同，相似性低。所以通过对选取样本数据进行筛选，用聚类分析法分出相似性高的点，并求出其类中心，即求得各重金属的污染源。

考虑到地势、恶劣的气候、自然灾害、过度的获取地下水、重金属的污染、水环境的演化和人类工程活动等因素都对城市地质环境的演变产生不同的影响，收集以上相关数据，采用层次分析法，分析得出各因素对环境演变的主次关系，找到解决问题的途径。

关键词: 单因子污染指数法内梅罗综合污染指数法因子分析法聚类分析法、层次分析法

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，城市环境质量受到影响。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查，获得了该区每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。然后在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

要求通过数学建模

(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？

2.模型假设与符号说明

2.1模型的假设

(1) 从源到采样点之间，污染物在途中保持质量守恒；

(2) 受体污染中某元素是各污染源贡献的线性组合；

(3) 由各个污染源贡献的某元素的量(称因子载荷)有足够的差别，且采样点

和分析期间变化不大；

(4) 由于重金属的扩散特征，层层渗透，逐层递减，假设污染源在2

≥

P区

i

域内。

2.2 符号说明

P------------------------------------------------------土壤中i元素的污染指数;

i

P-----------------------------------------------------------土壤中重金属元素的综合污染指数;

综

i-------------------------------------------------------重金属元素的种类;

C-----------------------------------------------------重金属元素的实测平均浓度;

i

S------------------------------------------------------城市土壤重金属i的环境背景值;

i

n-------------------------------------------------------参与评价的重金属种类总数;

X-----------------------------------------------------元素i在样品中的含量;

i

μ------------------------------------------------------i元素的均值;

i

e--------------------------------------------------------特殊因子;

a------------------------------------------------------因子负荷;

im

f------------------------------------------------------公共因子;

m

问题一，要绘制重金属的空间分布图，必须先研究附表所给出的数据，通过数据分析可知要想将坐标浓度和海拔都表示在一张图中，这需要画一张四维的图，但四维图表达不够直观所以我们选取坐标和浓度的值做出各重金属以浓度为z轴空间分布图，再配上根据坐标和海拔绘制的三维图，与上面所画的图能较直观的表达重金属在空间中的分布，对于评价城区的重金属污染程度该文采用目前学界最普遍的单因子指数法和内梅罗综合污染指数法。此方法能定量的得出各区的污染程度，对它们进行比较可以得出比较合理的结论。

问题二，分析污染的主要原因，就是利用所给数据找出造成污染的主要重金属元素，分析其来源。因此选用SPSS因子分析法，利用主成分分析法提取主因子。通过主因子中个元素的载荷量和累计贡献率得到第一主因子及载荷量较大的元素。载荷量即为污染源对某种金属元素贡献的量。载荷量越大，说明元素含量越高，分析其来源，可以知道污染的主要原因。

问题三，重金属污染物在土壤中的运移过程一样，都是溶质随水在土壤中运动，所以重金属在土壤中的运移是受很多因素影响的如土壤的湿度，海拔高度，植物的吸收，挥发等。但是重金属在进入土壤后大部分通过渗透向外扩散（汞除外），理论上重金属从污染原进入土壤，向外传播浓度逐渐降低，等浓度线应该是一个一个的同心圆，圆心即为污染源，但实际上由于重金属在土壤中受到很多因素的影响，所以所求值并非规则的同心圆，但同一污染源周围的点具有一定的相似性不同污染源周围的点相似性极低，所以我们采用，聚类分析的方法分类并求类出类中心，从而确定污染源的中心。

问题四，考虑到地势、恶劣的气候、过度的获取地下水、重金属的污染和人类工程活动等因素都对城市地质环境的演变产生不同的影响，收集以上相关数据，采用层次分析法，分析得出各因素对环境演变的主次关系，从而能够采取有效措施防止地质环境的恶化和研究地质环境的演变模式。

4.模型的建立与求解

4.1问题一的求解

4.1.1各重金属元素的空间分布

通过数据分析可知要想将坐标浓度和海拔都表示在一张图中，这需要画一张四维的图，但四维图表达不够直观所以我们选取坐标和浓度的值做出各重金属以浓度为z轴空间分布图，再配上根据坐标和海拔绘制的三维图，与上面所画的图能较直观的表达重金属在空间中的分布。

元素浓度各地区分布不同，为了能更好的显示各元素在各区的分布位置，应用MATLAB软件，应用griddata函数根据x和y的坐标做出元素浓度的等高线图]1[，表示8种重金属元素的空间分布。亮点区表示浓度含量高，污染严重。

x 1040μg/g 3.6μg/g 7.2μg/g 10.8μg/g 14.4μg/g 18μg/g 21.6μg/g 25.2μg/g 28.8μg/g 32.4μg/g

图2.As元素空间分布图

0.51 1.52 2.5

x 104

130ng/g

260ng/g

390ng/g

520ng/g

650ng/g

780ng/g

910ng/g 图3.Cd元素空间分布图

1 1.52

x 104-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300

图1.样点海拔分布图

x 10

4

0g/g

31μg/g 62μg/g 93μg/g

124μg/g

155μg/g

186μg/g

217μg/g

248μg/g

279μg/g

图4.Cr 元素空间分布图 0μg/g

13.2μg/g

26.4μg/g

39.6μg/g

52.8μg/g

66μg/g

79.2μg/g

92.4μg/g

x 10

4

0μg/g

12.3μg/g

24.6μg/g

36.9μg/g

49.2μg/g

61.5μg/g

73.8μg/g

96.1μg/g

108.2μg/g

120.5μg/g

132.8μg/g

图7.Ni 元素空间分布图

x 10

4

0ng/g

35ng/g

70ng/g

105ng/g

140ng/g

175ng/g

210ng/g

245ng/g

280ng/g

315ng/g

350ng/g

385ng/g

图6.Hg 元素空间分布图

4.1.2分析重金属各区的重金属污染程度

在对城市重金属污染程度进行评价时，用单因子污染指数法和内梅罗综合污染指数法]2[，通过其计算式可以评价不同土地类型的土壤受到重金属污染的强度。其计算公式为：

图10.测试点区域的散点图 单位（公里）

0.5

1

1.5

2

2.5

x 10

4

4

x 10

4

0μg/g

31μg/g

62μg/g 93μg/g 124μg/g

155μg/g

186μg/g

217μg/g 248μg/g 279μg/g

310μg/g

341μg/g 图8.Pb 元素空间分布图 x 10

4

0μg/g

69μg/g

138μg/g

207μg/g

276μg/g

345μg/g

414μg/g

483μg/g

552μg/g

621μg/g

690μg/g

图9.Zn 元素空间分布图

i

i i S C

P = (1)

2

12

12

?

??? ??+??? ??=

∑=n i i i i i S C n S MaxC P 综- (2)

式中，i P 为土壤中i 元素的污染指数；a P 为土壤中重金属元素的综合污染指数；

i 为重金属的种类；i C 为重金属元素的实测浓度（本文用每个地区的各元素的平

均值表示）；i S 为城市土壤重金属i 的环境背景值；n 为参与评价的重金属种类总数。评价标准如表1、2所示。

出内梅罗综合指数，如下表：

找出污染指数较高的重金属元素如下表所示：

Cr 、Ni 、As 之和（3区除外），表明工业污染和交通污染已经超过其他污染源，成为该区的主导污染源。通过综合污染指数可以看出，污染程度由大到小依次为：工业区、主干道路区、生活区、公园绿地区、山区。

4.2因子分析法分析污染的主要原因

因子分析法具有压缩数据和提取综合因子的功能，因此可有效应用来研究污染物的来源。将附表2中样本个数和各金属的浓度组成一个包括N M ?个数据的样品集合，可由M 维空间的N 个点完全表征。但是，每个样品的重金属元素组成并不是独立、互不相干的，来自同一种源的成分之间存在较强的相关性。表征样品集合的空间位数可以减少，可能用m 个(M m <)因子来描述原样品集合。假设各元素是各类源贡献的线性加和，同时源贡献又可分为两个因子的乘积。因此可以建立因子分析模型。

模型如下：

i m im i i i i e f a f a f a X +++++=...2211μ (3)

通常先对x 作标准化处理，使其均值为零，方差为1，因此得出：

i m im i i i e f a f a f a X ++++=...2211 (4)

在求解过程中，利用SPSS 软件进行因子分析，基于相关系数矩阵进行主成分提取，采取主成分分析法进行主因子的提取。为使因子变量更容易得到解释，采用方差极大正交旋转法对因子载荷矩阵进行旋转，使得个变量在同一引资上的载荷的平方向最大与最小两级最大限度地分化开来，即使得每个因子只在在少数变量上集中着较大的因子载荷，而在其余变量上的因子载荷为零或接近为零

]

4[。

本文旨在研究变量间相互作用关系，因此为R 型因子分析。计算出各因子的累计贡献率和因子载荷量，因子载荷量即为各污染源贡献的某元素的量，通过主

因子中较高的因子载荷元素找到污染源，从而确定污染的主要原因。

用SPSS 的主成分分析，将8个因素作为变量进行R 型因子分析，作方差最大正交旋转，在此取特征值大于0.8，累积方差达到70.941%的前三个因子，见表5，

表5 特征值和累计贡献率()319=N

Compone

nt

Initial Eigenvalues

Extraction Sums of Squared

Loadings

Rotation Sums of Squared

Loadings Tota l % of Varianc e Cumulative

%

Tota l % of Varianc e Cumulative

%

Tota

l % of Varianc e Cumulative

%

1 3.560 44.500 44.500 3.560 44.500 44.500 2.22

8 27.849 27.849 2 1.150 14.377 58.877 1.150 14.377 58.877 1.776 22.204 50.053 3 .965 12.063 70.941 .965 12.063 70.941 1.671 20.888 70.941 4 .768 9.596 80.537 5 .578 7.220 87.756 6 .432 5.399 93.156 7 .301 3.769 96.924 8 .246

3.076

100.000

从表中可以看出旋转前后总累积贡献率没有变化，说明总的信息含量没有损失。运用KMO 检验方法和巴特利特球形检验确定待分析的原有319个变量是否适合因子分析，KMO 值介于0-1，越接近1，表明所有变量之间简单相关系数平方和远大于偏相关系数平方和，越适合因子分析]5[。结果见表6所示

表6 验检验和巴特利特球形检

KMO

KMO 的值为0.778，一般适合作因子分析。而且巴特球度检验给出的相伴

概率为0，小于显著水平0.05，因此拒绝巴特球度检验的零假设，认为适合用因子分析。

Cu .756 .125 -.365

Cr .735 -.444 -.303

Ni .723 -.515 -.190

Cd .711 .281 .282

Zn .699 -.037 .123

Hg .408 .673 -.297

As .426 -.200 .681

反映全部公共因子变量对原有变量的总方差解释说明比例，用因子分析法提取的若干变量能够很好的解释原变量，共同度绝大多数在70%以上。通过因子分析找出主因子和每个因子所代表的污染源。从表中可以看出，未经旋转的载荷矩阵中，因子变量在许多变量上都有较高的载荷。

可以看出经旋转之后，第一因子含义略加清晰，基本上反映了Cr，Ni，Cu 元素的浓度比重。第二因子基本上反映了As，Cd，Pb元素的浓度比重，第三

因子基本上反映了Hg，Pb，Cu元素的浓度比重。

第一主因子解释的原变量方差最多，占27.85%，按顺序逐渐减少，因此认为第一主因子区是污染的主要来源，其中Cr，Ni，Cu具有较高的因子载荷，其中Cr的污染源主要来自电镀、制革废水、铬渣等，Cu主要来源于工业生产或汽油燃烧，根据上文知Cu主要分布在主干道路区，Ni主要分布在山区，应为冶

炼镍矿石及冶炼钢铁时产生的]5[，因此分析认为该城区土壤重金属污染主要来源

于工业源和交通源。

第二主因子中该城区土壤中As主要来源于采矿、冶金、化化学制药、玻璃工业中的脱色剂等工业生产中；Cd主要来源有电镀、采矿、冶炼、燃料、电池和化学工业等排放的废水，废旧电池中镉含量较高；Pb主要分布在主干道区，认为污染源来自交通源。因此可认为因子二为工业源和交通源。

第三因子中Hg主要来源于仪表厂、食盐电解、贵金属冶炼、化妆品、照明用灯、齿科材料、燃煤、水生生物等，Cu主要来源于仪表厂、食盐电解、贵金属冶炼、化妆品、照明用灯、齿科材料、燃煤、水生生物等，因此认为因子三为工业源。

从以上因子分析结果可以看出，该城区的土壤中重金属的来源存在差异，其

中Cr 、As 、Cd 、Hg 主要来自工业源，Cu 、Pb 主要来自交通源。

4.3聚类分析法确定污染源的位置

污染物扩散特征：土壤中的重金属污染物一般不被微生物降解，因而如果不采取相应的措施，将长期滞留在土壤中（汞除外），汞具有挥发性，土壤中的汞在一定温度下会蒸发到大气中]

7[。重金属污染物在土壤中得运移过程一样，都是溶质随水在土壤中运动，所以重金属在土壤中的运移是受很多因素影响的如土壤的湿度，海拔高度，植物的吸收，挥发等。但是重金属在进入土壤后大部分通过渗透向外扩散（汞除外），理论上重金属从污染源进入土壤，向外传播浓度逐渐降低，等浓度线应该是一个一个的同心圆，圆心即为污染源，但实际上由于重金属在土壤中受到很多因素的影响，所以所求值并非规则的同心圆，越远离污染源，影响越大，所以我们采用聚类分析的方法求类的中心，从而确定污染源的中心。 综合以上问题我们用模糊C 均值聚类算法]

8[：

动态聚类法——C-均值法

4.3.1条件及约定

设待分类的模式特征矢量集为：o h

类的数目C 是事先取定的。

4.3.2算法思想

该方法取定 C 个类别和选取 C 个初始聚类中心，按最小距离原则将各模式分配到 C 类中的某一类，之后不断地计算类心和调整各模式的类别，最终使各模式到其判属类别中心的距离平方之和最小。 4.3.3 算法原理步骤

(1)任选C 个模式特征矢量作为初始聚类中心：c z z z ,,,21 , 令0=k 。 (2)将待分类的模式特征矢量集}{i 中的模式逐个按最小距离原则分划给C 类中的某一类，即:

如果 ),...,2,1](min[)

()(N i d d k ij k il == 则k l i x ω∈

式中)

(k ij d

表示i x 和)(k j

ω的中心)(k j

的距离，上角标

表示迭代次数。于是产生新聚类),,2,1()1(c j k j =+ω (3) 计算重新分类后的各类心

∑+∈++==

)

1(),,2,1(,1)1()1(k j i x i

k j k j

c j x n

z

ω

式中)1(+k j n 为类)1(+k j ω中所含模式的个数。 (4) 如果c j z

z

k j

k j

,,2,1,)()1( ==+,则结束,否则1+=k k ,转至(2)。

4.3.4 模型的求解

由于假设中已经知道污染源在pi>2区，所以我们可以只取Pi>2所对应的特征样本，对各重金属测量所得的特征分别进行分析，从而求得各金属主要的污染

源位置，即类中心。

根据各重金属分布的坐标散点图可以观察给定C值

C=2或3

重金属的特征分别为x坐标，y坐标，海拔高度，浓度。

4.4 问题四模型的建立与求解

4.4.1对上述所建模型的评价

本模型用到的聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。它能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。从而较准确定出污染源的所在之处，不足之处在于C 值得给定有一定的主观因素，如出现C 值改变可能会对结果造成一定影响，并且聚类分析法在样本量较大时，要获得聚类结论有一定困难。由于相似系数是根据被试的反映来建立反映被试间内在联系的指标，而实践中有时尽管从被试反映所得出的数据中发现他们之间有紧密的关系，但事物之间却无任何内在联系，此时，如果根据距离或相似系数得出聚类分析的结果，显然是不适当的，但是，聚类分析模型本身却无法识别这类错误。 4.4.2建立模型

城市地质环境演变与众多因素有关，如，降雨量，自然灾害，地势，地下水的流失，人类的工程活动，为更好的研究城市的地质环境演变模式，就必须了解这些因素是如何改变城市地质环境以及他们对地质环境演变的影响程度，本模型选择后者做为研究对象，采用层次分析法]9[，分析各因素对环境演变的主次关系，建立层次结构模型，在深入分析所面临的问题后，将决策问题分为两个层次，目标层为城市地质环境的演变，方案层为对城市地质环境造成影响的六个主要因素气候，地势，自然灾害，地下水的过度流失，重金属的污染，人类工程活动。

对于五种因素的成对的比较矩阵

n

n ij a A ?=)(中的元素

ij

a 的值，我们采用

Saaty 建议的1-9尺度即

ij

a 的取值范围是1，2，…,9，根据收集的六种因素的

相关数据得出比较矩阵A

将A 的每一列向量归一化得：

);

,2,1(1

n j a

a n

i ij

ij

ij ==

∑=ω (5)

对

ij

ω按行求和得：

);

,2,1(1

n i w n

j ij i ==∑=ω (6)

将i ω归一化得∑==n

i i

i

i 1

ω

ωω，则T

n w ),,(21ωωω =为近视特征向量；

计算最大特征值:

∑

==n i i i

Aw n 1max

)(1ωλ (7)

最后把特征向量w 作为权重向量，比较各因素的权重，分析它们对城市地质环境演变的影响。 一次性检验:

对于上述层次分析法建模成对比较矩阵不是一致阵，但是为了能用它来计算比较因素的权重向量，要求其不一致程度应在容许的范围内此处不做详细介绍。 可见，此模型能够较好的了解影响城市地质环境演变的主次因素，有利于更好的研究城市环境演变模式。

5．模型的优缺点

5.1 优点:

(1) 因子分析法将大量数据缩减，将多个变量缩减为少数几个主因子，便于问题的分析。

(2) 聚类分析模型能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。从而较准确定出污染源的所在之处， 5.2 改进：

(1) 单因子污染指数法和内梅罗综合污染指法中i C 应为重金属元素的实测浓度，而本文采用每个地区的各元素的平均值表示，有一定的误差；

(2) 因子分析模型假设，污染物在途中保持质量守恒，而金属元素在实际的扩散

过中会有一定量的损失。

(3) 不足之处在于C值得给定有一定的主观因素，如出现C值改变可能会对结果造成一定影响，并且聚类分析法在样本量较大时，要获得聚类结论有一定困难。

6.参考文献

[1]艾冬梅,李岩晴,张丽静.MATLAB与数学实验[M].北京：机械工业出版社，2010.

[2]尹骏，柳云龙.上海市城郊土壤重金属空间分布及其污染评价, https://www.wendangku.net/doc/f2873064.html,/f/18804281.html?from=dl，2011.9.10.

[3]刘宝庆.南宁市城区土壤中金属污染状况研究[D].南宁：广西大学，2004.

[4]王会艳，吉林市城市表层土壤中重金属污染状况研究，http://10.16.114.12/kns50/classical/singledbindex.aspx?ID=CMFD，2011.9.10.

[5] https://www.wendangku.net/doc/f2873064.html,/view/6f33601b10a6f524ccbf85d9.html

[6] https://www.wendangku.net/doc/f2873064.html,/view/282970.htm#4

[7] 覃邦余，金属污染物在土壤环境系统中运移的建模与仿真，https://www.wendangku.net/doc/f2873064.html,/p-50996689999.html，2011.9.10.

[8] 陈东彦，李冬梅.数学建模[M].北京：科学出版社，2007.

[9] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2006.

附录：

各区的散点分布图：

x=[4043 2427 4777 6534 4592 2486 3573 5375 7304 9328 8077 7056 15467 14844 16569 14298 21418 26453 26416 5101 5382 5503 5636 6605 11649 12591 13855 14862 15387 15810 17203 16301 17904 10395 15467 16428 16289 12153 11958 10800 9277 11121 12625 17981];

y=[1895 3971 4897 5641 4603 5999 6213 8643 5230 4311 6401 8348 8658 5519 6055 7418 10721 5577 6508 4080 3012 1127 133 374 3515 1063 3345 2524 729 2307 6218 8299 8287 11203 12080 9069 10072 12336 13313 13282 16148 16432 16259 18449];

a=[0 1647 2383 4742 4948 5567 22674 5438 12734 14896 16947 5006 6395 7405 8446 7612 8866 9475 9212 8629 7776 7106 6423 7458 11646 12641 14000 14207 15140 16440 10022 9333 10856 12644 9036 10599];

b=[1787 2728 3692 7293 7293 6782 12173 3994 4015 1603 7487 8846 10443 10981 11200 11938 13143 12000 11305 12086 10613 9467 8831 8920 9381 9560 8970 9980 11101 13232 12204 14631 14727 14943 17538 17980];

c=[14325 17044 18413 19007 18738 23664 18993 19968 22535 27816 25361 24065 25998 27177 26073 24631 24702 25461 26086 26015 27700 27696 27346 26591 27823 27232 24580 24153 22965 24685 28654 24003 21684 22193 17079 15255 15007 15801 17008 21475 20261 19569 19411 23359 23238 22624 21703 12734 14405 14074 14262 20591 20983 20177 18906 18467 16607 15952 22605 23146 22046 23785 25981 27380 23325 26852];

d=[8666 10691 11721 11488 10921 9790 12371 12961 11293 5581 6423 7353 7032 7771 8807 9422 9522 9834 11094 12078 11609 11621 13331 13715 14737 14482 13319 12450 13535 14278 8755 15286 13101 12185 5894 5110 5535 3966 4775

8540 7586 7348 6934 5325 6502 4818 6591 10344 18032 16516 15129 13549 15862 17642 16346 17001 17365 18397 14301 15382 17634 17643 18051 18202 16701 16114];

e=[74 1373 1321 1049 2883 2708 2933 3526 5062 5868 5481 3299 5635 5394 5291 7004 7048 8180 9090 8049 8017 6869 7747 8457 9460 9062 9319 10631 10685 10643 11702 11730 11482 10700 10630 11678 11902 13244 12746 12855 13797 12442 13093 13920 15658 14177 12778 17087 17075 17962 17814 18134 17198 17144 18393 19767 21006 21091 22846 22304 21439 20554 20101 21072 20215 21766 25221 26424 24813 23198 4020 4026 5314 7093 7100 6837 7906 8045 8394 8403 8079 9663 9469 9178 9095 10225 10210 10340 11557 11415 12696 12400 13765 13694 16032 16872 17734 17005 18438 18954 18012 19072 20282 21450 19501 19909 21018 22176 5734 7912 9296 8622 9237 8307 8904 10547 10398 11529 11563 14065 12727 15198 15248 16267 16440 15412 14269 13277 13175 12632 14624 16629 18470 19041 17414 15748 25021 5985];

f=[781 731 1791 2127 3617 2295 1767 4357 4339 4904 6004 6018 7965 8631 7349 6226 4600 4496 5365 5439 7210 7286 8260 8991 8311 7639 6799 6472 5528 4472 4480 5532 6354 8184 8774 8618 7709 7056 8450 8945 9621 4329 4339 5354 7594 6684 5799 11933 12924 12823 10707 10046 9810 9081 9183 8810 8819 9482 9149 10527 11383 11228 10774 10404 9951 12348 5795 8639 10799 13523 2990 3913 2060 1381 2449 3490 3978 3052 2035 1075 0 1288 2286 3299 3975 3821 2789 1764 1581 2585 3024 2060 1353 2357 3061 2798 3629 7212 6539 4874 4414 8519 8590 7555 6091 5300 5764 5492 9659 12840 13102 10638 9872 9726 8868 9591 10360 11243 10298 10987 7691 10100 9106 11058 12068 12982 12877 13204 12238 17949 14004 14481 14411 15769 15476 15728 16290 2567];

g=[4233 4741 16387 16061 15092 3518 3469 3762 3927 4153 3267 4684 5495 5664 5541 5451 15087 16823 18303 18556 20582 14173 15517 14482 14318 10352 9095 10510 13954 10142 17765 6924 4678 6182 7653];

h=[895 6434 6609 7352 6936 2571 2308 2170 2110 2299 793 1364 1205 1653 2093 2757 3512 4207 7385 5588 6548 11941 17034 12692 13569 17133 16414 15314 5615 1662 3561 5696 3765 2005 1952];

plot(x,y,'o',a,b,'+',c,d, '*',e,f, 'diamond',g,h, 'square')

各种元素的空间分布图程序：

A=[ x y z(%浓度)

]；

x=A(:,1);

y=A(:,2);

z=A(:,3);

minx = min(x);

maxx = max(x);

miny = min(y);

maxy = max(y);

[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(minx,maxx)',linspace(miny,maxy),'v4');

figure,contourf(X,Y,Z)

colorbar('YTickLabel',{})

聚类程序：

data=[x y h(%高度) z(%浓度)

]

[center,U,obj_fcn] = fcm(data,3)

数学建模期末考试A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学

2016年数学建模国赛A题

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。

2010年数学建模a题

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲2410 所属学校（请填写完整的全名）：山东科技大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 王宗炎 2. 虞鑫栋 3. 宋婉莹 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张玉林 日期： 2010 年 9 月13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

题目储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。 关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定

2014年数学建模美赛题目原文及翻译

2014年数学建模美赛题目原文及翻译 作者：Ternence Zhang 转载注明出处：https://www.wendangku.net/doc/f2873064.html,/zhangtengyuan23 MCM原题PDF： https://www.wendangku.net/doc/f2873064.html,/detail/zhangty0223/6901271 PROBLEM A: The Keep-Right-Except-To-Pass Rule In countries where driving automobiles on the right is the rule (that is, USA, China and most other countries except for Great Britain, Australia, and some former British colonies), multi-lane freeways often employ a rule that requires drivers to drive in the right-most lane unless they are passing another vehicle, in which case they move one lane to the left, pass, and return to their former travel lane. Build and analyze a mathematical model to analyze the performance of this rule in light and heavy traffic. You may wish to examine tradeoffs between traffic flow and safety, the role of under- or over-posted speed limits (that is, speed limits that are too low or too high), and/or other factors that may not be

2011-2012第一学期《数学建模》试题卷及答案

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷 班级： 姓名： 学号： 成绩：

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分) 1．模型 模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。 2．数学模型 当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。 3．抽象模型 二、简答题（每小题满分8分，共24分） 1．模型的分类 按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。 2．数学建模的基本步骤 1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各种必要的信息。 2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。 3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。 4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。 5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结果是否稳定。 6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实际； 7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。

3．数学模型的作用 数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用定量的方法，分析和理解实际问题，正因为如此数学模型在科学发展，科学预见，科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。 三、解答题（满分20分） F 题(9n+5, 9n+1) 某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B 城公司则有12％支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形? 解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有： Ak+1=0.9Ak+0.12Bk Bk+1=0.1AK+0.88Bk k=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280 给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元）

2011年数学建模B题

2011年全国大学生数学建模B题 交巡警服务平台的设置与调度 题目警车配置及巡逻问题的研究 摘要： 本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。 在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目m,将全区划分成m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。 在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。 问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。 在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。 本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。 关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化 一问题的重述 110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。 现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。 该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要

2019数学建模国赛a题答案

中国大学生数学建模竞赛： 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。 赛事设置： 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争。 指导原则 指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。 规模与数据 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞

赛。2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。 比赛时间 2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。 同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。 组委名单 注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。 第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单 第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单 第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引 [注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。 [注2] 全国已成立赛区的有28个省、市、自治区，国内尚未成立赛区的区域组成联合赛区，其他（境外参赛学生）组成国际赛区，共30个赛区。

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则

2006年全国数学建模A题题目和优秀论文赏析

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题:出版社的资源配置 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。 某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。 资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 [附录] 附件1：问卷调查表； 附件2：问卷调查数据（五年）； 附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）； 附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）； 附件5：9个分社人力资源细目。

出版社的资源优化配置 摘要 本文针对出版社资源分配问题，在满足利润最大化的追求目标的前提下，以量化分析为基础，对出版社的资源进行优化合理的分配。 首先，对题目给出的海量数据进行分析，提取有用的信息，以学科为基本单位，从市场满意度，市场占有率和经济效益三项指标来综合考虑总的效益。根据盈利和销售额的同一性，预测出06年的实际销售额。利用层次分析法，确定了三项指标的权重，将所得数据归一化得到最后的分社的综合排名。 其次，根据出版社人力资源的限制，考虑到每年有限的工作能力问题，求的各分社的工作能力的最小值。而对于各分社计划销量过多与实际销量，为了资源的有效利用，降低申请书号的浪费，又对申请书号进行了校正，得到校正后的有效书号。最后应用贪心算法对06年实际分配到的书号做出了分配。

2011年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868

1998年全国大学生数学建模竞赛题

1998年全国大学生数学建模竞赛题目 B题灾情巡视路线 下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。(4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。 ?

灾情巡视路线模型 摘要 本文将求最佳巡视路线间题转化为图论中求最佳推销员回路（哈米尔顿回路）的问题,并用近似算法去寻求近似最优解。对赋权图中的路径分组问题定义了均衡度用以衡量分组的均衡性。对问题1和问题2先定出几个分的准则进行初步分组,并用近似算法求每一组的近似最佳推销员回路,再根据均衡度进行微调,得到较优的均衡分组和每组的近似最佳推销员回路。对问题1，运用求任意两点间最短路的Floyd算法,得出总路程较短且各组尽可能均衡的路线,各组的巡视路程分别为公里,公里,公里,总路程公里。对问题2,证明了应至少分为4组,并求出了分为4组时各组的较优巡视路线,各组的巡视时间分别为小时,小时,小时,小时。对问题3,求出完成巡视的最短时间为小时,并用较为合理的分组的准则,分成22个组对问题4，研究了在不影响分组的均衡条件下, T,t,V的允许变化范围,并得出了这三个变量的关系式,并由此对分三个组的情况进行了具体讨论。 关键词：最佳推销员回路问题哈米尔顿回路赋权图近似算法均衡度 一、问题重述 1998年夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各17个乡（镇）、35个村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时， 汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组； 给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时 间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 (4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳 巡视路线的影响。 二、问题分析 本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最分组方案和路线.将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回

2008年数学建模竞赛题目(A题)

2008年数学建模竞赛题目(A题)

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题数码相机定位 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

图 1 靶标上圆的像 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC 边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图3 靶标的像 请你们： （1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面； （2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786； （3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

2011数学建模试题及答案

城市学院2010-2011学年第二学期《数学建模》课程 考试试题（开卷） 年级：09级 专业：机械1班 学号：20940501115 姓名：李明泽 1． 游泳队员分配问题 某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4*100m 混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。问 甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。 请建立数学模型，并写出用Lingo 软件的求解程序。 解：引入0-1变量Xij ，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛，记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij 应该满足两个约束条件： 第一， 每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1； 第二， 每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1 当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==414 1j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。 综上，这个问题的0-1规划模型可写作 Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ；S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2,3,4; ∑=41 i Xjy =1,i=1,2,3,4 将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ： Min =56*x11+74*x12+61*x13+63*x14 +63*x21+69*x22+65*x23+71*x24 +57*x31+77*x32+63*x33+67*x34 +55*x41+76*x42+62*x43+62*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1; x13+x23+x33+x43=1;

数学建模A题优秀论文

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

城市表层土壤重金属污染分析 摘要 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。城市工业、经济的发展，污水排放和汽车尾气排放等均能引起城市表层土壤重金属污染。而重金属污染对城市环境和人类健康造成了严重的威胁，因此对城市表层土壤重金属污染的研究具有重大意义。 对于问题1，先用MATLAB软件对所给数据进行处理，插值拟合得出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图；再用内梅罗综合污染指数评价法建立模型进行求解。首先用EXCEL对数据进行分析，得出各区的8种重金属的平均浓度；然后结合MATLAB软件求出各 各种元素之间及其与海拔之间的相关系数矩阵和相关度；然后结合第一问给出的空间分布图和区域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因主要来自工业区、主干道路区和生活区。 对于问题3，由上述问题的分析可以认为重金属的分布是连续的，物质的扩散从高浓度向低浓度进行。在模型一数据处理基础上建立遍历搜索模型，结合MATLAB软件求出重金属空间分布中的极值点即可能的污染源，得出极值点后再结合《国家土壤环境质量标准》通过MATLAB软件对极值点进行筛选，得出8种重金属元素的主要污染源。 对于问题4，对所建立的模型进行分析，找出了各个模型的优缺点。然后分析影响城市地质演化模型的因素，为更好地研究城市地质环境的演变模式，从动态和多元的角度出发，还应搜集采样点的长期动态数据和岩石、土壤、大气、水和生物等因素的相关信息，分别建立动态动态传播模型和城市地质环境的综合评价预测模型。 关键词：梅罗综合污染指数评价法污染等级相关矩阵遍历搜索模型污染源 一、问题重述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自

数学建模模拟试题及答案

数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题５分，共2０分) 1． 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有1m 个顾客,每人都买了1n 件商品,队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品,假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是. 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时,我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分,满分３０分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑?试至少列出５种． 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断,当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过8０／100)ml /mg (． （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度,则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ?-=-?+)()()( 其中0>k 为比例常数,负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.) 三、计算题(每题2５分,满分５0分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料,生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、２、８个单位,产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、３、5个单位,产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和８0单位．试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大,并由此回答: （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.

2010年全国数学建模A题答案

储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测 量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。需要定期对罐容表进行重新标定。在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。 第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为： abl v b h v b h v b h V ??????-+---+=arcsin )(12 2' π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精 度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件 (1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式： 408.5976 -H 395.774852.5322H -13.2498H 1.1361H - 0.0320H 2345++=椭变V 进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下： 1cm 2cm 3cm 4cm ??? 118cm 119cm 120cm 0L 0L 0L 0L ??? 4017.26L 4050.08L 4082.80L 第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用 最小二乘拟合确定变位参数α、β。(3)利用已给数据求得表达式： ααηtan 2tan 10++-=+h R z ， 继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值： 10cm 20cm 30cm ??? 280cm 290cm 300cm 1352.17 2223.85 3082.13 ??? 60303.88 60690.98 61807.31 利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。 关键词：储油罐 罐容表 变位 契比雪夫公式 等效高度 最小二乘拟合