Pointwise convergence of averages along cubes

a r X i v :m a t h /0305388v 2 [m a t h .D S ] 23 N o v 2003

POINTWISE CONVERGENCE OF A VERAGES ALONG CUBES

I.ASSANI

Abstract.Let (X,B ,μ,T )be a measure preserving system.We prove the pointwise convergence of the averages

1

N 2

N ?1

n,m =0

f 1(T n x )f 2(T m x )f 3(T n +m x )

where the functions f i are bounded measurable and (X,B ,μ,T )is a measure preserving system.In [1],B.Host and B.Kra extended his result by proving the L 2convergence of the following averages

1

2I.ASSANI

Theorem1.Let(X,B,μ,T)be a measure preserving system.If the functions f i,1≤i≤7, are all bounded then the averages

1

N2N?1

n,m=0f1(T n x)f2(T m x)f3(T n+m x)

(2)Its CL factor is characteristic for the pointwise convergence of the averages 1

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES3 2.1.Pointwise convergence for the averages of three functions.We start by proving the pointwise convergence of the averages

M N(f1,f2,f3)(x)=

1

N N?1

n=0f(T n x)e2πint|=

0.

Using this lemma we can prove the following

Theorem 4.Let(X,B,μ,T)be a measure preserving system and f i,1≤i≤3three bounded functions then the averages

M N(f1,f2,f3)(x)=

1

4I.ASSANI

|M N(f1,f2,f3)(x)|2

≤ f1 2∞ 1N N?1 m=0f2(T m x)f3(T n+m x) 2

≤ f1 2∞1

N

2(N?1)

m′=0

f3(T m′x)e2πim′t .e2πint dt 2

≤ f1 2∞1

N

2(N?1)

m′=0

f3(T m′x)e2πim′t 2dt

≤C

N

N?1

m′=0

f3(T m′x)e2πim′t 2 N?1 m=0f2(T m x)e?2πimt|2dt

≤C sup

t

1N N f2 2∞

With the help of lemma1we can conclude that for f3in the orthocomplement of the Kronecker factor the averages M N(f1,f2,f3)converge a.e.to zero.

If f3is one of the eigenfunctions for T with eigenvalue e2πiθthen

M N(f1,f2,f3)=f3 1N N?1 m=0f2(T m x)e2πimθ .

The convergence in this case follows from Birkho?’s theorem applied to the product of T and the rotationθ.The convergence for a general function f3in the Kronecker factor follows now by linearity and approximation.

Remarks1

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES 5

?The proof of theorem 4shows that if f 1and f 2are bounded functions and P K denotes the projection onto the Kronecker factor of T then

(1)lim sup

N

1

N

N ?1 m =0

f 1(T m x )f 2(T

m +n

x ) 2=lim sup

N

1

N

N ?1 m =0

P K (f 1)(T m x )P K (f 2)(T

m +n

x )

2

?The proof of theorem 4actually shows that (2)

1

N

N ?1 m =0

f 2(T m x )f 3(T n +m x )

2

≤C sup t

1

N

N ?1

m ′=0

f 2(T

m ′

x )e

2πim ′t

2

if we focus instead on the function f 2.

2.2.Pointwise convergence for the averages of seven functions.As T is ergodic there exists in K an orthonormal basis of eigenfunctions g j with modulus 1corresponding to the eigenvalue e 2πiθj so that any function G ∈K can be written as (3)

G =

∞ j =1

G.

H

H ?1 h =0

|f.f ?T h | 42

where (5)

|f | 42=lim

H

1

6I.ASSANI

Lemma2.Let(X,B,μ,T)be an ergodic dynamical system and f∈L∞(μ)then for all H positive integer we have

lim sup

N sup

t

1

H

+

1

f?T h dμ

In particular we have

(6)lim sup

N sup t

1

N N?1

n=0f(T n x)e2πint 2≤C 1H H

h=1

1 H

H

h=1

f.f?T h dμ ≤ 1

N

N?1

n=0sup t 1

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES7 Proof.We can assume without loss of generalities that the functions are uniformly bounded by one.We use again van der Corput’s inequality,[7].For(H+1)2

sup t 1

H +

C

N

N?h?1

m=0f1(T m x)f2(T m+n x)f2(T m+n+h x)

So recalling that the constant C may change from one line to another but remains an absolute constant we have,

1

N N?1

m=0f1(T m x)f2(T n+m x)e2πimt 2

≤C

H

H

h=11N N?h?1 m=0f1(T m x)f2(T m+n x)f2(T m+n+h x)

≤C

H

H

h=1

1

N

N?1

m=0f1(T m x)f2(T m+n x)f2(T m+n+h x)

?

N?1

m=N?h

f1(T m x)f2(T m+n x)f2(T m+n+h x)

≤C

H

H

h=11N N?1 m=0f1(T m x)f2(T m+n x)f2(T m+n+h x) +C N N?1 n=0h H

+

C

N

N?1

n=0 1f1(T m+h x)

P

P

p=1u p|≤(1

8I.ASSANI

we obtain

1

N

N ?1 m =0

f 1(T m x )f 2(T n +m x )e 2πimt

2

≤C

H

H h =1

1N

N ?1 m =0

f 1(T m x )f 2(T m +n x )

f 2(T m +n +h x )

2 1/2

Finally by applying the inequality (2)made after the Remarks 1to the function f 1.

N

N ?1 n =0

sup t

1H

+

C

N

N ?1

m ′=0

(f 1.

H

H h =1

|u h |2

≤

1

N N ?1 n =0

sup t

1H

+ C

N

N ?1

m ′=0

(f 1.

H +

C

f 1?T h | 22

1/2

≤C

H H

h =1

|f 1.

H

+ C

f 1?T h | 42

1/4

Taking now the limit when H tends to ∞we get the following estimate

(9)lim sup

N

1

N

N ?1 m =0

f 1(T m x )f 2(T n +m x )e 2πimt 2

≤C |f 1| 2

3

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES9 Thus if we assume that f1∈CL⊥then |f1| 3=0and we obtain the equation(7).We have the same conclusion if one assumes that f2∈CL⊥. Using Lemma3we can now give a proof of theorem1.

Proof.Theorem1

|M N(f1,f2,...,f7)|2

= 1

N2N?1

p=0N?1 n=0 f1 2∞ f2 2∞ f3 2∞ 1

N2

3 i=1 f i 2∞.

N?1

n=0N?1 p=0 (N?1) m=0f4(T m x)f5(T n+m x)e?2πimt 1

N2

3

i=1 f i 2∞N?1 n=0 N?1 m=0f4(T m x)f5(T n+m x)e?2πimt 1

N2

3

i=1 f i 2∞N?1 n=0sup t 1

N

N?1

n=0sup t 1

10I.ASSANI

Remarks2

?The last steps of the proof of theorem1show that for bounded functions f i,4≤i≤7 if we denote by P CL(f i)their projection onto the CL factor then we have

(10)

lim sup

N 1

N

N?1

m=0f4(T m x)f5(T n+m x)f6(T p+m x)f7(T p+n+m x) 2

=lim sup

N 1

N

N?1

m=0P CL(f4)(T m x)P CL(f5)(T n+m x)P CL(f6)(T p+m x)P CL(f7)(T p+n+m x) 2.

?The proof of lemma3gives the following estimate

(11)lim sup

N 1

N

N?1

m=0f1(T m x)f2(T n+m x)e2πimt 2≤CMin[ |f1| 23, |f2| 23].

2.3.Proof of Theorem2.The proof is a consequence of the path used in establishing theorem1.We have shown that if one of the functions f i∈CL⊥,1≤i≤7,then the averages converge pointwise to zero.This shows that the CL factor is characteristic for the pointwise convergence.For the averages of three functions the Kronecker factor is characterisitc for the pointwise convergence for the same reason.

2.4.Proof of Theorem

3.We list some properties and some notations.They may seem a bit complicated at?rst reading.So the reader may wish to?rst translate all these properties to the case of15functions.

(1)For each k≥4we denote by

M N(f1,f2,...,f2k?1)(x)

the averages of2k?1bounded functions.We number the functions f j so that those with2k?1≤j≤2k?1are depending of the index i k.For instance in the

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES 11

sum of 7functions,the functions are f j ,4≤j ≤7and they appear in the sum N ?1

m =0

f 4(T m x )f 5(T n +m x )f 6(T p +m x )f 7(T p +n +m x ).In the case of 15functions if we

denote by p,n,k,m the indices i 1,i 2,i 3,i 4then they appear in the sum

N ?1 m =0

f 8(T m x )f 9(T n +m x )...f 15(T p +n +k +m x )

We denote by S N,(i 1,i 2,...,i k )(f 2k ?1,...,f 2k ?1)(x )these terms depending on i k .We can observe that each term S N,(i 1,i 2,...,i k )(f 2k ?1,...,f 2k ?1)(x )is the product of two groups of 2k ?2functions,

A N,(i 2,...,i k ?1,i k )(f 2k ?1,f 2k ?1+1,...,f 3.2k ?2)(x )

and

B N,(i 1,i 2,...,i k )(f 3.2k ?2+1,...,f 2k ?1)(x )

such that the powers of T associated with each function in the second group are exactly those associated with the functions in the ?rst group shifted by the index i 1.Similar decompositions can be obtained if one focus on shifted blocks by another index.One can observe that we could write

(12)

B N,(i 1,i 2,...,i k )(f 3.2k ?2+1,...,f 2k ?1)(x )=A N,(i 2,...,i k ?1,i k )(f 3.2k ?2+1,...,f 2k ?1)(T i 1x )The interest in those terms in the numerator of M N (f 1,f 2,...,f 2k ?1)(x )rests also in the following

(13)

|M N (f 1,f 2,...,f 2k ?1)(x )|2

≤

2k ?1?1

j =1

f j 2∞

1

N

N ?1 i k =0

S N,(i 1,i 2,...,i k )(f 2k ?1,...,f 2k ?1)(x ) 2

.

12I.ASSANI

(2)When T is weakly mixing the Kronecker and CL factors are trivial.Thus we have

P K f i=P CL(f i)= f i dμ.

We want to prove theorem3by induction on k.We formulate our induction assumption.

Induction Assumption

We assume that the following properties hold for all bounded functions f j,1≤j≤k?1.

(1)

lim sup

N 1

N

N?1

i

k?1=0

S N,(i

1,i2,...,i k?1)

(f2k?2,...,f2k?1?1)(x) 2

=lim sup

N

1

N k?2N?1

i1,...,i

k?2=0

sup

t

1

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES13 Proof.As previously we apply Van der Corput lemma to each term

sup t 1

N k?2N?1

i1,...,i

k?2=0

sup

t

1

N k?2N?1

i1,...,i

k?2=0

C. 1H H h=1

1

H +

1

N k?2

N?1 i1,...,i k?2=0 1

H +

1

N k?2

N?1

i1,...,i

k?2=0

1

H

H

h=1lim sup N1N N?h?1 i

k=1

A N,(i

1,i2,...,i k?2,i k)

(f3.2k?2+1.f3.2k?2+1?T h,...,f2k?1.f2k?1?T h)(x)

which by the equation(8)(in the proof of lemma3)is less than 1

N k?2N?1 i1,...,i

k?2=0 1

14I.ASSANI

Now using the?rst induction assumption we conclude that lim sup

N

1

N N?h?1

i

k=1

A N,(i

1,i2,...,i k?2,i k)

(f3.2k?2+1.f3.2k?2+1?T h,...,f2k?1.f2k?1?T h)(x) 2 1/2

= 2k?1?1 j=2k?2 f j.f j?T h|2 1/2

As one of the functions f j let us say g=f j

has integral zero and T is weakly mixing then the spectral measureσg is continuous.Thus we have

lim

H

1

H

H

h=1

lim sup

N

1N N?h?1

i k=1A N,(i

1,i2,...,i k?2,i k)

(f3.2k?2+1.f3.2k?2+1?T h,...,f2k?1.f2k?1?T h)(x) 2 1/2

≤C.

1

N2N?1

p=0N?1 n=0sup t 1

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES 15

|M N (f 1,f 2,...,f 2k ?1)(x )|2≤

2k ?1?1

j =1

f j 2∞

1

N

N ?1 i k =0

S N,(i 1,i 2,...,i k )(f 2k ?1,...,f 2k ?1)(x )

2

Using the equation (14)we can write

1N

N ?1 i k =0

A N,(i 2,...,i k ?1,i k )(f 2k ?1,f 2k ?1+1,...,f 3.2k ?2)(x )e ?2πi k t

N ?1 i ′

k =0

A N,(i 2,...,i

k ?1,i ′

k )

(f 3.2k ?2+1,...,f 2k ?1)(x )e

2πi ′

k t

.e 2πii 1t dt

2Hence we have

|M N (f 1,f 2,...,f 2k ?1)(x )|2≤

2k ?1?1

j =1

f j 2∞

1

N

N ?1 i k =0

S N,(i 1,i 2,...,i k )(f 2k ?1,...,f 2k ?1)(x )

2

≤

2k ?1?1

j =1

f j 2∞

1

N

N ?1 i ′

k =0

A N,(i 2,...,i

k ?1,i ′

k )

(f 3.2k ?2+1,...,f 2k ?1)(x )e

2πi ′

k t

2dt ≤C

1

N

N ?1 i ′

k =0

A N,(i 2,...,i

k ?1,i ′

k )

(f 3.2k ?2+1,...,f 2k ?1)(x )e

2πi ′k t 2

By using Lemma 4one can conclude that the averages M N (f 1,f 2,...,f 2k ?1)(x )converge a.e to zero when one of the functions f j has a zero integral.(using the symmetry on the indices).From this one derives that the averages of 2k ?1bounded functions converge to the product of the integral of the functions.This is part (2)of the induction assumption at

16I.ASSANI

level k.To end the proof of the theorem we just need to observe that the proof given for l=k proves also the?rst assumption for k.

Remark4

If one considers instead the averages

1

Nβ?1(N+1)β

n=Nβ

f(T n x)

do not converge a.e.even if f is the characteristic function of a set of positive measure.So in this case the Kronecker factor is characteristic for the L2norm but not for the pointwise convergence.

References

[1]B.Host and B.Kra:“Averaging along cubes”,preprint.

[2]B.Host and B.Kra:“Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds”,preprint.

[3]V.Bergelson:“The multifarious Poincare Recurrence theorem,”Descriptive Set Theory and Dynamical

Systems,,Eds M.Foreman,A.S.Kechris,A.Louveau,B.Weiss.Cambridge University Press,New York (2000),31-57.

[4]J.Bourgain:“Double recurrence and almost sure convergence,”J.f¨u r die Reine und Angewandte

Mathematik,404,140–161,1990.

POINTWISE CONVERGENCE OF AVERAGES ALONG CUBES17

1

[5]H.Furstenberg and B.Weiss:“A mean ergodic theorem for

从实践的角度探讨在日语教学中多媒体课件的应用

从实践的角度探讨在日语教学中多媒体课件的应用 在今天中国的许多大学，为适应现代化，信息化的要求，建立了设备完善的适应多媒体教学的教室。许多学科的研究者及现场教员也积极致力于多媒体软件的开发和利用。在大学日语专业的教学工作中，教科书、磁带、粉笔为主流的传统教学方式差不多悄然向先进的教学手段而进展。 一、多媒体课件和精品课程的进展现状 然而，目前在专业日语教学中能够利用的教学软件并不多见。比如在中国大学日语的专业、第二外語用教科书常见的有《新编日语》（上海外语教育出版社）、《中日交流标准日本語》（初级、中级）（人民教育出版社）、《新编基础日语（初級、高級）》（上海译文出版社）、《大学日本语》（四川大学出版社）、《初级日语》《中级日语》（北京大学出版社）、《新世纪大学日语》（外语教学与研究出版社）、《综合日语》（北京大学出版社）、《新编日语教程》（华东理工大学出版社）《新编初级（中级）日本语》（吉林教育出版社）、《新大学日本语》（大连理工大学出版社）、《新大学日语》（高等教育出版社）、《现代日本语》（上海外语教育出版社）、《基础日语》（复旦大学出版社）等等。配套教材以录音磁带、教学参考、习题集为主。只有《中日交流標準日本語（初級上）》、《初級日语》、《新编日语教程》等少数教科书配备了多媒体DVD视听教材。 然而这些试听教材，有的内容为日语普及读物，并不适合专业外语课堂教学。比如《新版中日交流标准日本语（初级上）》，有的尽管DVD视听教材中有丰富的动画画面和语音练习。然而，课堂操作则花费时刻长，不利于教师重点指导，更加适合学生的课余练习。比如北京大学的《初级日语》等。在这种情形下，许多大学的日语专业致力于教材的自主开发。 其中，有些大学的还推出精品课程，取得了专门大成绩。比如天津外国语学院的《新编日语》多媒体精品课程为2007年被评为“国家级精品课”。目前已被南开大学外国语学院、成都理工大学日语系等全国40余所大学推广使用。

新视野大学英语全部课文原文

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hypermesh网格划分总结 - HM运用小常识 1.如何在体表面提取面单元 HM->TOOL->faces->find faces 2.在Hypermesh中使用OptiStruct求解器的重力、离心力、旋转惯性力施加方法 在HyperMesh中采用定义loadcols组件（colletors）的方式定义重力、离心力以及惯性力。 1、重力 重力的施加方式在的card image中选择GRAV，然后create/edit，在CID中输入重力参考的坐标系，在G中输入重力加速度，在 1、 2、N3中输入重力方向向量在重力参考坐标系中的单位分量，然后返回即可 2、离心力 离心力的施加方式在的card image中选择RFROCE，然后create/edit，在G中输入旋转中所在节点编号，在CID中输入离心力所参考的坐标系，在A中输入旋转速度，在 1、 2、N3中输入离心力方向向量在离心力所参考坐标系中的单位分量，

返回即可创建离心力；如果需要定义旋转惯性力，在RACC中输入旋转加速度即可，二者可以同时创建，也可单独创建。 1 / 12 如果在一个结构分析中，需要同时考虑结构自身的重力和外界施加的外载荷，那么你可以按照楼主wjsgkz介绍的第一条建立重力load collector，但是外部载荷的load collector你怎么建立？？？是同时 建立在重力的load collector中吗？？？如果是，那边有一个十分混淆的问题：在你建立重力的load collector的时候，你选择了GRAV卡片，那么你凡是建立的该重力load collector之中的力都带有GRAV卡片属性，这显然是不对的。但是，如果你重新建立一个新的load collecotr，然后把外部载荷建立在其中，那么就有重力和外部载荷两 个load collectors，但是在你建立subcase的时候你只能选择一个load collector，那么你无论选择哪一个都必将失去另外一个，这就与我们的本意相矛盾了，我们是希望同时考虑结构自重和外部载荷的联合作用下进行分析的，这个时候应该怎么办？？？？？？？？？？？怎么获得结构同时在自身重力和外部载荷作用下的变形和应力？？？谁知道？？？ 方法1：工况组合；使用??屄卡片叠加重力载荷和其他载荷；创建 一个load collector;card image选LOAD；点击create/edit;把下面的load_num_set改成你所要组合的载荷的数目；然后在上面L1,L2,L3....选中你要组合的项，前面的s1,s2,s3,,,,是载荷组合时候的权重系数。

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新视野三版读写B2U4Text A College sweethearts 1I smile at my two lovely daughters and they seem so much more mature than we,their parents,when we were college sweethearts.Linda,who's21,had a boyfriend in her freshman year she thought she would marry,but they're not together anymore.Melissa,who's19,hasn't had a steady boyfriend yet.My daughters wonder when they will meet"The One",their great love.They think their father and I had a classic fairy-tale romance heading for marriage from the outset.Perhaps,they're right but it didn't seem so at the time.In a way, love just happens when you least expect it.Who would have thought that Butch and I would end up getting married to each other?He became my boyfriend because of my shallow agenda:I wanted a cute boyfriend! 2We met through my college roommate at the university cafeteria.That fateful night,I was merely curious,but for him I think it was love at first sight."You have beautiful eyes",he said as he gazed at my face.He kept staring at me all night long.I really wasn't that interested for two reasons.First,he looked like he was a really wild boy,maybe even dangerous.Second,although he was very cute,he seemed a little weird. 3Riding on his bicycle,he'd ride past my dorm as if"by accident"and pretend to be surprised to see me.I liked the attention but was cautious about his wild,dynamic personality.He had a charming way with words which would charm any girl.Fear came over me when I started to fall in love.His exciting"bad boy image"was just too tempting to resist.What was it that attracted me?I always had an excellent reputation.My concentration was solely on my studies to get superior grades.But for what?College is supposed to be a time of great learning and also some fun.I had nearly achieved a great education,and graduation was just one semester away.But I hadn't had any fun;my life was stale with no component of fun!I needed a boyfriend.Not just any boyfriend.He had to be cute.My goal that semester became: Be ambitious and grab the cutest boyfriend I can find. 4I worried what he'd think of me.True,we lived in a time when a dramatic shift in sexual attitudes was taking place,but I was a traditional girl who wasn't ready for the new ways that seemed common on campus.Butch looked superb!I was not immune to his personality,but I was scared.The night when he announced to the world that I was his girlfriend,I went along

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Hypermesh网格划分 1 入门基础篇 1、如何将.igs文件或.stl文件导入hypermesh进行分网？ files\import\切换选项至iges格式，然后点击import...按钮去寻找你的iges文件吧。划分网格前别忘了清理几何 2、导入的为一整体，如何分成不同的comps？两物体相交，交线如何做？怎样从面的轮廓产生线（line）？ 都用surface edit Surface edit的详细用法见HELP，点索引，输入surface edit 3、老大，有没有划分3D实体的详细例子？ 打开hm,屏幕右下角help,帮助目录下hyperworks/tutorials/hyermesh tutorials/3D element,有4个例子。 4、如何在hypermesh里建实体？ hm的几何建模能力不太强，而且其中没有体的概念，但它的曲面功能很强的.在2d面板中可以通过许多方式构建面或者曲面,在3D面板中也可以建造标准的3D曲面,但是对于曲面间的操作,由于没有"体"的概念,布尔运算就少了,分割面作就可以了 5、请问怎么在hypermesh中将两个相交平面到圆角啊？ defeature/surf fillets 6、使用reflect命令的话，得到了映射的另一半，原先的却不见了，怎么办呢？ 法1、在选择reflect后选择duplicate复制一个就可以 法2、先把已建单元organize〉copy到一个辅助collector中， 再对它进行reflect， 将得到的新单元organize〉move到原collector中， 最后将两部分equivalence， 就ok拉。 7、请问在hypermesh中如何划分装配体？比如铸造中的沙型和铸件以及冷铁， 他们为不同材质，要求界面单元共用，但必须能分别开？ 你可以先划分其中一个部件,在装配面上的单元进行投影拷贝到被装配面上8、我现在有这样一个问题，曲线是一条线，我想把它分成四段，这样可以对每一段指定density，网格质量会比直接用一条封闭的线好。 可用F12里的cleanup_add point,那里面还有很多内容，能解决很多问题9、我在一个hm文件中创建了一组组装件的有限元模型，建模过程很麻烦，由于失误我把一个很重要的部件建在了另一个hm文件中，请问有没有什么方法把这个部件的有限单元信息转移到组装件的hm文件中呢？ 如果可以，装配关系可以满足吗？ Sure, you can make it. Just export the only part from one hm file (export displayed only), and then import to your new hm file. Usually it will meet your assembly requirement, if not, you can easily translate it desired position with in hypermesh

RAE2822翼型流场的fluent计算

RAE2822翼型跨声速绕流的CFD计算摘要：使用ANSYS对RAE2822翼型进行网格划分,之后导入fluent中进行计算。通过对不同的模型和不同边界层网格的计算，采用控制变量的方法分组比较分析，并将计算结果中的压力系数与试验数据以及组内数据进行对比分析，以验证FLUENT计算结果的准确性。 关键词：RAE2822，控制变量，ANSYS，FLUENT 引言： 本文研究了速度场来流条件为Ma=0.729, α=2.31的情况下各种状态下的计算结果。计算状态分别为无粘流动（欧拉方程、无附面层网格）；至少3种不同湍流模型计算粘性绕流（同一带附面层网格，y＋≈30）。采用S-A湍流模型，建立4种不同y＋的网格计算（y＋<1, y＋≈10, y＋≈30, y＋≈50）。对y＋≈50的网格，额外采用流场求解网格自适应功能（基于压力梯度）进行计算。以及在Ma∞＝0.75, Re＝5×106,迎角α=-1°, -0.5°, 0°, 0.5°, 1°的条件下对DLR-F6翼身组合体的绕流进行了数值求解，并将所得结果与实验结果进行对比分析，对FLUENT软件计算三位复杂外形绕流的准确性进行验证。 通过对不同状态下的计算结果分析飞行器的气动特性，并且将数值计算的结果与相应的试验数据进行比较，从而对数值计算结果进行验证。 一、RAE2822翼型 1.1 RAE2822翼型二维模型

图 1 SAE2822机翼翼型 1.2计算初始参数 流体介质：理想空气 来流条件马赫数Ma=0.729 攻角α=2.31° 来流的压力和温度：P=101325Pa，T=300K 声速v=（KRT）0.5=347.19m/s 来流速度=Ma*v=253.10 m/s 二、RAE2822翼型网格的划分和参数的设置 2.1 RAE2882翼型网格的划分 本文由机翼的特征长度L=1m、马赫数为Ma=0.729和雷诺数Re=6.5×106根据计算可得到不同附面层的第一层厚度表1所示： 根据表1的数据利用ICEM软件划分不同第一层厚度的边界层网格和无边界层厚度的网格，以y＋=30为例，网格图形如图2所示：

新视野大学英语读写教程第一册课文翻译及课后答案

Unit 1 1学习外语是我一生中最艰苦也是最有意义的经历之一。虽然时常遭遇挫折，但却非常有价值。 2我学外语的经历始于初中的第一堂英语课。老师很慈祥耐心，时常表扬学生。由于这种积极的教学方法，我踊跃回答各种问题，从不怕答错。两年中，我的成绩一直名列前茅。 3到了高中后，我渴望继续学习英语。然而，高中时的经历与以前大不相同。以前，老师对所有的学生都很耐心，而新老师则总是惩罚答错的学生。每当有谁回答错了，她就会用长教鞭指着我们，上下挥舞大喊：“错！错！错！”没有多久，我便不再渴望回答问题了。我不仅失去了回答问题的乐趣，而且根本就不想再用英语说半个字。 4好在这种情况没持续多久。到了大学，我了解到所有学生必须上英语课。与高中老师不。大学英语老师非常耐心和蔼，而且从来不带教鞭！不过情况却远不尽如人意。由于班大，每堂课能轮到我回答的问题寥寥无几。上了几周课后，我还发现许多同学的英语说得比我要好得多。我开始产生一种畏惧感。虽然原因与高中时不同，但我却又一次不敢开口了。看来我的英语水平要永远停步不前了。 5直到几年后我有机会参加远程英语课程，情况才有所改善。这种课程的媒介是一台电脑、一条电话线和一个调制解调器。我很快配齐了必要的设备并跟一个朋友学会了电脑操作技术，于是我每周用5到7天在网上的虚拟课堂里学习英语。 6网上学习并不比普通的课堂学习容易。它需要花许多的时间，需要学习者专心自律，以跟上课程进度。我尽力达到课程的最低要求，并按时完成作业。 7我随时随地都在学习。不管去哪里，我都随身携带一本袖珍字典和笔记本，笔记本上记着我遇到的生词。我学习中出过许多错，有时是令人尴尬的错误。有时我会因挫折而哭泣，有时甚至想放弃。但我从未因别的同学英语说得比我快而感到畏惧，因为在电脑屏幕上作出回答之前，我可以根据自己的需要花时间去琢磨自己的想法。突然有一天我发现自己什么都懂了，更重要的是，我说起英语来灵活自如。尽管我还是常常出错，还有很多东西要学，但我已尝到了刻苦学习的甜头。 8学习外语对我来说是非常艰辛的经历，但它又无比珍贵。它不仅使我懂得了艰苦努力的意义，而且让我了解了不同的文化，让我以一种全新的思维去看待事物。学习一门外语最令人兴奋的收获是我能与更多的人交流。与人交谈是我最喜欢的一项活动，新的语言使我能与陌生人交往，参与他们的谈话，并建立新的难以忘怀的友谊。由于我已能说英语，别人讲英语时我不再茫然不解了。我能够参与其中，并结交朋友。我能与人交流，并能够弥合我所说的语言和所处的文化与他们的语言和文化之间的鸿沟。 III. 1. rewarding 2. communicate 3. access 4. embarrassing 5. positive 6. commitment 7. virtual 8. benefits 9. minimum 10. opportunities IV. 1. up 2. into 3. from 4. with 5. to 6. up 7. of 8. in 9. for 10.with V. 1.G 2.B 3.E 4.I 5.H 6.K 7.M 8.O 9.F 10.C Sentence Structure VI. 1. Universities in the east are better equipped, while those in the west are relatively poor. 2. Allan Clark kept talking the price up, while Wilkinson kept knocking it down. 3. The husband spent all his money drinking, while his wife saved all hers for the family. 4. Some guests spoke pleasantly and behaved politely, while others wee insulting and impolite. 5. Outwardly Sara was friendly towards all those concerned, while inwardly she was angry. VII. 1. Not only did Mr. Smith learn the Chinese language, but he also bridged the gap between his culture and ours. 2. Not only did we learn the technology through the online course, but we also learned to communicate with friends in English. 3. Not only did we lose all our money, but we also came close to losing our lives.

详细FLUENT实例讲座翼型计算

详细FLUENT实例讲座翼型计算 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

CAE联盟论坛精品讲座系列 详细FLUENT实例讲座-翼型计算 主讲人：流沙 CAE联盟论坛总版主 1.1 问题描述 翼型升阻力计算是CFD最常规的应用之一。本例计算的翼型为 RAE2822，其几何参数可以查看翼型数据库。本例计算在来流速度0.75马赫，攻角3.19°情况下，翼型的升阻系数及流场分布，并将计算结果与实验数据进行对比。模型示意图如图1所示。 b5E2RGbCAP 1.p ng(12.13 K>2018/7/29 23:41:251.2 FLUENT前处理设置Step 1：导入计算模型 以3D，双精度方式启动FLUENT14.5。 利用菜单【File】>【Read】>【Mesh…】，在弹出的文件选择对话框中选择网格文件rae2822_coarse.msh，点击OK按钮选择文件。如图2所示。p1EanqFDPw

点击FLUENT模型树按钮General，在右侧设置面板中点击按钮Display…，在弹出的设置对话框中保持默认设置，点击Display按钮，显示网格。如图3所示。DXDiTa9E3d 2.png(11.51 K>2018/7/29 23:41:25

3.png(33.41 K>2018/7/29 23:41:253-2.png(52.04 K>2018/7/29 23:41:25Step 2：检查网格 采用如图4所示步骤进行网格的检查与显示。点击FLUENT模型树节点General节点，在右侧面板中通过按钮Scale…、Check及 Report Quality实现网格检查。 4.png(12. 10 K>RTCrpUDGiT2018/7/29 23:41:25点击按钮Check，在命令输出按钮出现如图5所示网格统计信息。从图中可以看出，网格尺寸分布： x轴：-48.97~50m

新大学日语简明教程课文翻译

新大学日语简明教程课文翻译 第21课 一、我的留学生活 我从去年12月开始学习日语。已经3个月了。每天大约学30个新单词。每天学15个左右的新汉字，但总记不住。假名已经基本记住了。 简单的会话还可以，但较难的还说不了。还不能用日语发表自己的意见。既不能很好地回答老师的提问，也看不懂日语的文章。短小、简单的信写得了，但长的信写不了。 来日本不久就迎来了新年。新年时，日本的少女们穿着美丽的和服，看上去就像新娘。非常冷的时候，还是有女孩子穿着裙子和袜子走在大街上。 我在日本的第一个新年过得很愉快，因此很开心。 现在学习忙，没什么时间玩，但周末常常运动，或骑车去公园玩。有时也邀朋友一起去。虽然我有国际驾照，但没钱，买不起车。没办法，需要的时候就向朋友借车。有几个朋友愿意借车给我。 二、一个房间变成三个 从前一直认为睡在褥子上的是日本人，美国人都睡床铺，可是听说近来纽约等大都市的年轻人不睡床铺，而是睡在褥子上，是不是突然讨厌起床铺了？ 日本人自古以来就睡在褥子上，那自有它的原因。人们都说日本人的房子小，从前，很少有人在自己的房间，一家人住在一个小房间里是常有的是，今天仍然有人过着这样的生活。 在仅有的一个房间哩，如果要摆下全家人的床铺，就不能在那里吃饭了。这一点，褥子很方便。早晨，不需要褥子的时候，可以收起来。在没有了褥子的房间放上桌子，当作饭厅吃早饭。来客人的话，就在那里喝茶；孩子放学回到家里，那房间就成了书房。而后，傍晚又成为饭厅。然后收起桌子，铺上褥子，又成为了全家人睡觉的地方。 如果是床铺的话，除了睡觉的房间，还需要吃饭的房间和书房等，但如果使用褥子，一个房间就可以有各种用途。 据说从前，在纽约等大都市的大学学习的学生也租得起很大的房间。但现在房租太贵，租不起了。只能住更便宜、更小的房间。因此，似乎开始使用睡觉时作床，白天折小能成为椅子的、方便的褥子。

新视野大学英语第一册Unit 1课文翻译

新视野大学英语第一册Unit 1课文翻译 学习外语是我一生中最艰苦也是最有意义的经历之一。 虽然时常遭遇挫折，但却非常有价值。 我学外语的经历始于初中的第一堂英语课。 老师很慈祥耐心，时常表扬学生。 由于这种积极的教学方法，我踊跃回答各种问题，从不怕答错。 两年中，我的成绩一直名列前茅。 到了高中后，我渴望继续学习英语。然而，高中时的经历与以前大不相同。 以前，老师对所有的学生都很耐心，而新老师则总是惩罚答错的学生。 每当有谁回答错了，她就会用长教鞭指着我们，上下挥舞大喊：“错！错！错！” 没有多久，我便不再渴望回答问题了。 我不仅失去了回答问题的乐趣，而且根本就不想再用英语说半个字。 好在这种情况没持续多久。 到了大学，我了解到所有学生必须上英语课。 与高中老师不同，大学英语老师非常耐心和蔼，而且从来不带教鞭！ 不过情况却远不尽如人意。 由于班大，每堂课能轮到我回答的问题寥寥无几。 上了几周课后，我还发现许多同学的英语说得比我要好得多。 我开始产生一种畏惧感。 虽然原因与高中时不同，但我却又一次不敢开口了。 看来我的英语水平要永远停步不前了。 直到几年后我有机会参加远程英语课程，情况才有所改善。 这种课程的媒介是一台电脑、一条电话线和一个调制解调器。 我很快配齐了必要的设备并跟一个朋友学会了电脑操作技术，于是我每周用5到7天在网上的虚拟课堂里学习英语。 网上学习并不比普通的课堂学习容易。 它需要花许多的时间，需要学习者专心自律，以跟上课程进度。 我尽力达到课程的最低要求，并按时完成作业。 我随时随地都在学习。 不管去哪里，我都随身携带一本袖珍字典和笔记本，笔记本上记着我遇到的生词。 我学习中出过许多错，有时是令人尴尬的错误。 有时我会因挫折而哭泣，有时甚至想放弃。 但我从未因别的同学英语说得比我快而感到畏惧，因为在电脑屏幕上作出回答之前，我可以根据自己的需要花时间去琢磨自己的想法。 突然有一天我发现自己什么都懂了，更重要的是，我说起英语来灵活自如。 尽管我还是常常出错，还有很多东西要学，但我已尝到了刻苦学习的甜头。 学习外语对我来说是非常艰辛的经历，但它又无比珍贵。 它不仅使我懂得了艰苦努力的意义，而且让我了解了不同的文化，让我以一种全新的思维去看待事物。 学习一门外语最令人兴奋的收获是我能与更多的人交流。 与人交谈是我最喜欢的一项活动，新的语言使我能与陌生人交往，参与他们的谈话，并建立新的难以忘怀的友谊。 由于我已能说英语，别人讲英语时我不再茫然不解了。 我能够参与其中，并结交朋友。

hypermesh常见问题汇总

Hypermesh常见问题汇总 1.0 beta 版 序 虽然总结报告写过N多遍，心里还是有些紧张啊。Hypermesh最为一个优秀的网格划分工具，个人认为最突出的部分在于几何清理，这让网格划分变得简单易行。有句老话说的好啊，不怕不识货，就怕货比货，用过其他前处理软件的同仁对此应该深有体会。 这里简单对该软件做一个系统的简单的介绍： 1、软件主要模块 该软件主要由geometry、2D、3D、analysis、tool组成。后处理模块在此不做详细说明，由于大家用的求解器也五花八门，analysis面板的功能也不做详细说明。 2、通常的操作步骤（本文操作说明以8.0以上为准，与时俱进） 导入cad模型——>几何清理（包括对模型的分块）——>面网格——>检查质量——>修改网格——>生成体网格——>检查网格质量——>删掉无用的面网格——>导出数据文件 3、容易出问题的地方 个人认为网格划分过程中的问题都是可以避免的，因为这原本就没什么技术含量，有技术含量的只是软件，我们只需按照正规的步骤去操作，可以说每个人都能画出来。高手与新手的差距在于熟练度、对网格的理解、对网格质量的把握。 由于hypermesh软件自带的help说明很不错、非常不错、相当不错，所以我会在文章中引用一些来辅助说明问题。（8.0和9.0的功能差不多，无实质性的改变，8.0的HELP文档比9.0做的好些，适合通看，9.0适合查询。所以推荐新手安装8.0，把2D和3D的例子做一遍上手更快）该文章是面对所以使用hypermesh软件的同仁的，所以看过英文help的不要觉得我啰嗦，虽然我们一直强调英语的重要性。“废话”说了一大堆，下面开始正文。 ——西山小宝

使用ICEM_CFD建立二维翼型流场网格

使用ICEM CFD建立二维翼型流场网格 Andrew Moa ICEM CFD是一款专业的CFD前处理软件，也是一款比较流行的CFD网格生成器。ICEM CFD接口众多，可以为Fluent、OpenFOAM、Star-CCM+等众多求解器准备网格。ICEM CFD可以生成结构化和非结构化的网格。其最为独特的是分块（Blocking）策略，采用自上而下的分块模式，即由拓扑结构映射到几何实体，因此入门较难；但是一旦熟练掌握分块技巧，对于比较复杂的几何结构能够保证较高的工作效率。 本文以NACA 63(3)-218翼型为例，简单介绍使用ICEM CFD生成结构化二维翼型流场网格，为Fluent准备网格的一般步骤。 1、建立翼型流场几何 A、导入翼型数据 打开ICEM CFD，点击File->Import Geometry->Formatted Point Data，选择翼型数据文件，在Import Formatted INPUT point data里将Appriximation Tolerance 设置为0.000001，Apply生成翼型曲线。 确保导入的翼型数据文件为以下格式：文件应为ASCII点坐标格式，第一行为点的数量，其余各行分别为各点的x、y、z三个坐标值。

B、建立流场框架 选择工具栏中Geometry选项卡Create Point的Base Poin and Delta，在Base point中选择翼型尾缘上的点（1,0,0），在DX中输入20，Apply生成pnt.00点（21,0,0）；保持选择的点不变，将DX改为0，DY输入10，Apply生成pnt.01点（1,10,0）；保持选择的点不变，将DY改为-10，Apply生成pnt.02点（1,-10,0）。选择pnt.00点，将DY改为10，Apply生成pnt.03点（21,10,0）；保持选中的点不变，将DY改为-10，Apply生成pnt.04点（21,-10,0）。选中点（1,0,0），将DY 改为0，DX输入-10，Apply生成pnt.05（-9,0,0）。

新大学日语阅读与写作1 第3课译文

习惯与礼仪 我是个漫画家，对旁人细微的动作、不起眼的举止等抱有好奇。所以，我在国外只要做错一点什么，立刻会比旁人更为敏锐地感觉到那个国家的人们对此作出的反应。 譬如我多次看到过，欧美人和中国人见到我们日本人吸溜吸溜地出声喝汤而面露厌恶之色。过去，日本人坐在塌塌米上，在一张低矮的食案上用餐，餐具离嘴较远。所以，养成了把碗端至嘴边吸食的习惯。喝羹匙里的东西也象吸似的，声声作响。这并非哪一方文化高或低，只是各国的习惯、礼仪不同而已。 日本人坐在椅子上围桌用餐是1960年之后的事情。当时，还没有礼仪规矩，甚至有人盘着腿吃饭。外国人看见此景大概会一脸厌恶吧。 韩国女性就座时，单腿翘起。我认为这种姿势很美，但习惯于双膝跪坐的日本女性大概不以为然，而韩国女性恐怕也不认为跪坐为好。 日本等多数亚洲国家，常有人习惯在路上蹲着。欧美人会联想起狗排便的姿势而一脸厌恶。 日本人常常把手放在小孩的头上说“好可爱啊！”，而大部分外国人会不愿意。 如果向回教国家的人们劝食猪肉和酒，或用左手握手、递东西，会不受欢迎的。当然，饭菜也用右手抓着吃。只有从公用大盘往自己的小盘里分食用的公勺是用左手拿。一旦搞错，用黏糊糊的右手去拿，

会遭人厌恶。 在欧美，对不受欢迎的客人不说“请脱下外套”，所以电视剧中的侦探哥隆波总是穿着外套。访问日本家庭时，要在门厅外脱掉外套后进屋。穿到屋里会不受欢迎的。 这些习惯只要了解就不会出问题，如果因为不知道而遭厌恶、憎恨，实在心里难受。 过去，我曾用色彩图画和简短的文字画了一本《关键时刻的礼仪》（新潮文库）。如今越发希望用各国语言翻译这本书。以便能对在日本的外国人有所帮助。同时希望有朝一日以漫画的形式画一本“世界各国的习惯与礼仪”。 练习答案 ５、 （１）止める並んでいる見ているなる着色した （２）拾った入っていた行ったしまった始まっていた

新视野大学英语(第三版)读写教程第二册课文翻译(全册)

新视野大学英语第三版第二册读写课文翻译 Unit 1 Text A 一堂难忘的英语课 1 如果我是唯一一个还在纠正小孩英语的家长，那么我儿子也许是对的。对他而言，我是一个乏味的怪物：一个他不得不听其教诲的父亲，一个还沉湎于语法规则的人，对此我儿子似乎颇为反感。 2 我觉得我是在最近偶遇我以前的一位学生时，才开始对这个问题认真起来的。这个学生刚从欧洲旅游回来。我满怀着诚挚期待问她：“欧洲之行如何？” 3 她点了三四下头，绞尽脑汁，苦苦寻找恰当的词语，然后惊呼：“真是，哇！” 4 没了。所有希腊文明和罗马建筑的辉煌居然囊括于一个浓缩的、不完整的语句之中！我的学生以“哇！”来表示她的惊叹，我只能以摇头表达比之更强烈的忧虑。 5 关于正确使用英语能力下降的问题，有许多不同的故事。学生的确本应该能够区分诸如their/there/they're之间的不同，或区别complimentary 跟complementary之间显而易见的差异。由于这些知识缺陷，他们承受着大部分不该承受的批评和指责，因为舆论认为他们应该学得更好。 6 学生并不笨，他们只是被周围所看到和听到的语言误导了。举例来说，杂货店的指示牌会把他们引向stationary（静止处），虽然便笺本、相册、和笔记本等真正的stationery（文具用品）并没有被钉在那儿。朋友和亲人常宣称They've just ate。实际上，他们应该说They've just eaten。因此，批评学生不合乎情理。 7 对这种缺乏语言功底而引起的负面指责应归咎于我们的学校。学校应对英语熟练程度制定出更高的标准。可相反，学校只教零星的语法，高级词汇更是少之又少。还有就是，学校的年轻教师显然缺乏这些重要的语言结构方面的知识，因为他们过去也没接触过。学校有责任教会年轻人进行有效的语言沟通，可他们并没把语言的基本框架——准确的语法和恰当的词汇——充分地传授给学生。

hypermesh网格划分小技巧

1、我想提取一个面的线，映射到另外的面上，然后用那个线来分面，该怎么做呢？ 如果是几何面，但是没有你需要的边界线的话，你可以在几何面上已有的边界线上createnodes，然后利用这些nodes --〉lines/create，建立你需要的线，再project；或者最简单的办法，选择surfedit/line from surf edge 如果是网格面，你可以geom/fea->surface，再project，或者直接projectnodes，利用nodes 可以直接划分面 2、hypermesh中如何将网格节点移动到指定的线或者面上。 project. 3、面上网格分不同的comp划分，但划分后所有网格并不是连续的，只有同一个comp的网格连续，和临近的comp相邻的网格不连续，就是存在重叠的单元边和结点，如何合并为连续的单元 1、Tool－>edges 下找出并合并面单元的自由边和找出并删除重节点 2、Tool －>faces 下找出并合并体单元的自由面和找出并删除重节点 4、我的模型画出六面体单元了，但是是8节点的，想变成20节点的，怎么变？我用的是solidmap功能生成六面体单元的？ 1D or 2D or 3D下面的order change 5、直接在已分网的体表面上，create elements throughnodes，这个要在哪个菜单实现？我找不着 edit/element中不是有个create吗？那就是通过node建单元 6、对灰线构成的区域划分2D网格，网格后发现灰线变成了红线，是怎么回事呢？对计算结果有影响么？ 灰色的是lines，至于为什么画完网格后会变成红色，是因为生成了surface，surface的自由边会由红色来表示。请注意为什么会生成surface，是因为你选择了mesh/keepsurface 这个选项 7、偶很想知道OI mesh定义是什么，和普通的mesh有什么区别 普通mesh的网格经过cleanup 或QI 调整后就跟QImesh划分的网格效果差不多，QI的具体参数可以自行设定。QI主要目的是为了节省时间，QI就是QualityIndex——质量导引HM最强调的就是网格质量的概念，有限元计算的精度取决于网格质量，再好的求解器如果网格质量不好，计算的精度也不会好。 8、有两个闭合的园，一上一下，如何在两个园间创建曲面？使形成圆柱面？ ruled

新视野大学英语1课文翻译

新视野大学英语1课文翻译 1下午好！作为校长，我非常自豪地欢迎你们来到这所大学。你们所取得的成就是你们自己多年努力的结果，也是你们的父母和老师们多年努力的结果。在这所大学里，我们承诺将使你们学有所成。 2在欢迎你们到来的这一刻，我想起自己高中毕业时的情景，还有妈妈为我和爸爸拍的合影。妈妈吩咐我们：“姿势自然点。”“等一等,”爸爸说，“把我递给他闹钟的情景拍下来。”在大学期间，那个闹钟每天早晨叫醒我。至今它还放在我办公室的桌子上。 3让我来告诉你们一些你们未必预料得到的事情。你们将会怀念以前的生活习惯，怀念父母曾经提醒你们要刻苦学习、取得佳绩。你们可能因为高中生活终于结束而喜极而泣，你们的父母也可能因为终于不用再给你们洗衣服而喜极而泣！但是要记住：未来是建立在过去扎实的基础上的。 4对你们而言，接下来的四年将会是无与伦比的一段时光。在这里，你们拥有丰富的资源：有来自全国各地的有趣的学生，有学识渊博又充满爱心的老师，有综合性图书馆，有完备的运动设施，还有针对不同兴趣的学生社团——从文科社团到理科社团、到社区服务等等。你们将自由地探索、学习新科目。你们要学着习惯点灯熬油，学着结交充满魅力的人，学着去追求新的爱好。我想鼓励你们充分利用这一特殊的经历，并用你们的干劲和热情去收获这一机会所带来的丰硕成果。 5有这么多课程可供选择，你可能会不知所措。你不可能选修所有的课程，但是要尽可能体验更多的课程！大学里有很多事情可做可学，每件事情都会为你提供不同视角来审视世界。如果我只能给你们一条选课建议的话，那就是：挑战自己！不要认为你早就了解自己对什么样的领域最感兴趣。选择一些你从未接触过的领域的课程。这样，你不仅会变得更加博学，而且更有可能发现一个你未曾想到的、能成就你未来的爱好。一个绝佳的例子就是时装设计师王薇薇，她最初学的是艺术史。随着时间的推移，王薇薇把艺术史研究和对时装的热爱结合起来，并将其转化为对设计的热情，从而使她成为全球闻名的设计师。 6在大学里，一下子拥有这么多新鲜体验可能不会总是令人愉快的。在你的宿舍楼里，住在你隔壁寝室的同学可能会反复播放同一首歌，令你头痛欲裂！你可能喜欢早起，而你的室友却是个夜猫子！尽管如此，你和你的室友仍然可能成

HyperMesh画网格总结

hypermesh网格划分总结 1、我想提取一个面的线，映射到另外的面上，然后用那个线来分面，该怎么做呢？ 如果是几何面，但是没有你需要的边界线的话，你可以在几何面上已有的边界线上create nodes，然后利用这些nodes --〉lines /create，建立你需要的线，再project；或者最简单的办法，选择surf edit/line from surf edge 如果是网格面，你可以geom/fea->surface，再project，或者直接project nodes，利用nodes 可以直接划分面 2、hypermesh中如何将网格节点移动到指定的线或者面上。 project. 3、面上网格分不同的comp划分，但划分后所有网格并不是连续的，只有同一个comp的网格连续，和临近的comp相邻的网格不连续，就是存在重叠的单元边和结点，如何合并为连续的单元 1、Tool －>edges 下找出并合并面单元的自由边和找出并删除重节点 2、Tool －>faces 下找出并合并体单元的自由面和找出并删除重节点 4、我的模型画出六面体单元了，但是是8节点的，想变成20节点的，怎么变？我用的是solidmap功能生成六面体单元的？ 1D or 2D or 3D下面的order change 5、直接在已分网的体表面上，create elements through nodes，这个要在哪个菜单实现？我找不着 edit/element中不是有个create吗？那就是通过node建单元 6、对灰线构成的区域划分2D网格，网格后发现灰线变成了红线，是怎么回事呢？对计算结果有影响么？ 灰色的是lines，至于为什么画完网格后会变成红色，是因为生成了surface，surface的自由边会由红色来表示。请注意为什么会生成surface，是因为你选择了mesh/keep surface这个选项 7、偶很想知道OI mesh定义是什么，和普通的mesh有什么区别 普通mesh的网格经过clean up 或QI 调整后就跟QI mesh划分的网格效果差不多，QI的具体参数可以自行设定。QI主要目的是为了节省时间，QI就是Quality Index——质量导引HM最强调的就是网格质量的概念，有限元计算的精度取决于网格质量，再好的求解器如果网格质量不好，计算的精度也不会好。 8、有两个闭合的园，一上一下，如何在两个园间创建曲面？使形成圆柱面？