立体几何

立体几何初步

一、知识梳理

1．直线与平面的位置关系有、、三种情况．2．平面与平面的位置关系有、两种情况．

3．直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

(2)判定定理：

(3)其他判定方法：α∥β；a?α?．

4．直线和平面平行的性质定理

a∥α，a?β，α∩β＝l?．

5．两个平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：

6．两个平面平行的性质定理

(1)α∥β，a?α?；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?．

7．与垂直相关的平行的判定

(1)a⊥α，b⊥α?；(2)a⊥α，a⊥β?．

8．直线与平面垂直

(1)定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的，平面α叫做直线a的，垂线和平面的交点称为．

(2)直线与平面垂直的判定定理：

(3)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一直线的两平面平行．

9．平面与平面垂直

(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面．

二、基础扫描

1．平面α∥平面β，a ?α，b ?β，则直线a ，b 的位置关系是________．

2．在空间中，给出下列四个命题：

①若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α； ②若a ∥α，b ∥α，a ?β，b ?β，则β∥α； ③若α∥β，b ∥α，则b ∥β ④若α∥β，a ?α，则a ∥β. 其中错误命题的序号是________．

3．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；

③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .

其中真命题的序号是________．

4．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________． ①

???m ?αl ∥m ?l ∥α；② ???l ∥m m ∥α ?l ∥α；③ ???l ⊥βα⊥β ?l ∥α. 5．设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，给出下列四个命题：

① ???c ⊥αα∥β?c ⊥β； ②

???b ?β，a ⊥b c 是a 在β内的射影?b ⊥c ； ③ ???b ∥c b ?αc ?α?c ∥α； ④

?

??a ∥αb ⊥a ?b ⊥α. 其中正确命题序号是________．

6．如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．

三、典型例题

例1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.

练习：如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

例2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；

练习：在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EF A1∥平面BCHG.

例3、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.

证明：AD⊥平面P AC.

练习：如图，平面P AC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段P A、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，P A＝PC＝2 2.求证：

(1)P A⊥平面EBO；

(2)FG∥平面EBO.

例4、如图所示，在四棱锥S -ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：平面EBD⊥平面ABCD.

例5、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC ＝60°，E是BC的中点．证明：AE⊥PD.

例6、如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD ＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面P AD.

例7、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由

练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

空间向量与立体几何(三)同步练习

空间向量与立体几何（三）同步练习 巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习 （答题时间：40分钟） 一、选择题 1. 已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（） A. （1，－1，1） B. （2，－1，1） C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1） 2. 设直线l1的方向向量为a＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为b＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（） A. 1 B. －2 C. －3 D. 3 3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论： ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1。 这四个结论中正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 4. 已知直线l的方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。 5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。 6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有AB＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD。其中正确的是________。

三、解答题 7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO? 8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

中职数学试卷：立体几何

江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（立体几何） 时间120分钟 满分150分 一．选择题（每题5分，共50分） 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ，直线m ?a ，则L 与的关系是（ ）。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ） A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（ ）。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（ ）。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中，上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为（ ）。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ）。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是（ ）。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中，底面边长为33，侧棱长为5，则它的高为是（ ）。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题（每题5分，共30分）

立体几何同步练习一(必修2)

立体几何同步练习 二是一个平面，则a 、b 在：?上的射影有可能是 ②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点 （写出所有正确结论的编号） 2?多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一 个顶点A 在 平面内，其余顶点在:-的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的 三个顶点到:-的距离分别 为1,2和4, P 是正方体的其余四个顶点中的一 个，则P 到平面的距离可能是： ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为 ____________ 。（写出所有正确结论的编号 ） 3.—个长方体的长、宽、高分别为 9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能 大地切下一 个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体， 最后再从第二次剩下 部分上尽可能 大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3 4?在正三棱柱 AB^A 1B 1C 1中，AB =d .若二面角C-AB-C^!的大小 为60 ',则点C 到平面ABC i 的距离为 ________________ . 5.正四面体 ABCD 的棱长为1,棱AB //平面a ，则正四面体上的所有点在平面 a 内的射 影构成的图形面积的取值范围是 ________ . 1已知a 、b 为不垂直的异面直线, ①两条平行直线 ③同一条直线 在上面结论中，正确结论的编号是

6有一个各棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以 折叠，那么包装纸的最小边长为____________________ .

积为V i ，若将同样的正方形纸片按照如图( 2)中虚线所示的方法 剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为 V 2，则V 1和V 2的大小关系 是( ) A . V 1 V 2B . V 1 : V 2C . y =V 2D . V 1

立体几何大二轮深刻复习的策略

立体几何的解题思路 四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波 《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。 理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。 一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变. 例1．（1）已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ 解：经过点P 作直线m//a, n//b, 则直线n m ,所成角为o 60或 120, 点P 作直线n m ,的两条角平分线，其中有一条与n m ,所成角均为o 60，另一条与n m ,所成角均为 30，把这条角平分线沿着点P 旋转可以得到两条直线与n m ,所成角均为o 60，从而与a 、b 所成角均为o 60的直线有三条. 问题的推广：已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、 b 所成角均为θ，这样的直线l 有四条，则角θ应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有 零条呢？ 答案：有四条时，o o 9060<<θ；有两条时，o o 6030<<θ；有一条时，o o 90,30=θ;有零条时， 300<<θ. 变式：（1）已知直线a 与平面α所成角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与直线a 和平面α所成角均为o 45，则这样的直线l 有几条？ （2）已知平面α与平面β所成锐二面角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与平面α和平面β所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ (3)正三棱锥P —ABC 中，CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： ①二面角B —PA —C 大小的取值范围是（ 3 π ，π）；

2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业20180

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图 课时作业 A组——基础对点练 1.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体 是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯 视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( ) A．①②⑥B．①②③ C．④⑤⑥D．③④⑤ 解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B. 答案：B 2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( ) A．8 B．4 3 C．4 2 D．4 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3. 答案：B 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )

A ．3 3 B ．2 6 C.21 D ．2 5 解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面PAD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱 PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B. 答案：B 4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 2 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×1 2 ×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D. 答案：D 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

高考数学第二轮复习 立体几何教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体 考纲指要： 立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。 考点扫描： 1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。 2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。 3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。 4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。 考题先知： 例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。 解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四 面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。 证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF 交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距 离，利用体积的“割补法”知： PDF O PEF O PDE O DEF P V V V V ----++== r S r S r S PDF PEF PDE ?+?+?3 1 3131 BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++= =r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ?+?+?+?+?31 31313131，从而2 1表表S S V V ABC DEF DEF P =--。 例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？ （2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6== AC AB ， 13-=BC ，以∠BAC 为例。 解：（1）记Rt △ABC ，∠BAC=900 ，,,b AC c AB ==记直角顶点A 在平面上的正投影为A 1，，且AA 1=h ，则因为0)()()(2 2 2 2 2 2 2 2 12 1<+--+-=-+b c h b h c BC C A B A ，所以∠

职高数学——立体几何

平面的基本性质 一、高考要求： 理解平面的基本性质. 二、知识要点： 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符 号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地 说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; ; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ . 3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题： 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P $ ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内.

立体几何同步训练14多面体及欧拉公式.

立体几何同步训练14 多面体及欧拉公式 班级_______ 姓名___________ 一、选择题 1、关于正多面体的概念，下列叙述正确的是（） (A)每个面都是正多边形的多面体 (B)每个面都是有相同边数正多边形的多面体 (C)每个面都是相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体 (D)每个面都是具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 2、一个凸n面体共有8条棱，5个顶点，则n等于（） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7 3、一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角和为（） (A)54000 (B)64800 (C)72000 (D)79200 4、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是（） (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 5、一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 6、已知一个简单多面体的每个面均是五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V分别等于（） (A) F=6 V=26 (B) F=20 V=12 (C) F=12 V=26 (D) F=12 V=20 二、填空题 7、一个简单多面体每个顶点处都有3条棱，则它的顶点数V和面数F的关系是___________。 8、每个面都是三角形的正多面体有_________个。 9、正四面体的外接球的球心到底面的距离与此正四面体高的比为_________。 10、命题（1）底面是正多边形，且侧棱章与底面边长相等的棱锥为正多面体。 （2）正多面体的面不是三角形就是正方形。（3）若长方体的各个侧面都是正方形时，这就是正多面体。（4）正三棱锥就是正四面体。其中正确的序号是_________。

立体几何-高三二轮复习(2)

高三二轮复习-立体几何 题型一三视图与直观图 考查形式：选填题 【例1】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A . 20 n B. 24 n C. 28 n D. 32 n 例2】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

【过关练习】 1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )

2. 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 题型二几何体的表面积与体积 考查形式：选填题 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 【例1】（1）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） 1 1 1 A.6 B.3 C.2 D - 1 【例2】如图，在棱长为6的正方体ABCD —A1B1C1D1中，点E, F分别在C1D1与C1B1上，且GE= 4, C1F =3，连接EF , FB , DE , BD，则几何体EFC1 —DBC的体积为（） 【过关练习】

1. _____________________________________________________ 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_________________________________________________________ 题型三多面体与球 考查形式：选填题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置， 确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正 方体的棱长等于球的直径?球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直 径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 （或 “切点”“接点”）作出截面图. 【例1】已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球0的球面上，SA丄平面ABC, SA= 2.3, AB = 1, AC= 2, / BAC

最新高中立体几何题型分类训练(附详细答案)(1)

立体几何题型分类解答 第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图 及其表面积和体积 一、选择题 1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( ) 2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A．①②B．①③C．①④D．②④ 3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( ) ①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④ 4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15 5．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋233 D ．4π＋23 3 二、填空题 6．在下列图的几何体中，有________个是柱体． 7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________． 8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________． 三、解答题 9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长． 10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积． 参考答案 1．C 2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.

(完整版)非常好高考立体几何专题复习

立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

职高数学——立体几何

平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、

立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修

立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

第11课时 直线与平面垂直 分层训练 1.已知a ⊥平面α, b α, 则a 与b 的位置关系是 ( ) A. a a ⊥b C. a 与b 垂直相交 D. a 与b 垂直且异面 2.下列命题中正确的是(其中a 、b 、c 为不相重合的直线, α为平面) ( ) ①若b ① ② ③ ④ B. ① ④ C. ① D. ④ 3.已知直线l ⊥平面α，直线 m 平面β，有下列四个命题 (1)若α(2)和(4) D(1)和(3) 3.已知直线a 4.在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, 则这个多面体面是直角三角形的为______________ . 5.如图, 在正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 则BD 1与AC 的位置关系 ___________ . BD 1与B 1C 的位置关系___________ . 进而可得BD 1与平 面ACB 1的关系___________ . 6.如图。一点P 不在ΔABC 所在的平面内，O 是ΔABC 的外心，若PA=PB=PC. 求证：PO ⊥平面ABC. A B C A 1

选修延伸 1.证明: 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 2．已知直线a 接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ ∵Ｏ为重心 ∴ＡＤ⊥ＢＣ 而ＰＯ平面ＡＢＣ ∴ＢＣ⊥ＰＡ 7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD 而BC ⊥AB,CD ⊥AD ∴BC ⊥PB,CD ⊥PD ∴PBC, PDC 是Ｒt 。PAB ，PAD 也是Ｒ t （２）∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成 角，易求tan ∠ PCA= 2 拓展延伸 7．证明∵ＳＡ⊥平面ABCD O A B P C

2015届高三二轮复习立体几何专题训练

D C B A F E A B C A 1 O B 1 C 1 1 2015届高三二轮复习立体几何专题训练 1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠= ． （1）求证：平面//BCF 面AED ； （2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积． 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ， 将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （1）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （2）求证：BD ⊥1A F ； （3）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由. 3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面M ABCD ,和N 分别是AD 和BC 的中点。 （1）求证：MN PM ⊥； （2）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （3）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。 4．如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN \是矩形，平面⊥MADN 平面ABCD ，F E ,分别为DC MA ,的中点，求证： （1）//EF 平面MNCB ； （2）平面MAC ⊥平面BND ． 5．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1 22 AD CD AB == =, 点E 为AC 中点.将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离. 6．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面0 90,=∠BCA ABC ，BC AC AA ==1. （1）求证：1AC ⊥平面BC A 1; （2）若21=AA ，求三棱锥AB A C 1-的高的大小． 7．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ． （3）平面//11D AB 平面BD C 1 A B C D 图2 E B A C D 图1 E 1 图

(2020年整理)中职升高职数学历年真题回编—立体几何.doc

中职升高职数学真题汇编—立体几何 李远敬整理 一．选择题 1.XXXX08、若平面α∥平面β，直线 ?平面α，直线 ?平面β，那么直线，的位置关系是（ ） 平行 异面 平行或异面 相交 2.XXXX10、下列命题中正确的是（ ） ∥平面，直线∥平面则∥ ⊥直线，直线⊥直线则∥ ⊥平面，直线⊥平面则∥ ⊥平面，平面⊥平面则∥ 3.XXXX10在正方形ABCD 中，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，则P 到直线BD 的距离是（ ） A B 2 C D 3 4.XXXX08 正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与直线11D B 所成的角（ ） A ο90 B ο60 C ο45 D ο30 5.XXXX08、下列说法： ①γβαγβγα⊥?=?⊥⊥l l ,, ②b a b b ⊥?αα,//,// ③b a b a ⊥?⊥αα,//, ④b a b a ⊥?⊥⊥αα,, ⑤ββαα//,,a a ?⊥⊥ 说法正确的有（ ） A 、①②③ B 、③④⑤ C 、②③④ D 、①③⑤ 二．填空题 6.XXXX19．若直线m ⊥平面α，直线n ⊥平面α，则直线m 与n 的位置关系是 7.XXXX18、直二面角βα--l 内一点S ，S 到两个平面的距离分别为5和4，则S 到 l 的距离为 .

8.XXXX19 正方体1111D C B A ABCD 中，平面11D ABC 与平面ABCD 所成二面角的大小是_______________。 9.XXXX18、在长方体 － 中， ＝3， ＝４， ，则对角线 所成的角是 10.XXXX18、在空间，通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条. 三．解答题 11.XXXX26证明（10分） 已知：如题26图，是正方形所在平面外一点，是正方形对角线与 的 交点， 底面 ，为中点，为中点。 ⑴ 求证：直线∥平面 ； ⑵ 若正方形 边长为4， ，求：直线 与平面 的所成角的大 小. 12.XXXX26证明（10分） 如题26图，是二面角 内一点， 是垂足。 求证：。 O E P D C B A F L B C A 题26图

立体几何同步练习一(必修2)

立体几何同步练习 1．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号） 2．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为___________。（写出所有正确结论的编号．．） 3．一个长方体的长、宽、高分别为9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩下部分上尽可能大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为_____________3 cm 4.在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距离为_____________． 5．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 . 6有一个各棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为_________________.

(2) (1) 7．两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 8长为4a 的正方形纸片按照如图（1）中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱柱，设其体积为1V ，若将同样的正方形纸片按照如图（2）中虚线所示的方法剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为2V ，则1V 和2V 的大小关系是（ ） A ．21V V > B ．21V V < C ．21V V = D ．21V V ≤ 9.如图，在正三棱柱中，AB ＝3，，M 为的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱到M 的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N ，求： （I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长; （II ）PC 和NC 的长; （III ）平面MNP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值。 同步练习参考答案 N B

2020届 二轮(理科数学) 立体几何 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）立体几何专题卷（全国通用） 1．(一题多解)(2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)证明：AB1⊥平面A1B1C1； (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 法一(1)证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1＝22，所以A1B21＋AB21＝AA21， 由AB1⊥A1B1. 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝5， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝23， 由CC1⊥AC，得AC1＝13， 所以AB21＋B1C21＝AC21， 故AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1＝B1， 因此AB1⊥平面A1B1C1. (2)解如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD. 由AB1⊥平面A1B1C1，AB1?平面ABB1，得 平面A1B1C1⊥平面ABB1， 由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1， 所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角．

由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21得 cos ∠C 1A 1B 1＝67，sin ∠C 1A 1B 1＝17 ， 所以C 1D ＝3，故sin ∠C 1AD ＝C 1D AC 1＝3913 . 因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是 3913. 法二 (1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 由题意知各点坐标如下： A (0，－3，0)， B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)， C 1(0，3，1)． 因此AB 1→＝(1，3，2)， A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→ ＝(0，23，－3)． 由AB 1→·A 1B 1→＝0得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→＝0得AB 1⊥A 1C 1，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1. (2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0，0，2)． 设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． 由?????n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即? ??x ＋3y ＝0，2z ＝0， 令y ＝1，则x ＝－3，z ＝0， 可得平面ABB 1的一个法向量n ＝(－3，1，0)．

中职数学立体几何教案设计

x x 职业技术教育中心 教案

复习引入： 新授： 1． 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来 表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示 竖直的平面．请注意它们画法之间的区别． 如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步 骤进行． 一个平面通常用小写希腊字母 α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面 α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面 ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分． 空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ?α； ③直线l 在平面α内，记作l ?α； ④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?． 在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习1 1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？ 2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面． 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面． 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ； (3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ； (4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？ (1)点A 在平面α内，记作A ?α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α； (3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?． 2. 平面的基本性质 基本性质： 图5-28 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (第3题图) 图5-27(2) β D A B C D 图5-27(1) A D B C α

立体几何(同步)-潍坊市某中学高中数学二轮复习

9.立体几何 1．掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2．能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图． 3．能借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系． 4．能从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系． 5．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40?，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A ．20? B ．40? C ．50? D ．90? 【答案】B 【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线， 依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥． 由于40AOC ∠=?，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=?，

由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?，所以40BAE OAG ∠=∠=?， 也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=?． 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质． 2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线， 当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交； 当,,m n l 两两相交时，设m n A =，m l B =，n l C =， 根据公理2可知，,m n 确定一个平面α， 而B m α∈?，C n α∈?， 根据公理1可知，直线BC 即l α?，所以,,m n l 在同一平面， 综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用． 一、选择题． 1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥ ③若m α∥，n α∥，则//m n