《希腊文集》中的方程问题

《希腊文集》中的方程问题

《希腊文集》是一本用诗歌写成的问题集，主要是六韵脚诗。荷马著名的长诗《伊丽亚特》和《奥德赛》就是用这种诗体写成的。

《希腊文集》中有一道关于毕达哥拉斯的问题。毕达哥拉斯是古希腊著名数学家，生活在公元前六世纪。问题是：一个人问：“尊敬的毕达哥拉斯，请告诉我，有多少学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多

学生在听课，其中在学习数学，学习音乐，沉默无言，此外，还有3名妇女。”

我们用现代方法来解：设听课的学生有x人，根据题目条件可列出方程

这是一个一元一次方程。

移项，得

答：毕达哥拉斯有28名学生听课。

《希腊文集》有一道有名的题目“爱神的烦恼”。这里有许多神的名字，先介绍一下：爱罗斯是希腊神话中的爱神，吉波莉达是赛浦路斯岛的守护神。9

位文艺女神中，叶芙特尔波管简乐，爱拉托管爱情诗，达利娅管吉剧，特希霍拉管舞蹈，美利波美娜管悲剧，克里奥管历史，波利尼娅管颂歌，乌拉尼娅管天文，卡利奥帕管史诗。

这道题也是用诗歌形式写在的：

爱罗斯在路旁哭泣，

泪水一滴接一滴。

吉波莉达向前问道：

“是什么事情使你如此伤悲？

我可能够帮助你？”

爱罗斯回答道：

“九位文艺女神,

不知来自何方,

把我从赫尔康山采回的苹果，

几乎一扫而光。

叶芙特尔波飞快地抢走十二分之一，

爱拉托抢得更多——

七个苹果中拿走一个。

八分之一被达利娅抢走，

比这多一倍的苹果落入特希霍拉之手。

美利波美娜最是客气，

只取走二十分之一。

可又来了克里奥，

她的收获比这多四倍。

还有三位女神，

个个都不空手，

30个归波利尼娅，

120个归乌拉尼娅，

300个归卡利奥帕。

我，可怜的爱罗斯，

还剩下50个苹果。”

爱罗斯原有多少个苹果？

设爱罗斯原来有x个苹果，则6位文艺女神抢走的苹果分别

是。

答：爱罗斯原来有苹果3360个。

勾股定理的方程思想

【授课内容】勾股定理的方程思想 【适用年级】八年级上 【执教教师】宁波镇海蛟川书院滕丽 【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。【教学过程】

BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看Rt△ACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x,则CD=3- x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长. 师：好的，同学们理清思路了吗我们一起来完成解答过程。解：∵D在线段AB的中垂线上 ∴AD=BD ∵BC=3 ∴BD+CD=AD+CD=3 设AD=x,则CD=3- x， 由勾股定理得：x2= (3-x)2+12 解得: x=5 3 ∴AD=5 3 师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集中到一个直角三角形中，就可以转化成例1中的类型了。出示解答过程 讲解例3师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。 例3在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方 一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、 葭长各几何”这道题的意思 是说：有一个边长为1丈的正 方形水池，在池的正中央长着 一根芦苇，芦苇露出水面1 尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问读题思考幻灯片： 出示例3 题目

师：请同学们先独立思考完成。（停顿） 师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE＝AC＝6cm，CD ＝DE,∠C= ∠AED=90°。在Rt△BDE中，BE＝AB AE 106＝4cm, 而BD+DE=BD+CD= BC=8cm,这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。 解：在Rt△ABC中, AC=6cm，BC=8cm ∴ AB=10cm 由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE, ∠C= ∠AED=90° ∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm 在Rt△BDE中,由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42 解得x＝3 ∴ CD=DE=3cm

直线中的对称问题—4类对称题型

直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3

初中数学中的解方程.doc

代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0） （ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0） （ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。 （ 4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题 ：.解方程： （ 1） 1 x 1 x 2 x 1 x x 3 3 （ 2） 3 2 2 解： 解： （ 3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m= 。 2、一元二次方程 （ ） 一般形式： 2 bx c 0 a 1 ax （ 2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式 ax 2 bx c 0 a 0 x bb 2 4ac b 2 4ac 0 2a 错误 !未找到引用源。 、 解下列方程： （ 1） x 2 －2x ＝ 0； （2）45－x 2＝0； （ 3） (1－3x)2＝1； （ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0； （6）x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2 －6x －3＝0； （8）3（x － 5） 2 ＝2（5－x ） 解： 错误 !未找到引用源。 填空： （ 1） x 2 ＋6x ＋（ ）＝（ x ＋ ）2 ； （ 2） x 2 －8x ＋（ ）＝（ x － ）2 ； （ 3） x 2 ＋ 3 x ＋（ ）＝（ ＋ ）2 x 2

【初中】初中数学方程的解法及应用

【关键字】初中 第7讲方程组的解法及应用 ◆考点链接 1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义． 2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组． 3．会解简单的三元一次方程组． ＊4．会解简单的二元二次方程组． 5．能利用方程组解应用题． 注：标有“＊”号的是选讲内容． ◆典例精析 【例题1】已知的解，求a，b的值． 解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组． 答案：a=2，b=－3 【例题2】解方程组： （1） 解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x． 答案：（1） 【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围． 解：由原方程组得，解得

4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：?已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的． 问：（1）公司共改装了多少辆出租车？?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？ （2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？ 解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键． 解：设公司第一次改装了y辆出租车，?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x． 答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%． （2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125． 答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本． 【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 张强两次共购买香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，?请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？ 解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得040时，由题意，得 （不合题意，舍去） （3）当20

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答

直线方程中的对称问题

直线对称问题 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式） 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 二、直线关于点的对称 求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C 或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。 ☆转化为点关于点对称的问题 例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程 练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.

求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11 -=?l PP k k （k 存在） 2，1PP 的中点必在l 上 例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标 四、直线关于直线的对称 分两种：1，关于平行直线的对称 求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P （3）将点2P 代入2l 的方程求出2C 例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。 练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

初中数学中的解方程

基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题：.解方程：（1）（2） （3）关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。 2、一元二次方程 （1）一般形式： （2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法求根公式 、解下列方程： （1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0 (7 )2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系 当时有两个不相等的实数根， 当时有两个相等的实数根 当时没有实数根。 当△≥0时有两个实数根 1、解下列方程： （1）；（2）；（3） 2、解下列方程： （1）；（2） 3．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足 ( ) A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1 4.关于的一元二次方程根的情况是（） （A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根 （C）没有实数根（D）根的情况无法判定 5.已知关于x的方程：有两个相等的实数根，求p的值。

例谈方程思想与勾股定理的有效结合

例谈方程思想与勾股定理的有效结合

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例谈方程思想与勾股定理的有效结合-中学数学论文 例谈方程思想与勾股定理的有效结合 胡迎兰 （高邮市经济开发区树人中学，江苏扬州225600） 摘要：我们都知道，在直角三角形的计算中，如果已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可见效，但如果只知其中的一条边去求另两条边呢？笔者发现，此时那未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，只需设出一个未知数便可以表示出两条未知的边，这时候再用勾股定理，列方程即能解决问题。笔者通过下面的例子来说明勾股定理联手方程在很多情况下是非常给力的。 关键词：勾股定理；联手方程；直角三角形 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-08-0032-01 一、在实际问题中 例1:如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D处出发，已知它们所经过的路程相同，且BC＝15m，求木杆AB的高度。 分析：本题既然是求直角三角形的边长，毫无疑问要用勾股定理，但因为AC和AB两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通，好在“它们所经过的路程相

同”，就可以设AD=x，再用含x的代数式表示出AC，最后利用勾股定理就可列出方程。 解：设AD＝x，则AC＝20－x， 由勾股定理，得：(20－x)2＝(x＋5)2＋152 解得：x＝2. 所以木杆高度AB为7米。 二、在折叠问题中 例3:如图3，折叠长方形的一边AD，使D点落在边BC上的点F处，折痕为AE，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求CE的长。

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）

中考数学解方程(组)测试题

中考数学解方程（组）测试题 1．已知3是关于x 的方程12=-a x 的解，则a 的值是（ ） A ．5- B ．5 C ．7 D ．2 【答案】B 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．???=+=21y x xy B ．?????=+=-31325y x y x C ．?????=-=-51302y x z x D ．?????=+=+73 25 y x y x 【答案】D 3．二元一次方程12=-y x 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是（ ） A ．?? ? ??-==210 y x B ．?? ?==11y x C ．???==01y x D ．???-=-=11y x 【答案】B 4．若? ? ?==21 y x 是关于x 、y 的二元一次方程13=-y ax 的解，则a 的值为（ ） A ．5- B ．1- C ．2 D ．7 【答案】D 5．方程组? ? ?=+=-422 y x y x 的解是（ ） A ．???==21y x B ．???==13y x C ．? ??-==20y x D ．???==02y x 【答案】D 6．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2 21 0x x += B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 【答案】C 7．用配方法解方程0522 =--x x 时，原方程应变形为（ ） A ．()612 =+x B ．()922 =+x C ．()612 =-x D ．()922 =-x 【答案】C

8．一元二次方程21 04 x x -+ =的根（ ） A ．121122x x ==-， B ．1222x x ==-， C ．1212x x ==- D ．1212 x x == 【答案】D 9．关于x 的方程2220x mx m +-=的一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．21 C ．1或21 D ．1或2 1- 【答案】D 10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．210x += B ．2210x x -+= C ．210x x ++= D ．2 210x x +-= 【答案】D 11．若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【答案】D 12．已知12x x 、是方程2 630x x ++=的两个实数根，则 21 12 x x x x +的值等于（ ） A ．6- B ．6 C ．10 D ．10- 【答案】C 13．二次函数2 2y x x k =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元 二次方程220x x k -++=的一个解13x =，另一个解=2x （ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0 【答案】B 14．下面是四位同学解方程 1112=-+-x x x 过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） A ．12-=+x x B ．12=-x C ．x x -=+12 D ．12-=-x x 【答案】D 15．对于非零的两个实数a 、b ，规定11 a b b a ?= -.若1(1)1x ?+=，则x 的值为（ ） A ． 23 B ．31 C ．21 D ．2 1- 【答案】D

初一数学解方程讲课稿

初一数学解方程

行船问题：流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。 流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速 （1）逆水速度=船速-水速 （2）水速=船速-逆水速度 （3）船速=逆水速度+水速 (4) 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 (5) 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 练习： 1. 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行 需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？ 2.一艘船从A港到B港顺流行驶，用了5小时；从B港返回A港逆流而行，用 了7.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。 3.某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时， 已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两 地距离为2千米，求A、B两地之间的距离。 4.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时 50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。 5.一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。顺风飞行需要2小时50 分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。 数字问题数字问题是常见的数学问题。 一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数 值三者间的关系：任何数=∑（数位上的数字×位权），如两位数ab=10a+b； 三位数abc=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。 例. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位 上的数是十位上的数的3倍。求这个数。 例13. 一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右 边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。讲评：这个六位数最高位上 的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大 10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字1后的5位 数为x，则原数为10+x，移动后的数为10x+1，依题意有 10x+1=10+x ∴x = 42857 则原数为142857

勾股定理中蕴含的数学思想

勾股定理中蕴含的数学思想 河北张家口市第十九中学 贺峰 数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析： 一、 特殊到一般的思想 例1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。 析解：观察图象，第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为2、4、8、16，由此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长为2n 。 说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提 供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和 结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。 二、 分类思想 例2 如果三条线段的长分别为6cm 、xcm 、10cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x ＝_______。 析解：本题分两种情况解答 （1）当以6cm 、xcm 为直角边，10cm 为斜边时，102＝62＋x 2，x ＝±8（舍负） （2）当6cm 、10cm 均为直角边时，62＋102＝x 2，x ＝±234（舍负） 因此，x 为4或34。 说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。 三、 整体思想 例3 如图2，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中斜边AB ＝2，求这个三角形的面积。 析解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 BC 2＋AC 2＝2 2 即(BC ＋AC )2－2BC 2AC ＝4 又由已知得BC ＋AC ＝ 6 所以(6)2－2 BC 2AC ＝4 解得BC 2AC ＝1 所以S ＝12BC 2AC ＝12 说明：若要直接求出BC 与AC 的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由S ＝12 BC 2AC B C A 图2 图1

勾股定理方程思想.doc

【适用年级】八年级上 【执教教师】宁波镇海蛟川书院滕丽 【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。 【教学过程】 教学板块教师教学学生活动媒体插入揭示课题，师：同学们，我们已经学习了勾股定理。我们知道任意的一个幻灯片：明确任务直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个勾股定理结论就称为勾股定理，即如果 a，b 为直角三角形的两条直角边 长， c 为斜边长，则a2 b2 c2。在直角三角中，如果已知两 边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一 条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢这就是今天我们 所要学习内容。 讲解例 1 师：我们先来看一个简单的问题。读题思考幻灯片： 出示例 1 例 1 在△ ABC中，∠ C=Rt∠, 题目 (1) 如果 BC=16,AB:AC=5:3, 求 AB、 AC的长 . (2) 如果 AC=5, AB=BC+1, 求 AB、 BC的长 . 师：在第 (1) 小题中，已知了直角三角形ABC的一条边 BC的长 及另两边的数量关系: AB:AC=5:3 ，根据这个数量关系，可以 把 AB设成 5x, AC 为 3x, 根据勾股定理得 2 AB 2就BC AC 2 能列出含 x 的方程，从而求出 x 的值。下面我们一起来解答这 个小题。 解： (1) 设 AB=5x, 则 AC=3x(x>0) 出示解答由勾股定理得 162+(3x) 2=(5x) 2过程解得： x 2=16 ∵ x>0∴ x=4 ∴AB=20,AC=12. 师: 下面我们来看第 (2) 小题 , 同学们你们会求吗 ( 停顿 ) 出示解答师 : 是的。我们可以从 AB=BC+1这个数量关系入手，设 BC= x, 则过程 AB=x+1，根据勾股定理列方程。下面我们一起来解答这个小题。 (2) 设 BC= x, 则 AB=x+1 (x>0) 由勾股定理得 x2+ 5 2=( x+1) 2 解得： x=12 ∴ BC=12,AB=13. 师：我们总结一下步骤： 在直角三角形中（已知两边的数量关系）出示流程设其中一边为 x 利用勾股定理列方程图 解方程求各边长 这就是我们今天所学习的《勾股定理的方程思想求边长》，你

初中数学中的解方程

代数部分 第三章:方程与方程组 基础知识点: 一、方程有关概念 1、方程:含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 (1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (2)一元一次方程的最简形式:ax=b(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。 (4)一元一次方程有唯一的一个解。 例题:、解方程: (1) 3131=+- x x (2)x x x -=--+22 1 32 解: 解: (3)【05湘潭】 关于x 的方程mx+4=3x+5的解就是x=1,则m= 。 2、一元二次方程 （1） 一般形式:()002 ≠=++a c bx ax （2） 解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式()002 ≠=++a c bx ax () 042422 ≥--±-= ac b a ac b b x ①、解下列方程: (1)x 2－2x ＝0; (2)45－x 2＝0; (3)(1－3x )2＝1; (4)(2x ＋3)2－25＝0、 (5)(t －2)(t +1)=0; (6)x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0; (8)3(x －5)2＝2(5－x ) 解: ② 填空: (1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2; (2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2; (3)x 2＋2 3 x ＋( )＝(x ＋ )2 (3)判别式△＝b 2－4ac 的三种情况与根的关系 当0>?时有两个不相等的实数根 , 当0=?时有两个相等的实数根 当0

公开课-勾股定理中的方程思想

《勾股定理中的方程思想》教学设计 课题：《勾股定理中的方程思想》教学设计 科目：数学年级：八年级课时：第1课时 一、学习目标 知识与技能： 1.掌握勾股定理的内容，进一步利用勾股定理解决问题； 2.经历对几何图形的观察、分析，初步学会寻找或构造直角三角形的方法； 3.会运用方程的思想解决与勾股定理有关的问题. 过程与方法： 1.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识； 2.在观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展演绎推理能力，清晰地表述自己的想法； 3.学会独立思考，体会方程思想、数形结合思想、转化思想、建模思想. 情感态度价值观： 培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情。 三、重点、难点、关键 重点：运用方程思想解决与勾股定理有关的问题 难点：当几何图形中多个直角三角形时，寻找或构造合适的直角三角形，利用勾股定理解决问题. 关键：在现实情境中捕捉直角三角形，然后应用勾股定理针对性解决 四、学情分析 在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些实际问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，自主学习能力还有待加强。 五、教学背景 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质.同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法.方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁.本节课为后续进一步学习运用方程思想解决问题起着铺垫作用。 六、教学准备 多媒体课件，直尺。

直线方程的对称问题及最值恒过定点问题

一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.

练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程

四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的面积最小时直线l的方程;

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一） 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 一、知识要点 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。 2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数( ≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。 二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根 是。 解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如： 类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( ) A.1； B.2； C.±1； D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得 ，或，或，或，所以－=±1。 例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。 解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。 ①当时，，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以 ±1，或±2，∴=－1，0，2，3。 结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。 评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±1，或±2。 延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如： (2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。 解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1， 因此。因为、是整数，所以，即=0，或－2。

初一数学解方程习题

0.5x-0.7=6.5-1.3x 1－2（2x+3）= －3（2x+1）2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)+2=x+1 5x^2+3x+1=0 7x^2+x+12=0 2x^2+4x+4=0 8x^2+3x+1=0 5x^2+3x+2=0 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)+2=x+1 5x^2+3x+1=0 7x^2+x+12=0 2x^2+4x+4=0 8x^2+3x+1=0 5x^2+3x+2=0 45x^2+3x+100=0 89x^2+335x+1=0 x+1=3 2x+3=5 3x+5=8 4x+8=12 5x-6=9 2x-x=1 x+3=0 5x+3x=8 3x+1=2x x-7=6x+2 5x+1=9 9x+8=24 55x+54=-1 23+58x=99 29x-66=21 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100

x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 x/3 -5 = (5-x)/2 2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1 (1/5)x +1 =(2x+1)/4 (5-2)/2 - (4+x)/3 =1 x/3 -1 = (1-x)/2 (x-2)/2 - (3x-2)/4 =-1

(完整版)初中数学解方程题目

解方程综合练习 一．一元一次方程 1．17(2-3y)-5(12-y)＝8(1-7y)； 2．5(z-4)-7(7-z)-9＝12-3(9-z)； 3．3(x-7)-2［9-4(2-x)］=22； 4．3{2x-1-［3(2x-1)+3］}=5； (3)2(3y-4)+7(4-y)=4y ； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)； (5)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)． 二．二元一次方程组 1．（1）?? ?=+=-13y x y x （2）?? ?=+=-83120 34y x y x （3）?? ?=+=-14645 34y x y x （4）?? ?=-=+1 235 4y x y x （5）?? ?=+=+132645y x y x （6）?? ?=+=-17327 23y x y x （1）23321y x x y =-?? +=? （2）?? ?-=-=+4 23 57y x y x （3） 23 3418x y x y ?=? ??+=? （4）56 3640x y x y +=?? --=? .（1）?? ?-=-+=-8 5)1(21 )2(3y x x y （2）?????=+= 18 433 2y x y x （3）?? ?=--=--0232560 17154y x y x （4）???? ?=-=+2 3432 1332y x y x （5）?????=-+= +1 323 241y x x y （6）?? ?=+=+241 2123243 2321y x y x （7）???? ?=+-+=-+-0 4235 132423512y x y x （8）???? ?=+--=++-5 7326 231 732623y x y x y x y x 三．分式方程 1. 423-x -2-x x =21 。 2. 31144x x x -=---

最新初中数学列方程解应用题

列方程解应用题 一元一次方程应用题： 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 2.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间 （1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝ 1 8．储蓄问题 利润＝每个期数内的利息 本金 ×100% 利息＝本金×利率×期数 1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？ :2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？