含绝对值的不等式知识点
含绝对值的不等式
1．绝对值的意义是：???<-≥=)
0x (x )0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．
｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝．
【思考导学】
1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么？
答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定．
2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？
答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．
【典例剖析】
［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．
解法一：原不等式等价于???≤->-7|52|2
|52|x x
∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即???
??≤≤-<>6
123
27x x x 或
∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜23或27
＜x ≤6｝
解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集
(Ⅰ)???≤-<≥-75220
52x x
(Ⅱ)???≤-<<-72520
52x x
不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜27
＜x ≤6｝
不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23
｝
∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27
＜x ≤6｝
解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．
(Ⅰ)2＜2x －5≤7
(Ⅱ)2＜5－2x ≤7
不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27
＜x ≤6｝
不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜23
｝
∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27
＜x ≤6｝．
点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转
化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三．
［例2］解关于x 的不等式：
(1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R )；
(2)｜2x ＋1｜＞x ＋1．
解：(1)原不等式可化为｜2x ＋3｜＜a ＋1
当a ＋1＞0，即a ＞－1时，由原不等式得－(a ＋1)＜2x ＋3＜a ＋1 －
24+a ＜x ＜2
2-a 当a ＋1≤0,即a ≤－1时，原不等式的解集为?，
综上，当a ＞－1时，原不等式的解集是｛x ｜－24+a ＜x ＜2
2-a } 当a ≤－1时，原不等式的解集是?．
(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)?
??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x ＞0
不等式组(Ⅱ)的解为x ＜－3
2 ∴原不等式的解集为｛x ｜x ＜－
3
2或x ＞0｝ 点评：由于无论x 取何值，关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f (x )｜＜a (a ≤0)的解集为?．
解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如
(1)对变量分类，解集必须合并如(2)．
例3］解不等式|x －|2x ＋1||＞1．
解：∵由|x －|2x ＋1||＞1等价于(x －|2x ＋1|)＞1或x －|2x ＋1|＜－1
(1)由x －|2x ＋1|＞1得|2x ＋1|＜x －1 ∴?
??-<+-<+???-<+≥+1)12(012112012x x x x x x 或 即?????>-
21221x x x x 或均无解
(2)由x －|2x ＋1|＜－1得|2x ＋1|＞x ＋1
∴???+>+≥+112012x x x 或?
??+>+-<+1)12(012x x x 即???
????-<--≥3221021x x x x 或，∴x ＞0或x ＜－32 综上讨论，原不等式的解集为{x |x ＜－3
2或x ＞0}． 点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．
【随堂训练】
1．不等式|8－3x |＞0的解集是( )
A ．?
B ．R
C ．{x |x ≠38，x ∈R }
D ．{3
8} 答案： C
2．下列不等式中，解集为R 的是( )
A ．｜x ＋2｜＞1
B ．｜x ＋2｜＋1＞1
C ．(x －78)2＞－ 1
D ．(x ＋78)2－1＞0
答案： C
3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )
A ．｛x ｜－2＜x ＜2}
B ．｛x ｜0＜x ≤2}
C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝
D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝
解析： 所求点的集合即不等式｜x ｜≤2的解集．
答案： C
4．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( )
A ．｛x ｜x ＜1}
B ．｛x ｜－1＜x ＜2}
C ．｛x ｜x ＞2｝
D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝
解析： 由｜1－2x ｜＜3得－3＜2x －1＜3，∴－1＜x ＜2
答案： B
5．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________．
解析： 由原不等式得x ＋4＞9或x ＋4＜－9，∴x ＞5或x ＜－13
答案： ｛x ｜x ＞5或x ＜－13}
6．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax ｜＜a 的解集是________．
解析： 由原不等式得｜ax －b ｜＜a ，∴－a ＜ax －b ＜a ∴
a b －1＜x ＜a
b ＋1 ∴｛x ｜a b －1＜x ＜a
b ＋1} 答案： ｛x ｜a b －1＜x ＜a
b ＋1｝
【强化训练】
1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( )
A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋a
B ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a }
C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜}
D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝
解析： 由｜x ＋a ｜＜1得－1＜x ＋a ＜1
∴－1－a ＜x ＜1－a
答案： B
2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( )
A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝
B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝
C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝
D ．｛x ｜4≤x ≤9｝
解析： 不等式等价于???≤-≤≥-63103x x 或?
??≤-≤<-63103x x 解得：4≤x ≤9或－3≤x ≤2．
答案： A
3．下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( )
A ．｜x －2｜＞5
B ．｜2x －4｜＞3
C ．1－｜
2x －1｜≤2
1 D ．1－｜2x －1｜＜2
1 解析： A 中，由｜x －2｜＞5得x －2＞5或x －2＜－5
∴x ＞7或x ＜－3
同理，B 的解集为｛x ｜x ＞2
7或x ＜－1｝ C 的解集为｛x ｜x ≤1或x ≥3｝
D 的解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝
答案： D
4．已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x ||x －1|＞1}，则A ∩B 等于( )
A ．{x |－1＜x ＜3}
B ．{x |x ＜0或x ＞3}
C ．{x |－1＜x ＜0}
D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}
解析： |x －1|＜2的解为－1＜x ＜3，|x －1|＞1的解为x ＜0或x ＞2．
∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}．
答案： D
5．已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝ ．
解析： 不等式｜x －2｜＜a 的解集为｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝
由题意知：｛x ｜2－a ＜x ＜2＋a ｝＝｛x ｜－1＜x ＜b ｝ ∴?
??==????=+-=-53212c a c a a ∴a ＋2b ＝3＋2×5＝13
答案： 13
6．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______．
解析： ∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|＝x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解．
当x ＋2＜0时，|x ＋2|＝－(x ＋2)＞0＞x ＋2
∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2
答案： ｛x ｜x ＜－2｝
7．解下列不等式：
(1)|2－3x |≤2；(2)|3x －2|＞2．
解：(1)由原不等式得－2≤2－3x ≤2，各加上－2得－4≤－3x ≤0，各除以－3得
34≥x ≥0，解集为{x |0≤x ≤3
4}． (2)由原不等式得3x －2＜－2或3x －2＞2，解得x ＜0或x ＞
34，故解集为{x |x ＜0或x ＞34}． 8．解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜9；(2)|3x －4|＞1＋2x ．
解：(1)原不等式等价于不等式组
由①得x ≤－1或x ≥5；
由②得－7＜x ＜11，把①、②的解表示在数轴上(如图)，
∴原不等式的解集为{x |－7＜x ≤－1或5≤x ＜11}．
(2)原不等式等价于下面两个不等式组，即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集： ①???+>-≥-;2143,043x x x ②?
??+>--<-.21)43(,043x x x 由不等式组①解得x ＞5；由不等式组②解得x ＜
53． ∴原不等式的解集为{x |x ＜5
3或x ＞5}． 9．设A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝，B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝，求集合M ，使其同时满足下列三个条件：
(1)M ?［(A ∪B )∩Z ］；
(2)M 中有三个元素；
(3)M ∩B ≠?
解：∵A ＝｛x ｜｜2x －1｜≤3｝＝｛x ｜－1≤x ≤2｝
B ＝｛x ｜|x ＋2｜＜1｝＝｛x ｜－3＜x ＜－1｝
∴M ?［(A ∪B )∩Z ］＝｛x ｜－1≤x ≤2｝∪｛x ｜－3＜x ＜－1｝∩Z ＝｛x ｜－3＜x ≤2｝∩Z ＝｛－2，－1，0，1，2｝
又∵M ∩B ≠?，∴－2∈M ．
又∵M 中有三个元素
∴同时满足三个条件的M 为：
｛－2，－1，0｝，｛－2，－1，1｝，｛－2，－1，2｝，｛－2，0，1｝，｛－2，0，2｝，｛－2，1，2｝．
【学后反思】
解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．
｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集．
不等式｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)：
不等式｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＞a 或x ＜－a ｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)：
把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜b与｜ax＋b｜＞b(b ＞0)型的不等式的解法．
含绝对值的不等式
含绝对值的不等式 [学习要求] （1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式（或不等式组）来解。 （2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含有绝对值的不等式。 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。
注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| 评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。 例2：型如：|x| 第五讲绝对值不等式的解法 一.理解性概念 b?cax?b??c(cx??0ax)a?(a?0)ax型不等式的解法与型不等式与与解集 ??a?a?x(a?0)x?x?a; 的解集是不等式??a??xa,或xx??a(a?0)x不等式的解集是??)0(c?cax?b?)(c?0bx|?c?ax??c; 的解集为不等式??)?0?ax?bc(c)0c或 ax?b?c?(?x|ax?b?c,不等式的解集为三、讲解范例：5500?x??5. 1例12 解不等式解不等式< | 2x-1 | . 例 不等式：例4 解例3 解不等式：|4x-3|>2x+1. |x-3|-|x+1|<1. x)(?)aa?Rxa?xa(?R , 解关于5. 的不等式①②例 x)R?(???2x31aa. 6.例解关于的不等式 1 课堂练习卷分满分100建议用时40分钟一、选择题2a?6a得( ) ＜-61.已知，化简aaaa-6 D. +6 B. - -6 A. 6- C. x( ) 8-3｜≤0的解集是2.不等式｜8?? D. C. {(1,-1)} R B. ?? 3??3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3 B. 2 C. -2 D. -5 AxxBxxAB等于( ) | || |∩-2|＜3}，-4.设={={1|≥1}，则xxxxx≥2} 5} B. {≤０或|A. { |-1＜＜xxxxx＜≤0或2≤|-1C. {＜|-1＜5} ≤0} D. {A B}??1?10?x A?{x x?Z且}x?5 x?Z且B?{x 中的元素个设集合，则，5.数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 15 23??x?R2yyy?x?2x?3,NMMN）︱}，则集合={y（6.已知集合∩={ }, 1???4?yy1??y?5yyy??4 } C. {} B. {A. { 5??x3x）或7.的否定是（语句 5x?x?或x?35?3或x A. B. 5x3且?x3x?且x?5? C. D. 二、填空题xx . 2 ，不等式｜｜≥3的解集是-1的解集是1.不等式｜+2｜＜31x??11的解集是不等式_________________. 2.2 cab三数的点的位置，化简3.根据数轴表示,,2 cacbab|= ___ . +-|+|||-|+三、解答题x?21解不等式1.??0xx｜-3 ＞0 1.- 2｜ 2.解不等式22x2 2 x Bx AUxxx+3｜＜2},｜｜- 2求：- 8＞3.已知全集,= R0},={ ｜={ ABABABAB））∩（C,（,C（∪C） (2) C,C(1)∪uuuuu 高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题 1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,. （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥； （2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立 2．已知函数()32f x x =-. （1）若不等式213f x t ? ?+≥- ???的解集为11,,33????-∞-?+∞ ??????? ，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++?对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围． 4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟 ． （1）求a 的值； （2）若()()3 f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8； （2）已知关于x 的不等式f （x ）2 2 a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2 ()|24|f x x a x a =-+-. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥； （2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 7．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值； （Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 含有绝对值的不等式·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域： 分析利用绝对值的基本概念． 解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0． ∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)． (2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)． (3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R． 画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]． 说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用． 例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2． 将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． (1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2． ∴x＞2与条件矛盾，无解． 综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}． 注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 例3 解不等式|x2-4|＜x+2． 分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法： 二是根据绝对值的性质：|x|＜a?-a＜x＜a，|x|＞a?x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法． ∴2≤x＜3或1＜x＜2 故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}． 解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围． 分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间 当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1； 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()m i n a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立 ()m a x a f x ?>。 ()f x a ≥有解()m a x a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立 ()min a f x ?≤。 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 绝对值不等式中的含参问题 在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。 一、绝对值的最值问题 1、当绝对值中x的系数相同时。 运用三角不等式：a?b≤a±b≤a+b 例1：求函数f x=x?3+x?4的最值 解：x?3+x?4≥x?3?x?4=1，函数f x的最小值为1。 例2：求函数f x=2x?1?2x?3的最值 解：2x?1?2x?3≤2x?1?2x?3=2，即得到?2≤2x?1?2x?3≤2，函数f x的最小值为?2，最大值为2。 2、当绝对值中x的系数不相同时。 ①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。 例：求函数f x=2x?2+x+2的最值 解：当 x≤?2 ?x+2?(2x?2)即 x≤?2 ?3x， 当 ?2 则有f x= ?3x, x≤?2 ?x+4, ?2 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922 >≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()min a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立()max a f x ?>。 ()f x a ≥有解()max a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立()min a f x ?≤。 含绝对值不等式题型 一、单绝对值问题 1.解下列不等式： （1）.4321x x ->+； （2）.|2||1|x x -<+； （3）.4|23|7x <-≤： （4）.|23|3x x ->； （5）. 2x x +≥ 2. 不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）. .A (0,2) .B (2,0)(2,4)- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)-- 3. 已知全集{12345}U =，，，，，集合{} 32A x Z x =∈-<，则U C A = （ ） .A {1234}，，， .B {234}，， .C {15}， .D {5} 4. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于 ( ) .A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ? 5. 不等式2103x x -≤的解集为（ ） .A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}5x x ≤ 6. 若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是 ( ) .A {} 01x x ≤< .B {0x x <且1}x ≠- .C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 7. 不等式()120x x ->的解集是（ ） .A ()1 2,-∞ .B ()()1 2,00,-∞ .C ()12,+∞ .D ()120, 8. 不等式3529x ≤-<的解集是 ( ) .A ()(),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7- 9. 不等式211x x --<的解集是_______________． 10. 方程223x x x ++223x x x ++=的解集为___________,不等式22||x x x x -->的解集是_______ 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 学习好资料欢迎下载 例 1不等式|8－3x|＞0的解集是 [] A． B ． R C． {x|x ≠88 }D．{ } 33 8 分析∵ |8－3x|＞0，∴ 8－3x≠ 0，即x≠． 答选 C． 例 2绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 [] A ． 3 B． 2 C．－ 2 D．－ 5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤ 5． 从而－ 5≤x＜－ 2 或 2＜ x≤ 5，其中最小整数为－5， 答选 D． 例 3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜ |3x－ 1|≤ 7，即 4＜3x－ 1≤7 或－ 7 ≤ 3x－ 1＜－ 4解之得5 ＜ x≤ 8 或－ 2≤ x＜－ 1，即所求不等式解集为33 58 ． {x| － 2≤ x＜－ 1或＜ x≤} 33 例 4已知集合 A ＝ {x|2 ＜ |6－ 2x|＜ 5，x∈ N} ，求 A ．分析转化为解绝对值不等式． 解∵ 2＜|6－ 2x|＜ 5 可化为 2＜ |2x－ 6|＜5 －5＜ 2x－ 6＜ 5， 即 2x － 6＞ 2或 2x － 6＜－ 2， 1＜ 2x ＜11， 即 2x ＞ 8或 2x＜ 4， 解之得 4＜ x＜11 或 1 ＜ x＜ 2．22 因为 x∈ N，所以 A ＝ {0 ，1， 5} ． 说明：注意元素的限制条件． 例 5实数a，b满足ab＜0，那么 [] A ． |a－b|＜ |a|＋ |b| B． |a＋ b|＞ |a－ b| C． |a＋ b|＜ |a－ b| D． |a－b|＜ ||a|＋ |b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵ a、b 异号， ∴|a＋ b|＜ |a－b|． 答选C． 例 6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为 [] A ． a＝1， b＝ 3 B． a＝－ 1， b＝ 3 C． a＝－ 1， b＝－ 3 1 3 D ． a＝2， b＝2 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知， b＞ 0，原不等式的解集为{x|a － b＜ x＜ a＋ b} ，由于解集又为{x| － 1＜x＜ 2} 所以比较可得． a－ b＝－ 11 ， b＝3． ，解之得 a＝ a＋ b＝ 222 答选 D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例 7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析分类讨论． 解若 2m－ 1≤ 0即m≤1 ，则 |2x－ 1|＜ 2m－ 1恒不成立，此时原不等 2式的解集为； 若 2m－ 1＞ 0即 m＞1 ，则－ (2m－ 1) ＜ 2x－ 1＜ 2m－ 1，所以 1－ m＜ 2 x＜ m． 综上所述得：当m≤1 时原不等式解集为；2 当 m＞1 时，原不等式的解集为2 {x|1 － m＜ x＜m} ． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 例 8 解不等式3－|x| ≥ 1 ．|x|＋ 2 2 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母． 求绝对值不等式中参数的取值范围 求绝对值不等式中参数的值 例1 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}15x x <<，求实数,a b 的值。 变式 已知关于x 的不等式2x a b +<的解集为1322x x ??-<,分别求出以下情况中m 的取值范围 (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ； (3)若不等式解集为?。 规律总结：问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )a 恒成立?f (x )min >a . 变式1 把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3| 含绝对值的不等式解法 练习题及答案 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 例解不等式 －＋≥．8 321 2 ||||x x 含绝对值不等式解法要点归纳 解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键． 一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法 去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有： 1．定义法去掉绝对值符号 根据实数绝对的意义，即| x | = (0) (0) x x x x ≥ ? ? -< ? ，有： | x |＜c? (0) (0) c x c c c φ -<<> ? ? ≤ ? ；| x |＞c? (0) 0(0) (0) x c x c c x c x R c <->> ? ? ≠= ? ?∈< ? 或 ； 2．利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b?a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号． 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．绝对值不等式(经典题型)
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