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谈谈数形结合的实际应用

第!"卷第#期

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谈谈数形结合的实际应用

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作者简介=李晋彪?")@"AB C

男C 河北冀县人C 太原市教育学院助教D 谈谈数形结合的实际应用

李晋彪

?太原市教育学院C 山西太原(#((("B

摘要=数形结合的思想C 实质上是将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来C 化抽

象为直观C 化繁杂为简单&

关键词=函数E 方程E 解析式E 数形结合

中图分类号=F G ##&G 文献标识码=H 文章编号=

"((I >I G ("?!((#B (#>((@@>(#数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学&因此J 数K 和J 形K 是数学殿堂里不可分的两大支柱C 而数形结合也就成为研究数学问题的重要数学思想方法&数形结合的思想C 实质上是将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来C 化抽象为直观C 化繁杂为简单&抽象数学语言蕴含着直观几何图形的内涵C 直观几何图形展示了抽象数学语言的外延&著名数学家华罗庚说=J 数缺形时少直觉C 形少数时唯入微K &

因此C 我们在解题时C 要有意识地运用数形结合的思想C 提高解题能力&

数形结合的思想方法在初等数学中有着广泛的应用C 本文着重通过研究数形结合在确定函数解析式L 三个J 二次K 之间的关系以及几何综合题中的应用C 达到进一步掌握数形结合的思想方法的目的&

一L 确定函数解析式

在确定函数解析式的题目中C 通常采用待定系数的方法C 但在实际解题过程之中C J

待定系数K 关系式的确定都离不开对函数图像的分析C 要经过J 由形到式K 和J 由式到形K 的多次反复C 建立函数图像与待定系数关系式之间的联系C 运用数形结合的方法找到解题的突破口&

例"&已知=如图C M

C R B 是直线S T U V W 与双曲线S T W U

在第一象限的交点C 且9NO H P T#C 求=?"B 一次函数与反比例函数的解析式E

?!B O 点坐标&

分析=从观察图像入手C 条件O ?Q C R

B 在直线S T U V W 上

C 且在S T W U

上C 则O 点坐标满足两个解析式C 化为含有Q C R C W 三个未知数的两个方程C 又观察到9NO H P 也可用点

O 的坐标表示C

得第三个方程C 由此可求W 值&X

@@

X

李晋彪!谈谈数形结合的实际应用

解!"#$%&"’()

$是两图像的交点(*)+’,-(且)

+-’

(即’)+-().’+-/%&在第一象限(&0120于0(*&0+)(20+’/%34&02+5

(*&0620+7(即’)+7(*-+7/*一次函数的解析式为8+9,7(反比例函数的解析式为8+79

/":$将点&"’()$分别代入这两个解析式得)

+’,7)+;<=7’

(解方程得>’+.5.#?>;<=)+5.#?或>’+.5,#?>;<=)+5,#?

/又%&在第一象限(*’@A()

@A *&>>".5,#?(5,#?$/二B 三个C 二次D 及其关系

二次函数(一元二次方程和一元二次不等式之间有着密切的联系(用数形结合的思想去理解较为深刻/解一元二次方程就是求使得二次函数之中8为A 时(自变量9的值E 解一元二次不等式就是求使二次函数之中8的值大于或小于A 时(自变量9的取值范围/

例:/已知!一元二次不等式:9:,)

9,F GA 的解集是.#G 9G?(求!二次函数8+:9:,)9,F 中)(F

的值/分析!当4+):.H ’F

@A 时(抛物线与I 轴相交(两交点横坐标即为一元二次方程的两实根(

根据一元二次不等式的解集可以判

断一元二次方程的两根(即可求

两交点坐标E 进而求出)(F

的值/解!%不等式:9:,)

9,F GA 的解集为.#G 9G?(*8+:9:,)9

,F 与9轴交于点".#(A $("?(A $(代入解析式得:6".#$:,".#$),F +A :6?:;<=,?),F +A

解得)+.J K F +.#A /三B 函数图像与几何综合

在平面直角坐标系之中的几何图形往往可以和函数图像结合起来(通过函数解析式(利用函数性质寻找解题的途径(它既可以解决一些数值计算问题(又能推理论证(把平面几何图形的问题放在坐标系中(与函数知识相结合(有利于开阔我们的思路/

例5/已知!如图(把矩形纸片2&0L 放入平面直角坐标系之中(使2&B 2L 分别落在9轴B 8轴的正半轴上(连结&L (将&0L 沿&L 翻折(点0落在该坐标平面内(设落点为M (L M

交9轴于点N /若L N +?(2L B 2N 的长是关于9的方程9:,"

-.#$9,#:+A 的两根(且2L

@2N /求!"#$点M 的坐标E ":$如果点O 是&L 中点(判断点"J (.:A $是否在过点M B O 两点的直线上(

并说明理由/解!"#$%2L (2N 的长是关于9的方程9:,"-.#$9

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太原教育学院学报

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谈谈数形结合的实际应用

!/,-!015!又6,+7,-7"2,+0&,-0#8

当,+0&.,-0#时90:%.符合题意.2,+0&,-0#8

*;<+沿;+翻折后.

点<的落点为=.过点=作=>?@轴于>.=A ?B 轴于A 8

2C <+;0C ;+=

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0;<2C <+;0C +;-.,+

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又6,+0;<.2()*;=-E ()*+,-

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>3;-0=-3;=.2=>0=-3;=;-04!1

86,-?B 轴.=A ?B 轴.2=A D ,-

.2+-+=0,-=A .即H =A 0,-3+=+-0#I$1/#’10!&1

8又6点=在第四象限.2=$!&1.:4!1

’8$!’6点J 是;+的中点.2J 点的坐标为J $&.!’.将=$!&1.:4!1

’8J $&.!’两点代入直线B 0K @

/L .得2&K /L 0!!&1K /L 0:4!M N O 1.解得K 0:44!M N O L 0!&

2B 0:44!@/!&8当@0P 时.B 0:44!

IP /!&0:!".2点$P .:!"’在过=.J 两点的直线上8

此例是典型的数形结合问题.首先根据两条线段的长是一元二次方程的两根.得出两个正根满足的数量关系.再结合直角三角形之中三边之间的数量关系构造方程组.求得两线段的长8再利用图形的几何性质求出线段A =.+=的长后.

又根据点=在坐标系中的位置.得出=点的横坐标为正.而纵坐标为负8最后再判断点$P .:!"’是否在直线=J 上时.又是从数量关系.即点的坐标是否满足直线的解析式来确定的8依形判数.以数助形.数形结合.互相转化是解此类题目的关键8

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R S Q

谈谈数形结合的实际应用

谈谈数形结合的实际应用

作者:李晋彪

作者单位:太原市教育学院,山西,太原,030001

刊名:

太原教育学院学报

英文刊名:JOURNAL OF TAIYUAN INSTITUTE OF EDUCATION

年,卷(期):2003,21(3)

被引用次数:0次

相似文献(10条)

1.期刊论文李荣江.Li Rongjiang一阶对称形非恰当方程的分组积分因子法-数理医药学杂志2009,22(2)

对一阶对称形非恰当方程,提出了先将其左端适当分组,再从其中的某一组的积分因子出发的分组积分因子法,并给出了计算该方程的积分因子的公式化结果,从而扩大了求解一阶对称形方程的范围,简化了其求解方法.此外,亦可运用此法来寻求稳定性问题中的李雅普诺夫V函数,进而根据此V函数的定号性来解决某些非线性驻定方程(组)的零解的稳定性问题,对建立医学数学模型或能发挥作用.

2.学位论文庄红波函数变换法求经典Fisher方程的显示解2006

本文主要在孤立子理论及李群变换的指导下,运用当前求解非线性发展偏微分方程(组)的普遍方法——函数变换法的一些具体方法,配合计算软件Mathematica的运算功能,求得了经典Fisher方程的一些新的显示解。

文章共分三章。第一章是显示解研究的背景和方向介绍,包括孤立子理论、李群变换、计算机的辅助作用、显示解的类型和研究方法分类。第二章着重介绍作者研究所用到的一些函数变换法如齐次平衡法、推广的tanh函数法、复tanh函数展开法、广义幂-指函数法等,和Fisher类方程已有的一些研究成果特别是显示解的一些结果。第三章对非线性发展偏微分方程里经典Fisher方程的一个最常见形式(e)u/(e)t-γ(e)2u/(e)x2-βu(1-u)=0,(0-1)分别用函数变换法里推广的tanh函数法及其拓展、复tanh函数展开法、广义幂-指函数法结合现代数学计算软件Mathematica得到了所期望的它的一些显示解。

在第三章里,首先我们tanh函数法的原则下,选用Riccati方程的简单形式v'=b+v2,(0-2)进行“扰动”,推广了以前的tanh函数法,也获得了方程(0-1)的形式复杂的tanh函数显示解。接着我们再次调整扰动的Riccati方程为vξ=k(1-v2),(0-3)同时让方程(0-1)的形式解为更复杂的u=a0+a1v+b0(d(1-v2))1/2+b1v(d(1-v2))1/2.(0-4)

从而再一次拓展了前面的推广的tanh函数法,获得了复线性显示解。运用最近提出的复tanh函数展开法,我们还获得了方程(0-1)的复tanh函数形式的显示解;受其启发我们令方程(0-1)解分别为为实tanh函数形式、复tan函数形式、实tan函数形式

u2=A+Btanh(η),(0-5)u3=A+Btan(iη),(0-6)u4=A+Btan(η),(0-7)不仅获得了对称形式的显示解,还推广了复tanh函数展开法。最后我们采用广义幂-指函数法寻找到了方程(0-1)更为一般的幂-指函数形式u=B+∑3i=oaiyi/(1+y2),y=eA(ξ+ξ0)(0-8)的显示解。

3.期刊论文徐杰.XU Jie巧用函数与方程的思维联系解题-贵阳学院学报(自然科学版)2008,3(4) 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.

4.学位论文郑亚妮关于伪Smarandache函数的性质及包含一些算术函数的方程2009

众所周知,解析数论是数论中以分析方法作为主要研究工具的一个分支,而研究数论函数的性质也是解析数论的一个重要课题

,许多著名的数论难题都与之密切相关。因而研究它们的性质具有很大意义。

为了数论的进一步发展,罗马尼亚著名数论专家F.Smarandache教授在1993年提出了一系列问题在他所著的《Only

Problems,Not Solutions》一书中,总共有105个尚未解决的问题,其中大多数问题都与数论有关。

本论文基于对以上所述问题的兴趣,应用初等数论、解析数论等相关知识对一些特殊函数的性质进行了研究,并得出非常重要的结果.与此同时,还对Smarandache的第57个问题即Schur问题进行了研究.具体来说,本论文的主要成果和内容包括在以下几个方面: 1.伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m使得n|m(m+1)2.即就是第二章主要利用初等方法去研究Z(n)的分布性质,并且得出关于Z(n)分布的两条重要的性质。

2.关于Schur问题的研究,即:对任意正整数n,设r为正整数且满足:集合{1,2,3,…,r)可被分拆为n类且每一类中均不含有元素x,y,z使得xy=z成立,Schur建议我们去寻找最大的r.第三章利用初等方法研究这个问题,并给出r更精确的下界。

3.设k是一个给定的整数,对任意正整数刀,著名的F.Smarandachek次补数函数αk(n)定义为最小的正整数m,使得乘积mn为某一整数u的完全k次方幂,即就是ak(n)=min{m:mn=uk,u∈N}。第四章主要利用初等及组合方法研究了包含Euler函数及Smarandachek次补数函数的方程,并给出三类特殊方程的所有正整数解。

5.期刊论文闫晓霞.YAN Xiao-xia一个包含伪Smarandache函数及 Smarandache可乘函数的方程-纯粹数学与应用数学2008,24(2)

对任意正整数n,著名的伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m使得n整除m(m+1)/2,或者

Z(n)=min{m:m∈N,n│m(m+1)/2},其中N表示所有正整数之集合.而Smarandache可乘函数U(n)定义为U(1)=1,当n1且n=pα11

pα,22…pαss为n的标准素因数分解式时,定义U(n)=max{α1p1,α2p2,…,αsps}.本文的主要目的是利用初等方法研究方程

Z(n)=U(n)及Z(n)+1=U(n)的可解性,并获得了这两个方程的所有正整数解.

6.学位论文王妤一些Smarandache函数及数列的方程求解和均值2009

众所周知,研究各种算术函数的性质在数论中占有十分重要的位置,许多著名的数论难题都与之密切相关.因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对初等数论和解析数论的发展起到重要的推动作用!

著名的美籍罗马尼亚数学专家Florentin Smarandsche教授曾提出许多关于Smarandache函数的问题和猜想.1993年,他在美国研究出版社出版了《Onlyproblems,Not solutions!》一书,在书中他提出了105个关于数论函数和序列的问题和猜想,许多学者对此

进行了深入的研究,并获得了不少具有重要理论价值的研究成果:而日本的Kenichiro Kashihara博士也在《Comments and TopicsOn Smarandache Notions and Problems》一书中提出了许多与Smarandache函数相关的数论问题,其中不少问题具有一定的研究价值

,引起了数论爱好者的兴趣.

本论文基于对上述问题的兴趣,利用初等和解析方法研究了一些新的Smarandache函数和序列及近伪Smarandache函数的性质,从而给出了一些相关的恒等式和渐近公式以及方程的正整数解.具体地说,本文的主要成果包括以下几个方面:

1.定义了两个新的算术函数,利用初等和解析方法研究了这两个函数的均值性质;研究了Smarandache ceil函数Sk(n!)的均值性质,并给出了它的一个渐近公式.

2.Smarandache LCM对偶函数SL*(n)和Smarandache乘积函数SM(n)在初等数论的研究中占有非常重要的地位.本文利用初等方法分别研究了关于这两个函数的方程的正整数解.

3.对于近伪Smarandache函数的研究是很有意义的.本文主要利用初等方法研究了近伪Smarandache函数Ut(n)的性质,并给出了关于它的几个非常有趣的等式,同时还提出了一个公开问题.

4.定义了一个新的Smarandache函数G(n),本文利用初等方法研究了它的基本性质.

7.期刊论文李邦河.LI Bang-He傅立叶超函数和扩充傅立叶超函数与爱米特热方程-应用泛函分析

学报2006,8(4)

证明了傅立叶超函数和扩充傅立叶超函数可用爱米特热方程的解来表示,且用以表示的解有很良好的性质.

8.期刊论文朱敏慧.ZHU Min-hui一个包含Euler函数及k阶Smarandache ceil函数的方程及其正整

数解-纯粹数学与应用数学2009,25(2)

设k≥2为给定的整数.对任意正整数n,k阶Smarandache ceil函数Sk(n)定义为Sk(n)=min{x:x ∈N,n |xk}.本文的主要目的是利用初等方法研究函数方程Sk(n)=φ(n)的可解性,并给出该方程的所有正整数解,其中φ(n)为Euler函数.

9.学位论文张万雄迭代根及迭代方程的算法及稳定性2007

迭代根问题是一个古老而有意义的课题,对它的研究至少可以上溯到N.H.Abel,甚至更早的B.Babage.对于非空集X上的一个自映射F:X→X来说,它的n次迭代根就是求解如下函数方程f<'n>(x)=F(x), x∈X一般地说,以未知函数的迭代为主要运算形式的函数方程称为迭代方程.近年来随着非线性科学的发展及迭代理论的进一步深入,迭代问题尤其是迭代方程的计算问题在许多学科研究中越来越受到重视,引起了信息科学、电子工程等领域的学者们如L.Kinderman,P.Protzel和N.Iannella等的关注.在单调情形和部分非单调情形M.Kuczma.和Gy.Targonski等人已经给出了区间上迭代根构造的一般方法.在此基础上,J.Kobza在n=2和F为递增折线函数的情形下对迭代根给出了算法.对于一般多项式型迭代方程的计算,S.Nabeya和J. Matkowski等提出了特征解方法,在

n=2的所有情形及n>2的部分情形下给出了解的构造,这为进一步研究这些方程解的计算提供了思想和方法.从J.Kobza的工作来看

,计算迭代根的一个重要思想是首先解决折线问题,然后利用折线逼近一般的连续解,这势必需要解决解的稳定性问题.徐冰和张伟年给出了迭代根以及多项式型迭代方程的Hyers-Ulam稳定性的结果,这为进一步研究迭代方程的计算打下了基础.在本文的第一章我们介绍了迭代、动力系统、函数方程等基本概念及紧密联系,并综述了近年来迭代方程的若干进展,包括多项式型迭代方程、迭代根、特征解与稳定性等方面的研究成果.

在J.Kobza等人工作的基础上,本文的第二章我们进一步研究了各种单调情形下折线函数的n次迭代根的计算方法.与J.Kobza.给出的在实直线R上计算递增函数的平方迭代根不同的是,我们在紧区间[a,6]上讨论.由于在紧区间上讨论涉及到端点的迭代,因此比在R上更困难.不仅如此,我们还把J.Kobza,给出的计算递增函数的平方迭代根的方法推广到计算非单调函数的n阶迭代根.同时,我们还研究了折线函数复合后的折点的计算公式.由于具有不同的定义区间及折点分布,折线函数复合比迭代以后的折点计算要复杂得多,这也推广了J.Kobza的结果. 对于一般形式下的多项式迭代方程而言,计算方法同样是建立在解的存在性和一般解构造的基础之上,本文第三章在杨地莲和张伟年工作的基础上,进一步研究了三次多项式型迭代方程连续解的一些性质.对特征根

r<,j>≠0 (j=1,2,3)的一些情形给出了实连续解的性质.在|r<,1>|=1时,对情形r<,2>>0,r<,3>≠1,r<,3>>r<,2>和r<,2>≠-

1,r<,3><0,r<,3>>r<,2>给出了实连续解的性质,这对进一步考虑一些临界情形下的通解构造具有重要意义.

最近,K.Nikodem和张伟年研究了二阶集值迭代方程,证明了方程存在严格递增的上半连续解.在他们工作的激励下,在本文的第四章我们针对严格单调增的上半连续函数,进一步研究了方程的Hyers-Ulam稳定性和Hyers-Ulam-Rassias稳定性.由于集值函数与单值函数的迭代存在较大的差异,因此处理单值情形下的迭代方程的一些存在性定理均不能使用.集值迭代方程的近似解附近是否存在唯一的真解涉及方程解的稳定性条件.本章利用构造Cauchy列的方法得到了近似解收敛的判定.

10.期刊论文胡荣.刘云霞.HU Rong.LIU Yun-xia Markov调制的随机微分延迟方程的函数稳定性-应

用数学2009,22(1)

随机微分延迟方程的指数稳定性被人们广泛研究,但讨论带Markov调制的随机微分延迟方程的函数稳定性的不多.本文主要研究了两种类型的函数稳定性.我们采用了一例特定的Lyapunov函数,来研究带Markov调制的随机微分延迟方程的p阶矩ψα-函数稳定性,并对其几乎必然ψβ/p-函数稳定性也进行了探讨.

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