八年级数学整式的乘法及因式分解培优专题：运用公式法进行因式分解(含答案)

运用公式法 进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式

a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()

立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()

补充：欧拉公式：

a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()

=++-+-+-12

222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=

（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）

A. ()()()a b a b -++22

B. ()()a b a b -++2

C. ()()a b a b -++2

D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式232

x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()()

则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120

23a a b m b

+=-+==???????()()()

由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =

12

把b =12代入（3），得m =12

3. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是?ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 222

0++---=，试判断?ABC 的形状。

分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解： a b c ab bc ac 222

0++---=

∴++---=2222220222a b c ab bc ac

∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2222222220

∴-+-+-=()()()a b b c c a 2220

()()()a b b c c a -≥-≥-≥222000，，

∴-=-=-=a b b c c a 000，，

∴==a b c

∴?ABC 为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数）

则()()232122n n +-+

=++++--=+=+()()

()()

2321232124481n n n n n n

由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。

5、中考点拨：

例1：因式分解：x xy 324-=________。

解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。

解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y ()

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：

例1. 已知：a m b m c m =

+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

解：a ab b ac c bc 222

222++-+-

=+-++()()a b c a b c 222

=+-()a b c 2

a m

b m

c m =+=+=+12112212

3，， ∴原式=+-()a b c 2

=+++-+?????

?=()()()1211221231422m m m m

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，，

求证：a b c 5550++=

证明： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()

∴把a b c a b c ++=++=00333

，代入上式，

可得abc =0，即a =0或b =0或c =0

若a =0，则b c =-，

∴++=a b c 5550

若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++= 说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

例3. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

解： x y x y x xy y 332227+=+-+=()()

且x xy y 229-+=

)1(92322=++=+∴y xy x y x ，

因式分解法(提公因式法、公式法)

因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

八年级数学因式分解 公式法讲解与练习

八年级数学因式分解公式法讲解与练习 一：课前纠错与课前回顾 1、作业检查与知识回顾 2、错题分析讲解 二、课程内容讲解与课堂练习 【题模1】：公式法 一、选择题 1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（） A.-a2+b2 B.-x2-y2 C.49x2y2-z2 D.16m4-25n2 2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（） ①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③4x2-4x+1; ④x2+4xy+2y2 ; ⑤9x2-20xy+16y2 A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤ 3.在多项式:①16x5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（） A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 4.分解因式3x2-3x4的结果是（） A.3(x+y2)(x-y2) B.3(x+y2)(x+y)(x-y) C.3(x-y2)2 D.3(x-y)2(x+y) 2 5.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（） A.2 B.4 C.2y2 D.4y2

6.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ） A.-5 B.3 C.7 D.7或-1 7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数. 二、填空题 8.（ ）2+20pq+25q 2= （ ）2 9.分解因式x 2-4y 2= ___________ ; 10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ; 11.分解因式2x 3y+8x 2y 2+8xy 3 __________ . 12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 _____ 整除。三、解答题： 13.分解多项式: （1）16x 2y 2z 2-9; （2）81(a+b)2-4(a-b)2 14.试用简便方法计算：1982-396+2022 202

公式法因式分解知识点讲解及练习

公式法因式分解知识点讲解及练习 1．平 方 差公式： )b a )(b a (b a 22-+=- 因式分解 22)b a )(b a (b a -=-+ 整式乘法 2、分解因式的一般步骤为： （1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 （2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。 （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。 3、分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分 解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目 的。例如：22a b a b -+-= 22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 4、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 5、有些多项式用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 题型一 公式法因式分解 例 1将下列各式因式分解 225-36x 22916b a - 点评：：能用平方差公式因式分解的多项式的特征：（1）有且只有两个平方项： （2）两个平方项异号。 知识梳理

巩 固1、计算 （1）22758258- （2）22429171- （3）223.59 2.54?-? 2、已知0001.03,100003=-=+b a b a ，求229a b -的值。 3、把多项式()()2 249b a b a --+分解因式 * 平方差公式中字母b a 、不仅可以表示数，而且也可以表示其他代数式。 例2判断下列各式是不是完全平方式 （1） 222y xy x ++ （2）2244y xy x ++ （3）226b ab a +- （5）222y x xy ++- （6）2242b ab a ++ （4） 412++x x

精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解08 因式分解--运用公式法

第08课 因式分解--运用公式法 知识点： 平方差公式： 完全平方公式： 平方差公式基础练习： (1)x 2-4=x 2－22= ( )( ) (2)x 2－16 =( )2-( )2= ( )( ) (3)9-y 2=( )2-( )2= ( )( ) (4)1-a 2 =( )2-( )2= ( )( ) 完全平方公式基础练习： (1)a 2+6a+9=a 2+2× × ＋( )2＝( )2 (2)a 2-6a+9=a 2-2× × ＋( )2＝( )2 辨析，下面那些多项式可以使用公式法。 平方差： （1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2 （4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2 完全平方：（1）a 2－4a +4 （2）x 2+4x +4y 2 （3）4a 2+2ab +14 b 2 （4）a 2－ab +b 2 （5）x 2－6x －9 （6）a 2+a +0.25 例1.把下列各式分解因式. (1)11002-x (2)92+-x (3)2225401.0y x - (4)x x -5 (5)m m 43- (6)2633x x - (7)33ab b a - (8)222)21()2(y y x --- 例2.把下列各式分解因式. (1)122++m m (2)41292+-x x (3)110252+-x x

(4)9)(6)(2++-+n m n m (5)1)4(2)4(222++-+x x (6))1(4)(2-+-+y x y x 例3.用公式法计算下列各题. (1)22)412()435(- (2)1198992++ (3)22201420144026-2013+? (4)11435-1156522?? 例4.把下列各式分解因式. (1))()(22x y y y x x -+- (2))()(22y x b y x a --- (3)814-x (4)4416y x - (5)2232ab b a a +- (6)x x x +-232 (7)xy y x 4)(2+- (8)22216)4(x x -+ (9)42242b b a a +- 例5.已知3 12=-y x ,2=xy ，求43342y x y x -. 例6.已知3,5==+ab b a ，求32232ab b a b a ++. 例7.对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。

45.3.2因式分解公式法(第1课时)

14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：

结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；

人教版八年级数学上册因式分解公式法(一)

渑池县直中学八年级数学活页教案 编 者 课型 讲授课 时 间 课 题 因式分解——公式法（一） 教学目标 1、 运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点，会用提公因式法 分解因式； 2、培养学生的观察、联想能力，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式 教学重难点 【重点】运用平方差公式分解因式 【难点】运用平方差公式分解因式 教学方法 导、学、讲、练 课前预习 1、预习课本14.3.2 2、领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性 教 学 过 程 上节课内容复习： 1、回忆什么是因式分解； 2、怎么用提公因式法分解因式； 3、复习平方差公式 ))((22 b a b a b a -+=- 教学要点补充与修改： ◆教学过程◆[ 一、观察探讨，体验新知 【问题牵引】 请同学们计算下列各式． （1）（a+5）（a －5）； （2）（4m+3n ）（4m －3n ）． 引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律． 1．分解因式：a 2－25； 2．分解因式16m 2－9n ． 引导学生完成a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．[来源:https://www.wendangku.net/doc/f111261255.html,] 平方差公式：a 2－b 2 =（a+b ）（a －b ）．[来源:学.科. 评析：平方差公式中的字母a 、b ，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 二、范例学习，应用所学 【例1】把下列各式分解因式： （1）x 2－9y 2； （2）16x 4－y 4；[来源:学+科+网Z+X+X+K] （3）12a 2x 2－27b 2y 2； （4）（x +2y ）2－（x －3y ）2； （5）m 2（16x －y ）+n 2（y －16x ）．[来源:学科网] 【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．[来源:学&科&网] 【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演． 解： （1）x 2－9y 2=（x+3y ）（x －3y ）；

因式分解—公式法

14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间： 教学目标： 1．知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。 2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。 3．情感、态度与价值观： 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。 教学重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。 教学难点：提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。 教学过程： (一) 复习提问： 1. 讲评上节课作业，复习用提取公因式法分解因式。 2. 计算：（1）))((b a b a -+； （2）)3)(3(-+a a ； （3）)35)(35(y x y x -+； （4）)43 1)(431(n m n m +-。 （设计意图：通过以上练习，复习用平方差公式进行整式的乘法计算，进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系） （二）讲解新课： 我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们学习公式中的一种。 板书“平方差公式”。 把乘法公式22))((b a b a b a -=-+，反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-， 这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 公式特征：二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式，符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解，分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。解题的关键在于找出这两项的底数，相当于公式中的a 、b 。 如：把22925y x -进行因式分解，因为22)5(25x x =，22)3(9y y =，底数分别为x 5、y 3，则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。 下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：

公式法因式分解练习

运用公式法分解因式 思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4. 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。 例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2. 练习： 1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ）

因式分解公式法

知识点一：因式分解的概念 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 4、(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 5、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 6、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；知识点三：方法及典型例题一、直接用公式:当所给的多用公式法分解因式。 例1、分解因式： 1）x2-9； :当所 分解因式： 1）x5y3-x3y5； :当 ,转换为 分解因式： 2-25y2; :通过方式的形式,然后利公式 再分解为止. 例4、分解因式: (1)x4-81y4;

五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式： （1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） (A)22x y + (B)222x xy y -+ (C)222x xy y +- (D)22x xy y ++ 3、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ＢＤ．3(1)(1)x x -+ 4、代数式42819x x --，， Ａ．3x - Ｂ．(3 x +11、把下列各式分解因式． （1）249x -； （2）4 220.01625m n -． 12、把下列各式分解因式．

八年级数学上册《用公式法进行因式分解》教案

八年级数学上册《用公式法进行因式分解》教案 学习目标：1、了解因式分解的一般步骤； 2、能运用所学对多项式进行因式分解，并解决有关的实际问题。 重点：能对多项式进行因式分解； 难点：正确、熟练地进行因式分解，并能分解完全。 内容设计个性备课 课前准备温顾知新： 1你都学过哪些因式分解的方法？在运用这些方法进行因式分解时，你认为必须满足什么条件？应注意什么问题？ 课内探究一、创设情境： 甲农户有两块地，一块是边长为a米的正方形地，另一块是长为c米，宽为b米的长方形地；乙农户也有两块地，都是宽为a米，长分别为b米和c米的长方形地，今年，这两个农户共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地调成一块地，此时这块地的宽为（a＋b）米，为了使调成土地面积与原来4块地的总面积相等，调成之后的土地的长应该是多少米呢？ 二、交流展示： 1、列出所学的因式分解的方法及注意问题，并与同学交流，然后进行下面的练习：（例3）把下列各式进行因式分解： （1）－2x4＋32x2（2）3ax2－6axy＋3ay2 2、通过上面的练习，你能用自己的语言对因式分解的一般步骤做一下总结吗？你认为在因式分解时，容易出现哪些错误？应注意什么问题？说出来，与同学们一起交流一下。 三、巩固提升： 1、分解因式3x2－3y4的结果是（） A、3（x＋y 2)(x－y2) B、3（x＋y 2)(x＋y) (x－y) C、3（x－y 2) 2 D、3(x－y)2(x＋y)2 2、分解因式：x2－4y2=（） 3、（例4）把下列各式进行因式分解： （1）（a－2b）2－（2a＋b）2（2）50n－20n（x－y)＋2n（x－y) 2 4、把下列各式进行因式分解： （1）4（x－2）2－1 （2）（p＋q）2＋4（p＋q）＋4 5、利用因式分解计算：20012－19992 6、如果一个正方形的每条边长都减少5厘米，它的面积就减少65平方厘米，那么原正方形的边长是多少？

初二数学公式法因式分解教学设计

运用公式法 ——平方差公式分解因式 一、教学背景 面向学生：八年级学科：数学 课时：2课时 课前准备：课前预习 二教学课题 北师大版八年级数学下册第二单元运用公式法第一课时 三教材分析 学习者分析：七年级学生已经学习过了乘法公式中的平法差公式，只需要将它们逆向应用就是因式分解中的平法差公式了。通过前面几课时的学习，学生已经较为深刻的体会到了整式乘法与因式分解的互逆关系，并且也积累了一些活动经验，实际上向这种将公式逆用的经验在小学阶段学生已经具有了，比如乘法分配律的正用逆用等。本节课先处理平方差公式，为下一节处理完全平方公式打下基础，由简到难，符合学生的认知规律，有利于分散难点。从知识结构上看，学生在学习了提公因式法分解因式的基础上，对其分解的结果进行进一步处理，以保证分解的彻底性 知识与技能 1. 了解运用公式法分解因式的意义，掌握用平方差分解因式。 2. 了解提公因式法分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差分解因式 过程与方法 1. 通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力。 2. 训练学生对平方差公式的运用能力。 情感态度与价值观 1. 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维能力。

2. 让学生在分解因式时了解换元的思想方法。 教学重点：运用平方差公式分解因式． 教学难点：灵活运用公式法或已经学过的提公因式法分解因式， 正确判断因式分解的彻底性。 三 教学方法：引导自学法 四 教具准备：多媒体 五 教学过程 （一）创设问题情境，引入新课 在前两节课中我们学习了因式分解的定义，还学习了提公因式法 分解因式．如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能 分解因式了呢？当然不是，大家知道因式分解与多项式乘法是互逆关 系，能否利用这种关系找到新的因式分解的方法呢？ 大家先观察下列式子， （1）（x+5）(x-5)=______ (2) (3x+y)(3x-y)=_____ （3）（1+3a ）(1-3a)=_____ 得出乘法公式(a ＋b )(a -b )＝a 2-b 2 (1) 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a 2- b 2＝(a ＋b )(a -b ) (2) 本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——运用公式 法． （二）引导学生自学探究 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 公式特点 公式左边的特点①有两项组成．②两项的符号相反． ③两项都可写成数（或式）的平方的形式． 例1 22()() a b a b a b -=+-

因式分解——公式法(1)教案

14.3.2因式分解——公式法（1） 一．教学内容 人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时 二．教材分析 分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是 在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面 的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简， 以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上 启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、 “类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学 学习的重要内 容。根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公 因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。因此公式法是分解因式的重 要方法之一，是现阶段的学习重点。 三．教学目标 知识与技能 ：理解和掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公 式分解因式 过程与方法：1.培养学生自主探索、合作交流的能力 2.培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力 和数学应用意识，渗透整体思想 情感、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦，从而 增强学好数学的愿望和信心 四．教学重难点 重点：会运用平方差公式分解因式 难点：准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式 易错点：分解因式不彻底 五．教学设计 （一）温故知新 1.什么是因式分解？下列变形过程中，哪个是因式分解？为什么？ . 2)2-)(2(24-)3();13(33-93)2(; 14-41-212222x x x x x y x x x xy x x x x ++=+++=++=））（（ 2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将下列多项式分解因式。 .6-39-)2(; -2-122233xy xy y x ab b a b a +）（ 【设计意图】通过复习因式分解的定义和方法，为继续学习公式法作好铺垫。 3.根据乘法公式进行计算： ).2-(22)1-(11y x y x x x ））（（； ））（（++

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)(精选.)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.29y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222x y z - 7.2240.019m b - 8.2219a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22(32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.229()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.224()a b c -+

题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.224ax ay - 3.322ab ab - 4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2(25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

公式法(利用平方差公式分解因式)

第四章因分解式 3．公式法（一） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验． 二、教学任务分析 学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。 本节课的具体教学目标为： 1．知识与技能： （1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。 三、教学过程分析 本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础—

—能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结． 第一环节 复习回顾 活动内容：填空： （1）（x+5）（x –5） = ； （2）（3x+y ）（3x –y ）= ； （3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 它们的结果有什么共同特征？ 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： 活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力． 注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系． 第二环节 探究新知 活动内容：谈谈你的感受。 结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。 注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。 .____________________49_;____________________9__;____________________ 2522222=-=-=-n m y x x

2021年八年级数学上册4.3因式分解4.3.公式法教案新版新人教版

2019-2020年八年级数学上册14.3因式分解14.3.2公式法2教案新 版新人教版 ——完全平方公式教学目标： 理解完全平方式及因式分解的完全平方公式并能较熟练地应用完全平方公式分解因式． 重点： 应用完全平方公式分解因式． 难点： 灵活应用完全平方公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求． 教学流程： 一、知识回顾 1.说一说因式分解的平方差公式： 答案：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2.把下列各式因式分解. 22 -= m n (1)44_______________; 44 a b -= (2)____________________. 答案：（1）；（2） 二、探究 问题1：多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？ 答案：两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍． 是两个数的和或差的平方． 归纳：我们把a2+2ab+b2与a2－2ab+b2叫做完全平方式 完全平方式的特点：

1.必须是三项式； 2.有两个同号的平方项； 3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍. 即：首平方，尾平方，首尾两倍在中央！ 尝试练习1：下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 22 222 (1)44 (2)14(3)441 (4)a a a b b a ab b -++++++ 答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）× 问题2：你能把多项式a 2+2ab +b 2与a 2－2ab +b 2分解因式吗？ 指出：把整式乘法的完全平方公式： 的等号两边互换位置，可得到， 因式分解的完全平方公式： 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 尝试练习2：请利用完全平方公式分解因式. 222 (2)(1)162494;4x x y y x x -+-++ 解： 2222(1)16249 (4)2433(43)x x x x x ++=+??+=+； 22 22222(2)44(44) [22(2)] (2)x xy y x xy y x x y y x y -+-=--+=--??+=--． 练习： 1．下列二次三项式是完全平方式的是( ) A ．x 2－8x －16 B ．x 2＋8x ＋16

平方差公式法因式分解

平方差公式法因式分解教学设计 【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解第三节公式法第一课时内容。 【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！ 【学情分析】 学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出 a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。 【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。 【教学目标】 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。【教学重点】 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。

因式分解公式法

因 式 分 解 类型二、公式法 1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-2 2 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成2 2b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。 例如：分解因式： （1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+ 2、利用完全平方公式因式分解：()2 222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。 例如：分解因式： （1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2 +---n m n m 1682++x x 典型例题： 例1 用平方差公式分解因式： （1）22)(9y x x -+-； （2）2233 1 n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 例2 分解因式： （1）ab b a -5；（2）)()(4 4n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式. 例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）962+-a a ； （2）982 +-x x ； （3）91242--x x ； （4）2 23612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.

用公式法因式分解

用完全平方公式因式分解 学习目标 1.会用完全平方公式分解因式 2 .会综合运用提取公因式法、公式法分解因式 3. 通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“整体”进行分解，培养学生的观察、类比、归纳、逆向思维能力，进一步体会整体思想 学习重点 用完全平方公式进行因式分解. 学习难点：准确判断一个多项式是否为完全平方式，灵活运用公式分解因式 复习回顾： 1、把一个______化成几个整式的_____的形式，像这样的式子变形叫做因式分解 2、整式乘法的完全平方公式：()()__ _____________________22=-=+b a b a 自主学习 一. 创设情境 1. 前面我们学习了因式分解，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将22222,2b ab a b ab a +-++分解因式吗？ ____________2;__________22222=+-=++b ab a b ab a 将乘法的完全平方公式反过来得到：两数的______，加上（或减去）这两数的___的____倍， 等于这两数___（或者___）的平方。形如a 2±2ab+b 2的多项式称为完全平方式. 完全平方式的结构特征：①项数必须是_________项； ②其中有两项是________________________________； ③另一项是_____________________________________. ★议一议：判断下列各式是完全平方式吗？ （1）a 2－4a +4 （2）2 41a + （3）x 2－6x －9 （4）a 2－ab +b 2 （5） 4a 2+2ab +14 b 2 写一写：将下列多项式写成完全平方公式的形式 ()2 222____________2___441-=+??-=+-a a ）（ ()2 222_____________2___92416)2(+=+??+=++x x ()()22222___________2___4 1243-=+??-=+-b ab a