文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 2015年上海高考二模数学金山(松江、徐汇)(理)

2015年上海高考二模数学金山(松江、徐汇)(理)

2015年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科(理科)

2015.4

一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.

1.已知集合1=1,22A ?????

?,,集合{}2

=|,B y y x x A =∈,则A B = .

2.若复数i i z (21-=为虚数单位),则=+?z z z .

3.已知直线l 的一个法向量是(1,3n =-,则此直线的倾斜角的大小为 .

4.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数1650

800

==

k .若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7,则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是

5.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,3

a c A π

===

,则ABC ?的面积为 .

6.设函数)12(log )(2+=x x f ,则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 .

7.直线y x =与曲线3cos :4sin x C y θ

θ=??=?

(θ为参数,2πθπ≤≤)的交点坐标是 .

8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至

多一人击中目标的概率为 . 9.矩阵1211222232332

1

23

i

n i n i n n ni

nn a a a a a a a a a n a a a ?? ? ?

? ? ? ??

?

中每一行都构成公比为2的等比数列,第i 列各元素之和为i S ,则2lim

2n

n

n S n →∞=? .

10.如图所示:在直三棱柱111ABC A B C -中,

AB BC ⊥,1AB BC BB ==,

则平面11A B C

与平面

ABC 所成的二面角的大小为 . 11.执行如图所示的程序框图,输出的结果为a ,二项式4

2的展开式中3

x 项的系数为

2

a

,则常数m = . 12.设)(x f 是定义域为R 的奇函数,)(x g 是定义域为R 的偶函数,若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[,则函数)()(x g x f -的值域为 .

13.ABC ?所在平面上一点P 满足()

0,PA PC mAB m m +=>为常数,若ABP ?的面积

为6,则ABC ?的面积为 .

14.对于曲线C 所在平面上的定点0P ,若存在以点0P 为顶点的角α,使得0

AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立,则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”

,并称其中最小的“界角”为曲线

C 相对于

点0P 的“确界角”.曲线?????<--≥+=)

0(12)

0(1:2

2x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 . 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得0分.

15.下列不等式中,与不等式

3

02x x

-≥-同解的是( ) (A )()()320x x --≥ (B )()()320x x -->

(C )

203x x -≥- (D )30

2

x

x -≥- 16.设M N 、为两个随机事件,如果M N 、为互斥事件,那么( ) (A )M N ?是必然事件 (B )M N ?是必然事件 (C )M 与N

一定为互斥事件 (D )M 与N 一定不为互斥事件 17.在极坐标系中,与曲线1cos +=θρ关于直线6

π

θ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是( )

(A )1)3

sin(++=θπ

ρ (B )1)3

sin(

+-=θπ

ρ

(C )1)6

sin(

++=θπ

ρ (D )1)6

sin(

+-=θπ

ρ

18.已知函数2()sin f x x x =?,各项均不相等的数列{}n x 满足2

i x π

(1,2,3,,)i n =.令

[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =++

+?++

∈.给出下列三个命题:

(1)存在不少于3项的数列{}n x ,使得()0F n =;

(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12n

n x n N ??=-∈ ???

,则(2)0F k >对*

k N ∈恒成立;

(3)若数列{}n x 是等差数列,则()0F n ≥对*

n N ∈恒成立.

其中真命题的序号是( )

(A )(1)(2) (B )(1)(3) (C ) (2)(3) (D )(1)(2)(3)

三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 如图,在Rt AOB ?中,6

OAB π

∠=

,斜边4AB =,D 是AB 的中点.现将Rt AOB

?以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点C 为圆锥底面圆周上的一点,且2

BOC π

∠=

(1)求该圆锥的全面积;

(2)求异面直线AO 与CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

20.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

一个随机变量ξ的概率分布律如下:

其中,,A B C 为锐角三角形.....ABC 的三个内角.

(1)求A 的值;

(2)若1cos x B =,2sin x C =,求数学期望E ξ的取值范围.

21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示,它的外框是一个等腰梯形

PQRS ,内部是一段抛物线和一根横梁.抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接

点O ,梯形的腰紧靠在抛物线上,两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ,抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D .已知梯形的高是40厘

米,C D 、两点间的距离为40厘米.

(1)求横梁AB 的长度;

(2)求梯形外框的用料长度. (注:细钢管的粗细等因素忽略不计,计算结果精确到1厘米.)

22.(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.

已知函数11()2f x x x ??=

+ ???,11()2g x x x ??

=- ???

(1)求函数()()()2h x f x g x =+的零点;

(2)若直线()

:0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、,与()g x 的图像交于不同的

两点C D 、,求证:AC BD =; (3)求函数()()(

)22*

()n

n

F x f x g x n N =-∈????????

的最小值.

23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.

对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N ∈),令n n a a a a S ++++= 321,如果存在p a ({}1,2,3,p n ∈),

使得||||p n p a S a -≥,那么称p a 是该向量组的“h 向量”.

(1)设),(n x n a n +=(*n N ∈),若3a 是向量组321,,a a a 的“h 向量”,

求实数x 的取值范围;

(2)若))1(,)3

1((1n

n n a -=-(*N n ∈),向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”?

给出你的结论并说明理由;

(3)已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”

,其中)cos ,(sin 1x x a =, )sin 2,cos 2(2x x a =.

设在平面直角坐标系中有一点列n Q Q Q Q ,,,,321 满足:1Q 为坐标原点,2Q 为3a 的位置向量的终点,且12+k Q 与k Q 2关于点1Q 对称,22+k Q 与12+k Q (*

N k ∈)关于点2Q 对称,求

||20142013Q Q 的最小值.

理科参考答案

一、填空题:(每题4分) 1. {}1 2. 62i - 3. 6π 4. 39 5.

6. 0x ≤

7. 1212,5

5??

-

- ??? 8. 0.58 9. 14

10. 4

π

11. 14 12. (]3,1-- 13. 12 14. 512π

二、选择题:(每题5分)

15. D 16. A 17. C 18. D

三、解答题 19、解:(1)在Rt AOB ?中,2OB =,即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’

故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’ (2)解法一:如图建立空间直角坐标系.

(0,0,23),(2,0,0),(0,1A C D

(0,0,23),(2,1AO CD ∴=-=-………………

..8’

设AO 与CD 所成角为θ 则cos 2

AO CD AO CD

θ?=

=

=?………………..10’ ∴异面直线AO 与CD 所成角为..12’ 解法二:过D 作//DM AO 交BO 于M ,连CM

则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角

………………..8’ AO OBC

⊥平面Q

D M O B C ∴⊥平面DM MC ∴⊥ 在Rt AOB ?中,AO

=

DM ∴D Q 是AB 的中点 M ∴

是OB 的中点

1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ?

中,

tan CDM ∠=

=

,………………..10’ CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’

20、解:(1)由题()cos2sin 1A B C ++=,………………..2’

则2

12sin sin 1A A -+=()1

sin sin 02

A A ?=

=舍………………..4’ 又A 为锐角,得6

A π

=………………..6’

(2)由6

A π

=

得56B C π+=

,则()1cos 2=sin 2A B C +=,即()()121

2

P x P x ξξ====…………..8’ 11

cos sin 22E B C ξ?=+………………..9’

151

3cos sin sin 2624C C C C π??=-+= ???

6C π??

=

- ??

?, ………………..11’ 由ABC ?为锐角三角形,得0,2,,3266350,62C C C B C ππππππππ???

∈ ??

?????

???∈?-∈? ? ???????

?=-∈ ?????

则1sin ,622C π??

?-∈ ? ????,

得34E ξ?∈????

………………..14’

21、解:(1)如图,以O 为原点,梯形的上底所在直线为x 轴,建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ,抛物线的方程为:

()220x py p =<

由题意()20,40D -,得5p =-,210x y =-……….3’

取20y x =-?=±

即(

)()

20,20A B ---

()28AB cm =≈

答:横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’

(2)由题意,得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点

设(():200RQ l y k x k +=-<………………..7’

(

()

2220101002010y k x x kx x y ?+=-??+-+=?

=-??

则(

)

2

10040020k k ?=+=?=-

:20RQ l y =-+…………..10’

得(

)(),40Q R

-OQ MR RQ ?===

梯形周长为(

()2141cm =≈

答:制作梯形外框的用料长度约为141cm ………………..14’

22、解:(1

)由题31()0223x h x x x =

-=?=±

,函数()h x

的零点为3

x =±…………4’ (2)设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y

()2

220112ax by c a b x cx b y x x ++=???+++=?

??=+ ?

????

,则1222c x x a b +=-+………………..8’ 同理由()2

220112ax by c a b x cx b y x x ++=???++-=???=- ?????

,则3422c x x a b +=-

+ 则AB 中点与CD 中点重合,即AC BD =………………..10’

(3)由题2221

11()2n n

n

F x x x x x ?????

?=+--?? ? ????????

?

()1223262362212222222122222n n n n n n

n n n n n C x C x C x C x ------=

++++………………..12’ ()()()()1222232662236226212222

2222212

n n n n n n n n n n n n n n n C x x C x x C x x C x x ----------??=++++++++??()13232122222122222

n n n n n n n C C C C --≥++++ ……………….14’ 1≥,当且仅当1x =±时,等号成立

所以函数()F x 的最小值为1………………..16’

23、解:(1)由题意,得:||||213a a a +≥,则22

)32(9)3(9++≥

++x x ………………..2’

解得:02≤≤-x ………………..4’

(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”,证明如下:

)1,1(1-=a ,2||1=a

当n 为奇数时,)0,)31(2121()0,3

11]

)31

(1[31(1132--?-=--=+++n n n a a a ………………..6’

11111

0()2232n -≤

-?<,故=+++||32n a a a 22

10])31(2121[221<<+?--n ………8’ 即||||321n a a a a +++> 当n 为偶数时,)1,)3

1(2121(1

32-?-=+++n n a a a 故=

+++||32n a a a 24

51])31(2121[221<<+?--n 即||||321n a a a a +++>

综合得:1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”………………..10’ (3)由题意,得:||||321a a a +≥,23221||||a a a +≥,即2

322

1)(a a a +≥

即322

32

22

12a a a a a ?++≥,同理312

32

12

22a a a a a ?++≥,212

22

12

32a a a a a ?++≥ 三式相加并化简,得:3231212

32

22

12220a a a a a a a a a ?+?+?+++≥

即0)(2321≤++a a a ,0||321≤++a a a ,所以321=++a a a ………………..13’ 设),(3v u a =,由321=++a a a 得:?

?

?--=--=x x v x

x u sin 2cos cos 2sin

设),(n n n y x Q ,则依题意得:??

?-=-=++++++)

,(),(2),()

,(),(2),(121222222222111212k k k k k k k k y x y x y x y x y x y x ,

得),()],(),[(2),(2211222222k k k k y x y x y x y x +-=++ 故),()],(),[(2),(2211222222y x y x y x k y x k k +-=++ ),()],(),[(2),(2211221212y x y x y x k y x k k +--=++

所以2111221222122222124)],(),[(4),(Q Q k y x y x k y y x x Q Q k k k k k k =-=--=++++++……16’

1

2sin 45cos sin 85)sin 2cos ()cos 2sin (||||2223221≥+=+=--+--==x x x x x x x a Q Q 当且仅当

4

π

π-

=t x (Z t ∈)时等号成立

故4024||min 20142013=Q Q ………………..18’

相关文档