2015年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科(理科)
2015.4
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.
1.已知集合1=1,22A ?????
?,,集合{}2
=|,B y y x x A =∈,则A B = .
2.若复数i i z (21-=为虚数单位),则=+?z z z .
3.已知直线l 的一个法向量是(1,3n =-,则此直线的倾斜角的大小为 .
4.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数1650
800
==
k .若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7,则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是
.
5.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,3
a c A π
===
,则ABC ?的面积为 .
6.设函数)12(log )(2+=x x f ,则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 .
7.直线y x =与曲线3cos :4sin x C y θ
θ=??=?
(θ为参数,2πθπ≤≤)的交点坐标是 .
8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至
多一人击中目标的概率为 . 9.矩阵1211222232332
1
23
i
n i n i n n ni
nn a a a a a a a a a n a a a ?? ? ?
? ? ? ??
?
中每一行都构成公比为2的等比数列,第i 列各元素之和为i S ,则2lim
2n
n
n S n →∞=? .
10.如图所示:在直三棱柱111ABC A B C -中,
AB BC ⊥,1AB BC BB ==,
则平面11A B C
与平面
ABC 所成的二面角的大小为 . 11.执行如图所示的程序框图,输出的结果为a ,二项式4
2的展开式中3
x 项的系数为
2
a
,则常数m = . 12.设)(x f 是定义域为R 的奇函数,)(x g 是定义域为R 的偶函数,若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[,则函数)()(x g x f -的值域为 .
13.ABC ?所在平面上一点P 满足()
0,PA PC mAB m m +=>为常数,若ABP ?的面积
为6,则ABC ?的面积为 .
14.对于曲线C 所在平面上的定点0P ,若存在以点0P 为顶点的角α,使得0
AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立,则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”
,并称其中最小的“界角”为曲线
C 相对于
点0P 的“确界角”.曲线?????<--≥+=)
0(12)
0(1:2
2x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 . 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得0分.
15.下列不等式中,与不等式
3
02x x
-≥-同解的是( ) (A )()()320x x --≥ (B )()()320x x -->
(C )
203x x -≥- (D )30
2
x
x -≥- 16.设M N 、为两个随机事件,如果M N 、为互斥事件,那么( ) (A )M N ?是必然事件 (B )M N ?是必然事件 (C )M 与N
一定为互斥事件 (D )M 与N 一定不为互斥事件 17.在极坐标系中,与曲线1cos +=θρ关于直线6
π
θ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是( )
(A )1)3
sin(++=θπ
ρ (B )1)3
sin(
+-=θπ
ρ
(C )1)6
sin(
++=θπ
ρ (D )1)6
sin(
+-=θπ
ρ
18.已知函数2()sin f x x x =?,各项均不相等的数列{}n x 满足2
i x π
≤
(1,2,3,,)i n =.令
[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =++
+?++
∈.给出下列三个命题:
(1)存在不少于3项的数列{}n x ,使得()0F n =;
(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12n
n x n N ??=-∈ ???
,则(2)0F k >对*
k N ∈恒成立;
(3)若数列{}n x 是等差数列,则()0F n ≥对*
n N ∈恒成立.
其中真命题的序号是( )
(A )(1)(2) (B )(1)(3) (C ) (2)(3) (D )(1)(2)(3)
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 如图,在Rt AOB ?中,6
OAB π
∠=
,斜边4AB =,D 是AB 的中点.现将Rt AOB
?以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点C 为圆锥底面圆周上的一点,且2
BOC π
∠=
.
(1)求该圆锥的全面积;
(2)求异面直线AO 与CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)
20.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
一个随机变量ξ的概率分布律如下:
其中,,A B C 为锐角三角形.....ABC 的三个内角.
(1)求A 的值;
(2)若1cos x B =,2sin x C =,求数学期望E ξ的取值范围.
21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示,它的外框是一个等腰梯形
PQRS ,内部是一段抛物线和一根横梁.抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接
点O ,梯形的腰紧靠在抛物线上,两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ,抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D .已知梯形的高是40厘
米,C D 、两点间的距离为40厘米.
(1)求横梁AB 的长度;
(2)求梯形外框的用料长度. (注:细钢管的粗细等因素忽略不计,计算结果精确到1厘米.)
22.(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数11()2f x x x ??=
+ ???,11()2g x x x ??
=- ???
.
(1)求函数()()()2h x f x g x =+的零点;
(2)若直线()
:0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、,与()g x 的图像交于不同的
两点C D 、,求证:AC BD =; (3)求函数()()(
)22*
()n
n
F x f x g x n N =-∈????????
的最小值.
23.(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*n N ∈),令n n a a a a S ++++= 321,如果存在p a ({}1,2,3,p n ∈),
使得||||p n p a S a -≥,那么称p a 是该向量组的“h 向量”.
(1)设),(n x n a n +=(*n N ∈),若3a 是向量组321,,a a a 的“h 向量”,
求实数x 的取值范围;
(2)若))1(,)3
1((1n
n n a -=-(*N n ∈),向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”?
给出你的结论并说明理由;
(3)已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”
,其中)cos ,(sin 1x x a =, )sin 2,cos 2(2x x a =.
设在平面直角坐标系中有一点列n Q Q Q Q ,,,,321 满足:1Q 为坐标原点,2Q 为3a 的位置向量的终点,且12+k Q 与k Q 2关于点1Q 对称,22+k Q 与12+k Q (*
N k ∈)关于点2Q 对称,求
||20142013Q Q 的最小值.
理科参考答案
一、填空题:(每题4分) 1. {}1 2. 62i - 3. 6π 4. 39 5.
6. 0x ≤
7. 1212,5
5??
-
- ??? 8. 0.58 9. 14
10. 4
π
11. 14 12. (]3,1-- 13. 12 14. 512π
二、选择题:(每题5分)
15. D 16. A 17. C 18. D
三、解答题 19、解:(1)在Rt AOB ?中,2OB =,即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’
故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’ (2)解法一:如图建立空间直角坐标系.
则
(0,0,23),(2,0,0),(0,1A C D
(0,0,23),(2,1AO CD ∴=-=-………………
..8’
设AO 与CD 所成角为θ 则cos 2
AO CD AO CD
θ?=
=
=?………………..10’ ∴异面直线AO 与CD 所成角为..12’ 解法二:过D 作//DM AO 交BO 于M ,连CM
则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角
………………..8’ AO OBC
⊥平面Q
D M O B C ∴⊥平面DM MC ∴⊥ 在Rt AOB ?中,AO
=
DM ∴D Q 是AB 的中点 M ∴
是OB 的中点
1OM ∴=CM ∴=在Rt CDM ?
中,
tan CDM ∠=
=
,………………..10’ CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’
20、解:(1)由题()cos2sin 1A B C ++=,………………..2’
则2
12sin sin 1A A -+=()1
sin sin 02
A A ?=
=舍………………..4’ 又A 为锐角,得6
A π
=………………..6’
(2)由6
A π
=
得56B C π+=
,则()1cos 2=sin 2A B C +=,即()()121
2
P x P x ξξ====…………..8’ 11
cos sin 22E B C ξ?=+………………..9’
151
3cos sin sin 2624C C C C π??=-+= ???
6C π??
=
- ??
?, ………………..11’ 由ABC ?为锐角三角形,得0,2,,3266350,62C C C B C ππππππππ???
∈ ??
?????
???∈?-∈? ? ???????
?=-∈ ?????
则1sin ,622C π??
?-∈ ? ????,
得34E ξ?∈????
………………..14’
21、解:(1)如图,以O 为原点,梯形的上底所在直线为x 轴,建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ,抛物线的方程为:
()220x py p =<
由题意()20,40D -,得5p =-,210x y =-……….3’
取20y x =-?=±
即(
)()
20,20A B ---
()28AB cm =≈
答:横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’
(2)由题意,得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设(():200RQ l y k x k +=-<………………..7’
(
()
2220101002010y k x x kx x y ?+=-??+-+=?
=-??
则(
)
2
10040020k k ?=+=?=-
:20RQ l y =-+…………..10’
得(
)(),40Q R
-OQ MR RQ ?===
梯形周长为(
()2141cm =≈
答:制作梯形外框的用料长度约为141cm ………………..14’
22、解:(1
)由题31()0223x h x x x =
-=?=±
,函数()h x
的零点为3
x =±…………4’ (2)设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y
()2
220112ax by c a b x cx b y x x ++=???+++=?
??=+ ?
????
,则1222c x x a b +=-+………………..8’ 同理由()2
220112ax by c a b x cx b y x x ++=???++-=???=- ?????
,则3422c x x a b +=-
+ 则AB 中点与CD 中点重合,即AC BD =………………..10’
(3)由题2221
11()2n n
n
F x x x x x ?????
?=+--?? ? ????????
?
()1223262362212222222122222n n n n n n
n n n n n C x C x C x C x ------=
++++………………..12’ ()()()()1222232662236226212222
2222212
n n n n n n n n n n n n n n n C x x C x x C x x C x x ----------??=++++++++??()13232122222122222
n n n n n n n C C C C --≥++++ ……………….14’ 1≥,当且仅当1x =±时,等号成立
所以函数()F x 的最小值为1………………..16’
23、解:(1)由题意,得:||||213a a a +≥,则22
)32(9)3(9++≥
++x x ………………..2’
解得:02≤≤-x ………………..4’
(2) 1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”,证明如下:
)1,1(1-=a ,2||1=a
当n 为奇数时,)0,)31(2121()0,3
11]
)31
(1[31(1132--?-=--=+++n n n a a a ………………..6’
11111
0()2232n -≤
-?<,故=+++||32n a a a 22
10])31(2121[221<<+?--n ………8’ 即||||321n a a a a +++> 当n 为偶数时,)1,)3
1(2121(1
32-?-=+++n n a a a 故=
+++||32n a a a 24
51])31(2121[221<<+?--n 即||||321n a a a a +++>
综合得:1a 是向量组n a a a a ,,,,321 的“h 向量”………………..10’ (3)由题意,得:||||321a a a +≥,23221||||a a a +≥,即2
322
1)(a a a +≥
即322
32
22
12a a a a a ?++≥,同理312
32
12
22a a a a a ?++≥,212
22
12
32a a a a a ?++≥ 三式相加并化简,得:3231212
32
22
12220a a a a a a a a a ?+?+?+++≥
即0)(2321≤++a a a ,0||321≤++a a a ,所以321=++a a a ………………..13’ 设),(3v u a =,由321=++a a a 得:?
?
?--=--=x x v x
x u sin 2cos cos 2sin
设),(n n n y x Q ,则依题意得:??
?-=-=++++++)
,(),(2),()
,(),(2),(121222222222111212k k k k k k k k y x y x y x y x y x y x ,
得),()],(),[(2),(2211222222k k k k y x y x y x y x +-=++ 故),()],(),[(2),(2211222222y x y x y x k y x k k +-=++ ),()],(),[(2),(2211221212y x y x y x k y x k k +--=++
所以2111221222122222124)],(),[(4),(Q Q k y x y x k y y x x Q Q k k k k k k =-=--=++++++……16’
1
2sin 45cos sin 85)sin 2cos ()cos 2sin (||||2223221≥+=+=--+--==x x x x x x x a Q Q 当且仅当
4
π
π-
=t x (Z t ∈)时等号成立
故4024||min 20142013=Q Q ………………..18’