计算题库及参考答案 1、设A 点高程为15.023m ,欲测设设计高程为16.000m 的B 点,水准仪安置在A 、B 两点之间,读得A 尺读数a=2.340m ,B 尺读数b 为多少时,才能使尺底高程为B 点高程。 【解】水准仪的仪器高为=i H 15.023+2.23=17.363m ,则B 尺的后视读数应为 b=17.363-16=1.363m ,此时,B 尺零点的高程为16m 。 2、在1∶2000地形图上,量得一段距离d =23.2cm ,其测量中误差=d m ±0.1cm ,求该段距离的实地长度 D 及中误差D m 。 【解】==dM D 23.2×2000=464m ,==d D Mm m 2000×0.1=200cm=2m 。 3、已知图中AB 的坐标方位角,观测了图中四个水平角,试计算边长B →1,1→2,2→3, 3→4的坐标方位角。 【解】=1B α197°15′27″+90°29′25″-180°=107°44′52″ =12α107°44′52″+106°16′32″-180°=34°01′24″ =23α34°01′24″+270°52′48″-180°=124°54′12″ =34α124°54′12″+299°35′46″ -180°=244°29′58″ 4、在同一观测条件下,对某水平角观测了五测回,观测值分别为:39°40′30″,39°40′48″,39°40′54″,39°40′42″,39°40′36″,试计算: ① 该角的算术平均值——39°40′42″; ② 一测回水平角观测中误差——±9.487″; ③ 五测回算术平均值的中误差——±4.243″。 5、在一个直角三角形中,独立丈量了两条直角边a ,b ,其中误差均为m ,试推导由a ,b 边计算所得斜边c 的中误差c m 的公式? 【解】斜边c 的计算公式为22b a c += ,全微分得 db c b da c a bdb b a ada b a d c +=+++=--2)(212)(21212 22122 应用误差传播定律得2 22 222222222m m c b a m c b m c a m c =+=+= 6、已知=AB α89°12′01″,=B x 3065.347m ,=B y 2135.265m ,坐标推算路线为B →1→2,测得坐标推算路线的右角分别为=B β32°30′12″,=1β261°06′16″,水平距离分别为=1B D 123.704m ,=12D 98.506m ,试计算1,2点的平面坐标。 【解】 1) 推算坐标方位角 =1B α89°12′01″-32°30′12″+180°=236°41′49″ =12α236°41′49″-261°06′16″+180°=155°35′33″ 2) 计算坐标增量 =?1B x 123.704×cos236°41′49″=-67.922m , =?1B y 123.704×sin236°41′49″=-103.389m 。 =?12x 98.506×cos155°35′33″=-89.702m , =?12y 98.506×sin155°35′33″=40.705m 。 3) 计算1,2点的平面坐标 图 推算支导线的坐标方位角
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii ) A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下:
1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=,这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
一、基础知识。(5小题,共26分。) 1.读音节,找词语朋友。(10分) táo zuì nínɡ zhònɡ wǎn lián ēn cì ()()()() zī rùn kuí wú zhēn zhì miǎn lì ()()()() xuán yá qiào bì hú lún tūn zǎo ()() 2.读一读,加点字念什么,在正确的音节下面画“_”。(4分) 镌.刻(juān juàn)抚摩.(mó mē)扁.舟(biān piān)阻挠.(náo ráo)塑.料(suò sù)挫.折(cuō cuò)归宿.(sù xiǔ)瘦削.(xiāo xuē)3.请你为“肖”字加偏旁,组成新的字填写的空格内。(4分) 陡()的悬崖胜利的()息俊()的姑娘 ()好的铅笔弥漫的()烟畅()的商品 ()遥自在的生活元()佳节 4.按要求填空,你一定行的。(4分) “巷”字用音序查字法先查音序(),再查音节()。按部首查字法先查()部,再查()画。能组成词语()。 “漫”字在字典里的意思有:①水过满,向外流;②到处都是;③不受约束,随便。 (1)我漫.不经心地一脚把马鞍踢下楼去。字意是() (2)瞧,盆子里的水漫出来了。字意是() (3)剩下一个义项可以组词为() 5.成语大比拼。(4分) 风()同()()崖()壁()()无比 和()可()()扬顿()()高()重 ( )不()席张()李() 二、积累运用。(3小题,共20分。) 1.你能用到学过的成语填一填吗?(每空1分) 人们常用来比喻知音难觅或乐曲高妙,用来赞美达芬
(1)鲁迅先生说过:“,俯首甘为孺子牛。” (2),此花开尽更无花。 (3)必寡信。这句名言告诉我们。 (4)但存,留与。 (5)大漠沙如雪,。 3.按要求写句子。(每句2分) (1)闰土回家去了。我还深深地思念着闰土。(用合适的关联词组成一句话)(2)老人叫住了我,说:“是我打扰了你吗?”(改成间接引语) (3)这山中的一切,哪个不是我的朋友?(改为陈述句) (4)月亮升起来了。(扩句) (5)小鱼在水里游来游去。(改写成拟人句) 三、口语交际。(共3分。) 随着“嫦娥一号”卫星的发射成功,作为中华少年的我们,面对祖国的飞速发展的科技,你想到了什么?想说点什么呢? 四、阅读下面短文,回答问题。(10小题,共26分。) 1.课内阅读。(阅读文段,完成练习) 嘎羧来到石碑前,选了一块平坦的草地,一对象牙就像两支铁镐,在地上挖掘起来。它已经好几天没吃东西了,又经过长途跋涉,体力不济,挖一阵就 喘息一阵。嘎羧从早晨一直挖到下午,终于挖出了一个椭圆形的浅坑。它滑下
【最新整理,下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限; (3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x x x 33sin 9lim 0-+→ (2)1)1sin(lim 21--→x x x (3)x x x 1 0)21(lim -→ (4)2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ (5))1 1e (lim 0-+→x x x x 解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? (2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= (3)利用第二重要极限计算,即 x x x 1 0)21(lim -→=2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 (4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注:其中当∞→x 时,x x x x sin 1sin =,)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量,即它们还是无穷小量。 (5) 利用函数的连续性计算,即 )11e (lim 0-+→x x x x =11 01e 00-=-+?
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
土木工程测量6_计算题库 及参考答案 -标准化文件发布号:(9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
计算题库及参考答案 1、设A 点高程为,欲测设设计高程为的B 点,水准仪安置在A 、B 两点之间,读得A 尺读数a=,B 尺读数b 为多少时,才能使尺底高程为B 点高程。 【解】水准仪的仪器高为=i H +=,则B 尺的后视读数应为 b==,此时,B 尺零点的高程为16m 。 2、在1∶2000地形图上,量得一段距离d =,其测量中误差=d m ±,求该段距离的实地长度D 及中误差D m 。 【解】==dM D ×2000=464m ,==d D Mm m 2000×=200cm=2m 。 3、已知图中AB 的坐标方位角,观测了图中四个水平角,试计算边长B →1,1→2,2→3,3→4的坐标方位角。 【解】=1B α197°15′27″+90°29′25″-180°=107°44′52″ =12α107°44′52″+106°16′32″-180°=34°01′24″ =23α34°01′24″+270°52′48″-180°=124°54′12″ =34α124°54′12″+299°35′46″-180°=244°29′58″ 4、在同一观测条件下,对某水平角观测了五测回,观测值分别为:39°40′30″,39°40′48″,39°40′54″,39°40′42″,39°40′36″,试计算: ① 该角的算术平均值——39°40′42″; ② 一测回水平角观测中误差——±″; ③ 五测回算术平均值的中误差——±″。 5、在一个直角三角形中,独立丈量了两条直角边a ,b ,其中误差均为m ,试推导由a ,b 边计算所得斜边c 的中误差c m 的公式 【解】斜边c 的计算公式为22b a c +=,全微分得 db c b da c a bdb b a ada b a d c +=+++=--2)(212)(2121 222 1 22 应用误差传播定律得2 22 222222222m m c b a m c b m c a m c =+=+= 6、已知=AB α89°12′01″,=B x ,=B y ,坐标推算路线为B →1→2,测得坐标推算路线的右角分别为=B β32°30′12″,=1β261°06′16″,水平距离分别为=1B D ,=12D ,试计算1,2点的平面坐标。 【解】 1) 推算坐标方位角 =1B α89°12′01″-32°30′12″+180°=236°41′49″ =12α236°41′49″-261°06′16″+180°=155°35′33″ 2) 计算坐标增量 =?1B x ×cos236°41′49″=, =?1B y ×sin236°41′49″=。 =?12x ×cos155°35′33″=, 图 推算支导线的坐标方位角
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2 =-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim =→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim =→x x x ,e x x x =--→21 ) 21(lim ,e x x x =+ ∞ →3)31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算(﹣2)100+(﹣2)99所得的结果是() A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时,下列等式成立的有() (1)a2m=(a m)2;(2)a2m=(a2)m;(3)a2m=(﹣a m)2;(4)a2m=(﹣a2)m. A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是() A、2x+3y=5xy B、(﹣3x2y)3=﹣9x6y3 C 、D、(x﹣y)3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数,且都不等于0,n为正整数,则下列各组中一定互为相反数的是() A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣15、下列等式中正确的个数是() ①a5+a5=a10;②(﹣a)6?(﹣a)3?a=a10;③﹣a4?(﹣a)5=a20; ④25+25=26. A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算:x2?x3=_________;(﹣a2)3+(﹣a3)2= _________ . 7、若2m=5,2n=6,则2m+2n= _________ . 三、解答题 8、已知3x(x n+5)=3x n+1+45,求x的值。 9、若1+2+3+…+n=a, 求代数式(x n y)(x n﹣1y2)(x n﹣2y3)…(x2y n﹣1)(xy n)的值.
10、已知2x+5y=3,求4x?32y的值. 11、已知25m?2?10n=57?24,求m、n. 12、已知a x=5,a x+y=25,求a x+a y的值. 13、若x m+2n=16,x n=2,求x m+n的值. 14、比较下列一组数的大小.8131,2741,961 15、如果a2+a=0(a≠0),求a2005+a2004+12的值. 16、已知9n+1﹣32n=72,求n的值. 18、若(a n b m b)3=a9b15,求2m+n的值. 19、计算:a n﹣5(a n+1b3m﹣2)2+(a n﹣1b m﹣2)3(﹣b3m+2) 20、若x=3a n,y= ﹣,当a=2,n=3时,求a n x﹣ay 的值.
求极限的方法总结 1.约去零因子求极限 例1:求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题:2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2.分子分母同除求极限 例2:求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除........x .的最高次方;......且一般...x .是趋于无穷的...... ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++(-5)(-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→
3.分子(母)有理化求极限 例1:求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2:求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键 习题:2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限(当函数连续时,它的函数值就是它的极限值................... ) 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉,就是:当取极限时,分子不为 0而分母为0时 就取倒数!】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞
运算定律练习题 (1)乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 38×25×4 42×125×8 25×17×4 (25×125)×(8×4) 49×4×5 38×125×8×3 (125×25)×4 5 ×289×2 (125×12)×8 125×(12×4) (2) 乘法交换律和结合律的变化练习 125×64 125×88 44×25 125×24 25×28 (3)加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 357+288+143 158+395+105 167+289+33 129+235+171+165 378+527+73 169+78+22 58+39+42+61 138+293+62+107 (4)乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 正用练习 (80+4)×25 (20+4)×25 (125+17)×8 25×(40+4)15×(20+3) (5)乘法分配律正用的变化练习: 36×3 25×41 39×101 125×88 201×24 (6)乘法分配律反用的练习: 34×72+34×28 35×37+65×37 85×82+85×18
(7)乘法分配律反用的变化练习: 38×29+38 75×299+75 64×199+64 35×68+68+68×64 ☆思考题:(8)其他的一些简便运算。 800÷25 6000÷125 3600÷8÷5 58×101-58 74×99 【思路导航】在除法里,被除数和除数同时乘或除以一个相同的数,商不变。 325÷25 =(325×4)÷(25×4) =1300÷100 =13 【练一练1】(1)450÷25 (2)525÷25 (3)3500÷125 (4)10000÷625 (5)49500÷900 (6)9000÷225 【经典例题二】计算25×125×4×8 【思路导航】如果先把25与4相乘,可以得到100,同时把125与8相乘,可以得到1000;再把100和1000相乘就可以了。运用了乘法交换律和结合律。 25×125×4×8 =(25×4)×(125×8) =100×1000 =100000 【练一练2】(1)125×15×8×4 (2)25×24 (3)125×16 (4)75×16 (5)125×25×32 (6)25×5×64×125 【经典例题三】计算:(1)125×34+125×66 (2)43×11+43×36+43×52+43 【思路导航】利用乘法分配律来计算这两题
8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解:原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。
3.两个重要极限 (1) 1 sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210 ) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解:原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2 x - ~ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小,且)(x f ~ )(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时, )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →,即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。
1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2=-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条 件不满足时,不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 解:原式11)32 (1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m
计算题库及参考答案 1、设A 点高程为15.023m ,欲测设设计高程为16.000m 的B 点,水准仪安置在A 、B 两点之间,读得A 尺读数a=2.340m ,B 尺读数b 为多少时,才能使尺底高程为B 点高程。 【解】水准仪的仪器高为=i H 15.023+2.23=17.363m ,则B 尺的后视读数应为 b=17.363-16=1.363m ,此时,B 尺零点的高程为16m 。 2、在1∶2000地形图上,量得一段距离d =23.2cm ,其测量中误差=d m ±0.1cm ,求该段距离的实地长度 D 及中误差D m 。 【解】==dM D 23.2×2000=464m ,==d D Mm m 2000×0.1=200cm=2m 。 3、已知图中AB 的坐标方位角,观测了图中四个水平角,试计算边长B →1,1→2,2→3, 3→4的坐标方位角。 【解】=1B α197°15′27″+90°29′25″-180°=107°44′52″ =12α107°44′52″+106°16′32″-180°=34°01′24″ =23α34°01′24″+270°52′48″-180°=124°54′12″ =34α124°54′12″+299°35′46″ -180°=244°29′58″ 4、在同一观测条件下,对某水平角观测了五测回,观测值分别为:39°40′30″,39°40′48″,39°40′54″,39°40′42″,39°40′36″,试计算: ① 该角的算术平均值——39°40′42″; ② 一测回水平角观测中误差——±9.487″; ③ 五测回算术平均值的中误差——±4.243″。 5、在一个直角三角形中,独立丈量了两条直角边a ,b ,其中误差均为m ,试推导由a ,b 边计算所得斜边c 的中误差c m 的公式? 【解】斜边c 的计算公式为22b a c += ,全微分得 db c b da c a bdb b a ada b a d c +=+++=--2)(212)(21212 22122 应用误差传播定律得2 22 222222222m m c b a m c b m c a m c =+=+= 6、已知=AB α89°12′01″,=B x 3065.347m ,=B y 2135.265m ,坐标推算路线为B →1→2,测得坐标推算路线的右角分别为=B β32°30′12″,=1β261°06′16″,水平距离分别为=1B D 123.704m ,=12D 98.506m ,试计算1,2点的平面坐标。 【解】 1) 推算坐标方位角 =1B α89°12′01″-32°30′12″+180°=236°41′49″ =12α236°41′49″-261°06′16″+180°=155°35′33″ 2) 计算坐标增量 =?1B x 123.704×cos236°41′49″=-67.922m , =?1B y 123.704×sin236°41′49″=-103.389m 。 =?12x 98.506×cos155°35′33″=-89.702m , =?12y 98.506×sin155°35′33″=40.705m 。 3) 计算1,2点的平面坐标 图 推算支导线的坐标方位角
1、常用等价无穷小:当0x →时, sin x x :,tan x x :,arcsin x x :, 2 11cos 2 x x -:,ln(1+x)~x ,ex-1~x ,(1+x)a-1~ax ,ax-1~xlna ) 2、泰勒公式(麦克劳林公式) n n x n f x f x f f x f ! )0( !2)0()0()0()()(2+???+''+ '+≈ n x x n x x e ! 1 !2112+???+++≈ )()!12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+???++-=-- 3、洛必达法则 定理1 (洛必达法则Ⅰ)若函数)(),(x g x f 满足条件: (1) ;0)(lim ,0)(lim ==x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='') () (lim (或∞) 则 A x g x f x g x f =='') () (lim )()(lim (或∞). 定理2 (洛必达法则Ⅱ)若函数)(),(x g x f 满足条件: (1) ;)(lim ,)(lim ∞=∞=x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='') () (lim (或∞) 则 A x g x f x g x f =='') () (lim )()(lim (或∞). 4、定积分定义 定积分是用极限来定义的
数学计算题大全 1.计算 3 6)21(60tan 1)2(100+-----π 2.计算:4 31417)539(524 ---- 3.)4(31)5.01(14-÷?+-- 4.(2011上海,19,10分)计算:0(3)1 -+ . 求下列各式的值: 5 6 71122 3 8.计算(本题6分) (1)03220113)21 (++-- (2)23991012322?-? 10. ?? ? ??-÷??? ??-+6016512743 11.计算:(1)- (2)计算 12.418123+- 13.? ? 14..x x x x 3)1246(÷-
15.计算:61)2131()3(2÷-+-; 16.化简 20)21()25(293 6318-+-+-+- 17.计算: (1))3 127(12+- (2)()()6618332÷-+- 18.()24 335274158.0--+??? ??+-??? ?? --- 19.计算:11 12()|32|43 ---+- 20.计算:()()1 020*********π-??---+-?? ???。 21. . 计算 22.112812623 23.232)53)(53)+ 评卷人 得分 六、新添加的题型
参考答案 1.解=1-|1-3|-2+23 =1+1-3-2+23 =3 【解析】略 2.5 【解析】原式=14-9=5 3.8 7- 【解析】解:)4(31)5.01(14-÷? +-- ?? ? ??-??- -=4131231 811+-= 87-= 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的。注意:4 1-底数是4,有小数又有分数时,一般都化成分数再进行计算。 4.0(3)1 -+=11--. 【解析】略 5.3 6.4 【解析】主要考查实数的运算,考查基本知识和基本的计算能力,题目简单,但易出错,计算需细心。 1、4+23 +38-=232=3+- 252=42 ?? 722 【解析】 试题分析:先化简,再合并同类二次根式即可计算出结果. 112234322232322 考点: 二次根式的运算. 8.(1)32(2)9200 【解析】(1)原式=4+27+1 =32
广东省六年级数学综合练习题及答案(一) 班级_______姓名_______分数_______ 一、直接写出得数(9分) 44÷ 1011= 0.8×0.875= 52÷(43+5 2)= 4×(0.6+1.9)= 87×86 5 = 31÷94+31+41= 7÷43×43÷7= 35×52×52×52= 145÷21 10= 二、用简便方法计算:(要写出简便过程) 43×54+53÷34 105×(31+51-7 1) 83×45+125%+0.625×1.25 127×118×14 3 三、脱式计算:(16分) 116÷[52+(1-1110)] 32-(65-43)÷8 3 [10 (5+ 125×2.4) ]÷201 32 ×(169-41)+31×16 5
四、解方程。(4分) X ×75%-21=4 52:X =5 4 :60 五、文字题:(6分) ① 一个数的125比87少3 2 ,这个数是多少?(用方程解) ② 43除89的商,减去43的7 2 ,差是多少? 六、判断题。(4分,对的打“√”,错的打“×”) 1.把实际长度扩大4000倍后画在图纸上,比例尺是1:4000。 ( ) 2.一个铁圆柱体熔化后可以铸成三个和它等底等高的圆锥体。 ( ) 3.把10克的糖溶解在100克水中,糖占糖水的10%。 ( )
4.食堂有大米 53吨,吃去51后,还剩下5 2 吨。 ( ) 七、选择题。(5分,把正确答案的序号填在括号里) 1.一份稿件,小丽需12分钟打完,小华需16分钟。小丽与小华工作效率的最简比是( )。 ① 12 :16 ② 16 :12 ③ 4 :3 ④ 121 :16 1 2.某工厂原来产品有 601是废品,用新的机器后能减少损失5 1 ,现在废品占产品的( )。 ① 54 ② 121 ③ 75 1 ④ 3001 3.一个圆柱体的侧面积展开后是正方形,这个圆柱体的直径与高的比是( )。 ① 1 :1 ② 1 :π ③ 2π :1 4.把6升水倒入正方体形状的容器里,水的高度和容器底面积( )。 ① 成正比例 ② 成反比例 ③ 不成比例 5.周长相等的长方形、圆、正方形,( )的面积最大。 ① 大于 ② 等于 ③ 小于。 八、填空题:(20分) ⑴学校气象小组绘制统计图,公布一周每天平均气温的高低和变化情况,应选用( )统计图。 ⑵ 9 :( )=0.45=( )%=27 :( ) ⑶一个长方体的高减少2厘米,成为一个正方体,表面积减少48平方厘米,这个正方体的体积是( )立方厘米。 ⑷甲圆的周长是乙圆周长的3倍,甲圆的面积是乙圆面积的( )倍。 ⑸甲数=2×3×3,乙数=2×2×3×5,甲乙两数的最大公约数是( ),最小公倍数是( )。 ⑹一堆沙子重 49吨,剩下的是用去的54 ,剩下( )吨。 ⑺李师傅21小时完成了一批零件的7 2 ,他平均每小时完成这批零件的(―――),照这样计算,他 ( )小时可以完成这批零件。 ⑻把一个1立方分米的正方体木料,削成一个最大的圆柱,要削去的体积是( )。 ⑼六1班今天出勤38人,缺勤2人,六1班的出勤率是( )。 ⑽李洪买1500元的国家建设债券,定期3年,如果年利率是2.98%,到期时他可以获得本金和利息一共( )元。