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(非常好)等差等比数列基础知识点以及练习题(含答案)

2013一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；

2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2

)

1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=

②等比数列：1°.定义若数列q a a a n

n n =+1

}{满足

（常数）

，则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1

n k n n q

a q

a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)

1(111≠--=--=

q q

q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：

①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a Λ

1°.若}{n a 是等差数列，则;23121Λ=+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121Λ=?=?=?--n n n a a a a a a

②中项及性质：

1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2

a A +=

2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质：

1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n

n k k

a a 1

2131

2,,则

组成公差为n 2d 的等差数列；

2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n

k n

n k n

n k k

a a 1

2,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为

偶数时这个结论不成立）

⑤若}{n a 是等比数列，

则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,,ΛΛΛ++++组成公比这2

n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,

1°.若n 为奇数，则,,:(2

1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶

数项的和）；

2°.若n 为偶数，则.2

S S =

-奇偶（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或

，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,33

aq aq q a q

a aq aq aq a ±±或

”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：

（Ⅰ）已知

b a 1

,1,1成等差数列，求证：（1）c b a b a c a c b +++,

,成等差数列；（2）2

,2,2b

c b b a ---成等比数列.

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

2,2,2,

)2(4)(2)2)(2)(2(;

,,.)(2)()(2)()1(),(222112222

2成等比数列成等差数列b

c b b a b

b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b

c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=

+++=++++=?=+?=+ΘΘ

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.

（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 ① ②

①

2128，求项数n.

[解析]设公比为242

1281024

,142531==-n n a a a a a a a q ΛΛΘ

)1(2

11=??-n q

.7,2

25,2)2()1(,2)(2

)1(2212810242

352

353211235321==∴

==??=-+??=?=-++n n q a n q a a a a a n

n n n 得代入得将而ΛΛ

（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列Λ

求数列.}{项和的前n k n

[解析],,,,1712

51751a a a a a a ?=∴成等比数列Θ

131

32}{,

132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111

111

115111121--=---?=-?=-+=-+=?=?=∴=+==

∴=∴≠=-?+?=+?---n n S n k k d k d d k a a d a a a d

a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列Θ

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a －d ,a ,a +d ，则有

338

,926,9250,10,2,9

10,388,0643231680

3232))(()4()32)((22

22或原三数为或得或∴===∴=+-???

???+==-+??????+-=-=++-a d d d d d a a d d d a d a a a d a d a

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,

①②

①，②

?=+=-????=+=-∴+<-+-?=?==+-?=+?∈=++++-+-∴*25

21251,,,

2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与ΘΘ

解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）

（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在

等差数列等比数列

?a n -a n-1=d (定义) ?2a n =a n-1+a n+1（等差中项） ?a n =a m +(n-m)d （通项公式）

?m+n=p+q a m +a n =a p +a q （通项公式） ?S 1=a 1 ?a n =S n -S n-1

?a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2…(在等差数列中，首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和)[e.g.? a 7+a 8=a 1+a 14?2a 10=a 5+a 15]

?S n =

?S 2n-1=(2n-1)a n

? S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,…, S kn -S (k-1)n 成等差数

列,公差d=n 2d

?=q (定义)

?a n 2=a n-1a n+1 （等差中项） ?a n =a m q n-m （通项公式） ?m+n=p+q a m a n =a p a q （通项公式） ?S 1=a 1 ?a n =S n -S n-1

?S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ,…, S kn -S (k-1)n 成等比数列，

q=q n

2.、在等差数列

{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）

（A ）13+=n a n

（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a

3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则

x a +的值为（）（A ）

（B ）2- （C ）2（D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，

y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）

（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）

（A ）22-=n a n

（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2

6、已知))((4)(2z y y x x z

--=-，则（）

（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ）

z y x 1,1,1成等差数列（D ）z

y x 1

,1,1成等比数列 7、数列

{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

8、数列1

?,16

7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）12

12+--n n n （D ）212112

+--+n n n

9、若两个等差数列

{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=

n n B A n

，则

5135b b a a ++的值为（）

（A ）

（B ）

（C ）

2019（D ）8

10、已知数列

{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）

（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60

11、已知数列

{}n a 的通项公式5+=n a n

为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列

的前n 项和为（）

（A ）2)133(+n n （B ）53+n

（C ）23103-+n n （D ）2

31031-++n n

12、下列命题中是真命题的是( )

A ．数列

{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n

+=(0≠p )

B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n

++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C ．数列

{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n

ab a

D ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n

+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =

14、已知等差数列

{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18

621751a a a a a a ++++=

15、已知数列

{}n a 满足n n

a S 4

1+=,则n a =

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为一、解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n

b a 是公比为q 的等比数列，46,10,132

1===b b b ，求公比q 及n b 。

18、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等，且都等于d )1,0(≠>d d ,11b a = ，333b a =,55

5b a =,求n n b a ,。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知{}n a 为等比数列，324202,3

a a a =+=，求{}n a 的通项式。

21、数列

{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列

{}n a 的通项公式；

（II ）若数列

{}n b 满足1

1114.4...4(1)()n

b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；

数列综合题

一、选择题

二、填空题 13.

251+14. 292615. n

1(34-16. ±63 三、解答题

17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d

由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2

18.∴a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 ,∴a 1(1-3d 2)=-2d ① Θa 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②

②①,得24

3151d d --=2，∴d 2=1或d 2=5

1,由题意，d =55,a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1)d =55(n -6) b n =a 1

d n -1=-5·(55)n -1 19.设这四个数为

a aq aq a q

-2,,, 则??

???=-++=?36)3(216·a aq aq a aq a q a

②① 由①，得a 3=216,a =6 ③ ③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18 20.解: 设等比数列{a n }的公比为q , 则q ≠0, a 2=a 3q = 2

q , a 4=a 3q =2q

所以 2q + 2q =203 , 解得q 1=1

, q 2= 3,

当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183n －1 = 2×33－

n .

当q =3时, a 1= 29 , 所以a n =29

×3n －1=2×3n －

21.解：(I)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得

()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公差为d

由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===

由题意可得()()()2

515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴()

213222

n n n T n n n -=+

?=+ 22（I ）：*

121(),n n a a n N +=+∈Q

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=

即 2*

21().n a n N =-∈

（II ）证法一：121

44 (4)

(1).n n b b b b n a ---=+Q

12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,

n n n b nb +--+=③

21(1)20.n n nb n b ++-++=④

④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=

即 2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列。

高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)之欧阳数创编

为首项、ak为已知的第k项， an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时， Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-

S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法： a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个

等差、等比数列知识点总结

一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122，， 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数）三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义： q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ，则四、求数列}{n a 的最大的方法： 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法： 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。例：已知数列}{n a 的通项公式为：n n n n a 10) 1(9+=，求数列}{n a 的最大项。

等差等比数列基础练习题

针对练习A1：等差数列一、填空题 1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。二、选择题 1. 一架飞机起飞时，第一秒滑跑 2.3米，以后每秒比前一秒多滑跑4.6米，离地的前一秒滑跑66.7米，则滑跑的时间一共是（） A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ c ） A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（A ） A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于（） A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（） A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+．求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差和积差商系数指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和：前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推导过程：叠加法推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则组成公差为n 2d 的等差数列；

高中数学数列公式大全很齐全哟

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一、数列基本公式： 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系：a n = 2、等差数列的通项公式：a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n 是关于n的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n =S n = S n = 当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1 ≠0）， S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项，a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n =S n =

三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n }中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,a q；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,a q,a q3(为什么？)

(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案

等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题 1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（） A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（） A. B. C. D. 3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（） A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则 a2+a1007+a2012=（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______． 4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______． 5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ． 6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ． 7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数，记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，，猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ，所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

等差等比数列基础练习题一

等差数列练习题一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、 -101 C、101 D、-89 2．等差数列{a n}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为（） A、4 B、5 C、 6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1+a7=42， a10-a3=21，则前10项的S10等于（） A、 720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（） A、 B、 C、或 1 D、 6、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{C n}，其通项公式为（） A、 C n=4n-3 B、 C n=8n-1 C、C n=4n-5 D、C n=8n-9 7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（） A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列{a n+b n}的前100项和为（） A、 0 B、 100 C、10000 D、505000

二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n=m，a n+m=0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。 11．在等差数列{a n}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到 a30的和是 ______ 。 12．已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。三、解答题 13．已知等差数列{a n}的公差d=，前100项的和S100=145 求： a1+a3+a5+……+a99的值。 14．已知等差数列{a n}的首项为a，记 (1)求证：{b n}是等差数列 (2)已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为 3 ：2，求{b n}的公差。

高中数列基本公式大全

一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、 a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时， a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n= S n= S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式： a n= a1 q n-1a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n= S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 11、{a n}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列中：（1）若项数为，则（2）若数为则，， 14. 在等比数列中：

等差数列、等比数列基础题

等差、等比数列一、选择题： 1.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.12 D.2 2、在等比数列{n a }中，44a =，则26a a ?等于（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3、在等比数列{n a }中，333S a =，则其公比q 的值为（） A. 12- B. 12 C. 1或12- D.1-或12 4.已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 5、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（） A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 6、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{}n a 的前7项的和为（） A.63 B.64 C.127 D.128 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于 A ．1 B 53 C.- 2 D 3 8、设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S 等于（） A.2 B.4 C.215 D.2 17 9、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（） A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( ) A. 52 B. 7 C. 6 D. 42 二、填空题： 11、已知{}n a 是等比数列，22=a ，434=-a a ，则此数列的公比=q _________； 12、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则=k _________； 13、若数列{}n a 的前n 项和n S a n -=3，数列{}n a 为等比数列，则实数a 的值是_________；

数列公式汇总

10 解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,3 2 1 n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：

(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案.doc

等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题 1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，，若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 2013 ），则 S 的值为（ A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1= ， a 1= ，则 a 2017=（） A. B. C. D. 3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为（） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4. 已知正项数列 { a n } 满足，若 a 1=1，则 a 10= （） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5. 若数列 {a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6. 已知等差数列 { a n n 6 3 7 ） } 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（ A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2 -10x+16=0 两根，则 a 2+a 1007+a 2012=（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，则 k=（） A.2 B.3 C.4 D.5

9.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______． 4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n =______． 5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n = } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N ______ ． 6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ． 7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

数列公式汇总

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n 项和【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】 1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

(完整版)高考等差等比数列知识点总结

高考数列知识点等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = + 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数） 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列 7.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 *n N ∈。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当，，001<>d a 由?? ?≤≥+0 1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。即当，，001>