2015 年江苏省高考数学试卷
一、填空题
1. 已知集合
A 1,2,3 ,
B 2,4,5 ,则集合 A U B 中元素的个数为 _______.
2. 已知一组数据 4, 6, 5, 8,7, 6,那么这组数据的平均数为 ________.
3. 设复数 z 满足 z
2
3 4i ( i 是虚数单位),则 z 的模为 _______.
4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果
S 为 ________.
5. 袋中有形状、大小都相同的4 只球,其中 1 只白球, 1 只红球, 2 只黄球,从中一次随机 摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 ________.
6. 已知向量
______.
r
2,1 r
1, 2 ,若
r r
,则 m-n 的值为
a , a
ma
,
R
nb 9 8 mn
7. 不等式 2
x 2
x 4 的解集为 ________.
8. 已知 tan
2 ,
tan
1
,则 tan 的值为 _______.
7
9. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,
但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,
则
新的底面半径为
。
10. 在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R) 相切
的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。
11. 数列 { a n } 满 足 a 1
1 ,且 a n 1 a n n 1 ( n
N *
),则数 列 { 1
} 的前 10 项 和
a n
为
。
12. 在平面直角坐标系
xOy 中, P 为双曲线 x 2 y 2 1 右支上的一个动点。若点
P 到直线
x y 1 0 的距离对 c 恒成立,则是实数
c 的最大值为
。
13. 已知函数 f ( x)
| ln x |, g( x)
0,0 x 1
,则方程 | f (x) g( x) | 1 实根的个
| x 2 4 | 2, x
1
数为
。
(cos
k
, sin
k
cos
k
)( k
0,1,2,
,12) , 则
12
14.
设 向 量
a k
(a k a k 1 ) 的 值
6 6 6
k 0
为 。
15.在 V ABC 中,已知 AB2, AC 3, A 60o.
(1)求 BC的长;(2)求sin2C 的值。
16. 如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,已知 AC BC , BC CC1.设 AB 1的中点为D,
B1C BC1 E.
求证:( 1)DE / /平面AACC
11
(2)BC1 AB1
17.(本小题满分 14 分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连
接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为 l ,如图所示, M, N 为 C 的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和 40 千米,点 N 到l1,l2的距离分别为20 千米和千米,以l1,l2所在的直线分别为x,y
轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线 C 符合函数y a(其中 a, b 为常数)模型 .
x2b
(I)求 a, b 的值;
(I I )设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点, P 的横坐标为 t.
①请写出公路l 长度的函数解析式 f t ,并写出其定义域;
②当 t 为何值时,公路l 的长度最短求出最短长度.
18. (本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x2y2 1 a b 0 的离心率为2
,且右
a2b22
焦点 F 到左准线l 的距离为 3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点,线段 AB的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若PC=2AB,求直线 AB的方程 .
19. 已知函数 f (x) x3ax2b(a,b R) 。
(1)试讨论 f (x) 的单调性;
(2)若 b
c a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取
值范围恰好是 (
, 3) (1, 3 ) ( 3
, ) ,求 c 的值。
2 2
20. 设 a , a , a , a 是各项为正数且公差为 d
(d 0)
的等差数列
1 2
34
( 1)证明: 2a 1 , 2a 2 , 2a 3 , 2a 4 依次成等比数列
( 2)是否存在 a 1 , d ,使得 a 1, a 2 2 , a 3 3, a 4 4 依次成等比数列,并说明理由
( 3)是否存在 a 1 ,d 及正整数 n, k ,使得 a 1n , a 2 n k , a 3 n 3k , a 4n 5k 依次成等比数列,说明理由
附加题
21、(选择题)本题包括
A 、
B 、
C 、
D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,
若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A 、
选修 4-1 :几何证明选讲
(本小题满分
10 分)
如图,在
ABC 中,
AB
AC ,
ABC 的外接圆圆
O 的
弦
AE 交
BC 于点
D
求证:
ABD
AEB
B 、 选修 4-2 :矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
已知 x, y
1 x 1
2 的一个特征向量,矩阵
R ,向量
是矩阵 A
的属性特征值
1
y
A 以及它的另一个特征值。
C.[ 选修 4-4 :坐标系与参数方程 ]
已知圆 C 的极坐标方程为
2
2 2 sin() 4 0 ,求圆 C 的半径 .
4
D .[ 选修 4-5 :不等式选讲 ]
解不等式 x | 2x 3| 3
22.如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知 PA 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形,ABC BAD, PA AD 2, AB BC1
2
(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值;
(2)点 Q是线段 BP上的动点,当直线CQ与 DP所成角最小时,求线段BQ的长
23. 已知集合X{1,2,3}, Y n{1,2,3,ggg, n}( n N * ) ,设
S n{( a, b) | a整除 b或
a, a X ,b Y n},令 f (n) 表示集合S n所含元素个数.
除
(1)写出f (6)的值;
(2)当 n 6 时,写出 f ( n)的表达式,并用数学归纳法证明。