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正确理解_泊松分布_通俗解释

正确理解_泊松分布_通俗解释
正确理解_泊松分布_通俗解释

很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事,至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试,那么我们大可停留在“只会做题”的阶段,因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目,因为那样一来卷子就变得不容易批改,大部分考试都会出一些客观题,比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西,那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布?”、“泊松分布的物理意义是什么?”这样的“哲学”问题。

如果我们要向一个石器时代的人解释什么是,我们一定会说:“是一种机器,两个距离很远的人可以通过它进行交谈”,而不会说:“在 1876 年由贝尔发明,一台由几个部分构成……”(泊松分布在 1876 年由泊松提出,泊松分布的公式是……)所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛?”

泊松分布最常见的一个应用就是,它作为了排队论的一个输入。比如在一段时间t(比如 1 个小时)来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数(比如一直是 200 人),而应该符合某种随机规律:假如在 1 个小时来 200 个学生的概率是 10%,来 180 个学生的概率是20%……一般认为,这种随机规律服从的就是泊松分布。

这当然只是形象化的理解什么是泊松分布,若要公式化定义,那就是:若随机变量X 只取非负整数值0,1,2,..., 且其概率分布服

从则随机变量X 的分布称为泊松分布,记作P(λ)。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ,它既是泊松分布的均值,也是泊松分布的方差。生活中,当一个随机事件,例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。(泊松分布图可能长这样——)

在上文中已经提到了,泊松分布的均值和方差都是λ,如何推导的呢?看下图:

其实泊松分布在日常中还是很好辨别的,因为他有一个累计的过程。曾看到一篇用泊松分布来分析美国治安的例子,引来给大家看看:

美国枪击案假定它们满足"泊松分布"的三个条件:

(1)枪击案是小概率事件。

(2)枪击案是独立的,不会互相影响。

(3)枪击案的发生概率是稳定的。

显然,第三个条件是关键。如果成立,就说明美国的治安没有恶化;如果不成立,就说明枪击案的发生概率不稳定,正在提高,美国治安恶化。根据资料,

1982--2012年枪击案的分布情况如下:

计算得到,平均每年发生2起枪击案,所以λ = 2 。

上图中,蓝色的条形柱是实际的观察值,红色的虚线是理论的预期值。可以看到,观察值与期望值还是相当接近的。

我们用"卡方检验",检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。卡方统计量= Σ[(观察值-期望值)^2/期望值]

计算得到,卡方统计量等于9.82。查表后得到,置信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。因此,卡方统计量小于临界值,这表明枪击案的观察值与期望值之间没有显著差异。所以,可以接受"发生枪击案的概率是稳定的"假设,也就是说,从统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。

但是,也必须看到,卡方统计量9.82离临界值很接近,p-value只有0.18。也就是说,对于"美国治安没有恶化"的结论,我们只有82%的把握,还有18%的可能是我们错了,美国治安实际上正在恶化。因此,这就需要看今后两年中,是否还有大量枪击案发生。如果确实发生了,泊松分布就不成立了。

社会统计学习题集--二项分布与正态分布.

第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定 第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知,对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验·关于总体成数的检验一、填空 1.不论总体是否服从正态分布,只要样本容量n足够大,样本平均数的抽样分布就趋于(正态)分布。 2.统计检验时,被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率,叫做检验的( 显著性水平,它决定了否定域的大小。 3.假设检验中若其他条件不变,显著性水平的取值越小,接受原假设的可能性越(大),原假设为真而被拒绝的概率越(小)。 4.二项分布的正态近似法,即以将B(x;n,p视为(( np ,npq查表进行计算。 5.已知连续型随机变量~(0,1,若概率P{≥}=0.10,则常数= ()。 6.已知连续型随机变量~(2,9,函数值,则概率=()。 二、单项选择

1.关于学生t分布,下面哪种说法不正确( B )。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差 2.二项分布的数学期望为( C )。 A n(1-np B np(1- p C np D n(1- p。 3.处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为( D )。 A 大于0.5 B -0.5 C 1 D 0.5。 4.假设检验的基本思想可用( C )来解释。 A 中心极限定理 B 置信区间 C 小概率事件 D 正态分布的性质 5.成数与成数方差的关系是(D)。 A 成数的数值越接近0,成数的方差越大 B 成数的数值越接近0.3,成数的方差越大 C 成数的数值越接近1,成数的方差越大 D 成数的数值越接近0.5,成数的方差越大 6.在统计检验中,那些不大可能的结果称为( D 。如果这类结果真的发生了, 我们将否定假设。 A 检验统计量 B 显著性水平 C 零假设 D 否定域 7.对于大样本双侧检验,如果根据显著性水平查正态分布表得Zα/2=1.96,则当零假设被否定时,犯第一类错误的概率是( C 。 A 20% B 10% C 5% D.1% 8.关于二项分布,下面不正确的描述是( A )。 A 它为连续型随机变量的分布;

泊松分布的概念及表和查表方法

目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例

泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为: 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧20,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算。 事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位(在早期学界认为人类行为是服从泊松分布,2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性)。 应用示例

概率论与数理统计:泊松分布

泊松分布 教学目标: 1.了解泊松分布与二项分布的关系。. 2. 理解二项分布模型,并能应用泊松分布解决实际问题。 教学重难点:理解泊松分布定理,并能应用泊松分布解决实际问题。 一、类比关联: 贝努利试验(伯努利试验) :一个试验E 只有两个可能结果:每次试验成功的概率都是p ,失败的概率都是q=1-p . 则称E 为贝努利(伯努利)试验或贝努利(伯努利)概型。 而人们所关心的问题是:事件A 恰好发生k 次的概率是多少?若在n 重贝努利试验中,事件A 发生的次数为X ,则X 的可能的取值为0, 1, …, n 。 二项分布、两点分布(0—1分布) 如果离散型随机变量X 可能取的值为0, 1, 2, …, n 。 且其分布律为 则称离散型随机变量X 服从二项分布,记为 特别地,当n =1时, 即为 (0--1)分布。 二、新知导入 引例:某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率。 解:将一次射击看成是一次试验(贝努利试验),设击中的次数为X ,则 X 的分布律为 所以所求概率为 ).02.0,400(~b X )10(<

计算不方便,于是有如下定理解决了这类计算问题。 定理(泊松定理): 对二项分布 B (n ,p ), 当 n 充分大, p 又很小时,对任意固定的非负整数 k ,有近似公式 ,2,1,0, !)1(lim ==---∞→k k e p p C k k n k k n n λλ (泊松分布)设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2,…, 概率分布为: 其中λ>0为常数,则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,记为 X~P (λ)。 说明:二项分布的逼近分布就是泊松分布)(λP , 其中np ≈λ。 泊松定理表明,泊松分布是二项分布的极限分布,当n 很大,p 很小时,二项分布就可近似地看成是参数λ=np 的泊松分布,如下图所示的就是在10重贝努力试验中,红色折线表示的二项分布和对应的蓝色折线表示泊松分布的概率分布图像,大家会发现两者近似程度很高。 三、实际应用 例1.某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X 服从参数 λ=3 的泊松分布。求: (1) 一分钟内恰好收到3次寻呼的概率; 9972 .0=3991140098.002.0C -4000040098.002.01C -=}1{}0{1=-=-=X P X P }2{≥X P {}, 0, 1, 2, . !k P X k e k k λλ-===

二项分布与正态分布 练习题

二项分布与正态分布 1.用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数,且每次生成每个实数都是等可能的,若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都大于1 3 的概率为( ) A.1 27 B.23 C. 827 D.49 解析:选C 由题意可得,用该电脑生成1个实数,且这个实数大于1 3的概率为P = 1-13=23,则用该电脑连续生成3个实数,这3个实数都大于13的概率为? ????233=8 27.故选 C. 2.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和3 4,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中 恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 解析:选D 根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是23×? ????1-34+34×? ????1-23=5 12 ,故选D. 3.(2018·厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B.35 C.18125 D.54125 解析:选D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率为35,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P =C 23? ????352? ????1-35= 54 125 . 4.(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( ) A.2 9 B.49

C.23 D.79 解析:选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 3 3=18种情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:(1)乙跑第一棒,共有A 33=6种情况;(2)乙不跑第一棒,共有A 12·A 12·A 2 2=8 种情况,∴甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为6+818=79 .故选D. 5.(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100,a 2)(a >0),试卷满分150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的1 10,则此次数学考试成绩在100 分到110分之间的人数约为( ) A .400 B .500 C .600 D .800 解析:选A 由题意得,P (X ≤90)=P (X ≥110)=110,所以P (90≤X ≤110)=1-2× 1 10=45,所以P (100≤X ≤110)=2 5,所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×2 5 =400.故选A. 6.(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为1 5, 则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 解析:选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ,“第二次闭合后出现红灯”为事件B ,则由题意可得P (A )=12,P (AB )=1 5,则在第一次闭合后出现红灯的条件 下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )=P AB P A =1 512 =25 .故选C. 7.(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ,且X ~ N (800,502),则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )

泊松分布

概率论大作业 --泊松分布 班级:11011001班 姓名:郭敏 学号:2010302612 2013年1月10日

摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 泊松分布在现实生活中应用非常广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。在某些函数关系泊松分布起着一种重要作用,例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质以及基本相关知识, 并讨论了这些知识在实际生活中的重要作用。 关键词:泊松分布性质及其应用、二项分布、泊松过程

近数十年来,泊松分布日益显示其重要性,成了了解概率论中最重要的几个分布之一。 一、泊松分布的由来 在历史上泊松分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入。 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。又设0>=λn np 是常数, 则{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: {}()()n n k n k k n k n n n k n n k n n k k n n n k x P ?--??? ??-??????? ??? ??--????? ??-???? ? ?-?= ? ? ? ??-??? ??+--==λλλλ11121111!1!11 显然,当k = 0 时,故λ -n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有 λλ-?-→? ? ? ??-→??? ??--????? ??-???? ??-?e n n k n n n n k n 1,11121111 从而{}λ λ-→ =e k k x P k n 1 ,故{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 在应用中,当p 相当小时(一般当p<=0.1)时,用下面近似公式 np k e k np p n k b -≈! )(),;( 对于不同λ值得泊松分布图:

概率论与数理统计课程报告:泊松分布及其在实际中的应用

泊松分布及其在实际中的应用 摘要:本文从泊松分布的定义和基本性质出发,举例讨论了泊松分布在实际中的重要应用。 关键字:泊松分布;应用;运筹学;分子生物学;核衰变 泊松分布是法国数学家泊松于1837年引入的,是概率论中的几大重要分布之一。作为一种常见的离散型随机变量的分布,其在实际中有着非常广泛的应用。 1泊松分布的定义及基本知识 1.1定义: (1)若随机变量X 的分布列为 ), ?=>= =-,2,1,0(0,! )(k k e k X P k λλλ 则称X 服从参数为λ的泊松分布,并用记号X~P(λ)表示。 (2)泊松流: 随机质点流:随机现象中源源不断出现的随机质点构成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可以看作泊松流。 1.2有关泊松分布的一些性质 (1)满足分布列的两个性质:P(X=k)≥0(k=0,1,2,…), 且有 1! ! )(0 =?====-∞ =-∞=∞ =-∑∑∑ λλλ λ λλe e k e k e k X P k k k o k k . (2)若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的期望和方差分别为:E (X)=λ; D(X)=λ. (3)以n ,p 为参数的二项分布,当n →∞,p →0时,使得np=λ保持为正常数,则 λλ--→ -e k p p C k k n k k n ! ) 1(对于k=0,1,2,…一致成立。 由如上定理的条件λ=np 知,当n 很大时,p 很小时,有下面的近似公式 λλ--→ -=e k p p C k P k k n k k n n ! ) 1()( 2泊松分布的应用 对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程, 都可以很自然的应用于泊松分布的理论。在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ,减少了对参数的确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。 以下具体举例说明泊松分布在实际中的重要应用。 (1)泊松分布在经济生活中的应用: 泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式,尤其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订单的规划,道路交通信号灯的设计,生产计划的安排,海港发

正确理解 泊松分布 通俗解释

很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事,至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试,那么我们大可停留在“只会做题”的阶段,因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目,因为那样一来卷子就变得不容易批改,大部分考试都会出一些客观题,比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西,那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布?”、“泊松分布的物理意义是什么?”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话,我们一定会说:“电话是一种机器,两个距离很远的人可以通过它进行交谈”,而不会说:“电话在1876 年由贝尔发明,一台电话由几个部分构成……”(泊松分布在1876 年由泊松提出,泊松分布的公式是……)所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛?” 泊松分布最常见的一个应用就是,它作为了排队论的一个输入。比如在一段时间t(比如 1 个小时)内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数(比如一直是200 人),而应该符合某种随机规律:假如在 1 个小时内来200 个学生的概率是10%,来180 个学生的概率是20%……一般认为,这种随机规律服从的就是泊松分布。 这当然只是形象化的理解什么是泊松分布,若要公式化定义,那就是:若随机变量X 只取非负整数值0,1,2,..., 且其概率分布服 从则随机变量X 的分布称为泊松分布,记作P(λ)。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ,它既是泊松分布的均值,也是泊松分布的方差。生活中,当一个随机事件,例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从

[兰州大学]《概率论与数理统计》19秋学期考试在线考核试题(参考)

【奥鹏】-[兰州大学]《概率论与数理统计》19秋学期考试在线考核试题试卷总分:100 得分:100 第1题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:D 第2题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:D 第3题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:B 第4题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:A 第5题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:A 第6题, A、(A)

C、(C) D、(D) 正确答案:B 第7题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:C 第8题,已知随机变量X的数学期望E(X)存在,则下列等式中不恒成立的是() A、E[E(X)]=E(X) B、E[X+E(X)]=2E(X) C、E[X-E(X)]=0 D、E(X2)=[E(X)]2 正确答案:D 第9题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:C 第10题, A、(A) B、(B) C、(C) D、(D) 正确答案:D 第11题, A、正确 B、错误 正确答案:A

A、正确 B、错误 正确答案:A 第13题, A、正确 B、错误 正确答案:A 第14题, A、正确 B、错误 正确答案:A 第15题, A、正确 B、错误 正确答案:A 第16题,箱子中有一号袋1个,二号袋2个.一号袋中装1个红球,2个黄球,二号袋中装2个红球,1个黄球,今从箱子中任取一袋,从中任取一球,结果为红球,求这个红球是从一号袋中取得的概率. 正确答案: 第17题, 正确答案: 第18题,古典概型的定义 正确答案: 第19题,分布函数 正确答案: 第20题,随机试验的特征 正确答案:

泊松分布及其应用研究

泊松分布及其应用研究 Prepared on 22 November 2020

湖南科技大学 信息与电气工程学院 《课程论文》 题目:泊松分布及其应用研究 专业:通信工程 班级: 13级3班 姓名:黄夏妮 学号: 目录 一、摘要 (1) 二、泊松分布的概念 (2) 三、计数过程为广义的泊松过程 (4) 四、泊松分布及泊松分布增量 (5) 五、泊松分布的特征 (5) 六、泊松分布的应用 (6) 七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8) 八、参考文献 (12)

摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

二、泊松分布的概念: 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。 则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ~ D(λ) 。 定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。 主要结论: 定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。 证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 则()()λλλλλλλλ λ=?=-==- ∞ =--∞ =-∑∑ e e k e k e k X E k k k k 11 0!1! 从而()() () λλλλλλλ λ +=-+-==-∞ =-∞ =--∞ =∑ ∑ ∑2122 2 2 !1!2! e k e k e k k X E k k k k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+== 定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。 又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞ →==e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: 显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有

GGGCGGN的正确理解

负责范从庆 GLF图纸标注解释 一、目的:规范公司技术员,检验员,操作员对客户格兰富(GLF)图纸的理解。 二、适用范围:适用于公司对GLF图纸的理解。 三、目录 1、形位公差符号 2、详细解释图纸上的部分符号 3、图纸上棱角的理解 四、内容 4.1 形位公差符号

负责范从庆序号分类英文描述代号中文 1 Local linear size 局部线性尺寸Two-point size LP 对应点尺寸 2 Local size defined by a sphere LS 球面局部尺寸 3 Global linear size 全局线性尺寸Least squares size GG 最小二乘法尺寸 4 Maximum inscribed size GX 最大内切圆尺寸 5 Minimum circumscribed size GN 最小外接圆尺寸 6 Minimum Zone size GC 最小区域法 7 Calculation size 计算尺寸Circumference diameter size CC 周长直径尺寸 8 Area diameter size CA 面积直径尺寸 9 Calculated volume size CV 体积直径尺寸

负责范从庆 10 Rank order size 顺序尺寸 (对局部和全局尺 寸的补充) Maximum statistical size SX 最大统计尺寸 11 Minimum statistical size SN 最小统计尺寸 12 Average statistical size SA 平均统计尺寸 详细解释如下: 1.LP,对应点尺寸。这表示测量时,先在测量面取一点,然后再取对应面的点,最 后计算这两点之间的距离。游标卡尺和千分尺测量的结果即为LP结果。使用LP 的目的是要求任意一处的对应点尺寸都要符合尺寸公差要求。比如测量直径时, 表示任意一处的直径都要符合公差要求。当LP和GX(内径)或GN(外径)连用时, 相当于对尺寸有包容原则要求。 2.LS,球面局部尺寸,也就是最大内接圆尺寸。不常用。 3.GG,最小二乘法尺寸。 我们一般对直径(不管是圆或圆柱)的评定默认为最小二乘法。

二项分布与正态分布

二项分布与正态分布 [最新考纲] 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.条件概率及其性质 设A ,B 为两个事件,如果P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与事件B 相互独立. 若事件A ,B 相互独立,则P (B |A )=P (B );事件A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验,若用A i (i =1,2,…,n )表示第i 次试验结果,则 P (A 1A 2A 3…A n )=P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). (2)二项分布 在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发 生的概率为p ,则P (X =k )=C k n p k (1-p ) n -k (k =0,1,2,…,n ),此时称随机变量X 服从二项分布,记为X ~B (n ,p ),并称p 为成功概率. 4.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ,b (a

机变量X 服从正态分布,记为X ~N (μ,σ2). 函数φμ,σ(x )=,x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x =μ对称,在x =μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ-σ

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质

命名原因 泊松分布实例 泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为: 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时,就可以用泊松公式近似得计算。 事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。应用场景

在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位(在早期学界认为人类行为是服从泊松分布,2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性)。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示: 例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×106核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式: …… 是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此就意味着全部死亡的概率。 推导 泊松分布是最重要的离散分布之一,它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数,是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解

数学期望:随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个,则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0.01,取1的概率为0.9,取2的概率为0.06,取3的概率为0.03,它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个,用数学式子表示为:E(X)=1.11。 也就是说,我们用数学的方法分析了这个概率性的问题,对于每一个家庭,最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是: 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是:某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布,即平均分是80分,由正态分布的图形知x=80时的函数值最大,即随机变量在80附近取值最密集,也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x),表示概率密度):

离散型分布:二项分布、泊松分布 连续型分布:指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度,即样本含量(抽样样本含量)有关 二项分布(binomial distribution ):例子抛硬币 1、 重复试验(n 个相同试验,每次试验两种结果,每种结果概率恒定————伯努利试验) 2、 抽样分布

泊松分布的应用

泊松分布的应用

泊松分布的应用 摘要 泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词:泊松过程;泊松分布;定义;定理;应用;

一、 计数过程为广义的泊松过程 1.计数过程 设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t )( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。 将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤?=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。 2.泊松过程 计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)0 (0) N =; (3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1?+?==?+=?+λ其中常数 0>λ,称为过程)(t N 的强度。 (4)对于充分小的Δt (){}()t j t t t N P t t t P j j j ?==?+=?+∑∑∞ =∞=ο2 2 ,),( 亦即对于充分小的t ?,在()t t t ?+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。 二、 泊松分布的概念: 泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。

泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型,是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说,每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢?可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律,即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢,就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较:泊松分布 泊松过程的主要公式: 其实没多少不一样对不对?不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率,这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于,它的到达间隔序列Tn,即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布,那么这个随机过程就会更一般化,我们成为是更新过程,这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程,齐次的意思很简单,就是说过程并不依赖于初始时刻,强度函数是一个常数,从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢?这以为着随着与时间的改变,强度是会改变的,改变服从强度函数,说了这

么久,强度究竟是个什么概念?强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率,或者说快慢,泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是,在一段时间内,发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程:泊松过程我们已经知道,用描述一段时间累积发生的次数,但是如果每次发生带来的后果都是不一样的,我们怎么描述这个过程呢?比如,火车站到达的乘客是服从泊松过程的,但是每个乘客携带有不同重量的行李,我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢,这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算,因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程: 上文已经说到,更新过程作为泊松过程的推广,更具有一般性,那么在讨论更新过程时,我们更多地讨来更新函数,更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)],怎么理解呢,就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理: 这个定理是可以证明的,Fn(t)是分布函数,就是说:在t时刻,更新函数值就是在这个时刻,n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解,更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同,那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数,就可以求解该过程的更新函数了,详细的推导就不写了。扔结论出来:对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换,就得到了m(t),这就是更新函数。

你知道有多少数学知识是以“泊松”命名的

你知道有多少数学知识是以“泊松”命名的.txt24生活如海,宽容作舟,泛舟于海,方知海之宽阔;生活如山,宽容为径,循径登山,方知山之高大;生活如歌,宽容是曲,和曲而歌,方知歌之动听。你知道有多少数学知识是以“泊松”命名的? 泊松(Poisson, Simeon Denis 1781.6.21~1840.4.25)是著名的法国数学家,力学家和物理学家。泊松在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。 1781年6月21日泊松生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶,1840年4月25日卒于巴黎索镇。泊松的父亲是退役军人,退役后在村里作小职员,法国革命爆发时任村长。泊松最初奉父命学医,但他对医学并无兴趣,不久便转向数学。 1798年泊松进入巴黎综合工科学校深造,成为拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。1800年泊松毕业时因学习成绩优异,而且研究论文也很优秀,他得到拉普拉斯和拉格朗日的赏识,在拉普拉斯的大力推荐下,他被留校任教。1802年任巴黎理学院教授,1806年接替付立叶任该校教授。 决定了泊松一生道路的数学趣题 据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏:某人有12品脱啤酒一瓶(品脱是英容量单位,1品脱=0.568升),想从中倒出6品脱。但是他没有6品脱的容器,只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。怎样的倒法才能使5品脱的容器中恰好装好了6品脱啤酒?想不到的是,对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路。从此,他决心要当一位数学家。由于他的刻苦努力,他终于实现了自己的愿望。这个数学游戏有两种不同的解法,如下面的两个表所示。 第一种解法: 12 12 4 4 9 9 1 1 6 8 0 8 3 3 0 8 6 6 5 0 0 5 0 3 3 5 0 第二种解法: 12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6 8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6 5 0 0 4 4 0 5 1 1 0 5 0 泊松是法国第一流的分析学家。年仅18岁他就发表了一篇关于有限差分的论文,受到了勒让德的好评。泊松工作的特色是应用数学方法研究各种力学和物理学问题,因此他在数学和物理学两个领域都取得到丰硕的成果,作出了重要的贡献。数学家贝尔说:“泊松知道怎样做到举止非常高贵”。 泊松一生都对摆的研究非常感兴趣 泊松一生都对摆的研究非常感兴趣,他的科学生涯是从研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用开始的。直到晚年,他仍用大部分时间和精力从事摆的研究。他为什么对摆如此着迷?有一个传说,泊松小时候由于身体孱弱,他的母亲把他托给一个保姆照料,保姆一

二项分布与正态分布的特点及联系

二项分布与正态分布的特点及他们的联系 2008-05-23 09:22:10| 分类:数学|举报|字号订阅 正态分布的特点如下: 1.正态分布的形式是对称的,它的对称轴是过平均数点的垂直线,即关于x=u对称。 2.曲线在Z=0处为最高点,向左右延伸时,在正负1个标准差之内,既向下又向内弯。从正负1个标准差开始,既向下又向外弯。拐点位于正负一个标准差处,曲线两端向靠近基线处无限延伸和接近,但不相交。 3.正态分布下的面积为1,过平均数的垂直线将面积分为左右各0.50的部分。正态曲线下的每一面积都可以被看成是概率,即对应着横坐标值的随机变量出现的概率。 4.正态分布是一族分布,它随着随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。但是所有的正态分布都可以通过公式Z=(Xl—M)/S,转换成标准正态分布,即平均数为0,标准差为1的正态分布。 5.在正态分布曲线中,标准差与概率(面积)有一定的关系。 二项分布的特点如下: 1、二项分布的均值为np,方差为npq。 2、以事件A出现的次数为横坐标,以概率为纵坐标,画出二项分布的图象,可以看出: (1)、二项分布是一种离散性分布 (2)、当p=q=0.5时,图象对称;当p不等于q时,图形是偏斜的。p>q 时,呈负偏态; 3、n->∞时,趋近于正态分布N(np,npq)

一般1/2np>=5且nq>=5时,二项分布就非常接近正态分布。 二项分布函数在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限,例如,求测验猜测行为的判断标准:在选择题测验中,通过二项分布计算得出被试凭猜测答对N道以上的概率。 阅读(744)|评论(0)

学年论文浅谈泊松分布及其应用资料

本科生学年论文(设计) (级) 论文(设计)题目浅谈泊松分布及其应用 作者 分院、专业 班级 指导教师(职称) 字数 成果完成时间 杭州师范大学钱江学院教学部制

浅谈泊松分布及其应用 摘要:泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型,是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。根据泊松分布的一些性质,引出这些性质在实际生活中的重要应用。 关键词:泊松分布概念实际应用 Discuss poisson distribution and its application WuSuLing guidance teacher:QiuLiangHua Abstract: the poisson distribution as a large number of test rare event of frequence of the probability distribution of the mathematical model, it is to point to a system in running the super load caused by the failure frequency distribution form. According to some properties of poisson distribution, leads to these properties in real life important application. Keywords: poisson distribution concept practical application.

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