实变与泛函__由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理

由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理

学院：统计与数学学院 班级：09信息与计算科学

摘要：可测函数列的收敛性有很多种,如几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛等.叶果洛夫(Egoroff)定理给出了几乎处处收敛与几乎一致收敛的某种关系,黎茨(Riesz)定理给出了依测度收敛与几乎处处收敛的某种关系,那么几乎处处收敛与依测度收敛还有什么关系？本文就此问题进行证明.

关键字：叶果洛夫(Egoroff)定理、勒贝格(Lebesgue)定理、依测度收敛、几乎处处收敛

定义1 如果存在P E ?,0P μ=使在E P -上{}n f 收敛于f ,则称{}n f 几乎处处收

敛于f ,记为..

a e n f f ??→.

定义2 (1)如果0ε?>,?自然数N ,当n N >时对一切x E ∈,有|()()|n f x f x ε-<,则称{}n f 一致收敛于f .

(2)如果0δ?>,存在可测子集E E δ?使()E E δμδ-<且在E δ上n f 一致收敛于f ,则称{}n f 基本一致收敛于f 或几乎处处一致收敛于f .

定义3 如果0σ?>,成立[]lim ||0n n E f f μσ→∞

-≥=,则称{}n f 依测度收敛于f ,记

为n n f f f f μ???→或.

定理一(叶果洛夫(Egoroff)定理) 设E μ<+∞,{}n f 是E 上一列可测函数且

..e α收敛于一个..e α有限的可测函数f ,则{}n f 基本一致收敛于f ,即0δ?>,

E E δ??使()E E δμδ-<且在E δ上一致收敛于f .

定理二(叶果洛夫(Egoroff)定理的逆定理) 设{}n f 是定义在可测集E 上的一

列可测函数,且在E 上n f 基本一致收敛于f ,则在E 上必有..a e n f f ??→.

定理三(黎茨(Riesz)定理) 设{}n f 是定义在可测集E 上的一列可测函数,且在

E 上n f f ?,则存在{}n f 的子序列{}

j n f 使在E 上..()j

a e n f f j ??→→∞ 定理四(勒贝格(lebesgue)定理) 设E μ<+∞,{}n f 是定义在E 上的一列可测函

数,且在E 上..

a e n f f ??→,则n f f ?.

定理中的条件：1E μ<+∞

2{}()n f x 是E 上一列几乎处处取有限的可测函数 3lim ()()..n n f x f x a e →∞

=于E ,|()|..f x a e <+∞于E .

n f f ?的含义是：对于事先给定的无论怎样小的误差σ,使|()()|n f x f x σ-≥那些点x 的集合的测度随n 无限增大而趋于0,[]lim ()0n n E f f μσ→∞

-≥=可以用

N εσ--语言描述为0σ?>,0ε>,E 自然数(,)N σε∈当n N ≥时有

[]||n E f f μσε-≥<.

证明：由叶果洛夫(Egoroff)定理0ε?>,?可测子集E E ε?使()E E εμε-<且

{}()n f x 在E E ε-上一致收敛于()f x

由一致收敛性定义可知：对任意0σ>,?自然数N 当n N ≥时 恒有|()()|n f x f x δ-<,x E ε∈ 当 n N ≥有[]|()()|n E

f x f x E E εδ-≥?-

所以 当n N ≥有[]|()()|()n E f x f x E E εμδμε-≥≤-<

所以根据n f f ?的含义再由[]|()()|()n E f x f x E E εμδμε-≥≤-< 可得()()n f x f x ? 即n f f ?

注意：1定理E μ<+∞的条件不可少 取(0,)E =+∞,令()1f x ≡且n=1,2,3…

显然()()n f x f x →在E 上处处成立,但()0,1δ?∈有

()()||,n E f f n δ-≥=+∞,()||n E f f μδ-≥=+∞在E 上{}n f 不依测度收敛

于

f

.

2勒贝格(lebesgue)定理的逆定理不成立

取(0,1]E =并令()

()n j f x = (n=1,2,3…;j=1,2,3….) 把(){}n j f 中的函数先按n 的大小,再按j 的大小排成

(1)1()f x ,(2)1()f x ,….()1()n f x …(1)2()f x ,(2)2()f x …()2()n f x …

设()()n j f x 是这序列第N(n,j)项,即()()()n j N f x f x =

0δ?>有[]|0|=|0|n

N j E f E f μδμδ??-≥-≥≤??0

(当N →∞)时即0()N f N ?→∞ 但当0(0,1]x ?∈时,无论n 如何j ?使01(

,]22n n

j j

x -∈ 因()0()1n j f x =而()10()0n j f x +=或()

10()0n j f x -=

这就是说()0{()}n j f x 中即含有恒等于1的子列又含有等于0的子列 所以它是发散的

参考文献：实变函数与泛函分析简明教程 高等教育出版社 张晓岚编著

积分中值定理及定积分极限

第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009 智 轩 一、完整的积分中值定理包含下列全部内容 1．函数平均值 []()1b a M f f x dx b a =-? 2．第一中值定理 ()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a a b f x dx f b a ξξ?≤≤?=-?。 （教材上的描述） ()2如果函数 ()(), f x x ?在积分区间[] ,a b 上连续，且当a x b <<时，()x ?不变号，则 则()()()()b b a a a b f x x dx f x dx ξ ?ξ??≤≤?=??。 3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用） ()1若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ?单调，则 ()()()()()()00b b a a f x x dx a a f x dx b f d b x x ξξ ?ξ???≤-≤=++????。 ()2若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积， 当且当a x b <<时，()x ?单调递减（广义上），且为非负数，则 ()()()()0b a a a b f x x dx a f x dx ξ ξ???≤≤?=+??。 ()3若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ?单调递增（广义上） ，且为非负数，则 ()()()()0b b a a b f x x dx b f x dx ξ ξ???≤≤?=-??。 二、与积分有关的求极限问题 【例1】求极限1 10lim 1n n x I dx x →∞=+? 解：

第三章可测函数的知识要点与复习自测

第三章 可测函数的知识要点与复习自测 一、可测函数的定义的知识要点： ◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。 ◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。 ◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过 对值域区间作不交区间分解（即21 01 [0,]{[ ,)}[,]22 m m m m k k k m -=++∞=??+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即 2101 [0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=?≤

微积分定理归纳

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基

要特别重视六大定理

要特别重视六大定理 何松年 常言道干什么事情都要有个重点，不能眉毛胡子一把抓。同样，同学们学习每一门课程也要有个重点，学习‘实变函数’的重点就是学好六大定理。 通常说‘实变函数’三大定理，是指‘控制收敛定理’、‘Levi引理’和‘Fatou 引理’，这三个定理是‘实变函数’的核心成果，集中地体现了Lebesgue积分相对于Reimann积分的优越性，因而这三个定理是‘实变函数’中最重要的定理，三大定理之说法当之无愧！ 但是，另有三个定理在‘实变函数’中具有基本的重要性，是前述三大定理的基础，它们是‘可测集构造定理’、‘鲁津定理’和‘叶果洛夫定理’。我们不妨把上述六个定理称为‘实变函数’六大定理。学习‘实变函数’一定要重视六大定理，学习‘实变函数’差不多可以说主要地就是掌握好六大定理。 前三个定理为什么重要，容易理解，我们在此着重谈谈后三个定理为什么是很重要的。 1944年，著名数学家李特尔伍德（J. E. Littlewood, 1885—1977）曾经写过一本叫《函数论讲义》的书。书中有这样一段话：“知识的范围不像有时设想的那样大。有三条原理大致可以表达为：每个可测集几乎是有限个区间的并；每个可测函数几乎是连续的；每个可测函数的收敛序列几乎是一致收敛的。实变函数论中的大多数结果是这些原理的完全直觉的应用，而学生们掌握了这些，就等于掌握了大多数情况下实变函数理论所要求的。若可以看到由一条原理可以“很好”地证实一个命题的正确性，那么自然要问“几乎”应充分接近到怎样的程度，这个问题就可以确切地解决了。”这三个原理依次对应着三个定理：‘可测集构造定理’、‘鲁津定理’和‘叶果洛夫定理’。 Littlewood的这一番话是60多年前说的，现在读来依然感到很有意思，很重要，是画龙点睛之笔。他紧紧抓住了实函数论中三个最重要的概念，指出了可测集与有限个区间的并；可测函数与连续函数；可测函数列的几乎处处收敛与一致收敛之间的区别与联系。这三条原理不仅仅指出了如何来思考与解决新的理论中的问题的途径，而且还指出了新的理论与原有理论尽管有本质上的不同，克服了原有理论中的种种缺陷，但又与原有理论从某种意义上讲是相距不远的，指出

概率极限理论

随机微分方程基本理论 1、引言 随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。 随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。 2、基础理论和线性方程 0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1) 是由伊藤积分方程 )() ),(()),(()(0 0s dw s s x b s s x a x t x t t ??+ + = (2.2) 定义。

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σf(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中Δ Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。 勒贝格积分 将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述 定义：设f (x) 是E ∈L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈L(E) ，如果对任意ε> 0，必然存在E 的分划D，使S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε， 这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1)

即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块 上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。 求该函数覆盖的面积。 黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。 用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。 [0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度+ 无理数集的长度。 所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。 由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

第二积分中值定理

第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和

(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.

3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

Lebesgue积分和Lebesgue的理论

Lebesgue积分和Lebesgue的理论 Abrat Chen, pku 作为日志，写得比较随意，希望不会造成误导。。 一 2011年刚刚过去，当我想起自己到底在2011年收获了什么的时候，总是能够想起许多的失败的经历，而其余的收获又几乎微不足道，唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于Lebesgue的美妙理论有所了解。我真的很喜欢这个理论，或许是因为我喜欢公理化的东西，这也许可以解释我的物理的悲剧。。 整个过程持续的时间很长，从2011年的春季，那时候在看一本书，但是学得很不明白。真正有所感触，大概要到9月份，那时候在抽象测度论上还是比较磕绊，再后来，鼓起勇气在数分面试的时候想谈谈自己学习这些东西的历程和心得，逼自己把这套优美的理论能够彻底搞明白。虽然我觉得在面试的时候自己讲的不好，但是，对于自己学习这套理论来说，效果非常得好，很多没有想明白的东西终于想明白了。所以，我得到这样一种印象，学习一个东西或许可以试试用自己的语言说给身边的老师同学朋友。 我看的书是Friedman的Foundations of Modern Analysis，包含了实变和泛函的内容，关于实变的部分，组织材料的方法非常奇怪，它先将\sigma-代数，然后讲抽象的公理化的外测度（可以初步地认为外测度和测度都是长度或者面积的推广），然后是公理化的抽象的测度，接着推出的Caratheodory的定理，这条非常要紧，就是说每个外测度都可以诱导出一个测度，只不过要限制在一部分集合上，这些集合叫做可测集。什么意思呢？外测度是大的集合X（可以具体地想成是欧氏空间神马的）的所有子集都有定义的（比如欧氏空间的所有子集都有外测度），但是外测度的公理说了这么三条： 首先它是从X的幂集（X的全体子集的集合）到非负实数的映射。 （1）空集的外测度是0 （2）F是E的子集，于是F的外测度小于等于E的外测度（这条叫做单调性） （3）次可数可加性，就是说A可以写成En的并，En是集合序列（当然是可数个咯），那么A的外测度小于等于En各自的外测度之和（这个和当然是一个非负无穷级数） 这三条都是非常自然的，第三条或许会有些疑虑，其实也很自然，因为En之间可能有交集的，外测度可以想成是长度或者面积的推广，计算A的外测度的时候，这些重叠部分只被算了一次，而计算En的外测度之和的时候，它们都分别被算了，也就是说，被重复计算了，当然会大。 但是外测度有很严重的缺陷，就是，它没有可加性，就是说，我们期待着两个集合A，B不交，那么A并B的长度应该是它们长度之和。所以引入测度的公理： （1）空集的测度是0 （2）可数可加性，这个性质比刚才举的这个A和B的例子还好，现在是说En是集合列，En两两不交，那么它们的测度之和等于它们的并（这个并是不交并）的测度。

实变函数期末复习指导

实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.

1.5 可测集与可测函数(讲义)

1.5 可测集与可测函数 1.5.1 可测集与可测函数 定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且 E X E ∈= R ， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。 特别地， 当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集； 当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集. 注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。 定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ?，f 是定义在E 上的有限实函数。若对一切实数c ，集 (){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈ 都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。特别地， 当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。 定理 1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ?上的有限实函数。则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集 ()E c f d ≤< 是可测集。 证 设f 是可测函数，由于 ()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以 ()E c f d ≤<是可测集。

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

连续函数性质

§ 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。 定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。 定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x < （或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切 0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。 注： 在具体应用局部保号性时，常取01 ()2 r f x =， 则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01 ()()2 f x f x > 。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,, f f g f g g ±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合 函数g f 在点0x 连续。 证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有 0|()()|g u g u ε-<。 （1）

又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>， 使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任 给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε -<。 这就证明了g f 在点0x 连续。 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→== 定理 5 ()x f x x 0 lim →存在的充要条件是()() 0lim 00 0+=+→x f x f x x 与 ()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0 0lim ()x f x x 00 lim -→=，从 而对任给的0>ε，存在01>δ和02 >δ，当 100δ<-=δδδ 时，当δ<-<00x x 时，则 δ <-<00x x 和 00<-<-x x δ 二者必居其一，从而满足①或②，所以 ()ε<-A x f ． 定理 6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续． 证明：()x f 在0x 点连续即为()()00 lim x f x f x x =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证． 此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．

积分中值定理中的极限

积分中值定理中n ξ的极限 杨勇洪 （楚雄师范学院数学系2005级2班） 指导老师 郎开禄 摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限 The limit of n ξ in integral theorem of mean Yan zilan Abstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem of mean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit 导师评语： 在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果. 受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用. 杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.

实变函数

南京理工大学 实变函数（报告）

前 言 如今，实变函数论已成为现代分析不可缺少的理论基础泛函分析的诞生，在一定程度上正是受到了实变函数的推动。实变函数论的概念、结论与方法，已广泛应用于微分方程与积分方程理论、fourier 分析、逼近论等学科。现代概率论已经完全建立在测度论与Lebesgue 积分论的基础上。在这个意义上甚至可以说，概率论是“概率测度空间中的实函数论”。实变函数论对于现代数学的重要性，于此可见一斑。所有数学类专业及某些理工科专业将“实变函数”作为一门重要基础课，是理所当然的。 然而不幸的是，这门课程的名声欠佳。尽管它为分析数学带来如此巨大的简化的理论，但是不少学过实变函数的学生包括我在内除了留下“抽象、晦涩”的印象之外，收获不多。下面主要对Lebesgue 测度与积分作个人短浅的叙述。 第一部分 测度与可测函数 本部分包含两项相关的内容：测度与可测函数，二者构成本书核心内容“积分论”的基础。引进测度有两个基本目的。其一是为定义积分做准备，这无疑是主要目的。正如对局域上的函数定义重积分需要区域的面积（或体积）概念一样，后者正是长度、面积与体积等几何度量概念的推广。其二是用来精确刻画函数的性质，例如，若A 是函数f 的不可微点之全体，则A 的测度定量地刻画了f 的可微性。测度论给函数的研究方法带来了革命性的变化，导致一系列深刻的结果。 1.1测度与可测集 定义1.1.1 设n R E ?.若{}k I 是n R 中的可数个开矩体，且有k I 1 k E ≥? ，则称{}k I 为E 的一个L 覆盖.我们称 为点集E 的Lebesgue 外侧度或简称外侧度. 定理1.1.2 (i) 非负性： （ii ） 单调性：若 （iii ）次可加性： （iv ） 距离可加性：若 ,则 （v ）平移不变性：设 推论1.1.3若 {}? ?????=∑≥1*L E :)(inf )(m k k k I I v E 覆盖的为0; )Ф (,0)(**=≥m E m ); ()(E E 2*1*21E m E m ≤?，则)()(*11*k k k k k E m E E m ∞ =∞=≤)()()(2*1*21*E m E m E E m += 0),(d 21>E E ). ()(,*0*0E m x E m R x n =+∈则. 0)(*=?E m R E n 为可数点集，则