概率论与数理统计知识要点
知
识要点
一 概念：
1 随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ
互逆： AB =Φ且A B ?=Ω ，此时，B A =
互逆 ?互不相容 ，反之不行
相互独立：
()()P A B P A =或()()()P AB P A P B =
2 随机事件的运算律：
(1) 交换律 ：,A B B A
AB BA ?=?=
(2) 结合律 ：()(),()()A B C A B C AB C A BC ??=??=
(3) 分配律 ：
(4 ) De Morgen 律（对偶律） 推广：
1
1
n n
i i i i A A ===U I
3 随机事件的概率：()P A
有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ? 则()()P A P B ≤
条件概率 ()
()()
P AB P A B P B =
4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 .
若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X =
若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =
若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立?不相关 反之不成立 但当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立
?不相关
相关系数：
1),(≤Y X R 且当且仅当bX a Y +=时1),(=Y X R ，并且
二 两种概率模型
古典概型 ：()M
P A N
=
:M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n m n n P m C p q -=
n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率
n 次独立试验序列中事件
A 至少发生r 次的概率
特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)n
P m p ≥=--
三 概率的计算公式：
加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ?=+- 若B A
,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+
推论：)()(A P A P -=1 推广： 若B A
,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++
乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B =
若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B = 推广：)()()()()(1212131212
1-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ
若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L 全概率公式：若 A 为随机事件，n B B B ΛΛ21,互不相容的完备事件组，且 0)(>i B P
则
)()()()()()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=ΛΛ
注： 常用,B B 作为互不相容的完备事件组
有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概率问题.
用全概率公式解题的程序：
（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题 （2） 若是全概率类型，正确的假设事件A 及i B ，{}i B 要求是互斥的完备事件组
（3） 计算出(),
()i i P B P A B
（4） 代入公式计算结果
四 一维随机变量：
1 分布函数：)()(x X P x F ≤= 性质：（1） 1)(0≤≤x F
（2） 若21x x < ，则)()(21x F x F ≤
（3） 若X 是离散随机变量，则)(x F 是右连续的
若X 是连续随机变量，则)(x F 是连续的 （有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数）
（4）
1)(lim =+∞
→x F x 即 1)(=+∞F
0)(lim =-∞
→x F x 即 0)(=-∞F （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）
利用分布函数计算概率：()()()P a X b F b F a <≤=- 一维离散随机变量：
概率函数：()()1,2i i p x P X x i ===L （分布律）
性质：()0i p x ≥
()1i
i
p x =∑ （此性质常用来确定概率函数中的常数）
已知概率函数求分布函数 ()()()i i i
i
x x
x x
F x P X x p x ≤≤===∑∑
一维连续随机变量： 概率密度()f x
性质：
（1） 非负性()0f x ≥ （2）归一性：
()1f x dx +∞
-∞
=?
（常用此性质来确定概率密度中的常数）
分布函数和概率密度的关系： ()()f x F x '=
（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用概率密度求概率 ()()b
a
P a X b f x dx <≤=?
五 一维随机变量函数的分布： 离散情形 ： 列表 、整理、合并
连续情形()Y g X =： 分布函数法. 先求Y 的分布函数 ，再求导
六 二维随机变量： 联合分布函数 ：(,)(,)F x
y P X x Y y =≤≤
性质： （1） (,)0F -∞-∞= （2） (,)0F x -∞= （3） (,)0F y -∞
= （4） (,)1F +∞+∞=
（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）
边缘分布函数： ()(,)X F x F x =+∞ ),()(y F y F Y +∞= 二维离散随机变量：
联合概率函数 (,)(,)i j i j p x y P X x Y y === 列表 边缘概率函数：
()(,)X i i j j
p x p x y =∑ ()(,)Y i i j i
p y p x y =∑
二维连续随机变量： 联合概率密度 (,)f x y
性质 （1）(,)0f x y ≥
（2）
(,)1f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=??
（常用此性质来确定概率密度中的常数）
联合分布函数与联合概率密度的关系
（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率
已知联合概率密度求边缘概率密度
（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 二维随机变量函数的分布 1 离散情形 2 连续情形：
七 随机变量的数字特征： 若X 为离散随机变量：1
()()n
i
i
i E X x p x ==
∑
若X 为连续随机变量： ()()E X xf x dx +∞
-∞
=
?
二维情形 若(,)~(,)X Y f x y 为二维连续随机变量，则
若(,)~(,)i j X Y p x y 为二维离散随机变量，则 随机变量的函数的数学期望：
若X 为离散随机变量：[
]()()()i i i
E g X g x p x =
∑
若X 为连续随机变量 []()()()E g X g x f x dx +∞
-∞
=?
方差：定义 []{}2
()()D X E
X E X =-
方差的计算公式：2
2
()()()D X E X E X =- 注意这个公式的转化：2
2
()()()E X D X E X =+ 协方差：)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=
，相关系数)
()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =
关于期望的定理： 关于方差的定理 （1） ()E C C = （1） ()0D C =
（2）()()E CX CE X = （2） 2
()()D CX C D X =
（3） ()()()E X Y E X E Y +=+ 相互独立： ()()()D X Y D X D Y +=+ ()()()E X Y E X E Y λμλμ+=+ （注意：反之不成立） 相互独立
()()()E XY E X E Y =（注意：反之不成立）
一般地：),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+ 八 要熟记的常用分布及其数字特征：
01-分布 (1,)B p 1()0,1x x
p x p q x -== ()()E X p D X pq == 二项分布(,)B n p ()0,1x
x
n x
i n p x C p q
x n -==L ()()E X np
D X npq ==
泊松分布
()p λ ()0,1!
x
p x e x x λλ-=
=L ()()E X D X λλ==
均匀分布：(,)U a b 1
()0a x b f x b a ?<≤?
=-???其他 ()01x a
a x
b b a F X x a
x b -?≤
指数分布：()e λ 0
()0
0x
e x
f x x λλ-?>=?
≤? 10
()0
0x e x F x x λ-?->=?≤? 正态分布：2
~(,)X N μσ
特别地(0,1)N
22
()x x ?-
=
22
()x x
x e
dx -
-∞
Φ=
?
（)(1)(x x Φ-=-Φ）
若2
~(,)X N μσ ，则121
2()(
)x x X P x X x P μ
μ
μ
σ
σσ
---<<=<
<
九 正态随机变量线性函数的分布；
独立的正态随机变量线性函数的分布仍然是正态分布 十 统计部分：
统计量 ，三大分布的定义，无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验
矩估计的步骤：（思路：用样本的k 阶原点矩去估计总体的k 阶原点矩） 若总体中只含一个未知参数； （1） 计算总体的一阶原点矩)(X E
（2） 令∑===n
i i X n V X E 1
11)(，从中解得未知参数的矩估计量。
若总体中含有两个未知参数；
（3） 计算总体的一阶原点矩)(X E ，二阶原点矩)(2X E
（4） 令???
????
====∑∑==n
i i
n i i X n V X E X n V X E 12221
11)(1)(，从中解得未知参数的矩估计量。 最大似然估计的步骤：
（1） 写似然函数：若总体是连续的随机变量，则∏==n
i i x f L 1),()(λλ
若总体是离散的随机变量，则∏==n i i x p L 1
),()(λλ
（注：离散情形，似然函数就是样本出现的概率）
（2） 对似然函数两边取对数；
（3） 对参数求导数，并令导数等于0 （4） 由此解得参数的最大似然估计值。 区间估计的步骤：
若已知σ ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为
查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。
若未知σ ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为
查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。 （对参数2
σ的区间估计类似可求出）
假设检验的步骤：（对参数μ） （1） 根据题意提出原假设与备择假设 （2） 根据题意选取统计量；
已知σ，则应该选择u 统计量
σ未知，则应选择统计量 )1(~/--=
n t n
S X t μ
（3） 计算统计量的观察值
（4） 查临界值，判断统计量的观察值是否在拒绝域里，下结论。
（对参数2
σ的假设检验类似可得）
例： 甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 . 解： 设A ：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，B ：从乙袋中返还甲袋的是红球,C : 这一个来回后甲
袋中红球数不变，则
从而
9
5
1581510159155=?+?=
. 例 高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为3.0 ，又若敌机中一弹，其坠落的概率为2.0，若敌机中两弹，其坠落的概率为6.0，若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。 解： 设事件
A 表示敌机被击落，事件i
B 表示敌机中i 弹。3,2,1=i
则441.0)3.01(3.0)(2
1
1
31=-=C B P 189.0)3.01(3.0)(1
2
2
32=-=C B P 所以，
例：设X 的分布函数???????≥<≤<=R
x R x R x
x x F 1
00
0)(2
2 求 )(x f 解： 当R x <<0时，
当R x x ≥≤,0时，0)(=x f 在R x =
处导数不存在，但规定为零
例：设连续随机变量的概率密度 ???
?
??
?
>
≤=2
02cos )(π
πx x x a x f
求：)4
0()3()()2()1(π
<
解： （1） a x a xdx a xdx a dx x f 2sin 2cos 2cos )(22 20 20 ====? ??∞ +∞ -- π ππ π (对称性质) 由 ? +∞ ∞ -=1)(dx x f 得： 2 1 12= ∴=a a （2）当2 π - ≤x 时，? ∞ -== x dx x f x F 0)()( 当2 2 π π ≤ ≤- x 时 ， ????=---∞ -∞-=+=x x x xdx xdx dx dx x f x F 22 cos 21cos 210)()(ππ π 2分段函数积分 当 2π > x 时 ， （3） 4 2 cos 21)()4 0(4 40 ===< 或 4 2 )0sin 1(21)4sin 1(21)0()4()40(=+-+=-=< <πππ F F x P 例：~(1)X e ，求Y = 密度函数 解 ：0()0 x e x f x x -?>=? ≤? 当 0y <时 ，()0Y F y = 当 0y ≥时 ，2 2 2 ())()()y y x Y F y P y P x y f x dx e dx --∞ =≤=≤==? ? 例：设随机变量X 的概率密度为???<<-=., 0, 10,)1(6)(其它x x x x f 求：(1) )(,)(X D X E , (2) )2 1 (>X P 解：（1） (2) ??????---=??????-=-==>??∞+)24181()31 21(631216)1(6)()21(1 213212 121x x dx x x dx x f X P 设随机变量X 的概率密度为 求)1(常数k 的值；)2( )(X E ；（3）)(X D ． 解：（1） = +-=???∞+∞ -dx x k dx x x dx x f 2 110)1(3)(=+212221x k ,2 321k + 由1)(=? ∞+∞ -dx x f 知 12321=+k ，解得 3 1 =k . ( 2 ) dx x dx x x dx x xf X E ??? +-==∞ +∞-21 2 1 231)1(3)()( (3) dx x dx x x dx x f x X E ???+-==∞+∞-21 310 322 31)1(3)()( ,5 745203121)5141(321410 54=+=+-=x x x , 例： 设随机变量),(Y X 的概率密度为? ??>>=-.,0; ,0,),(其它x y x e y x f y ， 计算：（1）边缘概率密度)(,)(y f x f Y X （2）X 与Y 是否相互独立？为什么？ 解 （1）当0≤x 时 ， 0)(=x f X 当0>x 时， x x y x y X e e dy e dy y x f x f -+∞-+∞ -+∞ ∞ -=-===??),()( 所以 ???>≤=-..0,; 0,0)(x e x x f x X 当0≤y 时 ， 0)(=y f Y 当0>y 时，y y y Y ye dx e dx y x f y f --+∞ ∞ -===??0 ),()( 所以 ???>≤=-.. 0,;0, 0)(y ye y y f y Y （2）因为),()()(y x f y f x f Y X ≠ 所以 X 与Y 不相互独立。 例 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为： 求：（1）X 的边缘概率密度)(x f X ， （2）)2 (π ≤+Y X P 解：（1）dy y x f x f X ?+∞ ∞-=),()( 当0 π >x 时，0)(=x f X 当2 0π ≤ ≤x 时，x y x dy y x x f X cos )(sin cos cos cos )(20 20 =?==?π π 所以，????? < ≤=., 0;20,cos )(其它πx x x f X （2）dy y x dx dxdy y x f Y X P x y x ? ? ??-≤ +== ≤ +20 2 2 cos cos ),()2 (π πππ 例： 总体X 的概率密度为 (1)01()0 x x f x α α?+<<=? ?其他 ，α是未知参数 ，求α的矩估计量. 解： 1 1 10 1 ()()(1)(1)2 E X x f x dx x x dx x dx α ααααα+∞ +-∞ +=?=?+=+= +? ?? 令 1 2 X αα+=+ 由此解得α 的矩估计量为，μ21 1X X α -=- 例 设总体的X 概率密度为???≤>=--.2,0; 2,),()2(x x e x f x λλλ， 其中0>λ为未知参数 ， 如果从该总体中取得简单随机样本观测值,,,,21n x x x Λ，求参数λ的最大似然估计值。 解 似然函数为) 2( ) 2(11 1 ),()(n x n x n i n i i n i i i e e x f L ----==∑====∏∏λλλλλλ 取对数得 )2(ln )(ln 1 n x n L n i i --=∑=λλλ 对 λ求导得 )2()(ln 1n x n d L d n i i --=∑=λλλ 令0) (ln =λ λd L d 即 n x n n i i 21-=∑=λ 从而得到λ的最大似然估计值为 例： 设总体)2.1,(~2 μN X ，μ为未知参数． （1）已知从该总体中随机抽取25个观测值的平均值为20.8，求μ的置信水平为99.0的置信区间（结 果保留四位小数）． （2）要使μ的置信水平为99.0的置信区间长度不超过1，问样本容量最少应为多少？ 解：（1） 已知σ ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 25=n ，，99.01=-α，01.0=α，2.10=σ，58.2)(005.0005.02=∞==t u u α，于是 6192.058.225 2 .12 =?= ασu n ， 又20.8=x ，于是置信区间为 ),(2 2 αασσu n x u n x + - =),6192.020.8,6192.020.8(+- 即).8192.8,5808.7( （2）要使置信区间长度 1192 .658.22.12222 ≤=??= ? =n n u n l ασ 192.6≥n ，34.38≥n ，样本容量最少为39 . 例：从一批火箭推力装置中抽取8个进行试验，测试其燃烧时间（s ），经计算得样本均值88.51=x （s ），样本标准差66.0=S （s ），设燃烧时间服从正态分布),(2σμN ，求燃烧时间均值μ的置信水平为90.0的置信区间。 解 未知σ ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 因为置信水平90.01=-α ，所以10.0=α 自由度71=-n ， 查表 895.1)7())1(05.02 ==-t n t α 从而置信区间为)3222.52,4378.51()4422.088.51,4422.088.51(=+- 例： 设总体X 服从正态分布)2.0,(2μN ，现从中抽取样本容量为9的样本。测得样本均值02.36=x ，样本标准差4.0=S 。问在显着性水平05.0下，可否认为总体均值μ为 60.31？ 解 根据题意待检验的假设为 已知σ，则应该选择u 统计量 计算u 统计量的观测值为 查表96.1025.02 ==u u α 因为96.147.12 =<=αu u ，所以在显着性水平05.0下，接受原假设。 即 即认为总体均值60.31=μ 例： 已知全国高校男生百米跑平均成绩为5.140=μ（秒）．为了比较某高校与全国高校的男子百米跑水平，现从该校随机抽测男生13人的百米跑成绩均值为1.14（秒），标准差为5477.0=s （秒）．试问：在显着性水平05.0=α下，可否认为该校男生的百米跑平均成绩与全国高校男生百米跑平均成绩 有显着差异？ 解：待检验的假设为：;5.14:00==μμH ;5.14:01=≠μμH 显着水平05.0=α ，标准差为5477.0=s ，13=n ， σ未知，故选择统计量 )1(~/--= n t n S X t μ 计算t 统计量的观测值为：633.213 /5477.05 .141.14-=-=t ， 当05.0=α 时，179.2)12(025.0=t ，拒绝域为：),(),,(2 2 ∞+--∞ααt t Y 即 ),179.2()179.2,(∞+--∞Y , 633.2-=t 在拒绝域内，拒绝原假设，即认为该校男生的百 米跑均值与全国高校有显着差异。 1：简述计算机图像学与数字图像处理和计算几何以及模式识别等学科之间的区别：计算机图形学研究计算机显示图像,即现实世界在计算机中的表示,其逆过程就是计算机视觉；图像处理：对图像进行处理包括图像变换，图像分析，边缘检测，图像分割等。模式识别：对数据的模式分析,涉及数据分析统计学,模式分类等。 2：第一台图像显示器是起源于：1950年麻省理工的旋风一号。 3：I.E萨瑟兰德被誉为计算机图像学之父，1963年他的SKETCHPAD被作为计算机图像学作为一个新学科的出现的标志。 4：列举计算机图像学的应用领域：计算机辅助绘图设计；事务管理中的交互式绘图；科学技术可视化；过程控制；计算机动画及广告；计算机艺术；地形地貌和自然资源的图形显示。5：计算机图形系统包括哪些组成：硬件设备和相应的程序系统（即软件）两部分组成。6：图像系统的基本功能：计算功能；存储功能；输入功能；输出功能；对话功能。 7：图像系统的分类：用于图形工作站的图形系统；以PC为基础的图形系统；小型智能设备上的图形系统 8：显示器的分类：阴极射线管（CRT）；液晶显示器（LCD）；LED（发光二极管）显示器；等离子显示器。 9：什么是CRT？其组成部分：即阴极射线管。组成有电子枪，加速结构，聚焦系统，偏转系统，荧光屏。 10：彩色阴极射线管生成彩色的方法：射线穿透法。应用：主要用于画线显示器。优点：成本低。缺点：只能产生有限几种颜色；影孔板法。 11：显示器的刷新方式经历了哪几个阶段：随机扫描显示；直视存储管式显示；光栅扫描显示。 12：什么是显示处理器，它与CPU是一回事吗？：显示处理器又称视觉处理器，是一种专门在PC，游戏机和一些移动设备上图像运算工作的微处理器，是显卡中重要组成部分。它的作用是代替CPU完成部分图形处理功能，扫描转换，几何变换，裁剪，光栅操作，纹理映射等。 13：什么是显存，它与内存的区别：显存全称显示内存，即显示卡专用内存。它负责存储显示芯片需要处理的各种数据。电脑的内存是指CPU在进行运算时的一个数据交换的中转站，数据由硬盘调出经过内存条再到CPU。区别：显存是显卡缓冲内存。内存是电脑的内部存储器。是不同的概念。 14：黑白显示器需要1个位平面；256级灰度显示器需要8个，真彩色需要24个位平面。15：OpenGL是什么？它在计算机图形学中的作用？OpenGL是一个工业标准的三维计算机图形软件接口，可以方便的用它开发出高质量的静止或动画三维彩色图形，并有多种特殊视觉效果，如光照，文理，透明度，阴影等。 16：图元：图形元素，可以编辑的最小图形单位。是图形软件用于操作和组织画面的最基本素材，是一组最简单，最通用的几何图形或字符。基本二维图元包括：点，直线，圆弧，多边形，字体符号和位图等。 17：直线的生产算法有：逐点比较法；数值微分法（DDA）；中点画线法；Bresenham算法。18：采用哪种平移方法可以使任意二维直线变为第一和第二象限中的直线：逐点比较法。19：交互式图形系统的基本交换任务包括：定位，选择，文字输入，数值输出。定位任务是向应用程序指定一个点的坐标，定位中考虑的基本问题：坐标系统；分辨率；网格；反馈。选择任务是指从一个被选集中挑选出一个元素来。在作图系统中，操作命令、属性值、物种种类、物体等都可能是被选集。被选集可根据其元素的变化程度分为可变集和固定集。可变集的选择技术：指名和拾取。固定集的选择技术：指名技术、功能键、菜单技术、模式识 第一章：导论 1、什么是统计学？统计方法可以分为哪两大类？ 统计学是收集、分析、表述和解释数据的科学。统计方法可分为描述统计方法和推断统计方法。 2、统计数据可分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？ 按照所采用的计量尺度不同，分为分类数据、顺序数据和数值型数据；按照统计数据的收集方法，分为观测的数据和实验的数据；按照被描述的对象与时间的关系，分为截面数据和时间序列数据。 按计量尺度分时：分数数据中各类别之间是平等的并列关系，各类别之间的顺序是可以任意改变的；顺序数据的类别之间是可以比较顺序的；数值型数据其结果表现为具体的数值。按收集方法分时：观测数据是在没 有对事物进行人为控制的 条件下等到的；实验数据的 在实验中控制实验对象而 收集到的数据。按被描述的 对象与时间关系分时：截面 数据所描述的是现象在某 一时刻的变化情况；时间序 列数据所描述的是现象随 时间而变化的情况。 3、举例说明总体、样本、 参数、统计量、变量这几个 概念。 总体是包含研究的全部个 体的集合。比如要检验一批 灯泡的使用寿命，这一批灯 泡构成的集合就是总体。样 本是从总体中抽取的一部 分元素的集合。比如从一批 灯泡中随机抽取100个，这 100个灯泡就构成了一个样 本。参数是用来描述总体特 征的概括性数字度量。比如 要调查一个地区所有人口 的平均年龄，“平均年龄” 即为一个参数。统计量是用 来描述样本特征的概括性 数字度量。比如要抽样调查 一个地区所有人口的平均 年龄，样本中的“平均年龄” 即为一个统计量。变量是说 明现象某种特征的概念。比 如商品的销售额是不确定 的，这销售额就是变量。 第二章：数据的收集 1、调查方案包括哪几个方 面的内容？ 调查目的，是调查所要达到 的具体目标。调查对象和调 查单位，是根据调查目的确 定的调查研究的总体或调 查范围。调查项目和调查 表，要解决的是调查的内 容。 2、数据的间接来源（二手 数据）主要是公开出版或公 开报道的数据；数据的直接 来源一是调查或观察，二是 实验。 3、统计调查方式：抽样调 高三数学概率统计知识 点归纳 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题． 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象. 计算机图形学 C o m p u t e r G r a p h i c s E-M A I L:t y z h u w e n b o@163.c o m 主要内容 ?计算机图形学绪论 ?基本二维图形的生成（图形生成算法原理）?二维变换及二维观察（二维图形变化的数 学原理） ?三维变换及三维观察（三维图形变化的数 学原理及变化方法） ?曲线曲面的生成（三维曲线曲面的几种形 式） ?总结全课程 图形学概述 计算机图形学（C o m p u t e r G r a p h i c s) ?定义：计算机图形学是研究怎样用数字计 算机生成、处理和显示图形的一门学科。 ?图形表示和绘制+输入/输出设备 M o d e l i n g+R e n d e r i n g v i a I n p u t/o u t p u t ?计算机图形学计算机科学中，最为活跃、 得到广泛应用的分支之一 数据计算机图形系统图形 计算机图形学 图形及图形的表示方法 ?图形：计算机图形学的研究对象 ?能在人的视觉系统中产生视觉印象的 客观对象 ?包括自然景物、拍摄到的图片、用数学 方法描述的图形等等 ?构成图形的要素 ?几何要素：刻画对象的轮廓、形状等 ?非几何要素：刻画对象的颜色、材质 等 ?表示方法 ?点阵表示 ?枚举出图形中所有的点(强调图 形由点构成) ?简称为图像（数字图像） ?参数表示 ?由图形的形状参数(方程或分析 表达式的系数，线段的端点坐标 等)+属性参数(颜色、线型等)来 表示图形简称为图形 ?图形主要分为两类： ?基于线条信息表示 ?明暗图(S h a d i n g) 第一章绪论 ?1.计算机图形学的发展简史 ?2.计算机图形学的研究内容 ?3.计算机图形学的应用 ?4.常用的图形设备 1.1C G的发展历史 ?50年代 ?1950年，第一台图形显示器作为美国 麻省理工学院（M I T）旋风I号 （W h i r l w i n d I）计算机的附件诞生了 ?1958年，美国C a l c o m p公司由联机的 数字记录仪发展成滚筒式绘图仪， G e r B e r公司把数控机床发展成为平板 式绘图仪 ?50年代末期，M I T的林肯实验室在 “旋风”计算机上开发S A G E空中防 御体系 ?60年代 ?1962年，M I T林肯实验室的I.E. S u t h e r l a n d发表了一篇题为 “S k e t c h p a d：一个人机交互通信的图 形系统”的博士论文--确定了交互图 形学作为一个学科分支（提出基本交互 技术、图元分层表示概念及数据结 构…)。 ?1962年，雷诺汽车公司的工程师P i e r r e Béz i e r提出Béz i e r曲线、曲面的理论 ?1964年M I T的教授S t e v e n A.C o o n s提出 了超限插值的新思想，通过插值四条任 意的边界曲线来构造曲面。 ?70年代（蓬勃发展时期） ?光栅图形学迅速发展 ?区域填充、裁剪、消隐等基本图形 概念、及其相应算法纷纷诞生 ?图形软件标准化 ?1974年，A C M S I G G R A P H的“与机 器无关的图形技术”的工作会议 ?A C M成立图形标准化委员会，制定 “核心图形系统”（C o r e G r a p h i c s S y s t e m） ?I S O发布C G I、C G M、G K S、P H I G S 第一章 一、什么是计算机图形学？ 计算机图形学是研究如何利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法和技术的一门学科。 国际标准化组织(ISO)定义： 计算机图形学是研究通过计算机将数据转换为图形，并在专门显示设备上显示的原理、方法和技术的学科 电气与电子工程协会（IEEE）定义： 计算机图形学是利用计算机产生图形化的图像的艺术和学科。 三、举例说明计算机图形学有哪些应用，分别用来解决什么实际问题？ 应用领域： 1.计算机辅助设计与制造（CAD,CAM） 用于大楼，汽车，飞机，建筑工程，电子路线等的设计和制作过程中。 2.计算机辅助绘图 计算机辅助绘图的典型例子包括计算机可视化，近年来，这种技术已用于有限元分析的后处理，分子模型构造，地震数据处理，大气科学，生物信息及生物化学等领域。 3.计算机辅助教学（CAI） 4.办公自动化和电子出版社 5.计算机艺术 6.在工业控制及交通方面的应用 7.在医疗卫生方面的应用 8.图形用户界面 四、人机交互，什么是一致性原则 人机交互学是一门关于设计、评估和执行交互式计算机系统以及研究由此而发生的相关现象的学科。 一致性原则：指在设计系统的各个环节时，应遵从统一的、简单的规则，保证不出现例外和特殊的情况，无论是信息显示还是命令输入都应如此 一致性原则包含这样一些内容：1.一个特定的图符应该始终只有一个含义而不能依靠上下文来代表多个动作或对象；2.菜单总是放在相同的关联位置，使用户不必总是去寻找；3.键盘上的功能键，控制键以及鼠标上的按钮的定义需要前后一致；4.总是使用一种彩色编码，使相同的颜色在不同的情况下不会有不同的含义；5.输入时交互式命令和语法的一致性等 第二章 四、CRT的组成和工作原理是什么？ CRT（Cathode Ray Tube）阴极射线管 ?是一种真空器件，它利用电磁场产生高速的、经过聚焦的电子束，偏转到屏幕的不 型;有下划线的重点记忆！当然整理的知识点都就是重点！都要背与理解！Fighting！) 第一章绪论 一．统计的含义 即统计工作、统计资料与统计学 统计工作:统计实践活动,搜集,整理,分析与提供关于社会现象数字资料工作总称 统计资料:统计实践活动过程中所取得的各项资料,包括原始资料与加工整理资料 统计学:关于认识客观现象总体数量特征与数量关系的科学 二．统计工作过程 就一次统计活动来讲,一个完整的认识过程一般可以分为统计调查、统计整理与统计分析三个阶段。 统计调查:第一阶段,就是认识客观经济现象的起点,就是统计整理与统计分析的基础。 统计整理:第二阶段,处于统计工作的中间环节,起着承前启后的作用。 统计分析:第三阶段,通过第三阶段,事物由感性认识上升到理性认识。 三.总体与总体单位(会辨析总体与总体单位即可) 总体,亦称统计总体,就是指客观存在的、在同一性质基础上结合起来的许多个别单位的整体;构成总体的这些个别单位称为总体单位。 总体由总体单位构成,要认识总体必须从总体单位开始,总体就是统计认识的对象。 例如:所有的工业企业就就是一个总体,其中的每一个工业企业就就是一个总体单位。 四.标志与指标 标志就是用来说明总体单位特征的名称。 指标,亦称统计指标,就是说明总体的综合数量特征的。一个完整的统计指标包括数量指标名称与指标数值两部分。(以上内容理解即可) 1、指标与标志的区别与联系(简答) 指标与标志的区别:(1)指标就是说明总体特征的,而标志就是说明总体单位特征的;(2)指标都能用数值表示,而标志中的品质标志不能用数值表示,就是用属性表示的;(3)指标数值就是经过一定的汇总取得的,而标志中的数量标志不一定经过汇总,可直接取得;(4)一个完整的统计指标,一定要讲时间、地点、范围,而标志一般不具备时间、地点等条件。 指标与标志的联系:(1)有许多统计指标的数值就是从总体单位的数量标志值汇总而来的; (2)两者存在着一定的变换关系,即由于研究目的不同,原来的统计总体如果变成总体单位了,则相应的统计指标也就变成数量标志了。 2、标志与标志值(会区分) 标志分为品质标志与数量标志,数量标志用来说明总体单位量的特征,可以用数值表示,即为标志值(如:年龄、工资额、身高) 3、变异与变量(会什么就是变异,什么就是变量) 变异:品质标志在总体单位之间的不同具体表现。如:性别表现为男、女,民族表现为汉、满、蒙等。 变量:数量标志抽象化即为变量,而数量标志的不同具体表现则称为变量值(或标志值)。如:某职工的年龄就是42岁,月工资2200元。 4、统计指标的划分 (1)统计指标按其所反映的总体内容的不同,可分为数量指标与质量指标。数量指标指说明总体规模与水平的各种总量指标。质量指标指反应现象总体的社会经济效益与工作质量的各种相对指标与平均指标。 (2)统计指标按其作用与表现形式的不同,有总量指标(绝对数)、相对指标(绝对数)、平均指标(平均数)三种。 第二章统计调查与整理 一、统计调查的含义 统计调查就是统计工作过程的第一阶段。它就是按照统计任务的要求,运用科学的调查方法,有组织的向社会实际搜索各项原始资料的过程。统计调查就是整个统计认识活动的基础,决定着统计认识过程及其结果的成败。 二、统计调查方案设计的内容+调查对象、调查单位的含义 ⒈确定调查目的;(为什么调查) 根据实际需要与可能确定 ⒉确定调查对象与调查单位;(向谁调查) 调查对象——社会现象的总体 调查单位——调查标志的承担者(总体单位) 高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 计算机图形学复习题 基本知识点 1、在图形文件系统中，点、线、圆等图形元素通常都用其几何特征参数来描述，在图形系统中，图形处理运算的精度不取决于显示器的分辨率，在彩色图形显示器中，使用RGB颜色模型。计算机图形学以计算几何为理论基础。 2、深度缓存算法并不需要开辟一个与图像大小相等的深度缓存数组，深度缓存算法能并行实现，深度缓存算法中没有对多边形进行排序。 3、计算机图形处理中，除了应用到各种算法外，还经常会处理大量的图形方面的数据，因而必须应用到数据库技术，图形数据库设计的子库层次是一个简单的、具有普遍存储规则的许多物体的集合，图形数据库的设计一般有物体和子库两个层次。 4、投影线从视点出发，主灭点最多有3个，任何一束不平行于投影面的平行线的透视投影将汇成一点。在平面几何投影中，若投影中心移到距离投影面无穷远处，则成为平行投影。 5、实体模型和曲面造型是CAD系统中常用的主要造型方法，曲面造型是用参数曲面描述来表示一个复杂的物体，从描述复杂性和形状灵活性考虑，最常用的参数曲面是3次有理多项式的曲面，在曲线和曲面定义时，使用的基函数应有两个重要性质：凸包性和仿射不变性。 6、简单光反射模型，又称为Phong模型，它模拟物体表面对光的反射作用，简单光反射模型主要考虑物体表面对直射光照的反射作用，在简单光反射模型中，对物体间的光反射作用，只用一个环境光变量做近似处理。 7、定义了物体的边界也就唯一的定义了物体的几何形状边界，物体的边界上的面是有界的，而且，面的边界应是闭合的，物体的边界上的边可以是曲线，但在两端之间不允许曲线自相交。 8、透视投影的投影线从视点出发，主灭点最多有3个，任何一束不平行于投影面的平行线的透视投影将汇成一点。 9、图形数据按照目的不同一般可以分为图形的表示数据和图形的显示数据。 10、双线性法向插值法（Phong Shading）的优点是高光域准确。 11、画圆弧的算法有角度DDA 法、逐点比较法、终点判断法、Bresenham画圆法四种。 12、Z缓冲器消隐算法是最简单的消除隐藏面算法之一。 13、若要对某点进行比例、旋转变换，首先需要将坐标原点平移至该点，在新的坐标系下做比例或旋转变换，然后再将原点平移回去。 14、在种子填充算法中所提到的八向连通区域算法同时可填充四向连通区。 15、多边形被两条扫描线分割成许多梯形，梯形的底边在扫描线上，腰在多边形的边上，并且相间排列，多边形与某扫描线相交得到偶数个交点，这些交点间构成的线段分别在多边形内、外，并且相间排列，边的连贯性告诉我们，多边形的某条边与当前扫描线相交时，很可能与下一条扫描线相交。 16、透视投影又可分为一点透视、二点透视、三点透视，斜投影又可分为斜等测、斜二测，正视图又可分为主视图、侧视图、俯视图。 17、Bezier曲线不一定通过其特征多边形的各个顶点，Bezier曲线两端点处的切线方向必须与起特征折线集（多边形）的相应两端线段走向一致，Bezier曲线可用其特征多边形来定义。 18、扫描线算法对每个象素只访问一次，主要缺点是对各种表的维持和排序的耗费较大，边填充算法基本思想是对于每一条扫描线与多边形的交点，将其右方象素取补，边填充算法较适合于帧缓冲存储器的图形系统。 19、深度缓冲器算法最简单常用的面向应用的用户接口形式：子程序库、专用语言和交互命令。图形用户界面的基本元素有窗口、图标、菜单、指点装置。在计算机图形学中，被裁剪的对象可以是线段、多边形和字符三种形式。 20、扫描仪最重要的参数是光学精度和扫描精度。 第1章 绪论 1、统计的含义统计一词最基本的含义是对客观事物的数量方面进行核算和分析，是人们对客观事物的数量表现、数量关系和数量变化进行描述和分析的一种计量活动。 2、统计的特点P3 数量性 具体性 综合性 3、统计学的若干基本概念 总体与总体单位P10: 总体是指在某种共性的基础上由许多个别事物结合起来的整体，构成总体的个别事物叫总体单位； 总体的特征：同质性，大量性，差异性；总体的分类：有限总体与无限总体；标志、变异与变量P10： 标志，是指说明总体单位特征的名称。变异：总体单位之间品质和数量上的差异，即可变标志在总体各单位之间所表现出的差异。变量：可变的数量标志。 连续型变量与离散型变量联系和区别：连续型：变量值可作无限分割的变量离散型：变量值只能以整数出现的变量指标与标志P11 （指标，说明总体数量特征的概念）区别：第一，指标说明总体的特征，而标志则说明总体单位的特征。第二，指标只反映总体的数量特征，所有指标都要用数字来回答问题，没有用文字回答问题的指标。而标志既有反映数量也有反映品质。 第2 章统计调查 1、统计调查的含义及其在统计工作中的地位P13 含义：根据统计研究的目的，有组织、有计划地搜集统计资料的过程地位：是统计工作的第一阶段，是整个统计工作的基础一环 2、统计调查的基本原则P13-14 一、要实事求是，如实反映情况 二、要及时反映，及时预报 三、要数字与情况相结合 3、统计调查的组织形式：普查P14：含义：为搜集某种社会经济现象在某时某地的情况而专门组织的一次性全面调查、优缺点：，适用场合：主要用于一些重要项目呢的调查，如人口普查、耕地普查、基本单位普查、工业普查和库存普查等； 随机抽样调查P14：含义（按随机原则（机会均等原则）从总体中抽取部分单位进行调查，并借以推断和认识总体的一种统计方法）以及具体的抽样方法【第七章】系统抽样、多阶 简单随机、分层抽样、整群抽样、 段抽样）及适用场合；非随机抽样：含义（调查者有意识地或随意而 非随机地从总体中抽取部分单位进行调查的统计方法）以及具体的抽样方法P15 （重点抽样：只对总体中为数不多但影响颇大的重点单位进行研究的一种非 概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤 Phong Lighting 该模型计算效率高、与物理事实足够接近。Phong模型利用4个向量计算表面任一点的颜色值，考虑了光线和材质之间的三种相互作用：环境光反射、漫反射和镜面反射。Phong模型使用公式：I s=K s L s cosαΦα：高光系数。计算方面的优势：把r和v归一化为单位向量，利用点积计算镜面反射分量：I s=K s L s max((r，v)α，0)，还可增加距离衰减因子。 在Gouraud着色这种明暗绘制方法中，对公用一个顶点的多边形的法向量取平均值，把归一化的平均值定义为该顶点的法向量，Gouraud着色对顶点的明暗值进行插值。Phong着色是在多边形内对法向量进行插值。Phong着色要求把光照模型应用到每个片元上，也被称为片元的着色。 颜色模型RGB XYZ HSV RGB:RGB颜色模式已经成为现代图形系统的标准，使用RGB加色模型的RGB三原色系统中，红绿蓝图像在概念上有各自的缓存，每个像素都分别有三个分量。任意色光F都可表示为F＝r [ R ] + g [ G ] + b [ B ]。RGB颜色立方体中沿着一个坐标轴方向的距离代表了颜色中相应原色的分量，原点(黑)到体对角线顶点(白)为不同亮度的灰色 XYZ:在RGB 系统基础上，改用三个假想的原色X、Y、Z建立了一个新的色度系统, 将它匹配等能光谱的三刺激值,该系统称为视场XYZ色度系统，在XYZ空间中不能直观地评价颜色。 HSV是一种将RGB中的点在圆柱坐标系中的表示法，H色相S饱和度V明度，中心轴为灰色底黑顶白，绕轴角度为H，到该轴距离为S，沿轴高度为S。 RGB优点:笛卡尔坐标系，线性，基于硬件(易转换)，基于三刺激值，缺点:难以指定命名颜色，不能覆盖所有颜色范围，不一致。 HSV优点:易于转换成RGB，直观指定颜色，’缺点:非线性，不能覆盖所有颜色范围，不一致 XYZ:覆盖所有颜色范围，基于人眼的三刺激值，线性，包含所有空间，缺点:不一致 交互式计算机程序员模型 (应用模型<->应用程序<->图形库)->(图形系统<->显示屏).应用程序和图形系统之间的接口可以通过图形库的一组函数来指定，这和接口的规范称为应用程序编程人员接口(API)，软件驱动程序负责解释API的输出并把这些数据转换为能被特定硬件识别的形式。API提供的功能应该同程序员用来确定图像的概念模型相匹配。建立复杂的交互式模型，首先要从基本对象开始。良好的交互式程序需包含下述特性：平滑的显示效果。使用交互设备控制屏幕上图像的显示。能使用各种方法输入信息和显示信息。界面友好易于使用和学习。对用户的操作具有反馈功能。对用户的误操作具有容忍性。Opengl并不直接支持交互，窗口和输入函数并没有包含在API中。 简单光线跟踪、迭代光线跟踪 光线跟踪是一种真实感地显示物体的方法，该方法由Appel在1968年提出。光线跟踪方法沿着到达视点的光线的相反方向跟踪，经过屏幕上每一象素，找出与视线所交的物体表面点P0，并继续跟踪，找出影响P0点光强的所有的光源，从而算出P0点上精确的光照强度。光线跟踪器最适合于绘制具有高反射属性表面的场景。优缺点：原理简单，便于实现，能生成各种逼真的视觉效果，但计算量开销大，终止条件：光线与光源相交光线超出视线范围，达到最大递归层次。一般有三种：1)相交表面为理想漫射面，跟踪结束。2)相交表面为理想镜面，光线沿镜面反射方向继续跟踪。3)相交表面为规则透射面，光线沿规则透射方向继续跟踪。 描述光线跟踪简单方法是递归，即通过一个递归函数跟踪一条光线，其反射光想和折射光线再调用此函数本身，递归函数用来跟踪一条光线，该光线由一个点和一个方向确定，函数返回与光线相交的第一个对象表面的明暗值。递归函数会调用函数计算指定的光线与最近对象表面的交点位置。 图形学算法加速技术BVH, GRID, BSP, OCTree 加速技术：判定光线与场景中景物表面的相对位置关系，避免光线与实际不相交的景物表面的求交运算。加速器技术分为以下两种：Bounding Volume Hierarchy 简写BVH，即包围盒层次技术，是一种基于“物体”的场景管理技术，广泛应用于碰撞检测、射线相交测试之类的场合。BVH的数据结构其实就是一棵二叉树（Binary Tree）。它有两种节点（Node）类型：Interior Node 和Leaf Node。前者也是非叶子节点，即如果一个Node不是Leaf Node，它必定是Interior Node。Leaf Node 是最终存放物体/们的地方，而Interior Node存放着代表该划分（Partition）的包围盒信息，下面还有两个子树有待遍历。使用BVH需要考虑两个阶段的工作：构建（Build）和遍历（Traversal）。另一种是景物空间分割技术，包括BSP tree，KD tree Octree Grid BSP:二叉空间区分树 OCTree:划分二维平面空间无限四等分 Z-buffer算法 算法描述：1、帧缓冲器中的颜色设置为背景颜色2、z缓冲器中的z值设置成最小值（离视点最远）3、以任意顺序扫描各多边形a) 对于多边形中的每一个采样点，计算其深度值z(x,y) b) 比较z(x, y)与z缓冲器中已有的值zbuffer(x,y)如果z(x, y) >zbuffer(x, y)，那么计算该像素(x, y)的光亮值属性并写入帧缓冲器更新z缓冲器zbuffer(x, y)＝z(x, y) Z-buffer算法是使用广泛的隐藏面消除算法思想为保留每条投影线从COP到已绘制最近点距离，在投影后绘制多边形时更新这个信息。存储必要的深度信息放在Z缓存中，深度大于Z缓存中已有的深度值，对应投影线上已绘制的多边形距离观察者更近，故忽略该当前多边形颜色，深度小于Z缓存中的已有深度值，用这个多边形的颜色替换缓存中的颜色，并更新Z缓存的深度值。 void zBuffer() {int x, y; for (y = 0; y < YMAX; y++) for (x = 0; x < XMAX; x++) { WritePixel (x, y, BACKGROUND_VALUE); WriteZ (x, y, 1);} for each polygon { for each pixel in polygon’s projection { //plane equation doubl pz = Z-value at pixel (x, y); if (pz < ReadZ (x, y)) { // New point is closer to front of view WritePixel (x, y, color at pixel (x, y)) WriteZ (x, y, pz);}}}} 优点：算法复杂度只会随着场景的复杂度线性增加、无须排序、适合于并行实现 缺点：z缓冲器需要占用大量存储单元、深度采样与量化带来走样现象、难以处理透明物体 着色器编程方法vert. frag 着色器初始化：1、将着色器读入内存2、创建一个程序对象3、创建着色器对象4、把着色器对象绑定到程序对象5、编译着色器6、将所有的程序连接起来7、选择当前的程序对象8、把应用程序和着色器之间的uniform变量及attribute变量关联起来。 Vertex Shader：实现了一种通用的可编程方法操作顶点，输入主要有：1、属性、2、使用的常量数据3、被Uniforms使用的特殊类型4、顶点着色器编程源码。输入叫做varying变量。被使用在传统的基于顶点的操作，例如位移矩阵、计算光照方程、产生贴图坐标等。Fragment shader：计算每个像素的颜色和其他属性，实现了一种作用于片段的通用可编程方法，对光栅化阶段产生的每个片段进行操作。输入：Varying 变量、Uniforms-用于片元着色器的常量，Samples-用于呈现纹理、编程代码。输出：内建变量。 观察变换 建模变换是把对象从对象标架变换到世界标架 观察变换把世界坐标变换成照相机坐标。VC是与物理设备无关的，用于设置观察窗口观察和描述用户感兴趣的区域内部分对象，观察坐标系采用左手直角坐标系，可在用户坐标系中的任何位置、任何方向定义。其中有一坐标轴与观察方向重合同向并与观察平面垂直。观察变换是指将对象描述从世界坐标系变换到观察坐标系的过程。（1）：平移观察坐标系的坐标原点，与世界坐标系的原点重合，（2）：将x e，y e轴分别旋转（-θ）角与x w、y w轴重合。 规范化设备坐标系 规范化设备坐标系是与具体的物理设备无关的一种坐标系，用于定义视区，描述来自世界坐标系窗口内对象的图形。 光线与隐式表面求交 将一个对象表面定义为f(x,y,z)=f(p)=0,来自P0，方向为d的光线用参数的形式表示为P(t)=P0+td. 交点位置处参数t的值满足：f(P0+td)=0,若f是一个代数曲面，则f是形式为X i Y j Z k的多项式之和，求交就转化为寻求多项式所有根的问题，满足的情况一：二次曲面，情况二：品面求交，将光线方程带入平面方程：p*n+c=0可得到一个只需做一次除法的标量方程p=p0+td。可通过计算得到交点的参数t的值：t=(p0*n+c)/(n*d). 几何变换T R S矩阵表示 三维平移T 三维缩放S旋转绕z轴Rz( ) 100dx 010dy 001dz 0001 Sx000 0Sy00 00Sz0 0001 cos-sin00 sin cos00 0010 0001 θθ θθ 旋转绕x轴Rx(θ) 旋转绕y轴Ry(θ) 1000 0cos-sin0 0sin cos0 0001 θθ θθ cos0sin0 0100 -sin0cos0 0001 θθ θθ 曲线曲面 Bezier曲线性质：Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点。曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的n倍；（2）凸包性；（3）几何不变性（4）变差缩减性。端点插值。 均匀B样条曲线的性质包括：凸包性、局部性、B样条混合函数的权性、连续性、B样条多项式的次数不取决于控制函数。 G连续C连续 C0连续满足：C1连续满足： (1)(0) p(1)=(1)(0)(0) (1)(0) px qx py q qy pz qz == ???? ???? ???? ???? (1)(0) p'(1)=(1)'(0)(0) (1)(0) p x q x p y q q y p z q z == ???? ???? ???? ???? C0(G0)连续:曲线的三个分量在连接点必须对应相等 C1连续:参数方程和一阶导数都对应相等 G1连续:两曲线的切线向量成比例 三维空间中，曲线上某点的导数即是该点的切线，只要求两个曲线段连接点的导数成比例，不需要导 数相等，即p’(1)=aq’(0) 称为G1几何连续性。将该思想推广到高阶导数，就可得到C n和G n连续性。 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 第一章 计算机图形学是：研究怎么利用计算机来显示、生成和处理图形的原理、方法和技术的一门学科。 计算机图形学的研究对象是图形。构成图形的要素有两类：一类是几何要素（刻画图形状的点、线、面、体），另一类是非几何要素（反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、色彩）.。 计算机中表示图和形常有两种方法：点阵法和参数法。 软件的标准：SGI等公司开发的OpenGL，微软开发的Direct X，Adobe的Postscript 等。 计算机辅助设计与制造（CAD/CAM） 计算机图形系统可以定义为计算机硬件、图形输入输出设备、计算机系统软件和图形软件的集合。 交互式计算机图形系统应具有计算、存储、对话、输入和输出等五方面的功能。 真实感图形的生成一般须经历场景造型、取景变换、视域裁剪、消除隐藏面及可见面光亮度计算等步骤。 虚拟现实系统又称虚拟现实环境，是指由计算机生成的一个实时三维空间。用户可以在其中“自由地”运动，随意观察周围的景物，并可通过一些特殊的设备与虚拟物体进行交互操作。 科学计算可视化是指运用计算机图形学和图像处理技术，将科学计算过程中及计算结果的数据转换为图形及图像在屏幕上显示出来并进行交互处理的理论、方法和技术。 第二章 鼠标器是用来产生相对位置。鼠标器按键数分为两种：MS型鼠标（双按键鼠标）和PC型鼠标（三按键鼠标）。 触摸屏也叫触摸板，分为：光学的红外线式触摸屏、电子的电阻式触摸屏和电容式触摸屏、声音的声波式触摸屏。 数据手套是由一系列检测手和手指运动的传感器的构成。来自手套的输入可以用来 给虚拟场景中的对象定位或操纵该场景。 显示设备的另一个重要组成部分的是显示控制器。它是控制显示器件和图形处理、转换、信号传输的硬件部分，主要完成CRT的同步控制、刷新存储器的寻址、光标控制以及图形处理等功能。 阴极射线管CRT由电子枪、偏转系统及荧光屏3个基本部分组成。电子枪的主要功能是产生一个沿管轴（Z轴）方向前进的高速的细电子束（轰击荧光屏）。 光栅的枕形失真是由于同样的偏转角增量所造成的偏转距离增量的最大。 荧光粉的余辉特性是指这样一种性质：电子束轰击荧光粉时，荧光粉的分子受激而发光，当电子束的轰击停止后，荧光粉的光亮并非立即消失，而是按指数规律衰减，这种特性叫余辉特性。余辉时间定义为，从电子束停止轰击到发光亮度下降到初始值的1%所经历的时间。 CRT图形显示器分为：随机扫描的图形显示器，直视存储管图形显示器，光栅扫描的图形显示器。 目前常用的PC图形显示子系统主要由3个部件组成：帧缓冲存储器、显示控制器和一个ROM BIOS芯片。 分辨率分为屏幕分辨率、显示分辨率和图形存储分辨率。3种分辨率的概念既有区别又有联系，对图形的显示都会产生一定的影响。在三者之间，屏幕分辨率决定了所能显示的最高分辨率；但显示分辨率和存储分辨率对所能显示的图形分辨率也有控制作用。如果存储分辨率小于屏幕分辨率，尽管显示分辨率可以提供最高的屏幕分辨率，屏幕上也不能显示出应有的显示模式。存储分辨率还必须大于显示分辨率，否则不能够显示出应有的显示模式。 第三章 图形输入设备的逻辑分类：定位设备、笔划设备、数值设备、选择设备、拾取设备、字符串设备。 引力域、橡皮筋技术、草拟技术 第四章 按所构造的图形对象可分为规则对象和不规则对象。 规则对象是指能用欧式几何进行描述的形体。其造型又称为几何造型。 一个完整的几何模型应包括物体的各部分几何形状及其在空间的位置（即几何信息）和各部分之间的连接关系（即拓扑信息）。 不规则对象的造型系统中，大多采用过程式模拟，即用一个简单的模型以及少量的易于调节的参数来表示一大类对象，不断改变参数，递归调用这一模型就能一步一步地产生数据量很大的对象，这一技术也被称为数据放大技术。 不规则对象造型方法主要有：基于分数维理论的随机模型、基于文法的模型、粒子系统模型和非刚性物体模型等等。 一般在二维图形系统中将基本图形元素称为图素或图元，而在三维图形系统中称为体素。 图素是指可以用一定的几何参数和属性参数描述的最基本的图形输出元素，包括点、线、圆、圆弧、椭圆、二次曲线等。体素是三维空间中可以用有限个尺寸参数定位和定形的最基本的单元体。段是指具有逻辑意义的有限个图素（或体素）及其附加属性的集合。 几何信息一般指形体在欧式空间中的位置和大小；而拓扑信息则是形体各分量（点、计算机图形学复习重点
统计学基础知识要点 很重要
高三数学概率统计知识点归纳
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高考数学概率与统计知识点汇编
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