30.1二次函数教学设计

30.1 二次函数教学设计

甄俊芬主备

教学目标

知识方面：

1.理解并掌握二次函数的概念；

2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式.

能力方面：

1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

2.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力.

情感方面：

通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。

教学过程

一、提出问题，导入新课.

1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？

2.教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习.

3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？

列式表示下面函数关系.

问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形

的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系.

问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?

问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示?

活动中教师关注：

（1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式.

（2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量.

教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点.

（学生小组交流、讨论得出结论。)它们的共同点：

（1） 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式.

（2）等式的右边可统一为“ax 2+bx+c”的形式.

教师口述二次函数的定义并板书：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a, b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫二次函数.

a 为二次项系数，ax 2叫做二次项；

b 为一次项系数，bx 叫做一次项；

c 为常数项.

问题：函数y=ax 2+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，

(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

活动中教师应关注：

（1）学生能否归纳、概括出这三个函数关系式的共同特点；

（2）函数y=ax 2+bx+c 中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b ，c 的值可以为任何实数．若b ，c 其一为0或均为0，上述函数的式子可以写成怎样？此时它们还是二次函数吗？

（3） 定义是关于x 的二次整式（切不可把“y=x 2+1x +3，当成二次函数) . 运用新知，解决问题.

例1 下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.

(1)232

1x y +-= (2) 251t t s ++= (3) 2242

1

32+--=x x y

(4) y=3(x －1)2+1 (5)y=(x+3)2－x 2 (6) x y 222-= (7)s=3－2t 2 (8) 23r v = (9) y=mx 2+nx+p (m,n,p 为常数) 例2 已知函数m m x m y -+=2)1(，

(1) m 取什么值时,此函数是正比例函数？

(2) m 取什么值时,此函数是反比例函数？

(3) m 取什么值时,此函数是二次函数？

例3 矩形的长和宽分别是3米和2米，把它的长增加x 米，宽增加若干米，

使周长成为原来的2倍，设边长增加后，矩形的面积是S ，求S 与x 之间的函数关系式.

巩固练习，深化知识.

1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s

与半径 r 之间的关系式.

2. n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式.

3. m 为何值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 归纳小结，布置作业.

1.小结

这节课我们主要学习了二次函数，你有哪些收获？学生回答.

2.布置作业

必做题：教科书 A 组

选做题：教科书 B 组

2014年12月10日

共性意见：

1、 提出问题，导入新课中“教师引导学生观察，分析上面三个函数

关系式的共同点”，应改为“先独立思考，再小组合作交流，找出共同特点。”

2、 例2比较难，应先老师引导，再小组交流，共同完成。

个性意见:

1、例2需老师分析后学生互帮互讲在独立书写。

2、我班学生接受能力较差，巩固练习，深化知识部分3.去掉，让学生做书中的练习。

教学反思：

先用图片这些丰富的生活实例，给学生带来视觉上的直观感受，调动学生的积极性，让他们充分感受到二次函数的应用价值与实际意义. 接着学习求一些实际问题中二次函数的解析式，重视二次函数概念的形成和建构，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.在概念的学习过程中,让学生注

重a、b、c的含义，为后面例题的学习打下基础.

刘荣格

苏教版九年级下册6.1二次函数教案

6.1 二次函数 一.学习目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 二.知识导学 （一）情景导学 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函 数关系式是 。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? 设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢 脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？ 在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y （元）与x （m ） 之间的函数关系式是 。 （二）归纳提高。 上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不 同？ 。 一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。 一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能 说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ （三）典例分析 例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c 例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？ 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系； ⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所

二次函数教学设计方案(共5讲)

二次函数教学设计方案 单元知识集锦： 教学重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题． 教学难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 第一讲 二次函数的概念 一般地，形如_______________的函数，叫做二次函数.图像是__________. 例:下列各式中,y 是x 的二次函数的是（ ） A.3 230x y --= B.2 (2)(2)(5)y x x x =+--- C.21 y x x = + D.2(1)210x y --+= 练习：若232 (3)1k k y k x kx -+=-++的图象是抛物线，则k= 注意：

2y ax =的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 若抛物线2 10 (3)m y m x -=+的开口向下，则m 为_______. 例2 已知直线y ax b =+经过二、三、四象限，则抛物线2 y abx =（ ） A.开口向上，有最低点 B. 开口向下，有最高点 C.开口向下，有最低点 D. 开口向上，有最高点 练习：已知函数2 5y x =-+，当x 取1x ，2x 12()x x ≠，函数值相等，则当x 取12x x +时， 函数值为_______. 2y ax c =+的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 在抛物线2 132 y x =- -的对称轴左侧（ ） A.y 随x 的增大而增大 B. y 随x 的增大而减小

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

二次函数教学设计

滨泉中学教学设计 课题22.1 二次函数（1）课时 1 设计教师李春丽备课组长 学科书写授课班级9.2 课型新授课审核领导 三维目标知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值 范围。 过程与方法通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。 情感态度与价 值观 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 教学 重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 方法 自主学习辅导法 教学 资源 多媒体课件 教学 流程 教师活动学生活动设计意图 情境导入 一、试一试 1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为 xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长， 进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下 表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2、x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3、我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积 (y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数 的关系式， 可让学生根据表中给出 的AB的长，填出相应的 BC的长和面积，然后引 导学生观察表格中数据 的变化情况，提出问题： (1)从所填表格中，你能 发现什么？(2)对前面提 出的问题的解答能作出 什么猜想?让学生思考、 交流、发表意见，达成共 识。 可让学生分组讨论、交 流，然后各组派代表发表 意见。形成共识，x的值 不可以任意取，有限定范 围，其范围是0 ＜x ＜ 10。 实际问题导入， 体现新知识的产生 源于生活实际的需 要。

九年级数学上册22.1.1二次函数教案

22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 四、教学难点 能够表示简单变量之间的二次函数关系. 五、教学过程 （一）导入新课 情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1） （二）讲授新课 问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比 赛，所以比赛的场次数是1 (1) 2 n n-（2） 问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量 22 20(1)204020 y x x x =+=++（3） 活动2：探究归纳 函数（1）（2）（3）有什么共同点？

明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. （三）重难点精讲 例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2 a S a a a -=? =-+ 例2 （1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解：由（1）可知, 271, 30,m m ?-=?+≠? 解得：=m ± 由（2）可知，272,30,m m ?-=?+≠? 解得m=3 归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t 2 ③y=x 2 ④21y x = ⑤y=x 2+x 3+25 ⑥ y=(x +3)2-x 2 明确：②③ ①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。 （四）归纳小结 小结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax 2,y=ax 2+bx,y=ax 2 +c 等. （五）随堂检测 1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 2.函数 y=(m-n)x 2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n 是常数,且m ≠0 B . m,n 是常数,且n ≠0 C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数

(公开课一等奖)二次函数复习课教案

《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日

关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。

难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解

若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养．

二次函数的应用教案(教学设计)

1.以具体实践案例为基础，理解二次函数的深刻内涵及有关概念，感受现实问题中两个变 2.体会数量关系变化的过程，学会使用“二次函数”这一数学模型； 3. 使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题； 4. 培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力，体会数学知识的现实意义，激发学生学习数学的热情； 教学重点及难点： ㈠教学重点： 1、将生活中的实际问题转化为数学问题。 2、将实际问题中的数量关系，归结二次函数变量之间的关系，从而利用二次函数知识解 决实际问题。 ㈡教学难点： 1、将实际问题转化为数学问题。

解：如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：2 (4)4y a x =-+, (08)x ≤≤ 209 抛物线经过点（0，） 220(04)49 a ∴=-+ 19 a ∴=- 21(4)49 y x ∴=--+ 208y 9 x ==当时， ∵篮圈中心距离地面3米,20y 39 =< ∴此球不能投中 问题;若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? 预设:（1）跳得高一点 （2） 向前平移一点 【设计意图】通过这一问题，让学生思考角度和力度都不变,，与哪些数学知识点有关，体会实际问题中的语言，与数学知识点的转化，进而体会抛物线上下、左右的平移应用。

(1)在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈? (2)在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？ 三、学以致用，巩固提高 练习： 一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m 处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为1 0m时，球到达最高点，此时球高4米。在球门正前方1m 处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为o.8m，若此时该后卫起跳及时，他能否拦住球? 为什么? 若没有这名后卫, 球能否射进球门(在不考虑守门员等情况下) ? ( 球门高:2.44m)

实际问题与二次函数教学设计

实际问题与二次函数 【教学目标】 一、知识与技能： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。 二、过程与方法： 应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。 三、情感态度与价值观： 在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。【教学重难点】 1.探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。 2.如何将实际问题转化为二次函数的问题。 【教学过程】 一、复习旧知、导入新课 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。 二、学习新知 1.应用二次函数的性质解决生活中的实际问题 出示例1.要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？ 解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。围成的矩形面积S与L的函数关系式是 S＝L(30－L) 即S＝－L2＋30L

(有学生自己完成，老师点评) 2.练一练： 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 请同学们完成解答；教师巡视、指导；师生共同完成解答过程： 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx) 即y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－12)2＋225 因为x＝12时，满足0≤x≤2，所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225． 所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。 三、课堂小结 小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤： （1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （2）研究自变量的取值范围； （3）研究所得的函数； （4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： （5）解决提出的实际问题。

二次函数的概念教学设计课题

二次函数的概念教学设计 芷兰实验学校佳雪 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 二次函数是在学生学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习的一个新的函数，学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为后来学习二次函数的图象做铺垫，更是高中学习阶段不可缺少的一类重要函数，在学业水平测试中占有较大比例，更是压轴题的热门. 2、学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，上课气氛比较沉闷，不爱发表自己的见解，所以本节课我将利用生活中的视频，图片和时事问题引发学生的兴趣，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。 从认知状况来说，学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数概念已经有了认识，但对于得出二次函数的概念（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以我将结合生活中的图片和实例予以引导。 二、教学目标分析 1、知识目标：掌握二次函数的概念，理解二次函数的一般式，初步运用二次函数解决简单应用题，了解如何根据实际问题确定自变量的取值围。 2、能力目标：通过视频图片的引入，培养学生的观察力，抽象概括能力及创造想象能力 3、情感目标：通过观察、讨论、合作交流等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心． 4、教学重点难点：新概念教学指出，正确的理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用知识解决问题的金钥匙，所以本节课的重点是对二次函数概念的理解。难点是由实际问题确定函数解析式和自变量的取值围。 三、课堂结构设计 1、设计理念：形的引入，揭示为什么学二次函数，再数的解析，得出什么是二次函数，最后达到数形结合的统一、 2、为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：（1）联系生活，引出概念 （2）合作交流，提炼概念 （3）全面剖析，理解概念 （4）例题讲练，运用概念 （5）拓展延伸，升华概念 （6）归纳小结，整理概念

二次函数的性质教案教案

2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大 而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 -

(完整版)二次函数的应用教案

22．5 二次函数的应用 岑川中学龙小丹 一、教学目标 1、知识与技能： 通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。 2、过程与方法： 通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。 3、情感态度价值观： 通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。 二、重点、难点 教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题 教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用 三、教学方法与手段的选择 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，因而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。 四、教学流程 （一）复习引入 （1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：

（二）讲解新课 1、在情境中发现问题 [做一做] 1）、你能够画一个周长为40cm 的矩形吗？ 2）、周长为40cm 的矩形是唯一的吗？ 3）、谁画出的矩形的面积最大？ 4）、有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？ 2、在解决问题中找出方法 [想一想]：某小区想用40m 的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？ 3、在巩固与应用中提高技能 变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m ） 那么此时用40m 的栅栏可以围成矩形的面积 （1）能够为202m 2 吗？ （2）能够为200m 2 吗？ （3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。 在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。 （三）、师生小结 1、通过本节课的探讨，在实际问题中求解最值，你有怎样的收获？ 2、体会数学的价值

(完整版)九年级数学《二次函数》总复习教案.doc

九年级《二次函数》总复习 一、教学目标 1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能 根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关 系； 2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对 称轴和顶点坐标。 二、教学重点和难点 重点：根据图象对二次函数的性质进行分析 难点：根据图象对二次函数的性质进行分析 三、教学过程 知识梳理 :1 、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c 及相关符号的确定 5、抛物线的平移 （一）、二次函数的定义 定义： y=ax 2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠ 0） 定义要点：① a ≠ 0 ②最高次数为 2 ③代数式一定是整式 b 练习： 1、y=-x 2， y=2x2-2 /x ，y=100-5 x 2， 2a y=3 x 2-2x 3+5, 其中是二次函数的有 ____个。

2. 当 m_______时, 函数 y=(m+1)χm2-m - 2 χ+1 是二次函数？ ( 二) 、二次函数的图像及性质 抛物线 y=ax 2 +bx+c(a>0) y=ax 2 +bx+c(a<0) b 4ac b 2 b 4a c b 2 顶点坐标 , , 2a 4a 2a 4a b 直线 x b 对称轴 直线 x 2a 2a 位置 由a,b 和c 的符号确定 由a,b 和c 的符号确定 开口方向 a>0, 开口向上 a<0, 开口向下 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的 在对称轴的左侧 ,y 随着 x 的 增减性 增大而减小 . 增大而增大 . 在对称轴的 在对称轴的右侧 , y 随着 x 的 右侧 , y 随着 x 的增大而减小 增大而增大 . . 当 x=- b 时， y 最 小 值 为 当 x=- b 最值 2a 2a 4ac b 2 4ac b 2 4a 4a 例 1：已知二次函数 :y= 1 x 2 x 3 2 2 时 ， y 最 小值 为 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点 M 的坐标。 （2）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A 、B 两点，求 C ，A ，B 的坐标。 （3）x 为何值时， y 有最小值，这个最小值是多少？

二次函数主题单元总结复习教学设计课件课件.docx

表3-1主题单元教学设计模板主题单元标题二次函数 作者姓名所属单位 联系地址联系电话 电子邮箱邮政编码 学科领域（在内打√表示主属学科，打+ 表示相关学科） 思想品德音乐 化学 信息技术语文 美术 生物 科学 √数学 外语 历史 社区服务 体育 物理 地理 社会实践 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 九年级下学期 所需时间课内共用 8 课时，课外 3 课时每周 6 课时； 主题单元学习概述( 说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专 题的划分和专题之间的关系，单元的主要学习方式和预期的学习成果，字数 300-500。) 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型。著名的自由落体运动公式就是二次函数 刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式。二次函数也是某些单变量最优化的数学模型。如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数的图像------- 抛物线，也是人们最为熟悉 的曲线之一。喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径。同时，抛物线形状在建筑上也有着广泛 的应用，如抛物线拱桥、抛物线型隧道等。二次函数还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研 究将为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础、积累经验。 能用表格、表达式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力， 能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。会做二次函数的图像，并能根据图像对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。能根据二次函数的表达式确定二次函 数图形的开口方向、对称轴和定点坐标。能根据已知条件确定二次函数的表达式。能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。

二次函数 优秀教学设计(教案)

二次函数的图象和性质重难点教学设计 学情分析： 本节课在前面讨论了二次函数y=a(x-h)2+k图象和性质的基础上对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c 向y=a(x-h)2+k转化。前面学过用配方法解一元二次方程，了解方程配方的基本过程，但是把y=ax2+bx+c配方成y=a(x-h)2+k，学生理解和掌握还需要一个过程。前面多节课都采用画函数图象的方法来研究函数性质，学生已经基本具备这种研究函数图像和性质的思路和方法，这些都为本节课的进一步研究奠定了基础。设计理念： 本节课遵循“探索—研究——运用”亦即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究一般形式的二次函数图象及其性质。 教学方法与学习指导策略建议 贯彻特殊到一般的思想：整个教学过程应遵循从特殊到一般的思想，激励学生主动学习和探索，在交流和亲自参与中获得知识，是我们教师一项十分重要的任务．从实例引入充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲．另外应以问题研讨，小组合作的形式，替代教师的讲解，分化难点、解决重点。 学习重难点以及分析 学习重点：会用配方法把二次函数一般形式变成顶点式，从而找出二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的增减性。 配方法是前一章学生虽然有所接触，但不是要求重点掌握的内容，本堂课让学生通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式仍有一定的难

度，特别是面对一般形式要想到把它化为顶点式，这种化归思想是学生学习经验中所欠缺的。在转化过程中学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆。 故本节课设计的教学难点是：如何想到将用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式．以及对配方变形过程的理解。 教学过程 活动一【题组一】观察下列解析式，然后回答问题： (1)Y=x2(2)y=x2+1 (3) y= (x-2)2(4) y= (x-2)2+1 a、说出上述抛物线的顶点坐标。 b、当x ——时，抛物线y= (x-2)2+1的函数值随x的增大而增大。 当x ——时，抛物线y= (x-2)2+1的函数值随x的增大而减小。 当x ——时，抛物线y= (x-2)2+1取得最值，最值y= _ . c、把上述抛物线(1)看作原始抛物线怎样移动得到(4)？学生回答 教师几何画板演示平移过程。 活动二教师出示问题1：如何求抛物线y = ?x2－6x ＋21的顶点坐标？ （教师引导提示：与刚才的【题组一】的4条抛物线相比，在解析式的 形式上是否一样？由此引发学生思考，寻找解题方案。） 1、小组交流、讨论并让小组一名代表到黑板展示讲讲“怎么办？”找出解 题方案----引出配方法。再说说如何操作化成顶点式？ 2、教师点拨，再重新板书并展示配方格式和过程，强调步骤： y = ?x2－6x ＋21

新人教版九年级下二次函数全章教案

（1 （2 教学重点： 值围。 教学难点： 教学过程： 一、问题引新 1. 出矩形的另一边中， 2．x 3 面积y等于多少? 1 2、观察概括 y=6x2 以上 3 的二次函数，a 4、课堂练习 （1）(口答 (1)y=5x (3)y=2x （2）．P3 五、小结 六、作业：课本第 七、板书

第二课时：26.1 二次函数（2） 教学目标： 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象 教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值围列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。 四、课堂练习：练习册P 练习1、2、3、4。 五、作业：1．画出函数y=1/2x2的图象? 2．写出函数y＝ax2具有哪些性质?

二次函数全章教案

第二十二章二次函数教案 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时 22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时 22．3实际问题与二次函数…………………3课时 教学活动小结及测试…………………3课时 （三）、本章教学目标分析 （1）本章教学要求如下 ①经历描点法画函数图象的过程。 ②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。 ③经历二次函数图象平移的过程。 ④了解y=ax2，y=a(x＋m)2，y=a(x＋m)2＋n三类二次函数图象之间的关系。

二次函数教案设计

二次函数 【教学目标】 1．知识与技能：认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式。 2．过程与方法：通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系和求自变量的取值范围。 3．情感态度与价值观：培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识。 【教学重难点】 1．重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 2．难点：熟练地列出二次函数关系式。 【教学过程】 一、试一试 对于1，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：（1）从所填表格中，你能发现什么？（2）对前面提出的问题的解答能作出什么猜想？让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为 5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10。 对于3，教师可提出问题，（1）当AB=xm时，BC长等于多少m？（2）面积y等于多少？并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式。 二、提出问题 分析： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？ [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？ [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x 元，则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？ [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x 的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的范围。 [x 的值不能任意取，其范围是0≤x ≤2] 5．若设该商品每天的利润为y 元，求y 与x 的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x ≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x ＜10＝化为： y=－2x 2＋20x (0＜x ＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x ≤2)化为： y=－100x 2＋100x ＋20D (0≤x ≤2) (2) 三、观察、概括 1．教师引导学生观察函数关系式（1）和（2），提出以下问题让学生思考回答； （1）函数关系式（1）和（2）的自变量各有几个？ (各有1个) （2）多项式－2x 2＋20和－100x 2＋100x ＋200分别是几次多项式？ (分别是二次多项式) （3）函数关系式（1）和（2）有什么共同特点？ (都是用自变量的二次多项式来表示的) 2．二次函数定义：形如y=ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项。 【作业布置】 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y=3x 4＋x 2＋1 （2）y=x ＋1 （3）y=3x 2＋4x （4）y=x 2＋x ＋151312 （5）y=(x ＋3)2－x 2 （6）y=3(x －1)2－1 2．y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a 、b 、c 为常数)为二次函数的条件是( ) A ．B ≠0 B ．C ≠0 C ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 D ．a ≠0

九年级数学一元二次函数教案

个性化教学辅导 课时统计：第（12）课时授课时间：教学 内容 一元二次函数的性质 教学目标1、一次函数的性质 2、函数综合题型 重点难点1. 掌握函数的图像性质；2．掌握一次函数的性质与运用 教学过程1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y, , ( 2+ + =是常数，)0 ≠ a，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数2 ax y=的性质 （1）抛物线2 ax y=的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数2 ax y=的图像与a的符号关系. ①当0 > a时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 < a时?抛物线开口向下?顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2 ax y=） （0 ≠ a. 3.二次函数c bx ax y+ + =2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y+ + =2用配方法可化成：()k h x a y+ - =2的形式，其中a b ac k a b h 4 4 2 2 - = - =，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y=；②k ax y+ =2；③()2h x a y- =； ④()k h x a y+ - =2；⑤c bx ax y+ + =2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向：当0 > a时，开口向上；当0 < a时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴（或重合）的直线记作h x=.特别地，y轴记作直线0 = x.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为 (h ,k )，对称轴是直线h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0