结构力学图乘法
§4－6 图乘法
我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分
?
ds
EI
M M K
i
的数值。这里，i M 、K M 是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段，若EI 是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。
下面说明图乘法的内容和应用
图4－20所示为直杆AB 的两个弯矩图，其中i M 图为一直线。如果该杆截面抗弯刚度EI 为一常数，则
?
?=
dx
M
M
EI
dx EI
M M K
i
K
i 1 (a)
以O 为原点，以α表示i M 图直线的倾角，则i M 图上任一点标距（纵坐标）可表示为
α?=tan x M i
因此， ??α=B
A
K
B A
K i dx xM
dx M M tan （b ）
式中，dx M K 可看作K M 图的微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；dx M x K ?是这个微分面积对y 轴的面积矩。于是?B
A K
dx xM
就是K M 图的面积ω对y 轴的
面积矩。以0x 表示K M 图的形心C 到y 轴的距离，则
0x dx xM
B
A
K
ω=?
将上式代人式（b ），得到
00tan y x dx M M B
A
K i ω=ω?α=?
(c)
其中，0y 是在K M 图形心C 对应处的i M 图标距。利用式（c ），式（a ）可写成
1y
EI
dx EI
M M B
A
K
i ω=
?
（4－ 29）
这就是图乘法所使用的公式。它将式（a ）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法计算时要注意两点：
（1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距0y 应取自直线图中。
（2）正负号规则：面积ω与标距0y 在杆的同一边时，乘积0y ω取正号；ω与0y 在杆的不同边时取负号。
图4－21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线
图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。
下面指出应用图乘法时的几个具体问题。
（1）如果两个图形都是直线图形，则标距0y 可取自其中任一个图形。 （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑。对于图 4－22所示的情形，则有
3
32
211y
y
y dx M
M
K
i
ω+ω+ω=?
（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。
例如，图4－23中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形（K M 图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用图乘法。因此
2
211y
y dx M
M
K
i
ω+ω=? （a ）
其中，
)(3231,3322
2,22
11b d c y
d c y l
b
l a ??
??
?+
=+
=
=
ω=ω
所以:
?+++=
)
2(6
)2(6
d c bl d c al dx M
M K
i
又如，图 4－24中的K M 图可以分解为两个三角形：三角形 ADB 在坐标轴以上，三角形ABC 在坐标轴以下。这时
)
(3
32)(3322
,2
22
1121反侧与反侧与ω-
=
ω-==
ω=ωc d y
d c y bl al
所以:
?-+
-=)
2(6
)2(6
c d bl c d al dx M
M K
i
图4－25a 所示为一段直杆AB 在均布荷载q 作用下的P M 图。由第二章可知，
P
M
图是由两端弯矩A M 、B M 组成的直线图（图4－25b 中的M '图）和简支梁
在均布荷载q 作用下的弯矩图(图4－25c 中的O M 图）叠加而成的。因此，可将
P
M
图分解为直线的M '图和抛物线的O M 图，然后再应用图乘法。
还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。所以虽然图4－25a 中的M 图与图4－25C 中的M 图形状并不相似，但在同一横坐标C 处，二者的纵坐标是相同的，微段dx 的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的。因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的。
例4－8 用图乘法计算图4－26a 所示简支梁在均布荷载q 作用下的B 端转角Δ。
例4－9 图4－27a 所示为一悬臂梁，在A 点作用集中荷载P ，求中点C 的挠度c ?。
例4－10图4－28a所示为一预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图。已知板宽1m，厚2.5 cm，混凝土容重为3
25m
kN。板的起吊点为 A、B。求 C 点挠度
。
c
结构力学图乘法
§4－6 图乘法 我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分 ? ds EI M M K i 的数值。这里，i M 、K M 是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段，若EI 是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。 下面说明图乘法的内容和应用 图4－20所示为直杆AB 的两个弯矩图，其中i M 图为一直线。如果该杆截面抗弯刚度EI 为一常数，则 ? ?= dx M M EI dx EI M M K i K i 1 (a) 以O 为原点，以α表示i M 图直线的倾角，则i M 图上任一点标距（纵坐标）可表示为 α?=tan x M i 因此， ??α=B A K B A K i dx xM dx M M tan （b ） 式中，dx M K 可看作K M 图的微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；dx M x K ?是这个微分面积对y 轴的面积矩。于是?B A K dx xM 就是K M 图的面积ω对y 轴的 面积矩。以0x 表示K M 图的形心C 到y 轴的距离，则 0x dx xM B A K ω=? 将上式代人式（b ），得到 00tan y x dx M M B A K i ω=ω?α=? (c) 其中，0y 是在K M 图形心C 对应处的i M 图标距。利用式（c ），式（a ）可写成
1y EI dx EI M M B A K i ω= ? （4－ 29） 这就是图乘法所使用的公式。它将式（a ）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。 应用图乘法计算时要注意两点： （1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距0y 应取自直线图中。 （2）正负号规则：面积ω与标距0y 在杆的同一边时，乘积0y ω取正号；ω与0y 在杆的不同边时取负号。 图4－21给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线 图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。 下面指出应用图乘法时的几个具体问题。 （1）如果两个图形都是直线图形，则标距0y 可取自其中任一个图形。 （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑。对于图 4－22所示的情形，则有 3 32 211y y y dx M M K i ω+ω+ω=? （3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。
结构力学第三章习题及答案
静定结构计算习题 3—1 试做图示静定梁的M 、F Q 图。 解：首先分析几何组成:AB 为基本部分，EC 为附属部分。 画出层叠图，如图（b ）所示。 按先属附后基本的原则计算各支反力(c)图。 之後，逐段作出梁的弯矩图和剪力图。 36.67KN 15KN ?m 20KN M 图（单位：KN/m ） 13.3 23.3 13.33 F Q 图（单位：KN ）
3—3 试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 解：（1）计算支反力 F AX =48kN （→） M A =60 KN ?m (右侧受拉) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) 3—7 试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 解：（1）计算支反力 F AX =20kN （←） F AY =38kN(↑) F BY =62kN(↑) （2）逐杆绘M 图 B C M 图（单位：KN/m ） F Q 图（单位：KN ） 30 30 F AX F N 图（单位： 60 ） 20 ）
（3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) 3—9 试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 解：（1）计算支反力 F AX =0.75qL （←） F AY =-0.25qL( ) F BY =0.25qL(↑) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) 3—11试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 解：（1）计算支反力 F BX =40KN （←） F AY =30KN (↑) F BY =50kN(↑) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) C （a ） q BY 2
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结构力学第三章习题 及答案
静定结构计算习题 3 —1试做图示静定梁的M、F Q图。 ） 解：首先分析几何组成：AB为基本部分，EC为附属部分画出层叠图，如图（b）所示。 按先属附后基本的原则计算各支反力（c）图。 之後，逐段作出梁的弯矩图和剪力图。 F Q图（单位:
3—3试做图示静定刚架的内力（M、F Q、F N）图，并校核所得结果 解：（1）计算支反力 F Ax=48kN （―）M A=60 KN ?m（右侧受拉） （2）逐杆绘M图 （3）绘F Q图 （4）绘N图 （5）校核：内力图作出后应进行校核。（略） 30 F Q图（单 位: 3—7试做图示静定刚架的内力（M、F Q、F N ）图，并校核所得结果 F N图（单位:
解：（1）计算支反力 F Ax=20kN (J) F AY=38kN( T ) F BY=62kN( T ) (2) 逐杆绘M图 (3) 绘F Q图 (4) (5) 校核：内力图作出后应进行校核。 （略） 做图示 静定刚 架的内 (M 、 F Q、F N)图，并校核所得结果。 0.25qL F Q图0.25qL ￡o?25qL (￡ A xk 0.25q|D 0.25qL F N图
解：(1)计算支反力 F Ax=0.75qL (J) F AY=-0.25qL( ) F BY=0.25qL( T ) (2)逐杆绘M图 (3)绘F Q图 (4)绘N图 (5)校核：内力图作出后应进行校核。(略) 3—11试做图示静定刚架的内力(M、F Q、F N)图，并校核所得结果解： (1)计算支反力 F BX=40KN (J) F AY=30KN ( T ) F BY=50kN( T ) (2)逐杆绘M图 (3)绘F Q图 (4)绘N图 (5)校核：内力图作出后应进行校核。(略)
结构力学知识点总结
1.关于∞点和∞线的下列四点结论： (1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。 (2) 不同方向上有不同的∞点。 (3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。 (4) 各有限远点都不在∞线上。 2.多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。 [ 3.W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。W=0, 具备成为几何不变体系所要求 的最少约束数目。W<0， 体系具有多余约束。 4.一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 两个刚片用三根不全平行也不交于同一点的链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。 { 5.二元体规律： 在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。 6.形成瞬铰（虚铰）的两链杆必须连接相同的两刚片。 7.w=s-n ，W=0,但布置不当几何可变。自由度W >0 》 但W ≤0仅是体系几何不变的必要条件。S=0, 8..轴力FN --拉力为正； 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正； 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正。 弯矩图 --习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号； ^ 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。 9.剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度q 的大小 ； 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 ） ()()Q dM x dF x dx =22 () ()()Q dF x d M x q y dx dx ==-FN N FQ+dF Q Q x x
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定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 解：（1）计算支反力 F AX =48kN （→） M A =60 KN ?m (右侧受拉) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) 3—7 试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 B C M 图（单位：KN/m ） F Q 图（单位：KN ） 30 30 F AX F N 图（单位： 60 ）
解：（1）计算支反力 F AX =20kN （←） F AY =38kN(↑) F BY =62kN(↑) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) 3—9 试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 ） q 2
解：（1）计算支反力 F AX =0.75qL （←） F AY =-0.25qL( ) F BY =0.25qL(↑) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略) 3—11试做图示静定刚架的内力（M 、F Q 、F N ）图，并校核所得结果。 解：（1）计算支反力 F BX =40KN （←） F AY =30KN (↑) F BY =50kN(↑) （2）逐杆绘M 图 （3）绘F Q 图 （4）绘N 图 （5）校核: 内力图作出后应进行校核。(略)
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结构力学复习题 一、单选题 1、 ①下图结构的自由度为。 （A）0 （B）-1 （C）-2 （D）1 正确答案（B） ②下图结构的自由度为。 （A）0 （B）-1 （C）-2 （D）1 正确答案（C） ③下图结构的自由度为。 （A）0 （B）-1 （C）-2 （D）1 正确答案（A） ④下图结构的自由度为。 （A）0 （B）-1 （C）-2 （D）1 正确答案（D） 2、 ①分析下图所示体系的几何组成为。
（A）几何不变，无多于约束 （B）几何可变（C）几何瞬变 （D）几何不变，有多于约束 正确答案（A） ②分析下图所示体系的几何组成为。 （A）几何不变，无多于约束 （B）几何可变（C）几何瞬变 （D）几何不变，有多于约束 正确答案（D） ③分析下图所示体系的几何组成为。 （A）几何不变，无多于约束 （B）几何可变（C）几何瞬变 （D）几何不变，有多于约束 正确答案（D） ④分析下图所示体系的几何组成为。 （A）几何不变，无多于约束 （B）几何可变（C）几何瞬变 （D）几何不变，有多于约束 正确答案（B） 3、 ①指出下列结构的零杆个数为。 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 正确答案（C）
②指出下列结构的零杆个数为。 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 正确答案（C） ③指出下列桁架的类型。 （A）简单桁架 （B）联合桁架 （C）组合桁架 （D）复杂桁架 正确答案（B） ④指出下列桁架的类型。 （A）简单桁架 （B）联合桁架 （C）组合桁架 （D）复杂桁架 正确答案（A） ⑤指出下列结构的单铰个数为。 （A）13 （B）14 （C）15 （D）16 正确答案（D） 4、 ①指出下列结构的超静定次数为。