撞击流性质及其应用_伍沅

专论与综述 Monogra ph a nd Review

撞击流性质及其应用*

伍 沅

(武汉化工学院化工系,武汉,430073)

提 要 撞击流已被证明是强化相间热质传递最有效的方法之一;但不可能是一种万能的工具,因为它也有其本身的局限性。在回顾前人和本文作者一系列研究结果的基础上,综合评价了撞击流的基本特性,包括优点和缺点,诸如气固系统阻力不大、传递系数大、混合强烈、活性区停留时间很短以及难以安排多级系统等。简要介绍了撞击流工业应用现状和某些有希望成功的开发研究,包括本文作者所作的循环撞击流干燥过程和撞击流反应制 超细 白炭黑研究的主要结果。

关键词 撞击流,特性,应用,干燥,超细白炭黑

1 撞击流的基本原理

撞击流(Impinging Streams,简记为IS)的概念由Elperin[1]首先提出,但其应用可追溯到20世纪50年代初开发的Koppers-Totzek粉煤气化炉[2,3]。以气-固两相体系为例,撞击流的基本原理如图1所示。两股两相流相向高速( 20m/s)流动撞击,结果在两加速管之间造成一个高度湍动的撞击区。气流在撞击面上轴向速度趋于0并转为径向流动。颗粒可藉惯性渗入反向流并在开始渗入的瞬间相间相对速度达到极大值;随后在摩擦阻力作用下减速直到轴向速度衰减为0,随后又被反向加速向撞击面运动,并可能再次渗入原来气流。在轴线附近的颗粒在两股相向流体间往复渗透可多达6次。于是,撞击区高度湍动和很大的相间相对速度提供了极佳的传递条件。已经证明[3],撞击流是强化相间传递尤其是外扩散控制的传递过程最有效的方法之一,传递系数可比一般方法提高数倍到十几倍,这一特性受到普遍关注。撞击造成的另一结果是极大地促进混合,尤其是微观混合。近几年来,人们开始将这一特性用于通过化学反应制取超细粉体等,已显示出巨大的应用潜力。该领域的研究有迅速增长的趋势。

图1所示单相或多相流之间的撞击是 软性 的。其流动结构显然不同于射流冲击固定表面的冲击射流(Impinging jet),虽然在英语中它们都使用impinging一词。后者也具有高度强化传递和混合的特性,在快速加热、冷却、涂层干燥、反应和表面清理等方面有重要的应用。近十多年来该领域的研究也非常活跃,

但它不属于本文讨论的范畴。

图1 撞击流原理

撞击流的特殊流动结构适合于处理至少包含一个连续相的多相体系如气-液、液-液、液-固体系;当然,流体相向高速流动撞击的构思也可以外推用于均相或均相-多相体系。

2 撞击流的主要特性

了解撞击流的基本性质,对于开发应用具有指导意义。从撞击流工作原理及其可能的应用途径的观点来看,下述性质显然是重要的。

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国家自然科学基金(29276260,20176043)、浙江省科学基金、中国科学院化工冶金研究所多相反应开放研究实验室资助项目。

2.1 流体阻力

因涉及高速流动,流体阻力是人们关注的问题之一[4]。吴高安和伍沅[5]对气-固体系在一水平两流撞击流接触器中进行了研究。结果表明:(1)只要装置结构设计合理,阻力并不大;(2)压降主要消耗在加速固体颗粒,对于粒径约1mm的油菜籽或黍粒-空气体系,采用1m长加速管,气速在20~30m/s之间,总压降仅400~500Pa;加速颗粒引起的压降约占总压降的80%。因此,对于粉粒状物料,流体阻力不应当成为撞击流应用的障碍。当然,过大、过重颗粒采用撞击流处理显然是不恰当的,因为加速需要的能量将会相当高。

2.2 传递系数

强化相间传递是撞击流极具吸引力的重要性质。20世纪90年代中期以前的30多年间,撞击流领域有关传递过程的研究最为集中。Ta mir等[3]对多种物系和多种单元过程实验研究的结果表明,撞击流中相间传递系数,特别是两相密度差很大和外扩散控制过程的传质系数,可以比传统过程提高数倍到十几倍。作者重复Tamir用碱溶液吸收CO2等实验,得到相近的结果;黄凯等[6]所作循环撞击流干燥研究,根据测定容积蒸发系数推算传递系数,也得到相同的结论。Matthias等[7]较近测定了撞击流反应器中的容积传质系数,得出:在输入功率 0.6kW/m3范围内反应器各部分对传质的贡献相似,但在 0.7kW/m3范围内传质系数主要受撞击区及其下面传质过程的影响。李发勇[8]等进行水吸收CO2和H2S的实验研究,也证明撞击流吸收器中的容积传质系数明显高于喷射吸收器和鼓泡塔。2.3 混合性质

对于固相、液相和液-固相体系,混合状况对加工过程往往有重大影响。下述研究结果值得注意。

2.3.1 固体混合 Ta mir利用撞击流使固体颗粒混合[3]。实验装置类似带中心导流筒的喷动床,但导流筒操作气速更高,且其上方引入一股反向同轴高速纯气流,与通过导流筒向上运动的气-固两相流撞击。导流筒两侧分别装入密度粒径相同但颜色不同的颗粒进行实验,结果数十秒内即可均匀混合,而在上部不引入空气流即无撞击的情况下,操作10mim后仍基本上没有混合。这说明撞击流大大增强了颗粒运动的随机性,使得撞击区成为颗粒的理想混合区。当然,利用气固撞击流进行粉体混合必须不断排出气体,这会带来气固分离等附加的工程问题。

2.3.2 液相和液固相混合 对于在液相或以液相为连续相的多相体系中进行的过程,混合状况有重大影响。B rauer[9]提出的静态射流混合器(stagna-tion jet mixer)实质上具有循环撞击流结构,已证明对液体混合很有效。然而,其 混合效果大大优于传统搅拌槽 的结论有显著的偏差。该流动结构用于反应、沉淀等过程的潜力也远没有被开发。陈煜等[10,11]用电导响应法对浸没循环撞击流反应器(submerged circulative impinging stream reactor,简记为SCISR)和搅拌槽反应器(STR)中液体混合进行了比较研究,所用SCISR与Brauer混合器流动结构相似。结果表明,在输入相同比有效功率的情况下,SCISR的混合时间比STR要长20%~50%。换言之,在宏观混合尺度上,SCISR的混合性质与STR相比还处劣势。事实上,强烈的混合仅仅发生在撞击区,而SCISR中除强烈混合的撞击区外,还包含导流筒和环室两个基本上没有混合的平推流区。流动结构分析和停留时间分布实验测定结果证明了上述结论[10]。

近30年来,微观混合问题引起人们普遍关注,因为有很多加工过程在分子尺度上进行,而良好的微观混合是这类过程进行的必要条件。当然,撞击流的微观混合性质也引起研究者的广泛兴趣。Ma-hajan等[12]实验研究了无循环两流自由撞击流和浸没撞击流中的微观混合。利用已知速度常数的平行竞争反应,通过生成较慢反应产物的选择性测定反应时间来界定微观混合时间常数。得到结果是:在Re>700范围内微观混合时间<200ms。所谓 界定 ,是指测定的反应时间必定大于微观混合时间常数,后者尚不能直接测量。Fric等[13]用相似的方法研究了撞击流反应器中微观混合程度与进料流量和位置的关系及能量耗散速率,得出微观混合特征时间随进料流量增大而减小,最小可达4ms。刘海峰等[14]也用相似的方法研究了撞击流反应器中的微观混合。Lee等[15]研究了两种液体雾炬射流相向撞击时的混合行为。所有这些研究结果都表明撞击流可以有效地促进微观混合,这是极有应用潜力的特性。该领域存在的问题是促进微观混合的机理尚不清楚。例如沉淀法制取白炭黑和某有机物结晶实验都显示SCISR的反应性能显著优于STR,其优越的程度很难用现有的微观混合理论解释,有待进一步的研究。

另一方面,良好的混合往往意味着强烈的返

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混、推动力降低。对于某些过程,特别是受平衡限制的过程如吸收等,撞击流促进相间传递的优越性可能被推动力降低所掩盖,因为它很难像塔器那样安排多级逆流系统。

2.4 停留时间

Luzzatto等[16]和吴高安、伍沅[17]采用不同的方法研究了气-固撞击流接触器中颗粒停留时间分布。一致的结果是:撞击区中颗粒平均停留时间很短,仅约1s。通过流动结构分析不难推知,液-液或液-固体系物料在撞击区中的停留时间也很有限。由于有很多过程即使在强化传递和混合的条件下也需要较长时间,这一特性使得撞击流的单独应用受到限制。

2.5 破碎、分散和雾化

气固撞击流装置中气流携带被加速的颗粒相向撞击可导致颗粒间或(和)颗粒与壁间剧烈的碰撞,产生粉碎和研磨作用。这一特性可用来制取亚微米级超细粉体。事实上已成功开发了撞击流研磨机,例如Trost射流磨机[18]。张小宁等[19,20]研究认为颗粒间的冲击压力是引起粉碎的主要原因,并用以制取硝铵炸药,测定了粒度和颗粒形貌。

伍沅等人研究了两雾炬撞击流对气-液体系中液体分散度的影响。有意义的发现是:撞击具有均化雾滴的倾向,使粒径分布变窄;但平均粒径基本不变。这意味着在撞击过程中细小滴粒倾向于并聚,而大滴粒倾向分裂。这一观察结果对处理气-液体系可能是有价值的。Saito等[21]新近进行了类似的研究,获得的结果稍有不同:发现滴粒间很少碰撞,并聚的机会比破碎少,Sauter平均直径减小。这两项研究结果差异的原因尚不清楚。

3 撞击流应用现状和主要开发研究方向

3.1 应用现状

撞击流已成功应用的例子就是前面提到的K-T 粉煤气化炉、静态射流混合器和Trost射流磨机。除此以外,尽管已进行众多的研究,工业应用的程度还相当低[22]。应用迟缓主要有两方面的原因。一是认识的偏颇误导了研究方向。此前撞击流的主要研究者认为: 几乎任何化工过程都可以用撞击流来实施 [2]。相应地,其研究工作几乎遍及所有化工单元操作,分散了时间和精力。此外,在研究内容和方法上没有注意解决工程问题,以致不能提供成套应用技术,这也延误了撞击流的工业应用。事实上,撞击流既有突出的优点,也存在其固有的弱点。和任何其他技术方法一样,不能指望它成为万能的工具。只有充分把握其性质特征,扬其所长、避其所短,恰当选择应用对象,并在开发研究中充分注意解决相关的工程技术问题,才有可能迅速推进撞击流的工业应用。幸而,近十年来撞击流技术已引起各国学者的重视。有理由相信,今后会不断地有应用撞击流的技术在多种加工过程中出现。

3.2 开发应用的主要方向

最近十多年来,国内外有关撞击流应用的开发研究有增长的趋势。其中最有希望获得成功、因而也最值得注意的有下述几个领域。

3.2.1 撞击流反应制取超细粉体 通过反应-沉淀制取超细粉体需要提供很高而且均匀的过饱和度环境。由于撞击流具有促进微观混合的特性,可以创造上述条件,近十多年来倍受重视。瞬间完成的反应沉淀过程可以单独在撞击流中完成。Mahajan 等[12]和Liu等[23]研究多种药物在两流撞击流反应器中的快速沉淀,获得了良好的效果。反应器的基本结构是在一容器中直接使两股射流水平或稍微倾斜地相向撞击,自由撞击流反应器中的微观混合显然比浸没撞击流更强,因为两股相向流体可以采用非常高的操作速度。Fric等[13]和刘海峰等[14]的研究也是以制取超细粉体为应用背景。值得关注的是:这种反应器可用以制取纳米材料。当然,这类技术要成功地用于工业还必须解决抑制细微粒子并聚和长大的助剂,以及有效的超细固液分离技术等。较慢的反应不可能单独在撞击流中完成。伍沅开发的浸没循环撞击流反应器[24]可以有效地解决单纯撞击流停留时间短的问题。

3.2.2 撞击流燃烧 撞击流强烈的微观混合对气体燃料燃烧以及强化传质对液体或固体燃料的燃烧都是十分有利的。前面提到的K-T粉煤汽化炉就是应用撞击流的典型例子,并已证明是成功的。多股火焰相互倾斜撞击的方式已用于较新型的民用燃气灶具。最近的研究主要集中在改进燃烧室结构和喷燃器的安排方面,以期进一步提高燃烧效率,例如刘海峰等[26]的研究。

3.2.3 撞击流干燥 粉粒状物料干燥是典型的相间热质传递并行过程,是撞击流应用最有可能成功的领域之一。事实上,从20世纪70年代以来,这方面已进行了大量的研究与开发,但工业应用尚未取得实质性进展[23],主要原因就是没有解决好相关的工程问题。大多数需要干燥的粉粒状物料同时

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含有游离水和孔隙水或结合水。前者在强化传递的条件下几乎可以瞬间脱除,后者则因涉及孔隙扩散尤其是液体的扩散,需要相当长的时间。显然,单独使用撞击流不可能完成干燥任务,设计多级撞击流又会使系统变得非常复杂,且大大增加动力消耗。作者领导开发的循环撞击流干燥装置[6]中利用了撞击流强化传递的特性,又通过循环可以任意设置物料停留时间,较好地解决了这一问题,可望在今后不长的时间内实现工业应用。

3.2.4 撞击流粉碎和研磨 利用气固两相撞击流破碎和研磨固体颗粒的突出优点是装置中没有研磨部件,可以有效地防止摩擦产生热而损坏热敏性物料,并避免磨料污染产品。如前述,Trost射流磨机国外在20世纪70年代就已应用[18];国内近十年来应用开发研究有增长趋势[19,20],这也是撞击流的一个有应用价值的特性。

4 研究与开发

近几年来,本文作者及其项目组还进行了多项将撞击流用于化工过程的研究。其中下述项目获得了令人满意的、具有开发应用价值的结果。

4.1 循环撞击流干燥

4.1.1 过程和设备的基本构思 对PVC等同时含有游离水和孔隙水的多孔粉粒状物料,传统工艺采用气流-流化床两级干燥,在设备投资、占用空间、能耗和操作费用等方面都不经济。作者研究的目标是开发一种既有较高蒸发强度,又可在同一装置中脱除游离水和孔隙水的方法和设备。设计的循环撞击流干燥机可以看作撞击流与带中心导流筒的喷动床相结合(图2),但中心(加速)管操作气速更高。它利用撞击流强化传递的性质快速脱除游离水,同时安排了物料通过环室循环的流动结构,实际上可以任意设置总平均停留时间,满足脱除孔隙水的要求。另外,物料在沿环室向下缓慢运动的过程中经历外部传递较弱的条件,有利于颗粒内部水分向表面扩散、消除颗粒内部浓度和温度梯度,相当于谷物干燥中的 缓疏 作用。

4.1.2 主要结果 黄凯等[6]在年处理约50t PVC 的小型装置上进行热态连续干燥实验,获得下列主要结果: 证明了该干燥机结构用于单机脱除游离水和孔隙水是可行的; 对于悬浮法PVC,在较宽的操作条件范围内产品湿含量均可达到规定要求,即 0.4%; 单位温度差下的容积蒸发系数可达16 10-4kg s-1 m-3 K-1,为喷雾干燥塔的10倍以上; 确定了主要结构参数最优范围和某些操作

参数影响的基本规律。

图2 循环撞击流干燥机示意

由图2还可以看出,干燥产品主要从干燥机底部卸出,从而大大减轻了粉体收集系统的负荷。与我国某厂从德国引进用于PVC的旋风干燥机相比,至少在这方面具有明显的优越性。目前研究工作已转向工业装置的开发。

4.2 浸没循环撞击流反应器

4.2.1 过程和设备的基本构思 浸没循环撞击流反应器[24]是为考查利用撞击流强化微观混合特性,通过液相反应-沉淀法制取 超细 固体产品的可行性设计的。反应-沉淀(结晶)过程包括晶核和晶体生长,主要在分子尺度上进行。要获得细微粒径的产品,必须满足两个基本条件: 有足够高的过饱和度,促使产生大量晶核。 过饱和度必须均匀,才能得到窄分布的产品;否则,即使平均过饱和度很高,也可能在某些局部生长成粗大结晶,导致粒径分布变宽、平均粒径增大,因为大颗粒在平均粒径中 权 很大。平均过饱和度的大小,原则上总可以通过采用适当的进料浓度、流量和配比等条件来控制;而均匀程度则与装置混合性能有关。推测撞击流促进微观混合的优良性质对保证达到均匀的过饱和度环境是有利的。另一方面,绝大多数反应-沉淀过程不可能瞬间完成,必须使反应混合物有足够的停留时间。因此确定采用循环撞击流,反应器结构示意见图3。它实际上可以任意设置平均停留时间。由于物料循环,使得两流体撞击在浸没条件下进行,因此,称为浸没循环撞击流反应器(SCISR)。

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图3 循环撞击流反应器结构示意

用SCISR 研究的第一个物系对象是无机酸与硅酸钠反应 沉淀法制取白炭黑,获得了令人满意的结果。之后又将它用于某有机物结晶和硬脂酸与石灰反应制取硬脂酸钙、以及纳米钛酸锶的制取。结果都证明循环撞击流反应器具有优越的反应性能。

4.2.2 制取 超细 白炭黑的主要结果 采用沉淀法中最简单的一次溶胶法,以硫酸与硅酸钠溶液反应,实验获得下列主要结果: 在3.6 10-3m 3SCISR 中间歇操作,获得聚集体粒径范围0.5~

5.0,平均粒径为1.1~1.6 m 的产物。数据重现性和规律性都非常好。 同一反应器中连续操作也获得相同的结果。 在0.6 10-3m 3STR 中间歇操作进行比较实验结果表明,SCISR 产物粒径更细、分布更窄,如图4所示。注意到反应器规模对SCISR 稍为不利,上述差异应当说是比较明显的。

详细数据将另文报告。

图4 SCISR 和STR 制得白炭黑粒径分布比较

0.6 10-3m 3STR

3.6 10-3m 3SCISR

4.2.3 其他应用SCISR 的主要结果 除制取白炭黑外,本文作者还获得下述几项初步研究中获得有意义的结果: 某有机物结晶,在搅拌槽反应器中需要24h 以上。改用SCISR,结晶时间可以缩短到10h 。 硬脂酸与石灰乳反应制取硬脂酸钙,与采用强化搅拌槽反应器进行比较,试验结果表明,采用SCISR 可以大大提高反应物浓度,且反应时间由5h 缩短到约1h 。这意味着可以较大幅度地提高单位容积生产能力。 湿法制取纳米钛酸锶,电子显微镜测定用SCISR 制得产品平均粒径17~25nm;用STR 对比实验获得产品平均粒径100nm 。

5 结 语

撞击流具有显著强化相间传递和微观混合的特性,因而具有较高的开发应用价值。虽然目前已成功地工业应用的实例只有Koppers -Totzek 粉煤汽化炉、静态射流混合器和Trost 射流研磨机等为数不多的几种,但用于化学反应 沉淀或结晶、干燥等过程的研究已取得重要进展并显示出巨大的潜力,其中用以制取无机纳米或亚微米材料是一个较新的极有希望的领域。此外,预计撞击流还有可能应用于其他化工单元过程如乳化等并产生良好的效果。另一方面,撞击流存在活性区停留时间很短的突出缺点,且难以安排多级系统,应用也有其局限性。只要把握其基本特性,恰当选择应用方向,用其所长,避其所短,并在开发研究中注意解决相关工程问题,可望今后不断地有应用撞击流的技术在多种加工过程中出现。

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伍 沅 男,62岁,工学硕士。现任武汉化工学院化工系教授、化学工程研究室主任;中国通用机械干燥设备行业协会技术委员会主任,机械工业部干燥设备标准化技术委员会副主任,中国化工学会化学工程专业委员会干燥专业组理事,部级有突出贡献的专家;国内外发表论文60余篇;主要研究领域:撞击流 原理和应用,干燥过程与设备。

收稿日期:2000-12-28

中图法分类号:TQ052

Properties and Application of Impinging Streams

Wu Yuan

(Department of Chemical Engineering,Wuhan Institute of Chemical Technology,Wuhan430073)

Abstract I mpinging Streams(IS)has been proved to be one of the most effec tive methods enhancing heat and mass transfer between phases,and thus exhibits potential for application.IS can not be a universal tool,however,for it has some major disadvanta ges,too.It is important for proper application to understand its behaviors.Summarizing a number results worked by the author of the present paper and others,the essential properties of IS,advantages and disadvantages,such as medium resistance to gas-solid suspension flow,high transfer coefficients,strong mixing,very short mean residence time in active region,and difficulty in arranging multistage process,etc.,are evaluated.The status and some new developments of I S industrial application hopeful to be success are reviewed,including those worked by the author,e.g.,drying of PVC in a circulative IS dryer and preparation of ultra fine white carbon black in a submerged circulative I S reactor.

Key words impinging strea m,drying,white carbon black

致读者、作者

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化工进展 E-mail:hgjz@https://www.wendangku.net/doc/f02282022.html,

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函数的幂级数展开式及其应用

函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式

高考数学必背经典结论-正四面体性质

必背经典结论---提高数学做题速度！ 立体几何（必背经典结论） 之 正四面体性质（李炳璋提供） 【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！ 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 （1）对棱间的距离为a 2 2 （正方体的边长）/ 对棱中点连线段 的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离， 若一个球与正四面体的6条 棱都相切，则此线段就是该球的直径。) （2） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） （3） 正四面体的体积为3 12 2a （正方体小三棱锥 正方体V V V 314=-） （4） 正四面体的全面积 S 全= 2a ； （5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1 （正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61=）

（6）外接球的半径为 a 4 6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2 1 =） （7）内切球的半径为 a 12 6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6 1 =） （8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 （9）侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 （10）对棱互相垂直。 （11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则 A B C D O H

（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形； （2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ； （4）底面面积S △ABC （5）S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2 △ABC （7） 22221111 OH a b c =++; （8）外接球半径 （9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++

专题13 圆的基本性质(解析版)

专题13 圆的基本性质 考纲要求: 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念. 2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题. 基础知识回顾: 知识点一：圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的 圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

① 弧AC=弧AD; ②弧BC=弧BD ； ③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、 弧、弦 的关 系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四 ：圆周角定理及其推论 4.圆周 角定 理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A= 12∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 应用举例: 招数一、垂径定理及其推论 【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )

(整理)幂级数的应用

幂级数的应用 将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、 函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来． 例１ 计算常数e ，精确到小数第四位． 解 利用∑∞ ==0 !n n x n x e ，令1=x ，有 Λ++++==∑ ∞ =!31 !2111! 10n n e ． 为达到这个精确度，可观察余项 )! 1)(1(1111!1111!1)2)(1(1 111!1)!1(1!12--=-?=??? ??+++

故得出 0049.332511324555 ≈?? ? ???+≈． 例3 计算2ln 的值，精确到小数第四位． 解 如果利用)1ln(x +的展开式： Λ+-+- =+=4 1 31211)11ln(2ln ， 理论上可计算2ln ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1 +n 项的值 1 1 +n ．欲使410111||=+< n r n ，n 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替． 用 Λ+-+-=+432)1ln(4 32x x x x x 减去 Λ-----=-4 32)1ln(4 32x x x x x 其差是 ??? ? ? ?+++=-+Λ53211ln 53x x x x x ． 令 211=+-x x ，解出3 1 =x 代入上式，得 ?? ? ??+?-++?+?+=-Λ Λ12533112131 513 1313122ln n n ， 其误差 122 1242 123 2123)12(4131113)12(2313113)12(2313213 1121 2)(-+++-+= ???? ? ? ??-+= ?? ? ??++++

正四面体性质及其应用

正四面体性质及其应用 Revised by Jack on December 14,2020

正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3a ； （3） 体积V = 2 12 a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的 距离即其高为 6 3，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高 的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。 例3：（06年陕西卷）将半径为R 的球心到桌面的距离为 。 解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为2 6 3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距 离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。 例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ） A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DC E 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。 例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1

正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积S全 = 2a； (2)体积 V=3 12 a； (3)对棱中点连线段的长 d= a；(此线段为对棱的距离，若一个 球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角α= 1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β= 1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a； (8)切球半径 r= 12 a. (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积V= 1 6 a b c； ④底面面积S△ABC ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； A B C D O H

⑥S 2 △BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 22 221111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 R= ⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)切球半径 r= a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； A O H

学而思中考数学同步圆的基本性质

第六章 圆的有关性质 本章进步目标 ★★★★☆☆ Level 4 通过对本节课的学习，你能够： 1．对圆的有关概念及垂径定理达到【初级运用】级别； 2．对弧、弦、圆心角关系达到【初级运用】级别； 3．对圆周角定理达到【初级运用】级别。 VISIBLE PROGRESS SYSTEM 进步可视化教学体系 73 VISIBLE PROGRESS SYSTEM

74 VISIBLE PROGRESS SYSTEM

第一关圆的有关概念及垂径定理 ★★★★☆☆Level 4 本关进步目标 ★★☆☆☆☆你能够掌握圆有关的概念及性质； ★★★★☆☆你能够理解垂径定理，会根据垂径定理解决运用问题。 75 VISIBLE PROGRESS SYSTEM

76 VISIBLE PROGRESS SYSTEM 学习重点：掌握与圆有关的概念以及性质． 1．（1）弦是直径（ ） （2）半圆是弧（ ） （3）过圆心的线段是直径（ ） （4）过圆心的直线是直径（ ） （5）半圆是最长的弧（ ） （6）直径是最长的弦（ ） （7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆（ ） （8）半径相等的两个圆是等圆（ ） （9）等弧就是拉直以后长度相等的弧（ ） 2．下列说法正确的是（ ） A ．长度相等的弧是等弧 B ．优弧大于劣弧 C ．直径是一个圆中最长的弦 D ．同圆或等圆中的弦一定相等 圆的有关概念【初级理解】 知道与圆有关的概念 会识别并区分相关概念 关卡1-1 圆的有关概念 过关指南 Tips 笔记 ★★☆☆☆☆ 初级理解 例题

77 VISIBLE PROGRESS SYSTEM 下列命题正确的有（ ） ①半径是弦；②直径是最长的弦；③在同一平面内，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个． 下列说法中正确的序号是_________________． ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧． 下列说法正确的是（ ） A ．弦是圆上两点间的部分 B ．弧比弦大 C ．劣弧比半圆小 D ．.弧是半圆 过关练习 错题记录 Exercise 2 错题记录 Exercise 1 错题记录 Exercise 3

过氧化钠性质探究的实践与研究-教学设计

过氧化钠性质探究的实践与研究 美国心理学家布鲁纳黑杰斯认为：“在教学过程中，学生不是被动的消极的知识接受者，而是积极的上动的知识探究者：教师的作用是要形成一种使学生能够独立探究的情境，激发学生发现问题、探究知识的强烈欲望和兴趣，使课堂变为探究性活动的课堂。”“探究活动”作为《新课程标准》一大亮点和学科学习能力的核心被强势推出，倡导让学生在设置情境中发现更多的问题，在自主探究中解决问题。显然，在教学过程中围绕教学目标，创设可靠的问题情境，并针对学生思维的疑点、难点、盲点设计问题，引导学生主动探究，在新课程中具有不可替代的重要性。那么，创设问题情境就不应简单地理解为将课本知识问题化，问题情境应当关注生活、生产和社会的实际问题，关注化学发展的热点问题，关注学生化学学习中的困难问题。本文就“过氧化钠性质”的教学案例，谈谈在化学课堂中如何创造问题情境，引导学生进行有效探究和学习？ ●教学目标： （1）知识与技能 掌握过氧化钠的性质并能够熟练的运用。了解科学探究的基本过程，学习运用以实验和推理为基础的科学探究方法。通过对过氧化钠用途的学习来培养学生理论联系实际的能力。 （2）过程与方法： Na2O2与H2O、CO2的反应作为引领学生探究未知领域的手段，并授以学生科学的学习方法：对比法、实验探究法。 （3）情感态度价值观方面： 在较自由的互动式、探究式的学习氛围中，通过亲身体验获得实验结果来培养学生勇于探究、善于质疑的精神以及科学求真的价值观。 ●教学重、难点： 重点：Na2O2的重要性质及典型实验； 难点：过氧化钠与二氧化碳的反应。 ●教学方法： “互动式”、“启发—探究式”的实验引导分析的方法。 ●教学过程： 【创设情境】展示神六、潜水艇、氧立得等视频，请学生思考其中原理。 【思考与交流】自主学习、合作探究 1、回忆钠和氧气反应的实验现象，书写相应的反应方程式，描述氧化钠和过氧化钠的颜色和状态。 2、1 mol钠和O2反应生成Na2O和Na2O2时转移的电子数？ 【合作探究】1、氧化物的分类：

正四面体的性质 (2)

正四面体的性质及应用 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则存在以下性质： 【性质1】正四面体的3对相对棱互相垂直，任意一对相对棱之间的距离为 a 22 【性质2】正四面体的高=h a 3 6 【性质3】正四面体的表面积为23a .体积为 3122a 【性质4】正四面体的内切球半径为=r a 126.外接球半径为=R a 4 6且4:3:1::=h R r 【性质5】正四面体底面内任一点O 到三个侧面的距离之和为 a 36 【性质6】正四面体内任一点到四个侧面的距离之和为a 3 6 【性质7】正四面体的侧棱与底面所成的二面角大小为: 36arccos 【性质8】正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为: 3 1arccos 【性质9】设正四面体侧棱与底面所成的角为α,相邻两侧面所成的二面角的大小为β,则有βαtan 2tan = 【性质10】正四面体的外接球的球心与内切球的球心O 重合且为正四面体的中心 【性质11】中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等为3 1arccos -π

【性质12】正四面体内接于正方体,且它们共同内接于同一个球.球的直径等于正 方体的体对角线.( V 正四面体: V 正方体 : V 球 = 2 : 6 : 3 3) 二.正四面体性质的应用 【例1】一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a.求此球的体积.【例2】在正四面体ABCD.E,F分别为棱AD,BC的中点,连结AF,CE.①异面直线AF 和CE所成的角_______②CE与平面BCD所成的角_______ 【例3,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为________ 【例4】四面体的ABCD的表面积为S , 其四个面的中心分别为E , F , G , H .设四面体EFGH的表面积为T , 则 S : T = _______

浅析幂级数展开式的应用

浅析幂级数展开式的应用 摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。 关键词：函数；幂级数；展开式 Analyses the Application of the Power Series Expansions Abstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems. Key words：function，power series，expansion

目录 0 引言 (1) 1 幂级数的展开 (1) 1.1 直接展开法 (1) 1.2 间接展开法 (1) 2 幂级数展开式的应用 (2) 2.1 利用幂级数求极限 (2) 2.2 幂级数在不等式证明中的应用 (2) 2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 (3) 2.4 应用幂级数求高阶导数 (4) 2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 (5) 2.6 求非初等函数的原函数 (5) 2.7 利用幂级数求数项级数的和 (6) 2.8 幂级数在微分方程中的应用 (7) 2.9 幂级数应用于近似计算 (8) 3 结束语 (11) 参考文献 (11) 致谢 (12)

浅析幂级数展开式的应用 0 引言 形如2 001020 ()()()n n n a x x a a x x a x x ∞ =-=+-+-+∑???0()n n a x x +-+???的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算. 1 幂级数的展开 函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法. 1.1 直接展开法 直接展开法是比较麻烦的.首先，函数()f x 的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项1 1 0() ()() 0(1)! n n n f R x x x n ξ++= -→+ ()n →∞，即使在初等函数中也是比较困难的. 1.2 间接展开法 间接展开法是根据函数()f x 的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有： （1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式； （2）应用逐项求导或逐项积分法； （3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等； （4）用待定系数法. 这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法. 2 幂级数展开式的应用 幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.

《圆的基本性质复习课》教案

《圆的基本性质复习课》教案 潮阳区华阳初级中学陈朝鸿 复习目标 1、使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2、使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3、圆周角的定理及其推论； 4、与性质相关的计算。 复习难点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4、与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 （一）课前反馈用多媒体小试卷的形式： 展示自主学习案习题：1.在一个平面内，线段OA绕的一个端 点O旋转一周，所形成的图形叫做圆，固定的叫做， 线段叫做。 2.连接圆上任意两点的线段叫；经过圆心的弦叫 ; 圆上任意两点间的部分叫 ;大于半圆的弧叫 ;小于 半圆的弧叫。 3.外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫三角形的外 心，锐角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在 三角形的，直角三角形的外心在三角形。 4. 圆是一个特殊的图形，它既是一个对称图形，又是一个对 称图形。 5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 条弧； 6.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 参与习 题的解 答。 使学生 对所学的 圆的性质 有一个较 系统的回 顾。

九年级化学过氧化钠的基本性质

过氧化钠 ?过氧化钠(Na2O2)的基本性质： 淡黄色固体，较稳定，可用作供氧剂、漂白剂 (1)与水反应：2Na2O2+2H2O==4NaOH+O2↑ (2)与CO2反应：2Na2O2+2CO2==2Na2CO3+ O2 (3)与HCl反应：2Na2O2+4HCl==4NaCl+2H2O+ O2↑ ?过氧化钠的特性及计算： 1．过氧化钠的强氧化性 2．Na2O2与CO2、H2O(g)反应的重要关系 (1)气体体积差的关系 2Na2O2＋2CO2===2Na2CO3＋O2气体体积差① 2 1 ΔV＝1 2Na2O2＋2H2O(g)===4NaOH＋O2气体体积差② 2 1 ΔV＝1 由此可见，若CO2和水蒸气的混合气体（或单一气体）通过足量Na2O2，气体体积的减少量是原气体体积的1/2,即为生成氧气的量。 (2)先后顺序关系 一定量的Na2O2与一定量的CO2和H2O(g)的混合物反应，可视为Na2O2首先与CO2反应，

剩余的Na2O2再与H2O(g)反应。 (3)电子转移关系 当Na2O2与CO2或H2O反应时，每产生1molO2就转移2mol电子。 (4)固体质量变化关系 ①足量过氧化钠与水、CO2反应的计算 所以，有ag通式符合(CO)m(H2)n(m＝0,1,2,3…，n＝0,1,2,3…)的物质(包括纯净物和混合物)在氧气中燃烧，将其通过足量过氧化钠，反应完毕后，固体增重ag。

?特别提醒： (1)用脱脂棉包裹住过氧化钠，滴加少量水时脱脂棉可以燃烧，不仅可以说明Na2O2与H2O反 应生成O2，还可以说明该反应放热。 (2)Na2O2与H2O反应时H2O既不是氧化剂也不是还原剂。 方法技巧：Na2O与Na2O2的结构与性质 (1)Na2O中只含离子键，Na2O2中既含离子键，又含非极性键。 (2)等物质的量的Na2O与Na2O2分别于等量且足量的H2O反应，所得溶液的成分浓度相同

浅谈幂级数展开式的应用

摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords﹒ (1) 引言 (2) 一．基本知识 (2) 1.1．幂级数的性质 (2) 1.2. 幂级数的收敛区间 (2) 二．幂级数的和函数 (3) 三．幂级数的展开 (4) 四．幂级数的展开及其应用 (6) 4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6) 4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6) 4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7) 4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7) 4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8) 4.6. 幂级数在求导中的应用 (9) 4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9) 4.8. 幂级数在组合中的应用 (10) 参考文献 (11) 致谢 (11)

幂级数展开式的应用 摘要 在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。 关键词 幂级数；展开式；应用 Power series expansion of the type of application Abstract In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion Keyword Power series; expansion; applicati

正四面体的性质

⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; 2 2 2 2 & ⑥S △Bo +S △Ao +S △ AO =S △ABC 1 1 + -- ? 2 2 J b c R= 1 J a 2 + b 2 +c 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos ⑤ S △ BO =S BHC ? & ABC ⑧外接球半径 C

2 ⑨内切球半径r= S^OB +S^OC +S^OC~S m c a + b +c

⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos C

正四面体性质及其应用

正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3 a ； （3） 体积V = 2 12 a 3 ； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2 a ； （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4 a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球 心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3 ，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的 距离即其高为 6 3 ，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8 a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12 a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12 a ，因此选 例3：（06年陕西卷）将半径为R 心到桌面的距离为 。 解析

最新过氧化钠化学性质的实验报告

过氧化钠的化学性质 【实验目的】 1.掌握过氧化钠与水反应、与二氧化碳的反应的实质，可以写出方程式。 2．经历吹气点火、滴水点火实验探究，激发同学们的学习兴趣。 【探究内容】 1.过氧化钠与水反应 2.过氧化钠与二氧化碳反应 【实验原理】 1．2Na2O2+2H2O═4NaOH+O2↑ 2．2Na2O2 + 2CO2 = 2Na2CO3 + O2↑ 【实验所需仪器及药品】 仪器：试管（1支）蒸发皿（1只）长玻璃管（1支）脱脂棉火柴镊子钥匙 药品：过氧化钠、水 【实验步骤】 1.Na2O2+H2O （1）取一支干净的试管，在试管中加入少量过氧化钠。 （2）在试管中加入水，有反应生成。 （3）用点燃的火柴放在试管口，观察有没有变得更亮。 （4）用手摸一摸试管外壁，感受温度变化。 （5）在试管中滴入酚酞溶液，观察颜色变化。 2．Na2O2 +CO2 铺于干净的纸上。 （2） （3）取少许过氧化钠，将结块的过氧化钠用研钵研 磨成粉末平铺于脱脂棉上，用镊子将脱脂棉包

起来。 （4）将包好的脱脂棉放入蒸发皿中，用一支细长玻璃管向脱脂棉缓缓吹气。观察现象。 【注意事项】 1. 2.过氧化钠与水的反应，产物里面滴入酚酞溶液可能会出现颜色变红，但红色 马上消失，这是因为过氧化钠有强的氧化性，将酚酞氧化，则红色退去。因此要同学观察时要快，并且尽量不摇动试管。 3. 4.过氧化钠与二氧化碳反应时，由于过氧化碳生产时间久，因此要将结块的过 氧化碳研磨成粉末，使过氧化钠与二氧化碳充分接触。 5.用脱脂棉包过氧化钠时包的松散些，有助于过氧化钠与二氧化碳接触，易于 反应进行。 【实验现象与结果分析】 1.Na2O2+H2O （1）试管内有气体生成。 （2）点燃的的火柴放在试管口变得更亮，说明产生的是氧气。 （3）摸试管外壁，试管外壁温度升高，说明反应放热。 （4）在试管中滴入酚酞溶液，红色生成，说明有碱性物质生成。 2．Na2O2 +CO2 (1) 脱脂棉着火，并且火光剧烈。说明反应放热引起脱脂棉燃烧，反应放出氧气，助燃。 【实验的成功关键】

正四面体性质及其应用

正四面体性质及其应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3a ； （3） 体积V = 2 12 a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。 例3：（06年陕西卷）将半径为R 球的球心到桌面的距离为 。 解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则 ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为 2 6 3 R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。 例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60 ○ ，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿重合于点 P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ）A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DCE 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。 例5：（06年湖南卷）棱长为2球球心的一个截面如图1

过氧化钠的性质探究

过氧化钠的性质探究 安徽省郎溪中学 龚道荣 2012-11-28

【三维目标】 1.知识与技能 掌握过氧化钠的性质，通过过氧化钠性质及用途的学习，培养学生观察实验、生活以及理论练习实际的能力； 2.过程与方法 通过教学使学生掌握探究学习法的一般思路：发现问题、提出猜想、设计实验、验证猜想、探究反思及拓展延伸。 3.情感态度与价值观 在比较轻松自由的学习氛围中，培养学生团结合作、勇于探索、敢于创新、实事求是、善于质疑的探究精神与价值观。 【教学重点】过氧化钠的性质探究。 【教学难点】如何引导学生进行思考，从而完成探究学习法的传授。 【教学方法】实验探究法、分组讨论法、讲授法、迁移法等。 【实验用品】CaCO3、稀盐酸、启普发生器、干燥管、P2O5、试管（若干）、胶头滴管（若干）、Na2O2、钥匙（若干）、脱脂棉、石棉网、铁架台、火柴、檀香（若干）。 【教学用具】多媒体设备等。 【教学过程】 【导入】视频：天气高温成祸首，货车起火酿惨剧。 【设疑】火是怎么形成的？（火的形成需要什么条件） 【回答】燃烧的三要素：可燃物、助燃物、温度达到着火点。 【投影】图片：火三角 【设疑】如果我们有了可燃物棉花，如何使之燃烧呢？(火柴点燃。) 【过渡】下面请一位同学与老师共同完成一个实验，请同学们注意观察。 【演示】“吹气生火”对比实验。 【设疑】同学们观察到了什么？（要求着重说明对比结果） 【回答】向加了淡黄色物质的棉花里吹气，棉花燃烧了！向没有加淡黄色物质的棉花里吹气，棉花没有燃烧。 【过渡】请一位同学回答：淡黄色固体可能是什么？（过氧化钠） 【板书、投影】过氧化钠的性质探究。 【追问】为什么没处理的棉花怎么吹都不燃烧，加过氧化钠之后一吹就能够燃烧？（与加入的过氧化钠有关、与吹入的气体也有关。）怎么有关？（只加过氧化钠或只吹气都不会燃烧，说明吹出的气体与过氧化钠反应了。）吹出的气体可能有哪些成分？（氮气、氧气、CO2、H2O等）哪些气体可能与过氧化钠反应了？（CO2与H2O）为什么说氮气与氧气没有反应？（要反应早反应了！）从燃烧的三要素分析，棉花燃烧是如何符合条件的？（可燃物：棉花；助燃物：原来空气中的氧气或反应生成氧气；温度达到着火点：反应放热。） 【实验探究-1】发现问题、提出猜想、设计实验、验证猜想。 【发现问题】向加了过氧化钠的棉花里吹气，棉花燃烧了，这是为什么呢？ 【教师引导】如何对发现的问题进行猜想呢？ 【提出猜想】猜想Ⅰ：过氧化钠只与CO2反应了，反应放热； 猜想Ⅱ：过氧化钠只与H2O反应了，反应放热； 猜想Ⅲ：过氧化钠与CO2及H2O都反应了，反应都放热。 【教师引导】如何设计实验验证这几个猜想？ 【设计实验】实验Ⅰ：用试管①收集干燥纯净的CO2，向试管里加入少量Na2O2观察； 实验Ⅱ：向试管②中注入少量的水，向试管中加入少量Na2O2观察；