2019高考数学二轮专题复习大题规范练二文

2019高考数学二轮专题复习大题规范练二

文

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为

55，且a2，，a4－9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn ＝，数列{bn}的前n 项和为Sn ，求证：Sn ＜.

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，

则?????5a1＋5×42d ＝55，（a1＋5d ＋a1＋6d ）2＝（a1＋d ）（a1＋3d －9）

?或(舍去)．

故数列{an}的通项公式为an ＝7＋2(n －1)，即an ＝2n ＋5.

(2)证明：由an ＝2n ＋5，得

bn ＝＝1（2n －1）（2n ＋1）

＝.

所以Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋

???? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝＜.

2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行

试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求

量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均

数；

(2)将y 表示为x 的函数；

(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．

解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众

数是150盒，

需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，

需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，

需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，

需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，

需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.

则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋

190×0.15＝153(盒)．

(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒

亏损10元，

所以当100≤x＜160时，y ＝30x －10×(160－x)＝40x －1 600，

当160≤x≤200时，y ＝160×30＝4 800，

所以y ＝?

????40x －1 600，100≤x＜160，4 800，160≤x≤200. (3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x

－1 600≥4 000，解得160＞x≥140.

当160≤x≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x≥140

时，利润y 不少于4 000元．

所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝

0.7.

3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点，连接MN.

(1)证明：直线MN∥平面PCD；

(2)若点Q为PC中点，∠BAD＝120°，PA＝，AB＝1，求三棱锥A-QCD的体积．

解：(1)取PD中点R，连接MR，RC(图略)，∵MR∥AD，NC∥AD，MR＝AD，NC＝AD，∴MR∥NC，MR＝NC，

∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN∥RC，又RC?平面PCD，MN?平面PCD，

∴直线MN∥平面PCD.

(2)由已知条件得AC＝AD＝CD＝1，∴S△ACD＝，

∴VA-QCD＝VQ-ACD＝×S△ACD×PA＝.

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值．

解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0；

由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.

(2)由点P 的极坐标为可得点P 的直角坐标为(2，－2)．曲线C1

的参数方程为(t 为参数)，代入y ＝x2得9t2－80t ＋150＝0，

设t1，t2是点A ，B 对应的参数，则t1＋t2＝，t1t2＝＞0.

∴＋＝＝＝.

5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，g(x)＝|x －a|＋|x ＋a|.

(1)解不等式f(x)＞9；

(2)?x1∈R，?x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a 的取值范

围．

解：(1)f(x)＝?????3x ，x≥12

，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x≤－1.

f(x)＞9等价于或或?????x≤－1，－3x ＞9. 综上，原不等式的解集为{x|x ＞3或x ＜－3}．

(2)∵|x－a|＋|x ＋a|≥2|a|.

由(1)知f(x)≥f＝，

所以2|a|≤，

所以实数a 的取值范围是.