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追踪热点,剖析难点——谈阿波罗尼斯圆定理及其应用

追踪热点,剖析难点——谈阿波罗尼斯圆定理及其应用

☉浙江省诸暨市牌头中学许平儿

【期刊名称】中学数学

【年(卷),期】2017(000)015

【总页数】2

我们知道,到两定点的距离之和为定值(定值大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差的绝对值为定值(定值大于零且小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.那么到两定点的距离之商为定值(定值大于零且不等于1)的点的轨迹是什么呢?

一、阿波罗尼斯圆定理

由此可见,平面内到两个定点的距离之比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗尼斯圆.阿波罗尼斯圆是近几年的高考热点,笔者根据近几年的教学经历谈谈其运用.

二、阿波罗尼斯圆应用

例1已知椭圆(a>b>0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x-c)2+y2=a2+c(2c为半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A、B.

(1)求椭圆方程和直线方程;

(2)试在圆N上求一点P,使

解:(1)容易求得椭圆方程为,直线方程为

(2)因为所以点P的轨迹是圆,只要先求出点P的轨迹方程7x2+7y2+16x-20y+22=0,再和圆N的方程x2+y2-2x-4=0联立即可求得点P坐标为(-1,

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