畸变模型

【畸变模型】

1、径向畸变：来自透镜形状。

2、切向畸变：来自整个摄像机的组装过程。Opencv中所采用的畸变模型:

张正友方法的畸变模型：

Tasi畸变模型：

与张的畸变模型相似，也只考虑了径向畸变。Matlab摄像机标定工具箱：

https://www.wendangku.net/doc/f32336106.html,/bouguetj/calib_doc/htmls/parameters.htm

l

个人觉得该网站所述的畸变模型更加清晰，虽然与张的畸变模型略有不同，但

结果与张的网站上的结果一致。

【张正友摄像机标定法】

1、求解单应性矩阵

求解单应性矩阵的方法类似线性摄像机成像过程，即不考虑摄像机畸变的情况下。由上述个坐标的关系可得

2、求解内部参数M和外部参数R，T

3、畸变参数的确定

上述所有步骤，都没有考虑透镜的畸变。用前面得到摄像机内参数（连同畸变参数都设置为0）作为初始值，然后求解大的系统方程。

畸变方程：

在matlab中用Levenberg-Marquardt等优化方法求解，初值可设为0.

【摄像校正结果】

张网站上的原图

校正后的图像

对比图

图像畸变校正

数字音视频处理大作业（一） 题目：图像畸变校正 班级：021212 学号：02121128 姓名：文威威

目录 第一章图像畸变概述.................................. - 1 - 第一节图像畸变的概念........................... - 1 - 第二节图像畸变形成原因......................... - 1 - 第二章通过算法去除图像畸变.......................... - 2 - 第一节引言..................................... - 2 - 第二节基于网格图像的图像畸变修正............... - 2 - 第三节基于现场定标的图像畸变校正............... - 3 - 第四节基于畸变等效曲面的图像畸变校正 ........... - 3 -

第一章图像畸变概述 第一节图像畸变的概念 图像畸变是指成像过程中所产生的图像像元的几何位置相对于参照系统(地面实际位置或地形图)发生的挤压、伸展、偏移和扭曲等变形，使图像的几何位置、尺寸、形状、方位等发生改变。 第二节图像畸变形成原因 造成图像畸变的原因包括：传感器性能误差，如摄像机的焦距变动、像主点偏移、镜头光学畸变、多光谱扫描仪扫描速度的非线性、扫描线首尾点成像的时间差引起的扫描线偏斜、采样和记录速度不均匀等；成像时的透视误差，如遥感成像系统投影方式主要有中心投影(摄像机)、斜距投影(侧视雷达)、全景投影(多光谱扫描)和多中心投影(胶带摄影机)等。除框幅式中心投影外，其它的投影方式都产生不同类型的畸变；飞行器姿态变化引起图像平移、旋转、扭曲和缩放；地球自转对扫描图像的影响；地形和地物高度变化，引起像点位移和比例尺改变；地球曲率的影响；大气折射，改变了光的传播方向、路径和雷达波的传播时间。

图像畸变校正程序一

图像畸变校正OPENCV 使用USB摄像头，采集一副图像，然后对图像畸变校正。摄像头事先标定好 #include "cv.h" #include "highgui.h" #include "cxcore.h" #include "cvcam.h" //图像的像素直接提取 #define _I(img,x,y) ((unsigned char*)((img)->imageData + (img)->widthStep*(y)))[(x)] //亚像素级灰度值 #define _IF(image,x,y) ( ((int)(x+1)-(x))*((int)(y+1)-(y))*_I((image),(int)(x),(int)(y)) + ((int )(x+1)-(x))*((y)-(int)(y))*_I((image),(int)(x),(int)(y+1)) + ((x)-(int)(x))*((int)(y+1)-(y))*_I((imag e),(int)(x+1),(int)(y)) + ((x)-(int)(x))*((y)-(int)(y))*_I((image),(int)(x+1),(int)(y+1)) )//插值后的像素值(IN表示interpolation),x、y可以为小数 void callback(IplImage* image); void main() { int ncams = cvcamGetCamerasCount( );//返回可以访问的摄像头数目 HWND mywin; cvcamSetProperty(0, CVCAM_PROP_ENABLE, CVCAMTRUE); cvcamSetProperty(0, CVCAM_PROP_RENDER, CVCAMTRUE); mywin = (HWND)cvGetWindowHandle("cvcam window"); cvcamSetProperty(0, CVCAM_PROP_WINDOW, &mywin); cvcamSetProperty(0, CVCAM_PROP_CALLBACK, callback); //cvcamGetProperty(0, CVCAM_VIDEOFORMA T,NULL); cvNamedWindow( "径向矫正1", 1 );//创建窗口 cvNamedWindow( "径向矫正2", 1 );//创建窗口 cvcamInit( ); cvcamStart( ); cvWaitKey(0); cvcamStop( ); cvcamExit( ); cvDestroyWindow( "径向矫正1" );//销毁窗口 cvDestroyWindow( "径向矫正2" );//销毁窗口

基于四面体控制网格的模型变形算法 (1)

第20卷第9期2008年9月 计算机辅助设计与图形学学报 JO U RN A L O F COM PU T ER AID ED D ESIG N &COM P U T ER G RA PH ICS Vo l.20,N o.9 Sep.,2008 收稿日期:2008-07-15.基金项目:国家 九七三 重点基础研究发展规划项目(2002CB312101,2006CB303102);国家自然科学基金(60603078);新世纪优秀人才项目(NCET 06 0516).赵 勇,男,1982年生,博士研究生,主要研究方向为数字几何处理.刘新国,男,1972年生,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为数字几何处理、真实感绘制、虚拟现实等.彭群生,男,1947年生,博士,教授,博士生导师,CC F 高级会员,主要研究方向为真实感图形、虚拟现实、科学计算可视化等. 基于四面体控制网格的模型变形算法 赵 勇 刘新国 彭群生 (浙江大学CAD &CG 国家重点实验室 杭州 310058)(z haoyong@cad.z https://www.wendangku.net/doc/f32336106.html,) 摘要 提出一种鲁棒的保体积保表面细节的模型变形算法.首先将输入模型嵌入到一个稀疏的四面体控制网格 中,并且通过一种改进的重心坐标来建立两者的对应关系;然后通过用户的交互,对控制网格建立一个二次非线性能量函数对其进行变形,而输入模型的变形结果则可以通过插值来直接获得.由于能量函数的优化是在控制网格上进行的,从而大大提高了算法的效率.与此同时,提出一种新的能量!!!Laplacian 能量,可以使四面体控制网格进行尽量刚性的变形,从而有效地防止了大尺度编辑过程中模型形状的退化现象.文中算法还具有通用性,可支持多种模型的表示方式,如三角网格模型、点模型等.实验结果表明,该算法可以有效地保持输入模型的几何细节、防止明显的体积变化,得到了令人满意的结果. 关键词 模型编辑;四面体控制网格;刚性变形;L aplacian 能量;通用性中图法分类号 T P391 Shape Deformation Based on Tetrahedral Control Mesh Zhao Yong Liu Xing uo Peng Qunsheng (S tate K ey L abor atory of CA D &CG ,Zh ej iang Univ ersity ,H ang z hou 310058) Abstract A robust shape deformation algo rithm w ith the feature o f both vo lum e and surface detail preserv ing is presented.Fir st,the input m odel is embedded into a coarse tetr ahedral co ntro l mesh,and the m odified bar ycentr ic coordinates are employ ed to establish their relationship.Then acco rding to user s editing,the contro l mesh is defor med by solving a quadric no nlinear ener gy m inimization pro blem,and the deform ation is passed to the embedded m odel by interpolatio n.As the optimization pro cess is applied to the control mesh composed of sparse vertices,the efficiency is g reatly improved.Meantime,w e incor porate a new energ y,called Laplacian energ y,into the energy equatio n to m ake the tetrahedral contro l m esh deform as rigidly as possible,thus avoiding shape degenerations even under ex treme editing.Our algor ithm acco mmodates various shape repr esentations,such as triangular meshes,point clouds etc.Experiments demonstrate that the Laplacian energy is very effective in preserv ing geom etric details and pr eventing unreasonable volume changes. Key words shape editing;tetrahedral contr ol m esh;r ig id defor matio n;Laplacian energ y;generality 近年来,随着三维数据采集技术的不断发展,三维数字几何模型已经在数字娱乐、工业设计、医学辅 助诊断、文物保护等很多领域得到了广泛的应用.数字几何处理作为计算机图形学的一个重要分支也得

鱼眼图像畸变校正算法

据《硅谷》杂志2012年第21期刊文称，根据鱼眼镜头成像的特点，选择合适的图像畸变校正算法，标定鱼眼图像的中心和半径，用标定得到的参数进行校正，推出校正模型，方法简单，易于实现，并对鱼眼图的畸变矫正问题提出意见与看法。 关键词：鱼眼图像；畸变矫正；图像预处理；图像增强 鱼眼图像的畸变矫正是以某种独特的变换方式将一副鱼眼图像转换为理想图像的操作，这种操作在全方位视觉导航中具有重要的作用，是系统自动识别、跟踪和定位目标所必须的基础操作。 1畸变图像的校正原理 根据畸变图像特点标定坐标图，求取标定点像素的理想值和实际值，同时生成坐标映射表，再把坐标映射表用于畸变图像的校正程序后，即可得到无畸变图像，具体处理过程如下：1）标定坐标 镜头中心的畸变可以忽略为零，以镜头为中心，离镜头越远的地方畸变越大。以镜头为中心标定坐标图，对图像进行坐标的标定，按正方形均匀排列圆点，如图1所示。 2）图像预处理 先通过图像的、突出边缘细节；然后再用二值化处理增强调节对比度的图像，但部分样板点和背景的对比的差值较大，所以是设定一个阈值对整幅图像进行二值化，最后再对二值化后的图像再次进行中值滤波的方法处理，再次使用中值滤波方法可以有效的去除畸变图像中的部分椒盐噪声的影响。二值化的主要作用是可以提高畸变校正图像的质量，预处理图像可以为点阵样板圆点中心的确定提供重要的作用。 3）圆点中心的确定 由于图像畸变的影响，经过图像预处理后的畸变校正图像仍然是不规则的实心圆，然而样板中的确定的圆点却是规则排列的，所以可以在畸变校正的样板图像上把各个圆点的重心近似的替换为圆点中心，找出一个圆点的重心作为理想畸变校正样板图像上与之对应的点，并找出该点处于二维平面坐标之中与之距离之和最大的圆点，从各个圆点的坐标之中找出与之距离之和最大的圆点坐标，该点坐标即为畸变图像中与之相对应的点的坐标。再找出理想的点阵样板图像和该畸变校正图像中各圆点中心的位置，计算出点与点之间的垂直距离，即可得到点阵样板图像中各点之间的偏移量，从而可以描绘和构建畸变校正图像上的各个点之间偏移量的曲面。最后经过图像预处理过程的样板圆点中心的确定，可计算出其它圆点中心的坐标位置。 2有关鱼眼图片的粗略校正 1）求取鱼眼图像行和列的比值 将投射生成标准圆变换为鱼眼图片并求取图片中心点的方法与普通相机照相原理不同，对于提取出来的鱼眼图片的轮廓，我们先假定一个阈值，比如设一个灰度值30，用软件勾勒描绘出校正鱼眼图片大概的轮廓，然后先求出该轮廓的中心点坐标，根据轮廓的图形和鱼眼图像的中心点的坐标，可计算出畸变图像的圆半径，从而求取鱼眼图像的中心点坐标和鱼眼图像的粗略轮廓的图像的半径相对比，以便于将鱼眼图像的大概轮廓重新调整处理，变的更为精确和直观。假定畸变校正的鱼眼图片的半径中的行坐标曲线和列坐标曲线不相等，则我们需要将畸变校正的鱼眼图像中的园的半径的曲线与下面的公式相乘，然后就可以变换为普通的标准圆的图像。下面公式中（u，v）是畸变校正的鱼眼图片的中心点，β为畸变校正的鱼眼图像行和列的比值。 2）鱼眼图片的粗略扭曲校正 在得到中心点的坐标和校正形状之后，把扭曲的鱼眼图像通过投射降低图像的扭曲程度变为正常的四方形的图像。

小波理论及变形分析模型

辽宁工程技术大学 教学方案 （2013~2014学年第二学期） 课程名称变形分析与预报理论轮 所属院系测绘与地理科学学院 制定人杨帆

第一章绪论 1. 变形监测的内容、目的与意义 变形监测的基本概念 变形监测的内容 变形监测的目的和意义 2.变形监测技术及其发展 3.变形分析的的内涵及其研究进展 变形分析方法简介 变形分析研究的发展趋势 第二章绪论 第2.1 变形监测技术与方案设计 变形监测内容的确定 监测方法、仪器和监测精度的确定 监测部位和测点布置的确定 变形监测频率的确定 综合变形监测系统 2.2 监测数据处理方法 1.变形监测网的数据处理 (1).平均间隙法加最大间隙法 (2).卡尔曼滤波法 2.变形监测点的数据处理 （1）回归分析法 （2）其他方法

2.3 变形监测资料分析及成果表达与解释 资料整理的主要内容 观测资料分析阶段 资料分析常用方法 提交成果资料 成果表达 成果解释 需要回答以下问题： 1. 性质：是为什么性质的监测？状态安全监测还 是交通安全监测或运行安全监测； 2. 是否需在不同荷载情况下，对变形体的变形模 型做检验验证？ 3. 是否需根据岩土力学性质建立物理力学模型？ 4. 工程整治的效果怎样？ 5. 是否需对地球物理假设进行验证？ 6. 是否需对工程建筑物进行监测和检验？ 7. 采取措施后是否需做建筑物的安全证明？ 2.4 监测数据处理平差程序设计与实现 监测数据处理平差程序设计（实验） 1.秩亏自由网平差原理 精度评定 程序设计 设计CLeve 类 各个函数的实现（见程序：） 在菜单中实现计算 计算结果 参考文献： 本章主要内容： 变形监测内容的确定 监测方法、仪器和监测精度的确定 监测部位和测点布置的确定 变形监测频率的确定 综合变形监测系统 控制网优化设计问题的分类及解法

参数可调图像畸变校正技术

参数可调图像畸变校正技术 [摘要] 随着数字图像畸变校正处理的应用领域的不断扩大,其处理技术也成为研究的热点.大视场成像光学系统中的畸变会降低图像质量,必须预以校正。本文提出了一种新的校正方法,根据畸变率的定义推导出畸变校正公式, 给出了建立畸变模型的方法。实践证明,这种模型可以满足大多数镜头的畸变校正要求。 [关键字] 几何畸变畸变模型畸变校正 一、畸变的产生 图像几何畸变就是在不同的摄入条件下得到图像时,一个物体的图像常会发生几何畸变出现歪斜变形的现象。例如从太空宇航器拍摄的地球上等距平行线,其图像会变为歪斜或虽平行而不等间距,用光学和电子扫描仪摄取的图像常常会有桶形畸变和枕型畸变,用普通的光学摄影与测试雷达拍摄的同一地区的景物在几何形状上有较大的差异。以上这类现象统称为几何畸变。实际工作中常需以某一幅图像为基准,去校正另一种摄入方式的图像,以期校正其几何畸变,这就叫做图像的几何畸变复员或几何畸变校正。 图1畸变的产生 数字图像的畸变是由于采用了广角镜头而引入的, 一般来说,随着视场的改变,畸变值也改变,越接近视场的边缘,畸变值就越大。例如一个垂直于光轴的物体,如图1中(a)所示,它经过有畸变的光学系统成像后,会出现如图(b)或图(c)所示的成像情况。其中(b)称为枕形畸变,(c)称为桶形畸变。枕形畸变又称为正畸变,桶形畸变称为负畸变。畸变产生的原因是由于系统的实际放大率随视场而变化,不再是一个常数。对于正畸变,实际放大率大于理想的放大率,而负畸变则相反。畸变对成像的影响使像产生较为严重的失真。 二、畸变的校正及发展现状 从数字图像处理的观点来看: 畸变校正实际上是一个图像恢复的问题,即对一幅退化图像的恢复。畸变主要表现在图像中像素点发生位移,从而使图像中物体扭曲变形。畸变校正分为两步,第一步是对原图像进行像素坐标空间的几何变换,这样做的目的是使像素点落在正确的位置上;第二步是重新确定新像素点的灰度值。因为经过上面的坐标变换后,有些像素点可能会被挤压在一起,有时又分散开,使校正的像素不落在离散的整数坐标位置上,因此需要确定这些像素点的灰度值。 目前,国内外关于畸变校正算法的研究已经比较多,具体来讲主要分为二大类:利用标准样板校正和拟合镜头畸变曲线校正方法。其中拟合镜头畸变曲线的方法是对几个不同视场进行畸变计算,通过这些计算值拟合出视场角随畸变变化的曲线,然后通过这条曲线计算出镜头在CCD上所成图形的每一点的畸变值,进而计

畸变校正

畸变校正实现 1．相机标定 在计算机视觉中，通过相机标定能够获取一定的参数，其原理是基于三大坐标系（摄像机坐标系、图像坐标系和世界坐标系）之间的转换和摄像机的畸变参数矩阵。目前经常用张正友标定法，进行摄像机标定，获取到内参数矩阵和外参数矩阵以及畸变参数矩阵。 1.1三大坐标系 1）图像坐标系 在计算机系统中，描述图像的大小是像素，比如图像分辨率是1240*768.也就是以为图像矩阵行数1024，列数768。图像的原点是在图像的左上角。 以图像左上角为原点建立以像素为单位的坐标系u-v。像素的横坐标u与纵坐标v分别是在其图像数组中所在的列数与所在行数。这是像素坐标，而不是图像坐标系，为了后续的模型转换，有必要建立图像坐标系。 图像坐标系是以图像中心为原点，X轴和u轴平行，Y轴和v轴平行。dx和dy 表示图像中每个像素在X轴和Y轴的物理尺寸，其实就是换算比例。比如图像大小是1024*768，图像坐标系x-y中大小为19*17.那么dx就是19/1024。 2）相机坐标系 相机成像的几何关系可由图2.2表示。其中O点为摄像机光心（投影中心），Xc 轴和Yc轴与成像平面坐标系的x轴和y轴平行，Zc轴为摄像机的光轴，和图像平面垂直。光轴与图像平面的交点为图像的主点O1,由点O与Xc,Yc,Zc轴组成的直角坐标系称为摄像机的坐标系。OO1为摄像机的焦距。 3）世界坐标系 世界坐标系是为了描述相机的位置而被引入的，如图2.2中坐标系OwXwYwZw即为世界坐标系。平移向量t和旋转矩阵R可以用来表示相机坐标系与世界坐标系的关系。所以，假设空间点P在世界坐标系下的齐次坐标是(Xw,Yw,Zw,1)T，（这

初中数学教程等积变形和行程问题

3.2一元一次方程的应用 第1课时 等积变形和行程问题 教学目标 1.通过学习列方程解决实际问题，进一步感知数学在生活中的作用； 2.通过分析等积变形，追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。进一步发展分析问题，解决问题的能力。 教学重难点 【教学重点】 列一元一次方程解决等积变形和行程问题。 【教学难点】 找出问题中的等量关系。 课前准备 课件、教具等。 教学过程 一、情境导入 一种牙膏出口处直径为5mm ，子昂每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次．该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm ，子昂还是按习惯每次挤出1cm 的牙膏，这样，这支牙膏能用多少次呢？ 二、合作探究 探究点一：等积变形问题 例1 用直径为90mm 的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭．问需要截取多长的一段圆钢？(结果保留π) 解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变． 解：设截取圆钢的长度为x mm. 根据题意，得π? ?? ??9022 x ＝131×131×81， 解方程，得x ＝686.44π . 答：截取圆钢的长度为686.44π mm. 方法总结：列方程解应用题首先要审题，本题中圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变．“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”． 例2 将一个长、宽、高分别为15cm 、12cm 和8cm 的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm 的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．

解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可． 解：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10. 锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)， 锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2)． 因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大． 方法总结：本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高． 探究点二：行程问题 【类型一】相遇问题 例3 小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一． 解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10. 答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明． 方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系． 【类型二】追及问题 例4 敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？ 解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程． 解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．根据题意，得8x－5x＝25－1.解得x＝8. 答：战斗是在开始追击后8小时发生的． 方法总结：追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间． 【类型三】环形问题 例5 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．

六年级奥数试题-等积变形(学生版)

第三讲等积变形 1.等积模型 2.鸟头定理 3.蝶形定理 4.相似模型 5.共边定理（燕尾模型和风筝模型） 1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。 2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。

例1：如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ． 例2：长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 例3：如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ． 例4：已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC ) 例5：如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ． E B

例6：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例7：如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 例8：如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比． 例9：如图所示的四边形的面积等于多少？ G F E D C B A A B C D E F G E D C B A E D C B A E D C B A E D C B A H G A B C D E F H G A B C D E F

等积变形(附答案)

For personal use only in study and research; not for commercial use 三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等． 例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．

五年级奥数-一半模型-

一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构 一半模型

【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 【能力提升】 【巩固练习】

【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米． 【例3】 如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20，宽是12，则它部阴影部分的面积是多少？ 例题精讲 4

等积变形1讲义

等积变形（一）
本讲主线 1. 平行线性质(拽着不变) 1 2. 梯形中的“蝴蝶模型” 知识要点屋 1. 平行线性质：夹在平行线间的等底三角形面积相等。 2. 点A在平行线 在平行线上的移动并不改变三角形的面积。 移 并 变 角形
【课前小练习】(★) 一次生日聚会上，大家准备了一个长方形的蛋糕，现在有两种切蛋糕的方法， 次生日聚会上 大家准备了 个长方形的蛋糕 现在有两种切蛋糕的方法 一种切成△ABC这样，另一种是切成△DBC的样子，同学们觉得哪一块比较 大？为什么? A D
B
C
【例1】(★★) 图，BC＝CD， AF∥BD，请 ，请比较△ 较 ABC、△BCE、△BCF， 如图， △CDF的大小。 F A E
知识要点屋 3 3. 梯形蝴蝶模型 梯形蝴蝶模型。
B
C
D
面积相等：⑴ △ABC＝△DBC ⑵ △BAD＝△CAD ⑶ △ABO＝△OCD
1

【例2】(★★★) 如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共 有哪几对？
【例3】(★★★★) 如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F， 若S△ADE＝1，求△BEF的面积。
知识要点屋 3 一半模型。 3. 半模型
【例4】(★★★) 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面 积相等。 G A D F
阴影面积＝长方形÷2
B
E
C
2

【例5】(★★★★) 正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为12厘米，则图中 阴影面积为多少平方厘米？
【例6】(★★★★☆) 如图，过平行四边形ABCD定点D作直线交BC于点E，交AB延长线于F 点，已知△AEF的面积为10平方厘米，求△BFC的面积。
A B F C
D
E
知识大总结 1. 平行线性质：夹在平行线间的等底三角形面积相等。 平行线性质 夹在平行线间的等底 角形面积相等。 2. 梯形蝴蝶模型：任意一个梯形中，都可以找到三对面积相等的三角形。
【今日讲题】 例2，例4，例5，例6 【讲题心得】 __________________________________________________________________ 【家长评价】 __________________________________________________________________
3. 3 一半模型。 半模型
阴影面积＝长方形÷2
3

六年级数学等积变形

六年级数学等积变形 1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3.14分米，宽为1分米，他的高是多少？ 2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁 块（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圆锥的底面积? 3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注 入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？ 4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？ 5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？ 6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深 为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？ 7.有A.B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4 升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是 多少厘米？ 8.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆 柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？

9.圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？ 10.棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 11. 一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 12.一车箱是长方体，长4米，宽1.5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡ 13.一个底面周长15.7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？ 14.把一个体积是18㎝3的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝3？ 15.正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少?

等积变形(附答案)

三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．

例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．

五年级奥数一半模型教师版

一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 ? 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 【能力提升】

【巩固练习 】 【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米． 【例3】 如图,长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ,长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则它内 部阴影部分的面积是多少？ 例题精讲 4 6

五年级下册数学奥数试题-等积变形(人教版)

第3讲等积变形 一、知识点 等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等； 3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍； 4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等. 二、例题精讲 例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？ 例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________. 例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍. 例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.

例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米. 例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积. 例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________. 例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是 ________平方厘米.

四年级下第13讲 等积变形

四春第13讲等积变形 一、知识要点 三角形面积=底×高÷2，这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）。同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）。这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。比如当高变为原来的4倍，底变为原来的1/4，则三角形的面积与原来一样。下面我们从具体的例子来体会一下三角形中的等积变形。 二、例题精选 【例1】已知三角形DEF的面积是6平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 1、已知：如右图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？ 【例2】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 2、如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF，与△BEC等积的三角形有哪几个？ 【例3】如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

3、如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少？ 【例4】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。 【例5】在梯形ABCD中，OE平行于AD 。如果三角形AOB的面积是7平方厘米，则三角形DEC的面积是多少平方厘米？ 【例6】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 6、如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求阴影部分的面积。

小升初22次课程14-等积变化和一半模型教师版)

平面几何图形的面积计算公式不仅要记住，而且要理解其推导过程，最好在 理解的基础上记忆。这样不仅记得牢，而且运用起来也更灵活自如。 对于较复杂的组合图形，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，通过等积变形、一半模型、添加辅助线等方法，推导求解。 所谓“等积变换”是指在解某些几何问题 时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决，主要依据是：平行线间的距离处处相等”以及“等底等高的三角形面积相等”，运用“等积变换”的方法可以简捷、巧妙地解决某些复杂图形的面积; 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b 等积变化和一半模型 知识结构 模块一：等积变化 知识精讲 内容分析 等积变化和一半模型 等积变化 一半模型

b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． ⑦平移前后面积相等 【例1】如图，在ABC V 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE V 等积的三角形一共有哪几个三角形？ 【难度】★ 【答案】,,AEC BED DEC V V V 【解析】因为D 、E 是BC 、AD 中点，所以BD=DC 、AE=ED ，从而有等底同高可得出答案 【总结】考查等底同高模型 例题解析