湖北省黄冈市2016届高三上学期9月新起点考试数学(文)试题

九月文科试卷

一、选择题

1．已知集合P ＝{x ｜2x －x －2≤0}，Q ＝{x ｜2log (1)x －≤1}，则（C R P ）∩Q 等于（ ） A ． B ．（－∞，－1]∪ D ．（－∞，－1]∪（3，＋∞）

2. 已知命题:,2lg p x R x x ?∈->，命题2:,0q x R x ?∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题

B 、命题p q ∧是真命题

C 、命题()p q ∧?是真命题

D 、命题()p q ∧?是假命题

3.若5.02=a ，

3log π=b ，52sin

log 2π

=c ，则( )

（A ）a c b >> （B ）c a b >> （C ）c b a >> （D ）b a c >>

4. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．1

2

B ．

8

15

C ．

1631

D ．

1629

5.若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )

①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；

②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；

③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ；

④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y ＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( ) A ．1 B ．2 C ．2 2

D ．2 3

A ．32π

B ．3π

C ．π

65

D ． 6π

8．已知平面向量n m ，的夹角为

,6

π

2,3

==，在ABC ?中，

n m AB 22+=，

62-=，D 为BC

= ( )

A.2

B.4

C.6

D.8

9

．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是

一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A C ．

10．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有

1

()2f x '<

，则不等式

22

1

()2x f x +>

的解集为（ ）

A ．（1，2）

B ．（－∞，1）

C ．（1，+∞）

D ．（－1，1）

11.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )

A ． 3

B ． 2

C ．233

D ．2

12．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数?

??>≤=p x f p p

x f x f x f p )(,)(),()(，

则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成．．立．

的是（ ） A ．[][]

)0()0(p p f f f f = B ．[][

])

1()1(p p f f f f =

C ．[]

[])2()2(f f f f p p = D ．[]

[])3()3(f f f f p p =

二、填空题 13.1()1f x ?=?

-? 2

2

x x ≥<，则不等式2()20x f x x ?+-≤解集是 ． 14．设实数y x ,满足不等式组??

?

??≥≤-≤+0

11

y x y x y ,则1+y x 的取值范围是__________.

15. 在△错误！未找到引用源。中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,已知错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。的值为 （ 6 ）

16.设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?-

=?--??

???≥

①若1a =，则()f x 的最小值为

；

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．

三、解答题 17.

（

10

分

）设命题

[]21

:1,2,ln 0,

2

p x x x a ?∈--≥命题

2

:,2

860

q x R x a x a ?

∈+--≤使得，如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围。

18.（12分）已知函数()??

? ?

?

-

-=6

72sin cos 22

πx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c 若3

(),2

f A =b+c=2。求实数a 的取值范围。

19．（12分）已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1

，n ∈N *

.

(1)求证：数列????

??

1a n

－1为等比数列；

(2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

，若S n <100，求最大正整数n ；

20.汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离。某型

汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-?++,其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量。

（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；

（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点A (a ，a)，B (2，3)，C (3，2).

(1)若向量AB →与AC →

夹角为钝角，求实数a 的取值范围。

(2)若a=1,点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，OP →＝mAB →＋nAC →

(m ，n ∈R )，求

m －n 的最大值.

21. （12分）已知3

21()43

f x x ax bx =

+++，3()g x mx =-262mx +(0)m ≠,()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为10

33

y x =-+

(Ⅰ)求实数,a b 的值；

(Ⅱ)是否存在实数m ，使得对任意的[]2,11-∈x ，总存在[]3,02∈x ，使得)

()(21x f x g =成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22. （12分） 已知x

x

x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=

∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；

(Ⅱ)是否存在实数a ，使()f x 的最小值是2，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

(Ⅲ)求证e n

n 1

ln 33ln 22ln 3

33<+++ .

文科试卷答案

1．C 2. C 3. C 4. D 5. A 6.B 7．D 8. A 9.B 10.D 11.A 12.B

13．{}

2x x < 14． ]1,1[- ，(2)112

a ≤<或2a ≥.

17.解：命题p: []211,2,ln ,2x a x x ?∈≤

-令[]21

()ln ,1,22

f x x x x =-∈，

1()f x x x '=-=210x x

->，min 1()2f x =，1

2a ∴≤……4分

命题q: 2

2860x ax a +--≤解集非空，2

424320a a ?=++≥，

4,2a a ∴≤-≥-或…………8分

命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。 （1） 当p 真q 假，42a -<<-； （2） 当p 假q 真，1

2

a >

综合，a 的取值范围()14,2,2??

--?+∞

???

…………10分 18.解（Ⅰ）2

777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666

f x x x x x x πππ

=--

=+--

12cos 21+sin(2)26

x x x π

=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)1,6

x π

+=即22()6

2

x k k Z π

π

π+

=+

∈ ，即,6

x k k Z π

π=+

∈时取

到。

所以函数最大值为2时x 的取值集合为,6x x k k Z π

π?

?

=+∈???

?

. ……（6分） （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π

=+

+=

，化简得 1

sin(2).62

A π+=

()π,0∈A ，132(,

)666A πππ∴+∈， ∴ 5266

A ππ

+=， ∴.3π=A 在ABC ?中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3

cos 222

2

2

-+=-+=π

.

由2=+c b ，知1)2

(

2

=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号。 又由b+c>a 得a<2.所以a 的取值范围是[1,2 ）。………………（12分）

19. (1)证明：因为

1

a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1－1＝13a n －1

3. 又因为1

a 1－1≠0，所以1

a n －1≠0(n ∈N *

)，所以数列

????

??

1a n －1为等比数列． (2)由(1)，可得1a n －1＝23×? ????13n －1，所以1a n ＝2×? ??

??13n

＋1.

S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2? ????13＋1

3

2＋…＋13n ＝n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，

若S n <100，则n ＋1－1

3n <100，所以最大正整数n 的值为99.

20. 解：（１）当8k =时，325810s t t t =-++，

这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+，……………….1分 令'0s =，解得1t =（舍）或1

15

t =，……………….3分 当1

15t =

时，675

2210=s ， 所以汽车的刹车距离是675

22

10

米。……………….5分 （２）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，

故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解。……………….7分

又21511

215t k t t t

+==+，

1

15t t +≥

，当且仅当115,t t t ==

时取等号，……………….8分

[]1,2t =

，∴记1()15f t t t

=+， '21()15f t t =-

，[1,2]t ∈ ，'

2

1()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增，……….10分 ??????∈∴261,16)(t f ，??????∈261,162k ，即??

?

???∈461,8k ，……………….11分

故k 的取值范围为??

?

???∈461,

8k ……………….12分 21.解（1）b ax x x f ++='2)(2 3

1

)1(,3)1(=

-='f f 2分 ??

?-=+-=+4

4

2b a b a 4,0-==∴b a 3分 （2）]4,3

4[)(-

∈x f 9分

2()3123(4)g x mx mx mx x '=-=-，

令()0g x '=，得0x = 10分 又(1)27g m -=-，(0)2g =，(2)216g m =- 由题意知)()(x f x g ?

当0m >时， (0)2g =4<，

(1)27g m -=-34-

≥ (2)216g m =-3

4-

≥ 24

5

0≤

(1)27g m -=-4≤

08

1

<≤-

m 故实数m 的取值范围 08

1-或2450<≤≤

22. 解析（Ⅰ）

x

ax x a x f 11)(,

-=-

= …1分 ∴当0≤a 时，/

()0f x <， ()f x 单调递减区间为(]e ,0…2分

当0>a 时，a x 1=

，

（1） 当

e a ≤1时，即e

a 1

≥ 时， ()f x 单调递减区间为??

?

??a 1,0，

()f x 单调递增区间为 ,,1??

?

??e a …3分

（2）当

e a >1时，即 e

a 1

< 时，()f x 单调递减区间为()e ,0，无增区间； …4分

（Ⅱ）设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值2，

① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，21)()(min =-==ae e f x f ，

则e a 3

=

（舍去）所以，此时)(x f 无最小值. …5分 ② 当e a <<10时， 2ln 1)1

()(min =+==a a

f x f ，

则e a =，满足条件. …6分 ③当

e a ≥1时，)(x

f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，则e

a 3=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. …7分

综上，存在实数e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值2.…7分

（Ⅲ）0ln 1)(2

,

=-=

x

x

x g ,所以)(x g 单调递减区间为()+∞,e ， )(x g 单调递增区间为 (),,0e …9分

则 e

e g x g 1

)()(max ==…9分 所以e

x x 1

ln ≤ …10分 则有

231ln en

n x ≤ …11分 所以

)2)(1

11(1)1(11ln 3

≥--=-

)2111(12ln 3-<

e x )3121(13ln 3-

)4131(14ln 3

-

)2)(1

11(1ln 3

≥--

黄冈市2016届高三9月文科数学试卷答案

一、1．C 2. C 3. C 4. D 5. A 6.B 7．D 8. A 9.B 10.B 11.A 12.B 二、13．{}

2x x < 14． ]1,1[- 15.6 16. (1)-1，(2)1

12

a ≤<或2a ≥. 三、17.解：命题p: []211,2,ln ,2x a x x ?∈≤

-令[]21

()ln ,1,22

f x x x x =-∈， 1()f x x x '=-=210x x

->，min 1()2f x =，1

2a ∴≤……4分

命题q: 2

2860x ax a +--≤解集非空，2

424320a a ?=++≥，

4,2a a ∴≤-≥-或…………8分

命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。

当p 真q 假，42a -<<-；当p 假q 真，1

2

a >

综合，a 的取值范围()14,2,2??

--?+∞

???

…………10分 18.解（Ⅰ）2

777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666

f x x x x x x πππ

=--

=+--

11+

2cos 21+sin(2)226

x x x π

=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2. 当且仅当sin(2)1,6

x π

+

=即22()6

2

x k k Z π

π

π+

=+

∈ ，即,6

x k k Z π

π=+

∈时取到。

所以函数最大值为2时x 的取值集合为,6x x k k Z π

π?

?

=+∈???

?

. ……（6分） （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π

=+

+=

，化简得 1

sin(2).62

A π+=

()π,0∈A ，132(,

)666A πππ∴+∈， ∴ 5266

A ππ

+=， ∴.3π=A 在ABC ?中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3

cos 222

2

2

-+=-+=π

.

由2=+c b ，知1)2

(

2

=+≤c b bc ，即12≥a .∴当1==c b 时，取等号。 又由b+c>a 得a<2.所以a 的取值范围是[1,2 ）。………………（12分）

19. (1)证明：因为

1

a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1－1＝13a n －1

3.

又因为1a 1－1≠0，所以1a n

－1≠0(n ∈N *

)，所以数列????

??1a n

－1为等比数列．……5分

(2)由 (1)，可得1a n －1＝23×? ????13n －1，所以1a n ＝2×? ??

??13n

＋1.

S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2? ????13＋1

3

＋…＋13＝n ＋2×13－1

3n ＋11－13＝n ＋1－13n ，

若S n <100，则n ＋1－1

3

n <100，所以最大正整数n 的值为99.……12分

20. 解：(1)由(2,3),(3,2)AB a a AC a a =--=--

，

0AB AC AB AC

λ??

2(56)0AB AC a a ?=-+< ，23a <<又5,2

a AB AC = 与夹角为π

，

??

?

?????? ??∈3,2525,2a ……6分

(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →

，(x ，y )＝m (1，2)＋n (2，1)，即x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n.解得m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，

由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. ……12分

21.解（1）2

()2f x x ax b '=++ 1

(1)3,(1)3

f f '=-=

……2分 24

4

a b a b +=-??

+=-?0,4a b ∴==-……4分 （2）由（1）知4()[,4]3

f x ∈- ……6分

2()3123(4)g x mx mx mx x '=-=-，令()0g x '=，得0x = (8)

又(1)27g m -=-，(0)2g =，(2)216g m =- 由题意知{}{}

()()y y g x y y f x =?= ……9分

当0m >时， (0)2g =4<，(1)27g m -=-3

4-

≥ (2)216g m =-34-

≥ 24

50≤

1

<≤-

m ……11分 故实数m 的取值范围 08

1-或2450<≤≤

22. 解析（Ⅰ）x

ax x a x f 11)(,

-=-

= …1分 ∴①当0≤a 时，/()0f x <， ()f x 单调递减区间为(]e ,0…2分 ②当0>a 时，

a

x 1

=

，当e a ≤1时，即e

a 1≥ 时， ()f x 单调递减区间为??? ??a 1,0，()f x 单调递增区间为 ,,1??

?

??e a …3分

当

e a >1时，即e

a 1

< 时，()f x 单调递减区间为()e ,0，无增区间； …4分 综上：当(]1

()0a f x e e

<时，在，上单调递减；

当1

110,a e e

a a ????≥ ? ?????

时，在，上单调递减，上单调递增。…5分 （Ⅱ）设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值2，由（Ⅰ）知

当(]1()0a f x e e <时，在，上单调递减；21)()(min =-==ae e f x f

则e

a 3

=（舍去）所以，此时)(x f 无最小值. …6分

当1110,a e e

a a ????≥ ? ?????

时，在，上单调递减，上单调递增。2ln 1)1()(min =+==a a

f x f

则e a =，满足条件.

综上，存在实数e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值2.…8分

（Ⅲ）0ln 1)(2

,

=-=

x x

x g ,所以)(x g 单调递减区间为()+∞,e ，

)(x g 单调递增区间为 (),,0e 则 e

e g x g 1

)()(max =

=…9分 所以

e

x x 1

ln ≤ ， 则有32ln 1n n en ≤ ……10分

所以

3ln 11111

()(2)(1)1n n n e n n e n n

<=-≥-- 则

3ln 2111()212e <-，)3121(133ln 3-

()434e <-…… 3ln 111

()(2)1n n n e n n <-≥- 所以e n e n

n 1

)11(1ln 33ln 22ln 333<-<+++ …12分