16.3《二次根式的混合运算》教案
五蛟初中王瑜
一、教学目标
知识与技能
在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系,在比较中求得方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算。
过程与方法
1、对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用。
2、通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法。
情感态度、价值观
通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度,并且注意培养学生的类比思想。
二、重难点分析
重点:是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算。它是以二次根式的概念和性质为基础,同时又紧密地联系着整式、分式的运算,也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性,提高性综合学习;二次根式的运算和有理化的方法与技巧,能够进一步开拓学生的解题思路,提高学生的解题能力。
难点:有关两个二次根式的和与这两个二次根式的差的积;两个二次根式的和或差的平方,联想乘法公式,与多项式的乘法相类似,二次根式的和相乘,适用乘法公式时,运用乘法公式解决相关计算题。
三、教学过程分析
(一)复习回顾:
1.填空
完全平方式是;
(六)总结、扩展
通过本节课的学习,谈谈你有哪些收获?
叫个别学生先说自己的收获,然后教师总结
四、教学反思
1、导入时间太长,后面由于赶时间,给学生留下做题时间太少。
2、讲解速度较快,未能很好的关注到后进生。
3、课堂上学生由于忙于做题,课堂气氛显得很沉闷。
4、学生计算能力较差,计算速度慢。
5、在教学设计中,仍然存在着对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,一方面本节课设计的题过多,另一方面对以前学过的知识的复习工作做的不够,导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。如对在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。考虑到以前已经学过,自以为学生不存在困难,就没有重点分析,结果导致不少学生运用乘法公式做相关计算题时中出错严重。
6、在教学过程中,我的教学理念还没有及时更新,创新意识还不够。
7、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在我的课堂教学中,经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中,其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生:加减运算时利用公式,乘除时利用公式,结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法,学习的效果会提高很多,学习的能力也会不断提高。
8、在学生的学习方面,也有值得反思的地方我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差,但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。
9、对学生学习数学还是做不到放手,总是大包大揽,总是说让学生合作探究,结果真正落实不够。
一.选择题 1. 下列运算正确的是() A.a+a=2a B.a6÷a3=a2 C.+=D.(a﹣b)2=a2﹣b2 2. 与不是同类二次根式的是() A. B.
C. D.
3. 下列各式中运算正确的是( ) A.2510)5225(-= ÷- B.529)52(2+=+ C.1)2 13 1)( 23(=- - D.c a b a c b a += +÷)( 4.(的运算结果是( ) A . 0 B. ()ab b a - C. ()ab a b - D. 25. 等腰三角形两边分别为32和25,那么这个三角形的周长是( ) A.2534+ B.21032+ C.2534+或21032+ D.21034+ 二. 填空题 6.若最简二次根式与
是同类二次根式,则 . 7.设76,76,a b =+=-则20102011a b ?的值是_________ 8. 计算2﹣ 的结果是 . 三 综合题 9.若x ,y 为实数,且y= ++. 求﹣ 的值. 1052的整数部分为a ,小数部分为,b 求2222 444a b a a b b -++的值.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 【解析】A 、a +a=(1+1)a=2a ,故本选项正确; B 、a 6÷a 3=a 6﹣ 3≠a 2,故本选项错误; C 、+=2+=3≠,故本选项错误; D 、(a ﹣b )2=a 2+2ab +b 2≠a 2﹣b 2,故本选项错误. 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】B 【解析】注意运算技巧。 原式=()()a b b a b a a b +-=()()ab a b ab b a +-=()ab b a - 5.【答案】B 【解析】注意:分类讨论腰分别是23和52两种情况,但是当腰为23时, 232352+<, 所以这种情况不存在,只有腰为52一种情况,即23102+. 二、填空题 6.【答案】1;1 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+Q Q 又,所以1b = 7.【答案】76- 8.【答案】﹣2 . 【解析】原式=2×﹣3 = ﹣3 =﹣2 . 三.解答题 9.【解析】解:由二次根式的有意义,得, 解得x=,故y=, ∴原式= ﹣ = ﹣ = . 10.52的整数部分为a ,小数部分为,b 所以4a =,52452b =-=
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(1)2 5x - (2)3a 2 -4b 2 (3)131322 ++x x 4.解答题 (1()2 20y +=,求x+y 的值。 (2)若二次根式122+x 的值为3,求x 的值。 5.计算:(1)22)32()23)(1(+ (2)2 (0)a b +≥ )8(6416)3(2<+-m m m (4))x ≥0)x y ≤ 6.拓展延伸 (1)若x x -=-222 )(,那么x 的取值范围是 . (2) 当x 时,等式22 )12()21(-=-x x 成立. (3)已知,31≤≤x ,化简:()()2231x x -+-=____ ______ . (4)已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ,且c a >,那么()2||b c a a c -+--= . (5)若化简1x -25x -,则x 的取值范围是 . (6)已知2a =- 化简求值: a a a a a a a a 1 12121222--+---+-
教学过程 一、复习预习 学生活动:请同学们完成下列各题: 1.计算 (1)(2x+y)·zx (2)(2x2y+3xy2)÷xy 2.计算 (1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)?单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用. 新授课如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢??仍成立. 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,?当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式. 例1.计算: (1)(2)()÷ 分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,?所以直接可用整式的运 算规律.解:(1) 解:()÷÷÷ -3 2 二、知识讲解
考点1 1、几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 3、在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 易错点1 在进行二次根式的混合运算时,先乘方开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里
面的(或先去括号再计算)。实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)在二次根式的运算中仍然适用。 三、例题精析 【例题1】 【题干】计算(1(2
● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件: ● 2、二次根式的双重非负性: ● 3、二次根式的平方公式: ● 4、二次根式的开方公式: ● ● 5、二次根式的乘法公式: ● 6、二次根式的除法公式: ● 7、最简二次根式: ● 8、同类二次根式: ● 9、二次根式的加法运算步骤: (1)先 ● (2)再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤:(1)先 ● (2)再 ● 11、二次根式的混合运算:先乘方,再乘除,最后算加减;如果有括号,就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算:() ._______)62 1 (_______;5.222 =- =- ● 2、化简:4 1 6 = ,3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是______。 ● 4、若2 2)2()2(-=-x x ,则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3的最大值是__________ 。 ● 7、计算: () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9. ● 10m 的最小值是________. ● 11.分母有理化
● 12.已知x=3,y=4,z=5_______. ● 13.(x ≥0) ● 14.化简二次根式号后的结果是_________. ● 15.在实数范围内分解因式①2x 2 -27=________,②4x 4 -1=________. ● 42.设a ,b ,c 为△ABC 的三边长,则2)(c b a --+|a +b -c |=________. ● 43.若0<a <1,化简4)1 (2-+a a =________,a 3 1a =________. ● 46.当a <-b <1时,化简: 2 2) 1(1 )(++÷ ++b b a b b a 的结果为_____。 ● 选择题 ● 16、下列各式中不是二次根式的是 ( ) ● (A )12+x (B )4- (C )0 (D )()2b a - ● 17、下列运算正确的是 ( ) ● (A )x x x 32=+ (B )12223=- ● (C )2+5=25 (D ) x b a x b x a )(-=- ● 18、下列二次根式中与24是同类二次根式的是( ) ● (A ) 18 (B )30 (C ) 48 (D ) 54 ● 19、化简200320022323)()(+?-的结果为( ) ● (A) –1 (B)23- (C)23+ (D) 23-- ● 20、2 2)(-化简的结果是( ) ● (A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 ● 21、使代数式8a a -+有意义的a 的范围是( ) ● (A )0>a (B )0 16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 一、教材分析: 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前,学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法,这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减及混合运算。本节课在以前及后续学习中起承上启下作用,因为本节既是第五章相关内容的发展,又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、等章节的重要基础。 二、学情分析 我所带八年级一二班学生基础较差,两极分化较严重有部分学生对第五章平方根、立方根的知识掌握的不够扎实,对整式加减运算欠账比较多,因此学习本章时有困难。 三、教学目标: 1.知识与技能:探究二次根式加减法运算法则,会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法:学生经历由实际问题引入数学问题的过程,发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算,培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观:通过加减法运算解决生活中实际问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点:首先把二次根式化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点:二次根式加减法的实际应用,去括号问题。 五、教学方法:自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体:多媒体,白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】:计算下列各式 教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合 并就是字母不变,把系数相加减。 【活动二】: 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板,能否采用如教科书图16.3-1所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板? 分析:由于大小正方形的边长分别为8和18,显然木板够宽,下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+,这实际上是求8和18这两个二次根式的和,计算188+之前,我们先来看下面几道题怎么算? 22+32(1)8-38+58(2)2 7+27+397 ?(3)3-23+2(4)3 师生行为:(1)学生分组讨论,探求方案。 (2)教师倾听学生的交流,指导学生探究。 教师关注:学生能否将8和18化成最简二次根式;能否将分配律运用到计算 中 。 师生行为:分析188+的计算过程 教师讲解点评: 师:用自己的语言描述二次根式加减法的法则. 生:二次根式加减法时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方 16.3二次根式加减法教学设计 (第一课时) 一、教材分析: 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前,学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法,这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减。 二、学情分析 我班学生基础较差,两极分化较严重有部分学生对平方根、立方根的知识掌握的不够扎实,对整式加减运算欠账比较多,因此学习本章时有困难。 三、教学目标: 1.知识与技能:探究二次根式加减法运算法则,会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法:学生经历由实际问题引入数学问题的过程,发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算,培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观:通过加减法运算解决生活中实际问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点:首先把二次根式化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点:二次根式加减法的实际应用,去括号问题。 五、教学方法:自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体:多媒体,白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】:计算下列各式 教师点评:上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并.同 类项合并就是字母不变,把系数相加减。 【活动二】: 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板,能否采用如教科书图16.3-1所示的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板? 分析:由于大小正方形的边长分别为8和18,显然木板够宽,下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+,这实际上是求8和18这两个二次根式的和,计算188+之前,我们先来看下面几道题怎么算? 22+32(1)8-38+58(2)2 7+27+397 ?)3-23+2(4)3 师生行为:(1)学生分组讨论,探求方案。 (2)教师倾听学生的交流,指导学生探究。 教师关注:学生能否将8和18化成最简二次根式;能否将分配律运 用到计算中 。 师生行为:分析188+的计算过程 教师讲解点评: 16.3 二次根式的加减 师院附中李忠海 第2课时二次根式的混合运算 【知识与技能】 1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算; 2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算. 【过程与方法】 通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法. 【情感态度】 通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识. 【教学重点】 二次根式的混合运算. 【教学难点】 多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法. 一、情境导入,初步认识 问题我们知道:(x+y)·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2, (2x2y+3xy2)÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y, (x+y)(x-y)=x2-y2及(x+y)2=x2+2xy+y2,…… 试问:如果上述各式中的x,y分别代表着一个二次根式,我们会有哪些新的收获呢? 【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式,进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系,激发学生的求知欲望和探究意识. 二、思考探究,获取新知 探究1由(x+y)·z=x·z+y·z=xz+yz,你能求出的值吗?你是怎样做的? 探究2由,你能求出 的值吗?由此你有何发现?类似地,请解决以下几个小题. 【教学说明】让全班同学共同参与探究,相互交流,在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视,予以点拨,肯定学生的成绩,并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识,最后师生共同给出问题的结果. 【归纳结论】 1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同,即先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号. 2.在二次根式的运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 三、典例精析,掌握新知 例1 计算下列各题: ● 二次根式的运算 ● ● 填空 ● 1、计算:()._______)62 1(_______;5.222=-=- ● 2、化简:4 16= ,3532?= 。 ● 3、二次根式2 12--x x 有意义时的x 的围是______。 ● 4、若22)2()2(-=-x x ,则x 的围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4,则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3-的最大值是__________ 。 ● 7、计算: ()_______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34-的根号外的因式移到根号得 。 ● 9. ● 10是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. ● 11.分母有理化 =_________;(2) =______. ● 12.已知x=3,y=4,z=5_______. ● 13=_________.(x ≥0) ● 14._________. ● 15.在实数围分解因式①2x 2-27=________,②4x 4-1=________. ● 42.设a ,b ,c 为△ABC 的三边长,则2)(c b a --+|a +b -c |=________. ● 43.若0<a <1,化简4)1(2-+a a =________,a 3 1a =________.二次根式加减法教学设计讲解学习
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