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九年级二次函数压轴题专题训练(含答案和方法指导)

九年级二次函数压轴题专题训练(含答案)方法:面积法,化斜为直,韦达定理,几何变换等.

1,如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：

=关于y轴对称且有最小值

-。

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）在图1中抛物线C1顶点为A，将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l的解析式．

（3）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长；

（1）∴y=x2﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分

（2）依题意可求出抛物线C2的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1，

∵直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，

∴定点M为（2，4），‥‥‥‥‥‥‥4分

①经过定点M（2，4），与y轴平行的直线l：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．

②经过定点M（2，4）的直线l为一次函数y=kx﹣2k+4时，与y=﹣（x﹣2）2+1联立方程组，消去y得x2﹣4x+3+kx﹣2k+4=0，

即x2﹣（4﹣k）x+7﹣2k=0，△=k2﹣12=0，得k1=2，k2=﹣2，

∴y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，

综上所述，过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它们分别与抛物线C2只有一个公共点．

（3）设抛物线C3的顶点为（m，m），依题意抛物线C3的解析式为：y=（x﹣m）2+m，

与直线y=x联立，

解方程组得：，，

∴C（m，m），D（m+1，m+1）

过点C作CM∥x轴，过点D作DM∥y轴，

∴CM=1，DM=1，

∴CD=．

2,如图，抛物线y＝ax2－4ax＋b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC ＝3

(1) 求抛物线的解析式

(2) 如图1，D位抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连

GD ．是否存在点P ，使2=GO GD

？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由

(3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值

（1）

43y x x =-+ 3（本题12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(1－3a )x －3（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线y ＝－x ＋5与抛物线交于D 、E ，与直线BC 交于P (1) 求点P 的坐标 (2) 求PD ·PE 的值

(3) 如图2，直线y ＝t （t ＞－3）交抛物线于F 、G ，且△FCG 的外心在FG 上，求证：

t a -1为常数

．解：(1) 令y ＝0，则ax 2＋(1－3a )x －3＝0，解得x 1＝

a 1

，x 2＝3

∴B (3，0)

令x ＝0，则y ＝－3

∴直线BC 的解析式为y ＝x －3 联立???+-=-=53x y x y ，解得???==14y x

∴P (4，1)

(2) 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)

则PD ＝2(4－x 1)，PE ＝2(4－x 2)

联立????

?+-=--+=53)31(2x y x a ax y ，整理得ax 2＋(2－3a )x －8＝0

∴x 1＋x 2＝a a 23-，x 1x 2＝a 8

∴PD ·PE ＝2(4－x 1)(4－x 2)＝2[16－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2]＝8]8

81216[2=-+

-a a

(3) ∵△FCG 的外心在FG 上 ∴∠FCG ＝90°

设FG 与y 轴交于点H ，则CH 2＝FH ·GH ∴(t ＋3)2＝－x F ·x G

联立?????--+==3

)31(2x a ax y t y ，整理得ax 2＋(1－3a )x －3－t ＝0

∴x F ·x G ＝a t

--3

∴(t ＋3)2＝a t

+3 ∴31

=-t a

4.（梅苑中学九月月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数

m x y +=

的图象与x

轴交于A (－1，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝2为对称轴的抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B (1) 求m 的值及抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（a ≠0）的函数表达式

(2) 设点D (0，1225

)，若F 是抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)

两点，试探究F

M F M 211

是否为定值？请说明理由

(3) 将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线C 2：y 2＝－41

(x －h )2，h ＞1．若当1＜x ≤m 时，y 2

≥－x 恒成立，求m 的最大值

如图1，已知抛物线C 1：y=x 2﹣2x+c 和直线l ：y=﹣2x+8，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1交于两不同点A 、B ，与直线l 交于点P ．且当k=2时，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1只有一个交点．

（1）求c 的值；（2）求证：

，并说明k 满足的条件；

（3）将抛物线C 1沿第一象限夹角平分线的方向平移

t （t ＞0）个单位，再沿y 轴负方向

平移（t 2﹣t ）个单位得到抛物线C 2，设抛物线C 1和抛物线C 2交于点R ；如图2． ①求证无论t 为何值，抛物线C 2必过定点，并判断该定点与抛物线C 1的位置关系；

②设点R 关于直线y=1的对称点Q ，抛物线C 1和抛物线C 2的顶点分别为点M 、N ，若∠MQN=90°，求此时t 的值．

8、如图1，二次函数y=（x+m ）（x ﹣3m ）（其中m ＞0）的图象与x 轴分别交于点A ，B

（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 在二次函数的图象上，CD ∥AB ，连接AD ．过

点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，使得AB 平分∠DAE ．（1）当线段AB 的长为8时，求m 的值．

（2）当点B 的坐标为（12，0）时，求四边形ADBE 的面积．

（3）请判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

（4）分别延长AC 和EB 交于点P ，如图2．点A 从点（﹣2，0）出发沿x 轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止，求点P 所经过的路径的长（直接写出答案）．

解：（1）∵二次函数y=（x+m ）（x ﹣3m ）（其中m ＞0）的图象与x 轴分别交于点A ，B

（点A 位于点B 的左侧），

令y=0，得0=（x+m ）（x ﹣3m ），

∴x=﹣m或x=3m，

∴点A的坐标为（﹣m，0），点B的坐标为（3m，0），由题意，得AB=3m﹣（﹣m）=4m．

∴4m=8，即m=2．

（2）∵点B的坐标为（12，0），

∴m=4，

∴A（﹣4，0），C（0，﹣3），

如图，

过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．

∵CD∥AB，

∴点D 的坐标为（8，﹣3），点M的坐标为（8，0）．

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN．

∵∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN．

∴=．

设E点的坐标为（），

∴

解得x1=16，x2=﹣4（舍去），

∴E点的坐标为（16，5）．

所以S ADBE=S△ADB+S△ABE=，

（3）为定值．

∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3），

过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．

由（2）有，=．

∵CD∥AB，

∴点D 的坐标为（2m，﹣3），点M的坐标为（2m，0）．设E点的坐标为（），

可得

解得x1=4m，x2=﹣m（舍去）．

∴E点的坐标为（4m，5），

∴EN=5，DM=3

∵△ADM∽△AEN．

∴==；

（4）由（1）有，A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3），E（4m，5），

∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3①，

直线BE解析式为y=x﹣15②，

联立①②得，

∴P（，﹣），

∴点A在运动时，点P的纵坐标不变，

即：点A从运动到停止，点P的路径是一条线段，

∵点A从点（﹣2，0）出发沿x轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止，

∴当m=2时，P（3，﹣），

当m=4时，P（6，﹣）

∴点P所经过的路径的长为6﹣3=3．

9、如图，二次函数y=ax2﹣2amx﹣3am2（a，m是常数，且m＜0）的图象与x轴交于A、B （点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作CD∥AB交抛物线于点D，连接BD，过点B作射线BE交抛物线于点E，使得AB平分∠DBE．

（1）求点A，B的坐标；（用m表示）

（2）是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

（3）抛物线y=ax2﹣2amx﹣3am2的顶点为F，直线DF上是否存在唯一一点M，使得∠OMA=90°？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由ax2﹣2amx﹣3am2=0得，x1=﹣m，x2=3m，

则B（﹣m，0），A（3m，0），

（2）是定值，为；

理由：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，

将点C（0，3）代入y=ax2﹣2amx﹣3am2得，

a=﹣；

∴y=ax2﹣2amx﹣3am2=﹣x2+x+3，

∵CD∥AB，

∴点D的坐标为（2m，3），

∴OH=﹣2m，DH=3，

∴BH=﹣3m

∵AB平分∠DBE，

∴∠DBH=∠EBG，又∠DHB=∠EGB=90°，

∴△BDH∽△BEG，

∴，

设E（n，﹣×n2+×n+3），

∴OG=﹣n，EG=×n2﹣×n﹣3，

∴BG=﹣m﹣n，

∴，

∴n=4m，

∴E（4m，5），

∵BH=BO+OH=﹣m﹣2m=﹣3m，BG=BO+OG=﹣m﹣4m=﹣5m，

∴，

（3）存在，

理由：如图2，∵B（﹣m，0），A（3m，0），

∴F（m，4），

∵D（2m，3），

∴直线DF的解析式为y=﹣x+5，

∴N（5m，0），P（0，5），

∴OP=5，PN==5

取OA的中点M，

∵A（3m，0），N（5m，0），

∴M（m.0），

∴OM=﹣m．MN=﹣m，

假设直线DF上是存在唯一一点M，使得∠OMA=90°，

∴以OA为直径的⊙M与PN，PO相切，

∴PM是∠OPN的角平分线，

∴，

∴m=（舍）或m=﹣．