开关电源小信号分析方法

Why is it Important to Plot a Power Stage Small-Signal Response?

Christophe Basso, ON Semiconductor | Power Electronics

Sep. 16, 2013

Christophe Basso is an Application Engineering Director at ON Semiconductor in Toulouse, France, where he leads an application team dedicated to developing new offline controllers specifications. He has originated numerous integrated circuits among which the NCP120X series has set new standards for low standby power converters. Read more about Christophe at the end of this article.

QUESTION: Why is it Important to Plot a Power Stage Small-Signal Response?

ANSWER: This is the first question you must ask if you are serious about compensating a power supply. Too often, I have seen engineers building a prototype and throwing arbitrarily-selected component values at the error amplifier, hoping it would let the power supply at least stabilize after start up. Then, by tweaking compensating components values on-the-fly as the output undergoes a transient step, the power supply is more or less stabilized by taming undershoots and ringing portions. A few prototypes later, the design is validated for pilot run and here we go for mass production!

This is a scenario that I have seen many times while visiting power supply designers as an application engineer for ON Semi. Even if trials and errors must absolutely be banned when it comes down to loop control, I cannot blame these gentlemen for their method. The reason is simple, 99% percent of an engineer’s time is spent on safety tests, making sure the converter dies peacefully, without smoke – sometimes without noise! – when resistance R236 is open or short circuited or when the controller pin 1 is shorted to pin 2 or even worse, to any of the other pins, including high voltage ones! Believe me, testing and solving for safety is an extremely long and tedious exercise, furthermore if extreme cost and time pressure exists. If you overlook important parts of the design (safety limits, stability margins and so on…) no wonder the telephone rings a few months later, asking the design engineer to urgently fly to the remote factory as most of power supplies do not pass the simple start-up sequence: the overshoot trips the Over Voltage Protection (OVP) circuit and the converter safely latches off. The money the company believed it has saved by cutting the development time, instantaneously vanishes if a factory enters a line-down situation or worse, if a product re-call is necessary. In short, do NOT neglect stability design by thinking that a simple 0.1-μF capacitor across the TL431 will do the job. Spend the necessary time on it, read some of the reference books and you will quickly realize how new tools can make the stabilization process quite simple at the end.

The power stage response is the first thing you need to stabilize your converter. This is how your converter responds to an ac stimulus applied to its control pin while operating in various conditions (light load, full load, high or low line and so on). Without it, there is nothing you can do besides trial and errors as already described. I can see several ways to obtain this transfer function:

Method 1 - Build A Hardware

Build a hardware, that is to say, assemble your converter using components that are representative of what will be used in production sites. Your last power supply prototype is obviously a possible solution. Check with your buyer that the components you have soldered are those populating production boards later on. Why? Because some elements, capacitors for instance, hide stray elements that affect the converter response and having them onboard already will give you a typical response. As an example, Figure 1 shows a (simplified) prototype that I purposely built for an active-clamp forward converter; it delivers 5 V/2 A from a 48-V source. I had to stabilize the beast for an educational purpose. In lack of analytical expression, there is no way I could predict the response. With the help of a network analyzer, I was able to unveil the Bode plot quickly. I could then use that transfer function to select a crossover frequency and implement compensation strategy to build phase and gain margins.

Derive an analytical expression for the power stage. This is probably the most difficult option, in particular if you are not familiar with small-signal modeling. Fortunately, a lot of these equations have already been developed and you should be able to locate your transfer function quickly. Let’s assume you want to stabilize a current-mode flyback converter. The mathematical expression for this power stage is as follows:

In this expression, you can see the position of the various zeros (one of them is in the Right-Half Plane) and the effect of the sub-harmonic poles. What is nice with this expression is that you can capture it in a mathematical solver such as Mathcad? and plot the magnitude versus frequency response in a snap shot. This is what Figure 2 shows you with a complete Bode plot.

What is the difference between this solution and the first one? Using the analytical expression, you know exactly what elements create poles and zeros in the converter ac response, or what elements the dc gain H0 is made of. That is to say, once capacitors and inductors have been selected based on ripple requirements, rms currents capability and cost, their respective data-sheets should tell you the spread of stray elements affecting them. If you know the limits within which these poles and zeros will move in production or during the converter lifetime, then you can take provisions during the compensation phase and test your solution efficiency by sweeping values in Mathcad? while observing phase and gain margins. If your buyer shows up in your office and tells you that a cheaper capacitor has been identified, you will be able to quickly know if your compensation strategy can accept its Equivalent Series Resistance (ESR) dispersion.

Method 3 - Simulation Model

in particular ESRs, the simulated response can be very close to reality. A lot of models are available but I derived a set of auto-toggling models based on Vatché Vorpérian PWM switch model. These models operate in current or voltage mode and automatically toggle between CCM and DCM. A free-running version also exists and nicely predicts the response of quasi-square wave resonant converters (so-called QR). These models are available in a lot of different simulator flavors and let you simulate numerous topologies. Figure 3 shows you a current-mode model implemented in a fixed-frequency DCM flyback converter. The operating point is set by the Vstim source so that 12 V are delivered to the load. The model inputs are the primary inductance (to compute the operating mode), the switching frequency (65 kHz in this example), the sense resistance and the slope compensation magnitude, if any. The Bode plot is given in Figure 4 and was immediately obtained owing to the absence of switching events (averaged model).

From that response, you can see a first-order behavior in the low-frequency portion while a zero kicks in later on along the x-axis. This zero is created by the output capacitor and its ESR and may significantly move with temperature and age for instance. Finally, a Right Half-Plane zero starts to manifest itself in the upper frequency portion (gain increases) by bringing the phase response further down.

Unlike with the analytical solution, SPICE does not give you the transfer function telling you how a part variation will affect poles and zeros. However, it is really easy to sweep components values with different distribution profiles and see their effect on the power stage response. Even better, you can compensate the power supply with SPICE and affect tolerances to all your elements, as in a real production place. Then, by running Monte-Carlo analysis, you will see how the crossover frequency, dc gain, phase/gain margins are affected. It does not mean that this prediction will be verified along the converter’s lifetime, but if running this type of simulation shows that your converter is robust by always keeping adequate margins, chances exist that robustness is confirmed in practice.

As a quick summary, I cannot stress enough to be serious about control loop design. Most of the technical questions I have relate to that field and it motivated me to write a book entirely dedicated to the matter. Actually the subject is wide but I have tried to highlight a few things that I believe a loop designer in the power supply field must understand to make them work efficiently. The method described in the above bullets can also be combined, this is excellent practice: equations tell you what response you should expect from SPICE and where potential offenders hide. SPICE will let you orchestrate the compensation strategy and verify that margins are not violated as component values change. Exploring the response at different operating points is also a child play. Finally, the mandatory hardware testing will tell you if your assumptions and choices were pertinent. Combining these approaches is the recipe to success!

Author Bio

Christophe authored several books in the subject of power electronics: McGraw-Hill published, “Switch-Mode Power Supplies: SPICE Simulations and Practical Designs”, in 2008. This work was positively reviewed in several magazines and in a PELS newsletter. Christophe is currently working on a revised second edition due for publication mid-2014. In 2012, he published “Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies” with Artech House which is well received by engineers. He holds 24 patents on power conversion and regularly teaches seminars at APEC conferences. He also publishes papers in trade magazines including How 2 Power and PET.

Christophe has over 18 years of power supply industry experience. Prior to joining ON Semiconductor in 1999, Christophe was an application engineer at Motorola Semiconductor in Toulouse. Before 1997, he worked as a power supply designer at the European Synchrotron Radiation Facility in Grenoble, France, for 10 years. He holds an equivalent BSEE from the Montpellier University (France) and a MSEE from the Institut National Polytechnique of Toulouse (France). He is an IEEE Senior member.

数字信号处理复习总结-最终版

绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。 0.1信号、系统与信号处理 1.信号及其分类 信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。 分类： 周期信号/非周期信号 确定信号/随机信号 能量信号/功率信号 连续时间信号/离散时间信号/数字信号 按自变量与函数值的取值形式不同分类： 2.系统 系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。 3.信号处理 信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。 0.2 数字信号处理系统的基本组成 数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且

也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。 （1）前置滤波器 将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。 （2）A/D变换器 在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。 （3）数字信号处理器（DSP） （4）D/A变换器 按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。 （5）模拟滤波器 把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。 0.3 数字信号处理的特点 （1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。 0.4 数字信号处理基本学科分支 数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。 0.5 课程内容 该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。 在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。 简答题： 1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型? 2．相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点? 3．数字信号处理系统的基本组成有哪些？

随机信号分析习题

随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。

常见的信号处理滤波方法

低通滤波：又叫一阶惯性滤波，或一阶低通滤波。是使用软件编程实现普通硬件RC 低通滤波器的功能。 适用范围：单个信号，有高频干扰信号。 一阶低通滤波的算法公式为： Y(n)X(n)(1)Y(n 1)αα=+-- 式中： α是滤波系数；X(n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果1： 红色线是滤波前数据（matlab 中生成的正弦波加高斯白噪声信号） 黄色线是滤波后结果。 滤波效果2：

matlab中函数，相当于一阶滤波，蓝色是原始数据（GPS采集到的x（北）方向数据，单位m），红色是滤波结果。 一阶滤波算法的不足： 一阶滤波无法完美地兼顾灵敏度和平稳度。有时，我们只能寻找一个平衡，在可接受的灵敏度范围内取得尽可能好的平稳度。

互补滤波：适用于两种传感器进行融合的场合。必须是一种传感器高频特性好（动态响应好但有累积误差，比如陀螺仪。），另一传感器低频特性好（动态响应差但是没有累积误差，比如加速度计）。他们在频域上互补，所以进行互补滤波融合可以提高测量精度和系统动态性能。 应用：陀螺仪数据和加速度计数据的融合。 互补滤波的算法公式为： 1122Y(n)X (n)(X (n)Y(n 1))αα+=+-- 式中：1α和2α是滤波系数；1X (n)和2X (n)是本次采样值；Y(n 1)-是上次滤 波输出值；Y(n)是本次滤波输出值。 滤波效果 （测试数据）： 蓝色是陀螺仪 信号，红色是加 速度计信号，黄 色是滤波后的 角度。

. 互补滤波实际效果： .

卡尔曼滤波：卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测。 首先，用于测量的系统必须是线性的。 (k)(k 1)(k)(k)X AX BU w =-++ (k)(k)(k)Z HX v =+ (k)X 是系统k 时刻的状态，(k)U 是系统k 时刻的控制量。(k)Z 是系统k 时 刻的测量值。A 和B 为系统参数，(k)w 和(k)v 分别表示过程和测量的噪声，H 是测量系统参数。 在进行卡尔曼滤波时： 首先进行先验预测： (k 1|k)(k |k)(k)(k)X AX BU w +=++ 计算先验预测方差： '(k 1|k)(k |k)(k)P AP A Q +=+ 计算增益矩阵： (k 1)(k 1|k)'/((k 1|k)'(k 1))Kg P H HP H R +=++++ 后验估计值： (k 1|k 1)(k 1|k)(k 1)(Z(k 1)(k 1|k))X X Kg HX ++=++++-+ 后验预测方差： (k 1|k 1)(1(k 1))(k 1|k)P Kg H P ++=-++ 其中，(k)Q 是系统过程激励噪声协方差，(k)R 是测量噪声协方差。 举例说明： （下文中加粗的是专有名词，需要理解） 预测小车的位置和速度的例子（博客+自己理解）:

小信号模型及环路设计

开关电源的小信号模型及环路设计 文章作者：万山明吴芳 文章类型：设计应用文章加入时间：2004年8月31日22:9 文章出处：电源技术应用 摘要：建立了Buck电路在连续电流模式下的小信号数学模型，并根据稳定性原则分析了电压模式和电流模式控制下的环路设计问题。 关键词：开关电源；小信号模型；电压模式控制；电流模式控制 引言 设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式，本文以此为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。 1 Buck电路电感电流连续时的小信号模型

图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。 S导通时，对电感列状态方程有 L(dil/dt)=Uin－Uo （1） S断开，D1续流导通时，状态方程变为 L(dil/dt)=－Uo （2） 占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为 L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3） 稳态时，=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。 由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得

matlab随机信号分析常用函数

随机信号分析常用函数及示例 1、熟悉练习使用下列MATLAB函数，给出各个函数的功能说明和内部参数的意 义，并给出至少一个使用例子和运行结果。 rand()： 函数功能：生成均匀分布的伪随机数 使用方法： r = rand(n) 生成n*n的包含标准均匀分布的随机矩阵，其元素在(0，1)内。 rand(m,n)或rand([m,n]) 生成的m*n随机矩阵。 rand(m,n,p,...)或rand([m,n,p,...]) 生成的m*n*p随机矩数组。 rand () 产生一个随机数。 rand(size(A)) 生成与数组A大小相同的随机数组。 r = rand(..., 'double')或r = rand(..., 'single') 返回指定类型的标准随机数，其中double指随机数为双精度浮点数，single 指随机数为单精度浮点数。 例：r=rand(3,4); 运行结果： r= 0.4235 0.4329 0.7604 0.2091 0.5155 0.2259 0.5298 0.3798 0.3340 0.5798 0.6405 0.7833 randn(): 函数功能：生成正态分布伪随机数 使用方法： r = randn(n) 生成n*n的包含标准正态分布的随机矩阵。 randn(m,n)或randn([m,n]) 生成的m*n随机矩阵。 randn(m,n,p,...)或randn([m,n,p,...]) 生成的m*n*p随机矩数组。 randn () 产生一个随机数。 randn(size(A)) 生成与数组A大小相同的随机数组。 r = randn(..., 'double')或r = randn(..., 'single') 返回指定类型的标准随机数，其中double指随机数为双精度浮点数，single 指随机数为单精度浮点数。 例：

信号处理知识点总结

第一章信号 1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体 2.信号的特性：时间特性，频率特性 3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号 若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号 4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的 5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限 6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱 7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析 第二章连续信号的频域分析 1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数 2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位 4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性 5.周期信号由无穷多个余弦分量组成 周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值 相频谱线大小表示谐波分量的相位 6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和 7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号 8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少 9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换； 非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集； 非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号可以用其自身的积分表示 10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号 11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积à傅里叶级数à离散谱 非周期信号：无限区间绝对可积à傅里叶变换à连续谱 12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合 脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, ….. 脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍 周期信号的傅立叶变换也是离散的； 谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同 13.信号的持续时间与信号占有频带成反比 14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转 15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变

反激变换器小信号模型Gvd(s)推导__1210

一、反激变换器小信号模型的推导 1.1 DCM 1.1.1 DCM buck-boost 小信号模型的推导 根据状态空间平均法推导DCM buck-boost 变换器小信号模型如下： +-v in (t)v o (t)一般开关网络 图1 1理想Buck-Boost 变换器开关网络 1231d d d ++= （1） 首先，定义开关网络的端口变量1122,,,v i v i ，建立开关周期平均值 1 1 2 2 ,,,s s s s T T T T v i v i 之间的关系： 11()s g T g pk s s v t v i d T d T L L <>= = （2） 根据工作模态：113()()()0s s s L T g T T v t d v t d v t d <>=<>+<>+ （3） []1 1 ()()()s s s t T t T L T L s t t s s s di L v t v d L d i t T i t T T d T τττ++<>= = =+-? ? （4） DCM 下，()()0s i t T i t +==，所以()0s L T v t <>=，结合（3）式： 11()()0s s g T T d v t d v t <>+<>= （5） 21()(t)=-(t)()s s g T T v t d d v t <><> （6） 根据工作模态：1123()()0()(()())()()s s s s T g T T g T v t d t d t v t v t d t v t <>=+<>-<>+<>（7） 消去上式的2d 和3d 得：1()()s s T g T v t v t <>=<> （8） 根据工作模态：2123()()(()())()0(()) s s s s T g T T g T v t d t v t v t d t d v t <>=<>-<>++-<>

随机信号分析

随机信号分析 朱华，等北京理工大学出版社2011-07-01 《随机信号分析》是高等学校工科电子类专业基础教材。内容为概率论基础、平稳随机过程、窄带随机过程、随机信号通过线性与非线性系统的理论与分析方法等。在相应的部分增加了离散随机信号的分析。《随即信号分析》的特点侧重在物理概念和分析方法上，对复杂的理论和数学问题着重用与实际的电子工程技术问题相联系的途径及方法去处理。《随即信号分析》配套的习题和解题指南将与《随即信号分析》同期出版。《随即信号分析》适用于电子工程系硕士研究生及高年级本科生，也适用于科技工作者参考。 第一章概率论 1.1 概率空间的概念 1.1.1 古典概率 1.1.2 几何概率 1.1.3 统计概率 1.2 条件概率空间 1.2.1 条件概率的定义 1.2.2 全概率公式 1.2.3 贝叶斯公式 1.2.4 独立事件、统计独立 1.3 随机变量及其概率分布函数 1.3.1 随机变量的概念 1.3.2 离散型随机变量及其分布列 1.3.3 连续型随机变量及其密度函数 1.3.4 分布函数及其基本性质 1.4 多维随机变量及其分布函数 1.4.1 二维分布函数及其基本性质 1.4.2 边沿分布 1.4.3 相互独立的随机变量与条件分布 1.5 随机变量函数的分布 1.5.1 一维随机变量函数的分布 1.5.2 二维随机变量函数的分布 1.5.3 二维正态随机变量函数的变换 1.5.4 多维情况 1.5.5 多维正态概率密度的矩阵表示法 1.6 随机变量的数字特征 1.6.1 统计平均值与随机变量的数学期望值 1.6.2 随机变量函数的期望值 1.6.3 条件数学期望 1.6.4 随机变量的各阶矩 1.7 随机变量的特征函数 1.7.1 特征函数的定义 1.7.2 特征函数的性质

开关电源的小信号建模详解

详解：开关电源的小信号建模 开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。本文想重点介绍下主回路的数学建模方法。 首先来介绍下小信号的分析法。开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化。这种方法称为小信号分析法。 以一个CCM模式的BOOST电路为例， 其增益为： 其增益曲线为： 其中M和D之间的关系是非线性的。但在其静态工作点M附近很小的一个区 域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。这就是小信号分析的基本思路。因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，

进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件。 首先要保证得到的工作点是“静”态的。因此有两个假设条件： 1，一个开关周期内，不含有低频扰动。因此叠加的交流扰动小信号的频率应该 远远小于开关频率。这个假设称为低频假设 2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。也就是系统的转折频率要远远 小于开关频率。这个假设称为小纹波假设。其次为了保证这个扰动是在静态工作 点附近，因此有第三个假设条件： 3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。这个称为小信号假设。 对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小 信号分析法进行建模。对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。 在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成 分是正弦量。正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用 的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。对于谐振变换器，通常 采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。 以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号 模型。 对于一个BUCK电路 当开关管开通时，也就是在(0-DTs)区间 其状态方程为

《随机信号分析基础》总复习提

概率论基础 1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式） 2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量） 3.随机变量的描述： ⑴统计特性 一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布 概率分布函数、概率密度函数的关系 ⑵数字特征 一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系） 二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系） ⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系 4.随机变量函数的分布 △雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换） 5、高斯随机变量 一维和二维概率密度函数表达式 高斯随机变量的性质 △随机变量的特征函数及基本性质 、

随机信号的时域分析 1、随机信号的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握） 4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。（相互关系） 二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳 定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差 7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （定义、相互关系） 8、高斯随机信号 定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性 定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率 随机信号的频域分析 1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。 功率谱密度的含义，与总平均功率的关系 2、一般随机信号功率谱计算公式与方法 3、平稳随机信号的功率谱密度计算方法

开关电源(Buck电路)的小信号模型及环路设计

开关电源（Buck电路）的小信号模型及环路设计 万山明，吴芳 (华中科技大学电气与电子工程学院，湖北武汉430074） 摘要：建立了Buck电路在连续电流模式下的小信号数学模型，并根据稳定性原则分析了电压模式和电流模式控制下的环路设计问题。 关键词：开关电源；小信号模型；电压模式控制；电流模式控制 0 引言 设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式，本文以此为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。 1 Buck电路电感电流连续时的小信号模型 图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。R e为滤波电容C的等效串联电阻，R o为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。 图1 典型Buck电路

S 导通时，对电感列状态方程有 O U Uin dt dil L -= ⑴ S 断开，D 1续流导通时，状态方程变为 O U dt dil L -= （2） 占空比为D 时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DT s 和（1－D ）T s 的时间（T s 为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为 ())()(O in O O in U DU U D U U D dt dil L -=--+-=1 稳态时，dt dil =0，则DU in =U o 。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D 和输入电压U in 成 正比。 由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得 L =(D ＋d )(U in ＋)－(U o ＋) （4） 式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d 为D 的波动量。式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得 L =D ＋dU in － （5） 由图1，又有 i L =C ＋ （6） U o =U c ＋R e C （7）

第四章 放大电路基础(2)小信号模型及三种基本电路2016 [兼容模式]

§4.3 放大电路的分析方法 ——小信号模型分析法
思路：在Q点附近，三极管特性曲线可近似看为线性的，把非线性问题转为 线性问题求解。条件：输入为交流小信号（微变信号） 式中各量均是全量，包 一、H参数等效电路： 含直流和交流两部分
1、H参数的导出：
v BE = VBE + vbe
iB = I B + ib iC = I C + ic
iC iB
+
vCE = VCE + vce
vBE＝f1 (iB , vCE ) iC＝f 2 (iB , vCE )
电气工程学院 苏士美
T
+
输入回路关系 输出回路关系
v BE 2016/3/7
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v CE -
1
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小信号模型分析法
考虑微变关系，对两式取全微分：
vBE＝f1 (iB , vCE ) iC＝f 2 (iB , vCE )
式中： dvBE = vbe , diB = ib , dvCE = vce , diC = ic
dvBE＝
?vBE ?iB
? diB +
vCE
?vBE ?vCE
? dvCE
iB
vbe＝hie ib + hre vce
在小信号情况下： H参数，具有不同的 量纲，混合参数
共e下BJT的输入 电阻rbe（欧姆） 电流放大系数β
输出对输入的反作 用μr（无量纲） 输出电导1/rce
?iC diC＝ ?iB
2016/3/7
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vCE
?iC ? diB + ?vCE
? dvCE
iB
电气工程学院 苏士美
ic＝hfe ib + hoe vce
2
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小信号分析法重点笔记讲解

开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化，这种方法称为小信号分析法。 以一个CCM模式的BOOST电路为例 其增益为： 其增益曲线为： 其中M和D之间的关系是非线性的。但在其静态工作点M附近很小的一个 区域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。这就是小信号分析的基本思路。 因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。 要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件,首先要保证得到的工作点是“静”态的。因此有两个假设条件： 1，一个开关周期内，不含有低频扰动。因此叠加的交流扰动小信号的频率应该

远远小于开关频率。这个假设称为低频假设 2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。也就是系统的转折频率要远远小于开关频率。这个假设称为小纹波假设。 其次为了保证这个扰动是在静态工作点附近，因此有第三个假设条件：3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。这个称为小信号假设。 对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小信号分析法进行建模。 对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成分是正弦量。正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。 对于谐振变换器，通常采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。 以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号模型。对于一个BUCK电路 当开关管开通时，也就是在(0-DTs)区间。其状态方程为 当开关管S断开时，二极管D导通，忽略二极管D的压降，可得到等效电路

信号分析与处理

信号分析与处理 第一章绪论：测试信号分析与处理的主要内容、应用；信号的分类，信号分析与信号处理、测试信号的描述，信号与系统。 测试技术的目的是信息获取、处理和利用。 测试过程是针对被测对象的特点，利用相应传感器，将被测物理量转变为电信号，然后，按一定的目的对信号进行分析和处理，从而探明被测对象内在规律的过程。 信号分析与处理是测试技术的重要研究内容。 信号分析与处理技术可以分成模拟信号分析与处理和数字信号分析与处理技术。 一切物体运动和状态的变化，都是一种信号，传递不同的信息。 信号常常表示为时间的函数，函数表示和图形表示信号。 信号是信息的载体，但信号不是信息，只有对信号进行分析和处理后，才能从信号中提取信息。 信号可以分为确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；能量信号与功率信号；奇异信号； 周期信号无穷的含义，连续信号、模拟信号、量化信号，抽样信号、数字信号 在频域里进行信号的频谱分析是信号分析中一种最基本的方法：将频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析； 信号分析是研究信号本身的特征，信号处理是对信号进行某种运算。 信号处理包括时域处理和频域处理。时域处理中最典型的是波形分析，滤波是信号分析中的重要研究内容； 测试信号是指被测对象的运动或状态信息，表示测试信号可以用数学表达式、图形、图表等进行描述。 常用基本信号（函数）复指数信号、抽样函数、单位阶跃函数单位、冲激函数（抽样特性和偶函数）离散序列用图形、数列表示，常见序列单位抽样序列、单位阶跃序列、斜变序列、正弦序列、复指数序列。 系统是指由一些相互联系、相互制约的事物组成的具有某种功能的整体。被测系统和测试系统统称为系统。输入信号和输出信号统称为测试信号。系统分为连续时间系统和离散时间系统。

信号分析方法总结

信号分析方法总结 随机信号：不能用明确的数学表达式来表示，它反映的通常是一个随机过程，只能用概率和统计的方法来描述。 随机现象的单个时间历程称为样本函数。随机现象可能产生的全部样本函数的集合，称为随机过程 振动信号的时域分析方法 时间历程 描述信号随着时间的变化情况。 平均值 ∑=- = N i i x N x 1 1 均方值用来描述信号的平均能量或平均功率 ∑=-= N i i x N x 1 22 1 均方根值（RMS ）为均方值的正平方根。是信号幅度最恰当的量度 方差表示信号偏离其均值的程度，是描述数据的动态分量∑=---=N i i x x x N 1 22 )(11σ 斜度α反映随机信号的幅值概率密度函数对于纵坐标的不对称性∑== N i i N x 1 3 1 α 峭度β对大幅值非常敏感。当其概率增加时，β值将迅速增大，有利于探测奇异振动信号 ∑== N i i N x 1 14β 信号的预处理： 1 预滤波 2 零均值化：消除数据中的直流分量 )()()(^n x n x n x - -=。 3 错点剔除：以标准差为基础的野点剔除法 4 消除趋势项

相关分析 1 自相关分析a=xcorr(x) 自相关函数描述一个时刻的信号与另一时刻信号之间的相互关系 工程上利用自相关函数检查混杂在随机噪声中有无周期性信号 2 互相关函数a=xcorr(x,y) 利用互相关函数所提供的延迟信号，可以研究信号传递通道和振源情况，也可以检测隐藏在外界噪声中的信号 振动信号的频域分析方法 1 自功率谱密度函数（自谱） 自功率谱描述了信号的频率结构，反映了振动能量在各个频率上的分布情况，因此在工程上应用十分广泛 2 互功率谱密度函数（互谱） 互谱不像自谱那样具有比较明显的物理意义，但它在频率域描述两个随机过程的相关性是有意义的。 3 频响函数 它是被测系统的动力特性在频域内的表现形式 4 相干函数 表示整个频段内响应和激励之间的相关性)(2 f yx γ=0表示不相干，)(2 f yx γ=1完全相干，即响应完全由激励引起，干扰为零。相干函数可以用来检验频响函数和互谱的测量精度和置信水平，也可以用来识别噪声的声源和非线性程度。一般认为相干值大于0.8时，频响函数的估计结果比较准确可靠。

信号分析方法概述

信号分析方法概述 通信的基础理论就是信号分析的两种方法:1 就是将信号描述成时间的函数,2就是将信号描述成频率的函数。 也有用时域与频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度,它们提供的信息都就是一样,只就是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。 思考: 原则上时域中只有一个信号波(时域的频率实际上就是开关器件转动速度或时钟循环次数,时域中只有周期的概念),而对应频域(纯数学概念)则有多个频率分量。 人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中(加起来构成了三维空间),所以比较好理解时域的波形(其参数有:符号周期、时钟频率、幅值、相位)、空间域的多径信号也比较好理解。 但数学告诉我们,自己生活在N维空间之中,频域就就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中,频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期(它们取值不同,可以表示不同的符号,所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。 时域中波形变换速度越快(上升时间越短),对应频域的频率点越丰富。 所以:OFDM中,IFFT把频域转时域的原因就是:IFFT的输入就是多个频率抽样点(即各子信道的符号),而IFFT之后只有一个波形,其中即OFDM符号,只有一个周期。 时域 时域就是真实世界,就是惟一实际存在的域。因为我们的经历都就是在时域中发展与验证的,已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时,通常在时域中进行分析,因为产品的性能最终就就是在时域中测量的。 时钟波形的两个重要参数就是时钟周期与上升时间。 时钟周期就就是时钟循环重复一次的时间间隔,通产用ns度量。时钟频率Fclock,即1秒钟内时钟循环的次数,就是时钟周期Tclock的倒数。 Fclock=1/Tclock

信号分析方法

3.3齿轮及齿轮箱振动信号的分析方法 齿轮及齿轮箱中轴、齿轮和滚动轴承正常运行时，一般其振动信号是平稳信号，信号频率成分有各轴的转动频率和齿轮的啮合频率等，当发生故障，其振动信号频率成分或幅值发生变化，一般有以下三种特征： （1）信号是稳态的，但对应特征频率的幅值发生明显变化，振动能量有较大的变化。这类故障是以齿轮均匀磨损为代表的。 （2）信号是周期平稳信号，出现了有规律的冲击或调制现象。这类故障一般是齿轮或滚动轴承已经发生轻度或较严重的故障。 （3）信号中出现无规律的冲击或调制现象，这类故障一般是齿轮或滚动轴承已经发生严重的故障。 但是并不是说出现调制现象就一定有故障，所以就需要利用振动信号在频域和时域内进行诊断，来达到诊断故障的目的。而振动信号是齿轮故障特征信息的主要载体，目前能够通过各种振动信号传感器、放大器及其它测量仪器很方便地测量出齿轮箱的振动信号，通过各种分析和处理方法提取其故障特征信息。特征分析的结果是否正确、可靠，特征量的选择是否合理，在很大程度上决定了故障诊断的正确性。下面就介绍一些常用的齿轮振动信号常规的分析方法。 3.3.1时域统计特征 时域统计指标根据量纲和无量纲分为两个部分，一部分是常用的有量纲特征值，包括最大值、最小值、峰值、均值、均方值和方差；另一部分称为无量纲的特征分析值，包括方根幅值、平均幅值、均方幅值、峭度、波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。在齿轮箱的状态检测和故障诊断中，要特别注意这两部分指标的综合运用，有量纲特征值一般随着齿轮箱的不同而改变，不同种类和大小的齿轮箱测量得到的有量纲特征值是没有对比性的，有时甚至同种类和大小的齿轮箱在不同工况下测量得到的有量纲特征值也不能直接进行对比。而不同种类和大小的齿轮箱测量得到的无量纲的特征分析值在一定的情况下是可以进行对比的。对于有限长度的离散时间序列1210,,,,-n x x x x ，其有量纲的统计特征值为： 最大值 }max{max i x x = 最小值 }min{min i x x = 峰峰值 min max x x x p p -=- 均值 ∑-==10 1 n i i x N x

信号处理知识点总结

信号处理知识点总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

第一章信号 1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体 2.信号的特性：时间特性，频率特性 3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号 若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的 5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限 6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱 7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析 第二章连续信号的频域分析 1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数 2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和 3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位 4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性 5.周期信号由无穷多个余弦分量组成 周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值

相频谱线大小表示谐波分量的相位 6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和 7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号 8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少 9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换； 非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集； 非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号可以用其自身的积分表示 10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号 11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积à傅里叶级数à离散谱 非周期信号：无限区间绝对可积à傅里叶变换à连续谱 12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合 脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, ….. 脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍 周期信号的傅立叶变换也是离散的； 谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同 13.信号的持续时间与信号占有频带成反比 14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转

开关电源的小信号模型和环路原理

开关电源的小信号模型和环路原理 本文以此为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。 设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式。 1 Buck电路电感电流连续时的小信号模型 图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。 S导通时，对电感列状态方程有 L(dil/dt)=Uin－Uo （1） S断开，D1续流导通时，状态方程变为

L(dil/dt)=－Uo （2） 占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为 L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3） 稳态时，=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D 和输入电压Uin成正比。 由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得 L[d(il+il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo') （4） 式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d为D 的波动量。式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得 L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo' （5） 由图1，又有 iL=C(duc/dt)＋Uo/R0 （6） Uo=Uc＋ReC(duc/dt) （7） 式（6）及式（7）不论电路工作在哪种状态均成立。由式（6）及式（7）可得 iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt)) （8）