1、利用代入法解方程组(整体思想) 例1:阅读材料:善于思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法: 解:将方程②变形:4x+10y+y=5 即2(2x+5y )+y=5③
把方程①带入③得:2×3+y=5,∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4,∴方程组的解为
. 请你解决以下问题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x ,y 满足方程组
.
(i )求x 2+4y 2的值;
(ii )求+的值.
例2:阅读下列内容,回答问题.解方程组时,有时可根据方程的未知数的系数特征,将几个方程直接整体进行加减,如:解方程组
(1)+(2),得10x +10y =30,x +y =3,(3)
再将(1)变形为3x +3y +5y =14,即3(x +y )+5y =14,(4)
把(3)代入(4),得3×3+5y =14,求得y =1.把y =1代入(3),得x =3-1,即x =2,从而较简便地求得原方程组的解为上述这种方法我们称它为“整体加减法”,你若留心观察,有很多方程组都可采用此法解,请用这种方法解下面方程组:
???=+=+)
2(202020182019)1(201720192018y x y x
2、利用方程组的解求字母的值
已知关于x ,y 的二元一次方程组的解满足x+y=0,求实数m 的值.
3、利用方程中的解的定义解决方程中的错解问题
甲乙两人共同解方程组???--2=by 4x 15=5y +ax 由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解是?
??-=-1y 3=x
4、换元法(转化思想)
二元一次方程组练习题100道(卷一) 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………( ) 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解( ) 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组( ) 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ,可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x ( ) 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程,则a 的值为±1( ) 6、若x +y =0,且|x |=2,则y 的值为2 …………( ) 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解,那么m 的值为m ≠-5 …………( ) 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………( ) 9、x +y =5且x ,y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………( ) 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解,反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………( ) 11、若|a +5|=5,a +b =1则3 2-的值为b a ………( ) 12、在方程4x -3y =7里,如果用x 的代数式表示y ,则4 37y x +=( ) 二、选择: 13、任何一个二元一次方程都有( ) (A )一个解; (B )两个解;
二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数,并且含有未知数的相的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组,像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。 一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中,是二元一次方程组的有个; 例2、已知二元一次方程2x-y=1,若x=2,则y=;若y=0,则x=. 变式1:方程x+y=2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x-ay=8中,如果是它的一个解,那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x
例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是( ) A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数,它的两个数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比原数大63,设原两位数的个位数字为,十位数字为,则用代数式表示原两位数为 ,根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十头,下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗?使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x -y -5=0化成含y 的代数式表示x 的形式:x = . 化成含x 的代数式表示y 的形式:y = .
.. 中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题(有答案) 1.(2012?德州)已知 ,则a+b 等于( ) A. 3 B C. 2 D. 1 2.(2012菏泽)已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解,则n m -2的算术平方根为( ) A .±2 B . 2 C .2 D . 4 3.(2012临沂)关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是( ) A .5 B .3 C .2 D .1 4.(2012?杭州)已知关于x ,y 的方程组 ,其中﹣3≤a ≤1,给出下列结论: ①是方程组的解; ②当a=﹣2时,x ,y 的值互为相反数; ③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解; ④若x ≤1,则1≤y ≤4. 其中正确的是( ) A .①② B .②③ C .②③④ D .①③④ 5. (2012广东湛江) 请写出一个二元一次方程组 ,使它的解是. 6.(2012广东)若x ,y 为实数,且满足|x ﹣3|+ =0,则()2012的值是 1 .
7.(2012安顺)以方程组的解为坐标的点(x ,y )在第 象限. 8.(2012?连云港)方程组的解为 . 9.(2012?广州)解方程组 . 10.(2012广东)解方程组: . 11.(2012?黔东南州)解方程组. 12、(2012湖南常德)解方程组:???==+1-25y x y x 13. (2011湖南益阳,2,4分)二元一次方程21-=x y 有无数多个解,下列四组值中不是.. 该方程的解的是 A .0 12 x y =???=-?? B .11x y =??=? C .1 0x y =??=? D .11x y =-??=-? 14. (2011四川凉山州,3,4分)下列方程组中是二元一次方程组的是( ) A .12xy x y =??+=? B . 523 13x y y x -=???+=?? C . 20 135x z x y +=?? ? -=?? D .5723 z x y =???+=?? 15. (2011广东肇庆,4,3分)方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②
二元一次方程组解法练习题精选 一.解答题(共16小题) 1.求适合的x,y的值. 2.解下列方程组 . 6.已知关于x,y的二元一次方程y=kx+b的解有和. (1)求k,b的值. (2)当x=2时,y的值. (3)当x为何值时,y=3? 7.解方程组: (1);(2).8.解方程组: 9.解方程组: 10.解下列方程组: 12.解二元一次方程组: ; . 15.解下列方程组: (1)(2). 16.解下列方程组:(1)(2)
二元一次方程组解法练习题精选(含答案) 参考答案与试题解析 一.解答题(共16小题) 1.求适合的x,y的值. 解二元一次方程组. 考 点: 分 先把两方程变形(去分母),得到一组新的方程,然后在用加减消元法消析: 去未知数x,求出y的值,继而求出x的值. 解 解:由题意得:, 答: 由(1)×2得:3x﹣2y=2(3), 由(2)×3得:6x+y=3(4), (3)×2得:6x﹣4y=4(5), (5)﹣(4)得:y=﹣, 把y的值代入(3)得:x=, ∴. 点 本题考查了二元一次方程组的解法,主要运用了加减消元法和代入法. 评: 2.解下列方程组 (1) (2) (3)
(4).考 点: 解二元一次方程组. 分析:(1)(2)用代入消元法或加减消元法均可; (3)(4)应先去分母、去括号化简方程组,再进一步采用适宜的方法求解. 解答:解:(1)①﹣②得,﹣x=﹣2, 解得x=2, 把x=2代入①得,2+y=1, 解得y=﹣1. 故原方程组的解为. (2)①×3﹣②×2得,﹣13y=﹣39,解得,y=3, 把y=3代入①得,2x﹣3×3=﹣5, 解得x=2. 故原方程组的解为. (3)原方程组可化为, ①+②得,6x=36, x=6, ①﹣②得,8y=﹣4, y=﹣. 所以原方程组的解为. (4)原方程组可化为:,
1.二元一次方程4x-3y=12,当x=0,1,2,3时,y=______. 2.在x+3y=3中,若用x表示y,则y=______,用y表示x,则x=______. 4.把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______. (1)方程y=2x-3的解有______; (2)方程3x+2y=1的解有______; (3)方程y=2x-3与3x+2y=1的公共解是______. 9.方程x+y=3有______组解,有______组正整数解,它们是______. 11.已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2.当k=______时,方程为一元一次方程;当k=______时,方程为二元一次方程. 12.对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10,当x=0时,则y=______;当y=0时,则x=______. 13.方程2x+y=5的正整数解是______. 14.若(4x-3)2+|2y+1|=0,则x+2=______. 的解. 当k为______时,方程组没有解.
______. (二)选择 24.在方程2(x+y)-3(y-x)=3中,用含x的代数式表示y,则[ ] A.y=5x-3; B.y=-x-3; D.y=-5x-3. [ ] 26.与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是[ ] A.10x+2y=4; B.4x-y=7; C.20x-4y=3; D.15x-3y=6. [ ] A.m=9; B.m=6; C.m=-6; D.m=-9. 28.若5x2ym与4xn+m-1y是同类项,则m2-n的值为 [ ] A.1; B.-1; C.-3; D.以上答案都不对.
二元一次方程组计算题专项训练 一、用代入法解下列方程组 (1)? ??=+=-5253y x y x (2) ? ? ?=--=523 x y x y 二、用加减法解下列方程组 (1)???-=+-=-53412911y x y x (2)? ??=+=-524753y x y x 三、用适当的方法解下列方程组: 1、? ??=+=+16156653y x y x 2、{ 3x y 304x 3y 17--=+= (3)?????=-= +2.03.05.0523151 y x y x 4、x 2y+2=02y+22x 536????? ---= 7?? ? ??=+=+=+634323x z z y y x 8 234x y y z z x +=?? +=??+=?
四、解答题 1、如果1032162312=--+--b a b a y x 是一个二元一次方程,那么数a =? b =? 2、已知???-==24y x 与? ??-=-=52 y x 都是方程y =kx +b 的解,则k 与b 的值为多少? 3、若方程组322, 543 x y k x y k +=??+=+?的解之和为x+y=-5,求k 的值,并解此方程组. 4、已知方程组4234ax by x y -=??+=?与2 432 ax by x y +=??-=?的解相同,那么a=?b=? 5、关于x 、y 的方程组? ??=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =17的一组解,那么m 的值是多少? 6、一个星期天,小明和小文同解一个二元一次方程组{ ax+by=16bx+ay=1 ① ② 小明把方程① 抄错,求得的解为{x=1y=3-,小文把方程②抄错,求得的解为{ x=3 y=2,求原方程组的解。
一、工程问题 1、公式:工作量=工作时间×工作效率 公式变形:工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 一般把总工作量看作单位“1” 2、例题: 例1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成? 解:设这批零件有x个,按原计划需y小时完成, 根据题意,得 10y=x+3 x=77(个) 11·(10-1)=x y=8(小时) 答:这批零件有77个,按计划需8 小时完
二、银行存款问题 1、公式:本息和=利息+本金 利息=本金×年利率×年数 例1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 解:设x为第一种存款的方式,y第二种方式存款,则 x+y=4000 x=1500(元) 2.25%* x+2.7%* 3* y=30 3.75 y=2500(元) 解得:第一种存款的金额为1500元,第二种存款的金额为2500元 例2、某企业向商业银行申请了甲、乙两种贷款,共计35万元,每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12%,乙种贷款的利率是13%。求这两种贷款的金额分别是多少? 解:设这两种贷款的金额分别x万元、y万元 由题意得: x+y=35 x=15(万元) 12%x+13%y=4.4 y=20(万元) 答:这甲种贷款的金额为15万元、乙种贷款的金额为20万元
解方程组50题配完整解析1.解下列方程组. (1) (2). 【解答】解:(1)方程组整理得:, ②﹣①×2得:y=8, 把y=8代入①得:x=17, 则方程组的解为; (2)方程组整理得:, ①×3﹣②×2得:5y=5,即y=1, 把y=1代入①得:x=8, 则方程组的解为. 2.解方程组: ①; ②. 【解答】解:①, ①×3+②×2得: 13x=52, 解得:x=4, 则y=3, 故方程组的解为:; ②, ①+12×②得:x=3, 则3+4y=14, 解得:y=, 故方程组的解为:. 3.解方程组. (1). (2).
【解答】解:(1), ②﹣①得:x=1, 把x=1代入①得:y=9, ∴原方程组的解为:; (2), ①×3得:6a+9b=6③, ②+③得:10a=5, a=, 把a=代入①得:b=, ∴方程组的解为:. 4.计算: (1) (2) 【解答】解:(1), ①×2﹣②得:5x=5, 解得:x=1, 把x=1代入②得:y=﹣2, 所以方程组的解为:; (2), ①﹣②×2得:y=1, 把y=1代入①得:x=﹣3, 所以方程组的解为:. 5.解下列方程组: (1) (2). 【解答】解:(1), ①×5,得15x﹣20y=50,③ ②×3,得15x+18y=126,④ ④﹣③,得38y=76,解得y=2. 把y=2代入①,得3x﹣4×2=10,x=6.
所以原方程组的解为 (2)原方程组变形为, 由②,得x=9y﹣2,③ 把③代入①,得5(9y﹣2)+y=6,所以y=.把y=代入③,得x=9×﹣2=. 所以原方程组的解是 6.解方程组: 【解答】解:由①得﹣x+7y=6③, 由②得2x+y=3④, ③×2+④,得:14y+y=15, 解得:y=1, 把y=1代入④,得:﹣x+7=6, 解得:x=1, 所以方程组的解为. 7.解方程组:. 【解答】解:原方程组可化为,①+②得:y=, 把y的值代入①得:x=. 所以此方程组的解是. 或解: ①代入②得到,2(5x+2)=2x+8, 解得x=, 把x=代入①可得y=, ∴. 8.解方程组:
23, 328; y x x y =-?? +=? 25, 342;x y x y -=?? +=? 31, 3112; x y x y -=-?? =-? 8320,4580.x y x y ++=?? ++=? 1 36,2 12;2 x y x y ?+=-????+=?? 23(2)1,21;3 a a b a b -+=?? +?=?? ?? ?-=+-=+1)(258 y x x y x ?? ?=-+=-0133553y x y x ?? ?=-=+34532y x y x ???-=+-=+734958y x y x ???=-=+1321445q p q p ?? ?=+-=8372y x x y ? ??=++=+053212y x y x ??? ??=-+=+1 2332 4 1y x x y ? ??=+=+30034150 2y x y x ()()??? ??=--+--=+2 54272y x y x y x y x 6152423+-=+=+y x y x y x ?? ?-=-=+22223y x y x ?? ?-=+=-176853y x y x ?? ?=-=+7382y x y x ?? ?=+=+3435 2y x y x ?? ?=-=+335 y x y x ?? ?=+-+=+++7 )1(3)2(217 )1(3)2(2y x y x
1、明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,?问明明两种邮票各买了多少枚? 2、现有长18米的钢材,要锯成7段,而每段的长只能取“2米或3米”两种型号之一,问两米长和三米长的各应取多少段? 3、将若干只鸡放入若干笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;?若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,问有多少只鸡,多少个笼? 4、有48个队共520名运动员参加篮、排球比赛,其中篮球队每队10人,排球队每队12人每个运动员只参加一种比赛.篮、排球队各有多少队参赛? 5、甲、乙两人练习跑步,如果甲让乙先跑10米,甲跑5秒钟就可追上乙;如果甲让乙先跑2秒钟,甲跑4秒钟就能追上乙.求甲乙两人的速度. 6、已知某铁路桥长800米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全过桥共用45秒,整列火车完全在桥上的时间是35秒,求火车的速度和长度。 7、有大小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6 辆小车一次可以运货35吨。3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨? 8、张翔从学校出发骑自行车去县城,中途因道路施工步行一段路,1小时后到达县城,他骑车的平均速度是25千米/时,步行的平均速度是5千米/时,路程全长20千米.他骑车与步行各用多少时间? 9、已知梯形的高是7,面积是56cm2,又它的上底比下底的三分之一还多4cm,求该梯形的上底和下底的长度是多少? 10、一名学生问老师:“您今年多大?”老师风趣地说:“我像您这样大时,您才出生;您到我这么大时,我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢? 11、一张方桌由1个桌面,4条桌腿组成,如果1m3木料可以做方桌的桌面50?个或做桌腿300条,现有10m3木料,那么用多少立方米的木料做桌面,?多少立方米的木料做桌腿,做出的桌面与桌腿,恰好能配成方桌?能配成多少张方桌.