抽象代数 历届试题

2005-2006抽代期末

1.(10分)设Ｒ是一个整环，则Ｒ上的一元多项式环Ｒ[x]是否还是整环？若是，请证明之，若不是请举出反例．

2.(15分)给出唯一因子分解整环（高斯整环）、主理想整环和欧几里得整环的涵义并说明它们之间的关系．

3.(15分)构造一个具有16个元素的有限域，从中任选两个非零非单位元的相异元素，计算它们的和、差、积、商．

4.(10分)证明有限域上的任一不可约多项式一定可分．

5.(20分)

(1)证明2次扩张一定是正规的．

(2)设Ｅ/Ｋ和Ｋ/Ｆ均为正规扩张，举例说明Ｅ/Ｆ不一定为正规扩张．

6.(30分)设Ｑ为有理数域，f(x)＝x^4－2∈Ｑ[x]．

(1)求f(x)的分裂域Ｅ．

(2)求此分裂域Ｅ的Galois群Gal(Ｅ/Ｑ)．

(3)求Gal(Ｅ/Ｑ)的所有子群及这些子群所对应的Ｅ/Ｑ的中间域(每阶子群举出一例)．

(4)由于Ｑ的特征为0，所以Ｅ/Ｑ一定为单代数扩张，给出此扩张的一个本原元素θ，

即使得Ｅ＝Ｑ(θ)，求θ的极小多项式的所有根．

2008年冯荣权

1.来自杨的 P139 182题

2.证明存在非唯一分解因子整环

3.p为素数，求Z(p^n) [x]中的可逆元，零因子，幂等元

4.杨的 P542 748

5.体中的华罗庚恒等式

6.2年前考试题最后一题，把2改成3.

2008-2009冯荣权

一、判断正误，并证明或举反例。

（1）如果一个群的子群H的任意两个左陪集相乘还是左陪集，则H是正规子群。

（2）E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F是代数扩张

（3）E/K是正规扩张，K/F是正规扩张，则E/F是正规扩张

二、G是奇次交换群。α为自同构。α^2为恒同映射。

G1={g|α(g)=g,g属于G}。G2={g|α(g)=g逆,g属于G}

求证G1，G2为子群，且G=G1×G2

三、丘维声《抽象代数基础》75页推论8和例1

四、构造27阶有限域并找出生成元。

五、忘了……

六、证明Z(p^n)的剩余类环R上的非可逆元构成一个理想P，该理想为极大理想。并求商环R/P

七、E=Q(√p,√q),p,q为素数。

（1）求E/Q的伽罗华群

（2）求伽罗华群的子群并求出中间域

（3）求证E=Q（√p+√q）并求出极小多项式

06-07期末抽代

08-09期中

1.(20’)写出D4的所有子群，并指出其中哪个是D4的中心，哪个是D4的导群

2.(15’)N/C定理：NG(H)={g属于G|gHg-1=H},CG(H)={g属于G|gxg-1=x,对任意x属于H},证明

NG(H)/CG(H)同构于Aut(H)的一个子群

3.(15’)|G|=2k，其中k为奇数，证明：G有一个阶为k的正规子群

4.(20’)p、q为素数，证明p2q阶群不是单群（考虑p、q相等和不等的情况）

5.(20’)|G|=n，证明G为循环群当且仅当对于n的每一个因子d，G都有唯一的d阶子群

6.(10’)Q=

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,

抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A 、(1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C 、(1)，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？ 3、设有置换)1245)(1345(=σ， 6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

抽象代数复习题及答案.docx

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。

2019年暨南大学抽象代数考研试题

2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ******************************************************************************************** 招生专业与代码：网络空间安全083900

（1）到的不同映射共有多少个？（8分） A B （2）到的单射有多少个？（7分） A B 四、（10分）设是正整数，试证：满足方程的复数解的全体在通常乘法运算下n 10n x -=是一个阶循环群。 n 五、（20分）设是两个群。 ,G H （1）设是群同态，。试证：，这里 :f G H →M G ≤1(())f f M K M -=。 （10分） ()K K er f =（2）设是群同态，若是的一个有限阶元，证明的阶整除的阶。:f G H →g G ()f g g （10 分） 六、（20分）设为正整数，求证： 2n ≥（1）模剩余类环中元可逆当且仅当。（10分） n n Z a gcd(,)1n a =（2）若为素数，则是元有限域；若不是素数，则不是整环。（10分） p p Z p n n Z 七、（15分）设是多项式的一个实根。 u 32693[]x x x Q x -++∈（1）求证。（5分） [(): ]3Q u Q =（2）将, 分别表示成的-线性组合。（10分） 4u 1(1)u -+ 21,,u u Q 八、（15分）（1）设是含幺环，为环的理想。并且当时，。R 1,,n I I R i j ≠ i j I I R +=证明有环同构。 （10分） 11/()(/)n n i i R I I R I =?∏ （2）解同余方程组，求出最小正整数解。 （5分） ?? ???≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 九、（10分）设是群的两个元。满足，，。试证,a b G 2aba ba b =31a =211n b -=。 1b = 考试科目：抽象代数 共 2 页，第 2 页

2009西安交通大学高等代数考研真题

西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：818 科目名称：高等代数 一 （20分）计算行列式： 000 00 0000 00000n D αβαβαβαβαβαβαβαβ +++=+ + 二 （20分）已知12(0,1,0),(3,2,2)T T αα==-，是线性方程组 1231231 2321341x x x x x x ax bx cx d -+=-??++=??++=? 的两个解，求此方程组的全部解． 三 （20）当t 取什么值时，下面二次型是正定的： 222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++ 四（15分）设3阶实对称矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，A 的属于特征值-1的特征向量1(0,1,1)T ξ=，矩阵32B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵（下同），问： （1） 1ξ是否为B 的特征向量？求B 的所有特征值和特征向量； （2） 求矩阵B ． 五（15分）设，1200000,,,,00,,,00a c x W a a b c R W y x y z R c b z z ????????????????=∈=∈???????????????????????? （1） 求12W W +； （2） 记12W W W =+，试求空间3W 使得33()M R W W =⊕（其中3()M R 为实数域 上3阶矩阵全体），并说明理由． 六（15分）设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关．证明：

要么β与γ中至少有一个可被12,,,r ααα线性表出，要么12,,,,r αααβ与12,,,,r αααγ等价． 七（15分）设A 为(1)n n ?+阶常数矩阵，X 为(1)n n +?阶未知数矩阵．试证明矩阵方程AX E =有解的充要条件为()r A n =． 八（10）若12,αα是数域F 上的二维线性空间2()V F 的基，σ和τ是2()V F 上的线性变换，且满足 112212121212,,(),()σαβσαβτααββτααββ==+=+-=- 试证：στ=． 九（10）设A 和B 是两个n 阶实正交矩阵，并且det()det()A B =-．证明 ()r A B n +<． 十（10分）证明A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于A 的任意特征值i λ，方程组 2()0i E A X λ-=与()0i E A X λ-= 是同解的，其中11(,,,)n n X x x x =．需要更多试题请https://www.wendangku.net/doc/f214264648.html,/exam.taoba -//maths :http 高等代数试题分数分布： 行列式：20分（1）； 线性方程组：35分（2）； 矩阵：15分（1）； 二次型：20分（1）； 线性空间：15分（1）； 欧几里得空间：10分（1） 线性变换：35分（3）

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

2018年暨南大学高等代数考研真题

2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向：各方向 考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共10小题，每小题3分，共30分。） 1、设A 为3阶矩阵, 13=A , 求1*(3)5--A A = 。 2、当实数=t 时，多项式32x tx ++有重根。 3、λ取值 时，齐次线性方程组1231231232402(2)00λλλ--+=??+-+=??+-=?x x x x x x x x x 有非零解。 4、实二次型22212312313(,,)2==+-+T f x x x X AX x ax x bx x (0)b >，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12，则a = ，b = 。 5、矩阵方程12133424????= ? ?????X , 那么X = 。 6、已知向量()10,0,1α=，211,,022α??= ???，311,,022α??=- ???是欧氏空间3R 的一组标准正交基,则向量()2,2,1β=在这组基下的坐标为 。

考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页 7、已知矩阵,A B 均可逆，00B X A ??= ???，则1X -= 。 8、4阶方阵2222022200220002?? ? ? ? ???的Jordan 标准形是 。 9、在欧氏空间3R 中，已知()2,1,1α=--，()1,2,1β=-，则α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。 10、设三维线性空间V 上的线性变换σ在基321,,εεε下的矩阵为221011021-?? ?- ? ?-??，则σ在 基213,,εεε下的矩阵为 。

Assignment-I 北京师范大学研究生抽象代数习题一

Assignment I(Abstract Algebra,Sep.21,2012) 1.1.Let G be a group and H be a nonempty?nite subset of G.Prove that H is a subgroup if and only if H is closed under the product of G. 1.2.Prove that each cyclic group is either isomorphic to Z or isomorphic to Z n for some n≥1. 1.3.Let G be the subgroup of GL2(C)generated by A= 01?10 and B= 0i i0 . Prove that G～=Q8,where Q8denotes the quaternion group. 1.4.If G/C(G)is cyclic,then G is abelian,i.e.,C(G)=G. 1.5.Let G be an abelian group of order pq with(p,q)=1.Assume there exist a,b∈G such that|a|=p and|b|=q.Show that G is cyclic. 1.6.A group that has only a?nite number of subgroups must be?nite. 1.7.(Euler–Fermat)Let a be an integer and p a prime such that p?a.Then a p?1≡1(mod p).It follows that a p≡a(mod p)for any integer a. 1.8.If a group contains an element a having exactly two conjugates,then G is not simple. 1.9.Let C×denote the multiplicative group of nonzero complex numbers.Prove that for each n≥1, C×/C n～=C×, where C n={z∈C|z n=1}. 1

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-

2020年数学分析高等代数考研试题参考解答

安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答

2016年清华大学0701数学考研专业目录及考试科目

2016年清华大学0701数学考研专业目录及考试科目数学科学系 院系所、专业及研究方 向 考试科目备注 070100数学01基础数学①101思想政治理论②201 英语一③643数 学分析④840高等代数 复试时专业综合考试内 容：抽象代数、泛函分 析（二选一）。 02计算数学①101思想政治理论②201 英语一③643数 学分析④840高等代数 复试时专业综合考试内 容：数值分析。 03应用数学①101思想政治理论②201 英语一③643数 学分析④840高等代数 复试时专业综合考试内 容：抽象代数、泛函分 析、常微分方程（三选 一）。 04运筹学与控制论①101思想政治理论②201 英语一③643数 学分析④840高等代数 复试时专业综合考试内 容：计算方法、最优化 方法（二选一）。 05基础数学-数学科学中心①101思想政治理论②201 英语一③643数 学分析④840高等代数 复试时专业综合考试内 容：抽象代数、实变函 数与泛函分析、拓扑与

几何、偏微分方程与常微分方程、复分析（五选二）。 06计算数学及几何图像-数学科学 中心①101思想政治理论②201 英语一③643数 学分析④840高等代数 复试时专业综合考试内 容：算法分析、数值分 析、实变函数与泛函分 析、拓扑与几何、数理 统计（五选二）。 07应用数学-数学科 学中心 考研复习方案和规划 前几遍专业参考书的复习，一定要耐心仔细梳理参考书的知识点并全面进行把握 1、基础复习阶段 要求吃透参考书内容，做到准确定位，事无巨细地对涉及到的各类知识点进行地毯式的复习，夯实基础，训练思维，掌握一些基本概念，为下一个阶段做好准备。 2、强化提高阶段 本阶段，考生要对指定参考书进行更深入复习，加强知识点的前后联系，建立整体框架结构，分清重难点，对重难点基本掌握。做历年真题，弄清考试形式、题型设置和难易程度等内容。 3、冲刺阶段 总结所有重点知识点，包括重点概念、理论和模型等，查漏补缺，回归教材。温习专业课笔记和历年真题，做专业课模拟试题。调整心态，保持状态，积极应考。 注意事项 1、学习任务中所说的“一遍”不一定是指仅看一次书，某些难点多的章节可能要反复看几遍才能彻底理解

高等代数考研习题精选

《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；

近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使 得 010=+++n n a a a αα 。

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）