必修一高一数学压轴题全国汇编1-附答案

22．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112

2

2(log )7log 30x x ++≤，

求2

2()log log 42

x x

f x =?的最大值与最小值及相应x 值． 22.解：由21122

2(log )7log 30x x ++≤，∴1213log 2x -≤≤-， ∴21

log 32x ≤≤，

而2

222()log log (log 2)(log 1)42

x x

f x x x =?=--

=222(log )3log 2x x -+=2231

(log )24

x --，

当23log 2x =时min 1

()4

f x =- 此时x =3

22

=，

当2log 3x =时max 91

()244

f x =

-=，此时8x =． 21．（14分）已知定义域为R 的函数2()1

2x x a

f x -+=

+是奇函数

（1）求a 值；

（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；

（3）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 21.．解：（1）由题设，需12

(0)0,1a

f a -+=

=∴=，12

12()x

x

f x -+∴= 经验证，()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）

（2）减函数--------------（3分） 证明：任取

1

2

1

2

2

1

,,,0R x x x x x x x ∈?=-p f ，

由（1）12212

1

122(22)

12122

1

1212(12)(12)

()()x x x x x x x x y f f x x ---++++?=-=-=

121

2

1

2

12

,022,220,(12)(12)0x x x x x x x x ∴∴-++Q p p p p f

0y ∴?p

∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）

（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得22

(2)(2)f t t f t k -<--，

()f x Q 是奇函数

22

(2)(2)f t t f k t ∴-<-，由（2），()f x 是减函数 ∴原问题转化为2222t t k t --f ，

即2

320t t k --f 对任意t R ∈恒成立------（10分）

4120,k ∴?=+p 得1

3

k <-即为所求--- ---(14分)

20、（本小题满分10分）

已知定义在区间(1,1)-上的函数2

()1ax b f x x

+=+为奇函数,且12

()25f =. (1) 求实数a ,b 的值；

(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数；

(3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.

20、解：(1)由2()1ax b f x x +=+为奇函数,且 2122()125

1()2

a b

f +==+ 则21122()()12251()2

a b

f f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。∴2

()1x f x x =+ (2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<<<,

22121221122222

1212(1)(1)()()11(1)(1)

x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++12122212()(1)

(1)(1)x x x x x x --=++ Q 1211x x -<<< ∴ 120x x -< ,1210x x -> , 21(1)0x +>, 22(1)0x +> ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <

故函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数.

(3) Q (1)()0f t f t -+< ∴ ()(1)(1)f t f t f t <--=-

Q 函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴ 111111

t t

t t <-??

-<

∴102t <<

故关于t 的不等式的解集为1(0,)2

.

21．(14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，

(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式

1)5()3(-≥+-f x f

21，（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 (2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则

f(kx)=f(x)+f(k)

因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x

所以kx>x,f(kx)

f(x)为R+上的单调减函数

法二：设()2121,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则

)()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=-

有题知，f(k)<0

)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即

所以f(x)在（0，+∞）上为减函数

法三：设()2121,0,x x x x <+∞∈且

)()()()()(12121121x x f x x x f x f x f x f -=?

-=- 0)(11

212<∴>x x

f x x Θ )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数

22、（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2

-2bx+

4

b

(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

22. 解：f(x)=(x-b)2-b 2+4

b 的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1），

(I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2+4b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-314

b ，

综上所述，f(x)的最小值g(b)＝2 (14)4 3116 (4)4

b

b b b b ?-+????-??≤≤。

＞ (II) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝-b 2

+

4b ＝-(b-18)2+164， ∴当b ＝1时，M ＝g(1)＝-3

4

；

②当b ＞4时，g(b)＝16-314

b 是减函数，∴g(b)＜16-314×4＝-15＜-3

4，

综上所述，g(b)的最大值M= -3

4

。

22、（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；

（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围；

（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4

的最大值为54，求a 的值.

22、解：（1）设点Q 的坐标为(',')x y ，则'2,'x x a y y =-=-，即'2,'x x a y y =+=-。 ∵点(,)P x y 在函数log (3)a y x a =-图象上 ∴'log ('23)a y x a a -=+-，即1'log 'a

y x a

=-∴1()log a

g x x a =-

(2)由题意[2,3]x a a ∈++，则3(2)3220x a a a a -=+-=-+>，110(2)x a a a

=

>-+-.

又0a >，且1a ≠，∴01a << 221|()()||log (3)log ||log (43)|a a

a

f x

g x x a x ax a x a

-=--=-+-

∵()()1f x g x -? ∴221log (43)

1a x ax a --+剟

∵01a <<∴22a a +>，则22()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数22()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数，

从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。min [()](3)log (96)a u x u a a =+=-

{log (96)101,log (44)1

a a

a a a --<<-又则

…

?0a ∴

（3）由（1）知1()log a g x x a

=-，而把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象

，

则

1()log log a a h x x

x

==-，∴

1log 22log log 1()22()()22()222a a a x x x h x h x h x F x a a a a a a ax a x x ++---=-+=-+=-+

即22()(21)F x a x a x =-++，又0,1a a >≠且，()F x 的对称轴为2

212a x a

+=，又在1[,4]4的最大值为54

，

①令2

21142a a

+<

?24202)2a a a a -->?<->舍去或；此时()F x 在1[,4]4上递减，∴()F x 的最大值

为

2255111()(21)81604(2)441644F a a a a a =?-++=?-+=?=?++∞，此时无解；

②令22

211148210422a a a a a

+>?--≠且，∴102a <<；此时()F x 在1[,4]4上递增，∴()F x

的最大值为255(4)168444F a a a =?-++=?=，又102

a <<，

∴无解； ③

令

2

222242021

141182104242

a a a a a a a a a ???--+????

---???或?剟剠…且0,1a a >≠且

∴

121

2

a

a ≠剟，

此

时()

F x 的最大值为

2

2

22

42(21)(21)2155()44242a a a F a a a a +++=?-+=2

22(21)541044a a a a +?=?--=，解得

：2a =±

，又1212

a

a ≠剟

，∴2a =； 综上，a

的值为2+.

10、已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式2(log )0

f x >

的解集为（ ）

A ．1(,4)4

B ．1(,)(4,)4

-∞+∞U C ．1(0,)(4,)4

+∞U

D ．1(,)(0,4)4

-∞U

11、设1(0,)2

a ∈，则1

212,log ,a a a a 之间的大小关系是

（ ）

A ．1212

log a a a a >> B ．12

12

log a a a a >>

C ．1

2

12

log a a a a >>

D ．12

12

log a a a a >>

12、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对任意的非常实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集不可能是 （ ）

A ．{1,2}

B ．{1,4}

C ．{1,2,3,4}

D ．{1,4,16,64}

21、（12分）设函数

124()lg ()3

x x

a f x a R ++=∈. （1）当2a =-时，求()f x 的定义域；

（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.

21、解：（1）当2a =-时，函数()f x 有意义，则12240122403

x x

x x +-?>?+-?>，令2x

t =不等式化为：2121012t t t --

义域为(,0)-∞

（2）

当

1x <-时，()f x 有意义，则124121101240()

3442x x x x x x x x

a a a +++>?++>?>-=-+，

令

11()

42

x x y =-+在

(,1)x ∈-∞-上单调递增，∴6y <-，则有6a -…；

（3）当01,0a x <<≠时，

22222(124)1241242()(2)2log lg lg 333(124)

x x x x x x x x a a a f x f x a ++++++-=-=++，

设2x t =，∵0x ≠，∴1t ≠且01a <<，则

2224232(124)3(124)(3)2(22)2(1)x x x x a a t a a at t a t ++-++=-++-+-g g 4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0t a a at t a t at t at t <-++-+-=------<

∴2()(2)f x f x <

22．（本题满分14分）已知幂函数(2)(1)

()()k k f x x

k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

（1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；

（2）（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数

()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间[]0,1上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不

存在，请说明理由。

22．解: （１）()()23f f ?-<<

,0k Z k ∈∴=Q 或1k =；当0k =时，()2f x x =，当1k =时，()2f x x =；

0k ∴=或1k =时，()2f x x =．

（２）()()()()2121211g x mf x m x mx m x =-+-=-+-+Q ， 0m >Q ，

()g x Q 开口方向向下，对称轴211

1122m x m m

-=

=-< 又()()01,g g x =Q 在区间［０，１］上的最大值为５，

111022151522m m g m m ??

->>????

∴???

??±??-== ?????

??

52m ∴=22．（本题满分14分）已知函数1

()(0x f x a

a -=>且1)a ≠

（Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1

(lg

)( 2.1)100

f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l

g )100f a =，求a 的值．

22.（Ⅰ）函数()y f x =的图象经过(3,4)P ∴3-14a =，即2

4a =. 又0a >，所以2a =.

（Ⅱ）当1a >时，1(lg )( 2.1)100f f >-; 当01a <<时，1

(lg )( 2.1)100

f f <- 因为，31

(lg

)(2)100

f f a -=-=， 3.1( 2.1)f a --= 当1a >时，x

y a =在(,)-∞+∞上为增函数，

∵3 3.1->-，∴3

3.1a

a -->. 即1

(lg

)( 2.1)100

f f >-. 当01a <<时，x

y a =在(,)-∞+∞上为减函数，

∵3 3.1->-，∴3

3.1a

a --<. 即1

(lg

)( 2.1)100

f f <-. （Ⅲ）由(l

g )100f a =知，lg 1

100a a

-=.

所以，lg 1

lg 2a a

-=（或lg 1log 100a a -=）. ∴(lg 1)lg 2a a -?=. ∴2

lg lg 20a a --=，

∴lg 1a =- 或 lg 2a =， 所以，1

10

a =

或 100a =. 20．（本题16分）已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；

(2)若函数()y f x =的图象与直线1

2

y x b =

+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()

94()log 33

x h x a a =?-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数

a 的取值范围．

20．(1)因为()y f x =为偶函数，

所以,()()x f x f x ?∈-=-R ，

即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ?∈R 恒成立.

于是9999

912log (91)log (91)log log (91)9x

x x x x

kx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-. -----------------4

(2)由题意知方程911log (91)22x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.

令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.

因为99911()log log 199x

x x g x ??+==+ ???

任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12099x x <<，从而1

2

1199x x >. 于是129911log 1log 199x x ????+>+ ? ?????，即12()()g x g x >，

所以()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数.

因为1119x +>，所以91()log 109x g x ??=+> ???

. 所以b 的取值范围是(],0.-∞ ----------------------- 6 (3)由题意知方程143333

x x x a a +=?-有且只有一个实数根．

令30x t =>，则关于t 的方程24(1)103a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.

若a =1，则34

t =-，不合, 舍去；

若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.

由304a ?=?=或－3；但3142a t =?=-，不合，舍去；而132a t =-?=；

方程(*)的两根异号()()110 1.a a ?-?-

综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞U ． ----------------------- 6 10. 若函数2

()2f x x x =-+，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ C ）

A ．12()2x x f +≤12()()2f x f x +

B ．12()2x x f +<

12()()

2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>

12()()2

f x f x + 18. （本小题满分12分）二次函数()y f x =的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)A B C --.（1）求函数()y f x =的解析式（2）求函数()y f x =在区间[],1t t +上的最大值和最小值18(1)解,A B 两点纵坐标相同故可令()7(3)(5)f x a x x -=+-即

()(3)(5)7f x a x x =+-+将(2,8)C -代入上式可得1a = ∴2()(3)(5)728f x x x x x =+-+=--…………4分

(2)由2()28f x x x =--可知对称轴1x =

1） 当11t +≤即0t ≤时()y f x =在区间[],1t t +上为减函数

∴2max ()()28f x f t t t ==-- 22min ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=- (6)

2） 当1t ≥时，()y f x =在区间[],1t t +上为增函数

∴22max ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=-

2min ()()28f x f t t t ==-- …………8分

3）当1110t t -≥+->即102

t <≤

时 2

max ()()28f x f t t t ==-- min ()(1)9f x f ==- …………10分 4）当0111t t <-<+-即

1

12

t <<时 22

max ()(1)(1)2(1)89f x f t t t t =+=+-+-=-

min ()(1)9f x f ==- …………12分