高中数学 必修五 正弦定理与余弦定理 数列 不等式 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)
正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识 1.ABC ?中
（1）一般约定：ABC ?中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0
180A B C ++=；
（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >?>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =?=；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ?中，090C ∠=， （1）0
90B A +=，
（2）2
2
2a b c += （3）sin a A c =
，sin b
B c =，sin 1
C =； cos b A c =，cos a
B c
=，cos 0C =
要点二：正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c A B C
==
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：sin a A
c =
， s i n
b
B c =， s i n 1
C =， 即：sin a c A =，sin b c B =，sin c
c C =，
∴sin sin sin a b c
A B C
==． 斜三角形中的正弦定理的推导 证明： 法一：向量法
（1）当ABC ?为锐角三角形时
过A 作单位向量j 垂直于，则+= 两边同乘以单位向量j ，得j ?(+)=j ?， 即j AC j CB j AB ?+?=?
∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ?+?-=?-，
∵0j AC ?=，||1j =，||CB a =，||AB c =，cos(90)sin C C -=，cos(90)sin A A -=
∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c
A C
=， 同理：若过C 作垂直于得：sin sin b c
B C
= ∴sin sin sin a b c
A B C
==，
（2）当ABC ?为钝角三角形时
设90A ∠>，过A 作单位向量j 垂直于向量， 同样可证得：sin sin sin a b c
A B C
==．
法二：圆转化法
（1）当ABC ?为锐角三角形时
如图，圆O 是ABC ?的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，
∴sin sin 2c C D R
==， ∴2sin c
R C
=
（R 为ABC ?的外接圆半径） 同理：2sin a R A =，2sin b
R B =
故：
2sin sin sin a b c
R A B C
=== （2）当ABC ?为钝角三角形时
如图，sin sin sin 2a A E F R
===
.
法三：面积法
任意斜ABC ?中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A =
111
sin sin 222
ABC S AB CH AB AC A bc A ?=
?=?= 同理：1sin 2ABC S ab C ?=，1
sin 2ABC S ac B ?=
故111
sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?===，
两边同除以abc 2
1
即得：
sin sin sin a b c
A B C
== 要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 要点三：解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四：正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 要点诠释：
已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况；
(1)若A 为锐角时：a bsin A
a bsin A
()bsin A a b ()a b ()
=??<
无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角
如图：
(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()
≤??>?无解一解锐角
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种： （1）化边为角；
（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：①两角是否相等？②三个角是否相等？ （3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：①两边是否相等？②三边是否相等.
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用： 【高清课堂：正弦定理 376682 例1】
例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，求,a b 和B.
【答案】105a B === 【解析】
sin sin a c
A C
=，
∴sin 10sin 45
sin sin 30
c A a C ?=
== ∴ 180()105B A C =-+=， 又
sin sin b c B C
=，
∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304
c B b C ?=
===?= 【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】（2015 广东高考）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若1,26
a B C π
===，
则b=________.
【答案】6
56,21sin π
π或=∴=
B B ，又6π=
C ，故6π=B ，所以 32π=A
由正弦定理得，B
b
A a sin sin =，所以b=1。 【变式2】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A
B
C =，求::a b c
【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c
A B C
==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 【高清课堂：正弦定理 376682 例2】
例2．在60,1ABC b B c ?===中，，求a 和A ，C ． 【解析】由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=， ∴sin 1
sin
2c B C b =
==， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =， 当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；
当30C =时，90A =，∴2a ==． （方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <， ∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = 【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0
sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：
【变式1】在ABC ?中，c =
45A =，2a =，求b 和,B C ．
【答案】∵
sin sin a c A C =， ∴sin sin 453
sin 22
c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =
∴当60C =时，75B =，sin 75
31sin sin 60c B b C =
==；
∴当120C =时，15B =，sin 31
sin sin 60
c B b C =
==；
所以，1,75,60b B C ===或1,15,120b B C ===． 【变式2】在ABC ?中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ；
【答案】 ∵
sin 45sin o a B
=
， ∴1sin 2B = ∵0180B <<， ∴30B =或150B = ①当30B =时，105C =，)13(10c +=； ②当150B =时，195180A B +=>（舍去）。
【变式3】在ABC ?中，60B =，14a =, b =求A ∠.
【答案】由正弦定理，得22
6
760sin 14sin sin 0=
?==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A << ∴45A =
类型二：正弦定理的综合运用
3.（2015 湖南高考文）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =。 （I ）证明：sin cos B A =； (II)若3
sin sin cos 4
C A B -=
，且B 为钝角，求,,A B C 。 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【思路点拨】
（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得
sin sin cos sin A A
A B
=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式
化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得2
3sin 4
B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C. 【解析】
（I ）由tan a b A =及正弦定理，得
sin sin cos sin A a A
A b B
==，所以sin cos B A =。 （II ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-
sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-=
3cos sin 4
A B ∴=
有（Ｉ）知sin cos B A =，因此2
3sin 4B =
，又Ｂ为钝角，所以sin 2
B =，
故120B =，由cos sin A B ==
30A =，从而180()30C A B =-+=， 综上所述，30,120,30.A B C ===
【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。
举一反三：
【变式】在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________． 【答案】 在△ABC 中，大角对大边，故b 为最大边长，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理00
sin 5sin105sin sin 60a B b A ===. 类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在ABC ?中，若2
2
tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状.
【解析】由已知条件及正弦定理可得22
sin cos sin cos sin sin A B A
A B B =， ,A B 为三角形的内角，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，B A 2sin 2sin =， B A B A 2222-==∴π或A B ∴=或2
A B π
+=
，
所以ABC ?为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
举一反三：
【变式】在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 【答案】cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2
A π
=
或2
B π
=
所以△ABC 是直角三角形。
【巩固练习】
一、选择题：
1．在△ABC 中，已知a ＝，c ＝10，A ＝30°，则B ＝( ) A ．105° B ．60° C ．15°
D ．105°或15°
2．在△ABC 中，a b ，A ＝30°，则c 等于( )
A ． B.
C ．
D ．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立
D ．在△ABC 中， sin sin sin a b c
A B C
+=
+ 4．若sin cos cos A B C a b c
==
，则△ABC 是( ) A ．等边三角形
B ．直角三角形，且有一个角是30°
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形，且有一个角是30° 5．判断下列说法，其中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解 二、填空题：
6.（2015 北京高考文）在C ?AB 中，3a =，b =
23
π
∠A =
，则∠B= ．
7．(2015 福建高考文)若ABC ?中，AC ，0
45A =，075C =，则BC =_______．
8. (2014 湖北高考文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝6
π
，a ＝1，b ＝3，则B ＝ ．
9.在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是 . 三、解答题
10、在ABC ?中，已知 30=A ,
45=C 20=a ，解此三角形。
11.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45?.求A 、C 及c.
12．在ABC ?中，若0
45B =，c =b =
A .
13. 在ABC ?中，6,30,o a A ===求B 及C. 14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，求边b 的值． 15．在△ABC 中，若cos 4
cos 3
A b
B a ==，试判断三角形的形状.
【答案与解析】
1. 答案：D
【解析】由正弦定理，得
sin C ＝sin
o c A a ==. ∵a 【解析】由于sin B ＝ sin b A a =B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°时，c ＝30°.c 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a 3. 答案：B 【解析】由正弦定理知A 、C 、D 正确， 而sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π， ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误． 4. 答案：C 【解析】在△ABC 中，由正弦定理： a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入 sin cos cos A B C a b c == 得： sin cos cos 2sin 2sin 2sin A B C R A R B R C == ， ∴ sin sin cos cos B C B C = ＝1. ∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 5. 答案：B 【解析】A 中，由正弦定理得sin B ＝ 1 14sin 217 b A a ?==，所以B ＝90°，故只有一解，A 错误；B 中， 由正弦定理得sin B ＝ 1 25sin 2130 b A a ?=<，又A 为钝角，故只有一解，B 正确；C 中，由正弦定理得sin B ＝9sin 216b A a =>，所以B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由正弦定理得sin C ＝sin c B b ＝1029<1，因为b 6. 答案： 4 π 【解析】由正弦定理，得 sin sin a b A B = = sin B =，所以4B π∠=. 7. 【解析】由题意得00 18060B A C =--=．由正弦定理得 sin sin AC BC B A =，则sin sin AC A BC B = ，所以BC = = 8. 答案： 3 π或32π 【解析】∵在△ABC 中，A ＝ 6 π ，a ＝1，b ＝3， ∴由正弦定理 sinB b A sin a =得：sinB ＝2 3121 3a bsinA ＝? =， ∵a ＜b ，∴A ＜B ， ∴B ＝ 3 π 或32π． 故答案为：3 π 或32π 9. 答案：ABC ?为等腰三角形 【解析】由B a b sin 323=可得 2 3 s i n a B b =，所以23si n =A ，即 60=A 或 120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ?为等腰三角形。 10. 【解析】由正弦定理 C c A a sin sin =，即2 22120c =，解得220=c ， 由 30=A , 45=C ，及 180=++C B A 可得 75=B ， 又由正弦定理 B b A a sin sin =，即 4 262 120 +=b ，解得() 2610+=b 11. 【解析】 解法1：由正弦定理得：23 2 45sin 3sin sin = == b B a A ∴∠A=60?或120? 当∠A=60?时，∠C=75? ，22 645sin 75sin 2sin sin +=== B C b c ； 当∠A=120?时，∠C=15?，22 645 sin 15sin 2sin sin -=== B C b c . 解法2：设c=x ，由余弦定理B ac c a b cos 22 2 2 -+= 将已知条件代入，整理：0162 =+-x x 解之：2 2 6±= x 当226+=c 时，2 )13(2312 26223 )226( 22cos 2 2 2 2 1=++=+? ?-++=-+= bc a c b A 从而∠A=60? ，∠C=75?； 当2 2 6-= c 时，同理可求得：∠A=120? ，∠C=15?. 12. 【解析】∵ sin sin b c B C =， ∴sin sin 453 sin 4c B C b = ==， ∵0180C <<，∴60C =或120C = ∴当60C =时，75A =； 当120C =时，15A =，； 所以75A =或 15A =． 13. 【解析】由正弦定理得0sin sin b A B a = == ∵,a b <且1 sin 632 b A a =? =< ∴B 有两解，得060B =或0120B = ∴090C =或030C = 14. 【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得b ＝sin 4sin 60 sin sin 45o o a B A =＝ 15. 【解析】由正弦定理知 cos sin 4 cos sin 3 A B B A ==， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝2 π . 又∵b a >1，∴B >A ，∴△ABC 为直角三角形． 余弦定理 【学习目标】 1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法； 2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题； 3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】 要点一：学过的三角形知识 1.ABC ?中 （1）一般约定：ABC ?中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0 180A B C ++=； （3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >?>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =?=； （4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ?中，0 90C ∠=， （1）0 90B A +=， （2）2 2 2a b c += （3）sin a A c = ，sin b B c =，sin 1 C =； cos b A c =，cos a B c =，cos 0C = 要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据 要点二：余弦定理及其证明 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 余弦定理的推导 已知：ABC ?中，BC a =，AC b =及角C ，求角C 的对应边c . 证明： 方法一：向量法 （1）锐角ABC ?中（如图）， ∵AC CB AB +=， ∴()()AB AB AC CB AC CB ?=++ 22 2AC CB AC CB =+?+ 22||2||||cos()||AC CB AC C CB π=+?-+ 222cos b ba C a =-+ 即：2 2 2 2cos c a b ab C =+- (*) 同理可得：2222cos b a c ac B =+-,222 2cos a b c bc A =+- 要点诠释： （1）推导（*）中，AC 与CB 的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC 与CB 的夹角应为C π-，而不是C . （2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。 （3）对于直角三角形中2 π= C 时，cos 0C =, 222 c a b =+，也满足余弦定理。 方法二：解析几何方法——利用两点间距离公式 这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。 如图所示建立坐标系. 则点(0,0)A ，(,0)B c ，(cos ,sin )C b A b A 由B 、C 两点间的距离可知，||BC = 即a =整理得到2 2 2 2cos a b c bc A =+-. 余弦定理的变形公式： 222222222 cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab +-+-+-=== 要点三：利用余弦定理解三角形 1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角。 要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一. 2.解斜三角形的基本问题： 要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。 要点三：利用正、余弦定理判断三角形的形状 余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状. 判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理. 【典型例题】 类型一：余弦定理的简单应用： 例1．已知ABC ?中，3AB =、BC =4AC =，求ABC ?中的最大角。 【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 【解析】∵三边中BC =BC 其所对角A 最大， 根据余弦定理：2221cos 22 AB AC BC A AB AC +-===-?， ∵ 0180A <<， ∴120A = 故ABC ?中的最大角是120A =. 【总结升华】 1.ABC ?中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三： 【变式1】(2015 广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=2 ，c = ，cos A =，且b ＜c ，则b=（ ） A B ．2 C ． D ．3 【答案】由余弦定理得：a 2 =b 2 +c 2 －2bccosA ， 所以( 2 22 222 b b =+-??，即b 2 －6b+8=0，解得：b=2或b=4，因为b ＜c ，所以b=2。 故选：B ． 【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c = 2:1） ，求ABC ?的各角的大小． 【答案】 设a =，2b k = ，) 1c k = ，()0k > 根据余弦定理得： 2 614 cos B + -= = ， ∵0180B <<，∴45B =； 同理可得60A =； ∴18075C A B =--= 【高清课堂：余弦定理376695 题一】 【变式3】在ABC ?中，若2 2 2 a b c bc =++，则角A 等于（ ）. A. 3π B. 6π C.23π D. 3 π或23π 【答案】∵2 2 2 b c a bc +-=-， ∴2221 cos 22 b c a A bc +-= =- ∵2A ππ<<， ∴23 A π= 类型二：余弦定理的综合应用 例2．（2015 陕西高考）ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与 (cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ?的面积. 【答案】(I) 3 A π = ；(II) 【思路点拨】（I ）先利用//m n 可得sin sin 0a B A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；（II ）由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得△ABC 的面积. 【解析】(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A = 由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =， 又sin 0B ≠，从而tan A = 由于0A π<< 所以3 A π = (II)解法一：由余弦定理，得 2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3 A π = ， 得2 742c c =+-，即2 230c c --= 因为0c >，所以3c =， 故ABC ?面积为 1sin 2bc A = . 解法二：由正弦定理，得 2 sin sin 3 B π = 从而sin 7 B = 又由a b >知A B >，所以cos B = 故sin sin()sin()3 C A B B π =+=+ sin cos cos sin 3 3 B B π π =+= 所以ABC ?面积为 1sin 2ab C = 【总结升华】本题考查平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等基础知识。 举一反三： 【变式1】在ABC ?中，已知3b =, 4c =, 0 135A =.求B 和C . 【答案】由余弦定理得：21225135cos 43243222+=??-+=o a ， ∴48.621225≈+= a 由正弦定理得：sin 3sin135sin 0.327o b A B a a ==≈， 因为0 135A =为钝角，则B 为锐角， ∴0/ 197B =. ∴00/180()2553C A B =-+=. 【变式2】在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若2a =，b =， c =A 和sin C 【答案】根据余弦定理可得： 222cos 22b c a A bc +-=== ∵0180A <<， ∴ 30A = ； ∴由正弦定理得： (sin 30 6sin sin 2 4 c A C a === . 类型三：判断三角形的形状 例3．在△ABC 中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状． 【思路点拨】 本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断. 【解析】由正弦定理及余弦定理，得 222 sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab +-==， 所以 2222,2a a b c b ab +-=?整理得，22b c = 因为0,0,b c >> 所以b c =，因此△ABC 为等腰三角形 【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。 举一反三： 【变式1】在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是______． 【答案】等腰三角形 解析： 由题设和正、余弦定理得2×2222a c b ac +-＝c a ， 化简得a 2－b 2＝0，即a ＝b . 【高清课堂：余弦定理376695题六】 【变式2】 三角形ABC 中满足下列条件 1cos 1cos A a B b -=-；试判断三角形的形状。 【答案】利用余弦定理得222222 1212b c a a bc a c b b ac +-- =+-- ，化简得a b =，所以三角形为等腰三角形 【巩固练习】 一、选择题 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解 2．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝4，c ，则角C 为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 3．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2 π π B. (,)32 ππ C. (,)42 ππ D. (0,)2 π 4．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c 且∠A ＝75°，则b ＝( ) A ．2 B ．4＋ C ．4－ D. 5.在△ABC 中，若1,1,a b c =ABC 中最大角的度数为（ ） A ．120o B ．90o C ．600 D.150o 6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2<0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．都有可能 二、填空题 7．（2015 重庆文）设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且 1 2,cos ,4 a C ==- 3sin 2sin A B =,则c=________. 8．(2015 北京)在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin 2sin A C = ． 9．在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________. 三、解答题 10．在ABC ?中，若222a b c bc =+-，求A . 11. 在ABC ?中，A=120O ,AB=5,BC=7,求AC 12. 在ABC ?中，已知AB=2,BC=5, ABC ?的面积等于4，若ABC θ∠=，求cos θ 13. 在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝1 4 .若a ＝4，b ＋c ＝6，且b 14.在△ABC 中，已知sin C ＝ sin sin cos cos A B A B ++，试判断三角形的形状． 15. (2015 新课标Ⅰ文) 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC. （Ⅰ）若a=b ，求cosB ； （Ⅱ）若B=90°，且a 求△ABC 的面积. 【答案与解析】 1. 答案：C 余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长． 高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假余弦定理知识点+经典题(有答案)
高级中学数学公式定理汇总
高中数学：(一)正弦定理