用调和函数构造解析函数的简便方法

文章编号:1004-2261(2001)S1-004-02

用调和函数构造解析函数的简便方法

许敏慧,孟祥发

(天津理工学院职业技术学院,天津300380)

摘要:本文介绍了将解析函数f(z)=u+iv化为复变量z的表达式的一种简便方法.

关键词:解析函数;调和函数;复变量z

中图分类号:O17415 文献标识码:BΞ

Simple w ay of forming analytic f unction from barmonics

X U M i n2hui,M EN G Xiang2f a

(Vocational Technology College,Tianjin Institute of Technology,Tianjin300380,China)

Abstract:This article mainly talks a bout a kind of simple way which trans forms analytie fun2 vtion“f(z)=u+iv”into complex variable“z”.

K ey w ords:anarytic function;harmonics;complex variable“z”

在复变函数中,用已知的调和函数u(x,

y)(或v(x,y))构造解析函数f(z)=u+iv有

3种方法,即偏积分法、线积分法及不定积分法.

其中不定积分法较简单.但是,用不定积分法时,

需要将f′(z)=9u

9x+i

9v

9x化为复变量z的运算

式子,这一点对某些题是困难的.今介绍一种方法,可容易地将f′(z)写成复变量z的表达式.

一般地,解析函数是由基本初等函数的有限次四则运算及有限次复合运算构成的,所以,一般的解析函数都可写成复变量z的表达式.在这个运算中,自变量x+iy是做为一个集体出现的,所以,在这个运算式中,对自变量x+iy,若令y= 0,所得的x的运算式,必定与原来用z写成的运算式子形式上相同.所以,对于一个用实、虚部写成的解析函数可用令y=0的方法来推测其用z 写成的运算式.由复变函数的理论可知,若f(z)为解析函数,则f′(z)仍解析.故可从f′(z)=

9u

9x+i 9v

9x中令y=0来推测f′(z)的用z表达

的运算式.这无疑是个非常简单的方法.以下例题说明其应用[1].

例1　已知调和函数u=(x-y)(x2+4xy +y2),求解析函数f(z)=u+iv

解　设所求解析函数为f(z)=(x-y)(x2 +4xy+y2)+iv,因为

9u

9x=x

2+4xy+y2+(x-y)(2x+4y) 9u

9y=-(x

2+4xy+y2)+(x-y)(4x+2y)由解析函数的求导公式有:

f′(z)=

9u

9x-i

9u

9y=x

2+4xy+y2+ (x-y)(2x+4y)-i-(x2+4xy+y2)+ (x-y)(4x+2y)

令y=0并将其中的x换为z,可得f′(z)= 3(1-i)z2

两边对z积分,得

f(z)=(1-i)z3+c(其中c为复常数)

例2　已知调和函数v=e x(y cos y+x sin y)+ x+y,求解析函数f(z)=u+iv并使f(0)=0解　设所求解析函数为

f(z)=u(x,y)+i e x(y cos y+x sin y)+x+y

第17卷增刊　2001年9月

天　津　理　工　学　院　学　报

JOURNAL OF TIAN JIN INSTITUTE OF TECHN OLOG Y

Vol.17Suppl.1

Sept.2001

Ξ收稿日期:2001-06-25

第一作者:许敏慧(1955-),女,讲师

因为

9v

9x=e

x(y cos y+x sin y+sin y)+1 9v

9y=e

x(cos y-y sin y+x cos y)+1由解析函数求导公式,

f′(z)=9v

9y+i

9v

9x=e

x[(x+1)cos y-

y sin y]+1+i[e x y cos y+(x+1)e x sin y+1]令y=0,并将x换为z,可得

f′(z)=e z(z+1)+1+i 两边对z积分得

f(z)=∫[e z(z+1)+1+i]d z=

z e z+(1+i)z+c.(c为复常数)

由f(0)=0得c=0

故,f(z)=z e z+(1+i)z

参　考　文　献:

[1]西安交通大学高等数学教学研室.高等数学[M].

北京:高等教育出版社,1999.

(上接第3页)

点M处的切平面π2的法向量n2{1,6,1},则π2的方程为

x+6y+z-20=0

所以切线T的方程为

x+3y-10=0

x+6y+z-20=0

例2　求空间曲线x2+y2+z2-3x=0[2] 2x-3y+5z-4=0

在M(1,1,1)处切线及法平面的方程.

解　x2+2y2+z2-3x=0在M处的切平面π1的方程为x-2y-2z+3=0,因为2x-3y+5z-4=0为平面,所以其切平面π2即为2x-3y+5z-4=0本身,则切线T的方程为

x-2y-2z+3=0

2x-3y+5z-4=0

法平面的法向量为{1,-2,-2}×{2, -3,5}=-{16,9,-1},则平面为

16x+9y-z-24=0

参　考　文　献:

[1]孟祥发.高等数学[M].北京:机械工业出版社,2000.5.

[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育

出版社,1996.12.

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增刊 许每慧等:用调和函数构造解析函数的简便方法

构造函数法解不等式问题(学生版)

专题2.3构造函数法解不等式问题（小题） 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x =，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 （1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ （注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 （1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ！ （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论） 小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题： 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集 变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132，则n 等于 . 变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，

用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数

用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数 构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质. 1 高考真题 真题 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）. A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-+∞ C. (,1)(1,0)-∞-- D. (0,1)(1,)+∞ 解析：设()()f x F x x =，则2 ()()'()xf x f x F x x '-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减. 又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x = 为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增.当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >.当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >.所以()0f x >成立的x 取值范围(,1)(0,1)-∞-，即答案为A.. 上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有()f x '和()f x ，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数()F x ，通过分析()F x 的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x = ，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析. 2 巧构导函数的原函数 例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =?，log 3(log 3)b f ππ=?，33log 9(log 9)b f =?，则,,a b c 的大小关系（ ） A. b a c >> B. c a b >> C. c b a >> D. a b c >> 解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+.因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则 当0x <时，()F x 单调递减.又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时， ()F x 单调递减.又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A. 例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ） A. (1)f B. (0)(2)f f e < C. (1)(2)f D. 2(0)(4)f e f > 解析：设12()2()x F x e f x =，则1 112221'()2[()()][()2()]2 x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+.因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >,则(1)f ，即答案为A. 例 3 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ） A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >?>? B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f ? C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f >?,(2012)(0)F F >即答案为A. 例4 定义在(0, )2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ） ()()43π π B. (1)2()sin16f f π>()()64f ππ>()()63f ππ > 解析：因为(0,)2x π ∈，所以sin 0x >，cos 0>.由()()tan f x f x x '>，得()cos ()sin 0f x x f x x '->

抽象函数问题的求解策略探究完整版

抽象函数问题的求解策 略探究 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

抽象函数问题的求解策略探究 湖南省黄爱民赵长春 函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。 一、具体模型策略 例1．已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x＜0时，f(x)＞1,则当x＞0时f(x)的取值范围是。 解析：令f(x)=a x(0＜a＜1)易得0＜f（x）＜1。 评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。 二、类比联想策略 例2．已知f(x)是定义在实数集Ｒ上的函数，且f(x＋2)[1－f(x)]=1＋f(x)，f(－2)=1 则f(2006)=（） A B C D+ 2121

分析：由条件知，f(x+2)= 1()1() f x f x +-（*），又f(－1)＝2 ，逐步推出f(2006)，显然比较繁锁，若将（*）式与1tan tan()41tan x x x π++=-进行类比，则结构形式类似，而y=tanx 的周期为π=4×4 π .于是便产生一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为4×2＝8. 1() 11(2)11()(4)[(2)2],1()1(2)() 11()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ++ ++-+=++===-+ -+-- 1(8)[(4)4]()1() f x f x f x f x ∴+=++=-=- 于是猜想成立。 ∴f(2006)＝f(8×250＋6)＝f(6)＝f(－2＋8) ＝－(2)1f -=-从而应选B 。 评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具 体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探索出抽象 函数的解题思路。 三、运用函数性质策略 例3．定义在R 上的单调函数()y f x =满足2(3)log 3f =，且对任意的x 、y R ∈都有 ()()()f x y f x f y +=+ （1）求证：()f x 为奇函数（2）若(3)(392)0x x x f k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数 k 的取值范围。 解：令0x y ==,代入()()()f x y f x f y +=+ 得:(0)2(0)f f = ∴(0)0f =

构造函数法在导数不等式中应用

构造函数在导数不等式中的应用 构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 1 真题 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）. A. (,1)(0,1)-∞-U B. (1,0)(1,)-+∞U C. (,1)(1,0)-∞--U D. (0,1)(1,)+∞U 解析：设()()f x F x x = ， 则2()()'()xf x f x F x x '-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减. 又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x = 为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增. 当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >. 当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >. 所以()0f x >成立的x 取值范围 (,1)(0,1)-∞-U ，即答案为A.. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x = ，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析. 【典例】 例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =?，log 3(log 3)b f ππ=?，33log 9(log 9)b f =?，则,,a b c 的大小关系（ ） A. b a c >> B. c a b >> C. c b a >> D. a b c >> 解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+. 因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则当0x <时，()F x 单调递减. 又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时，()F x 单调递减. 又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A. 例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ） A. (1)f >

构造可导函数解抽象函数

大方向教育个性化辅导教案 教师： 徐琨 学生： 张杰 学科： 数学 时间： 课 题（课型） 教 学 目 标或考 点 分 析： 导数运算中构造函数解决抽象函数问题 教学重难点： 教学方法： 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 【模型总结】 关系式为“加”型 （1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ （注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 （1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -= （3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论） 典型例题： 例 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集 变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集.

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

构造函数求解导数题的基本策略

构造函数求解导数题的基本策略 湖北省黄梅县第一中学 赵光新 一构造函数求解恒成立问题，弥补“等号”问题 例1已知函数f （x ）=-x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）． （1）若函数y=f （x ）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a 的取值范围 分析：本题学生易将图象上任意不同的两点的连线的斜率与 '()f x 混为一谈，错解为：由f （x ）=-x 3+ax 2+b 得'2()32f x x ax =-+，'()2,f x <∴Q 23220x ax -+>对一切的x R ∈恒成立，从而 2(2)4320a ?=--??<，260a ∴-< a << 正确解法：不妨设12,x x R ∈且12x x <则1212 ()()2f x f x x x -<<，整理得 1122()2()2f x x f x x ->-，因此构造函数()()2g x f x x =-=322x ax x b -+-+， 则12()()g x g x >，从而()g x 为R 上的减函数，所以' ()0g x ≤即 23220x ax -+≥对一切的x R ∈恒成立，从而 2(2)4320a ?=--??<，260a ∴-≤ a ≤≤ 二构造函数解决多元变量的证明问题 在不等式的证明中，常常会出现多个变量。此时若能用主元思想，将其中一个看成主元，另一个变量看成常数，构造一元函数，利用一元函数的性质，使得多元变量不等式的证明得到很好的解决，高考题中常常出现。 例2已知函数()ln f x x =，当0a b <<时，求证222()()()b b a f b f a --> 3222222' 2222221242()(2)()()()b b x bx b x b x bx F x x x b x x b ----+=--=-++，0x b <= 所以原命题得证。 三构造函数求解代数式的最值问题

抽象函数的解题方法与技巧

抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。

高考数学专题07+导数有关的构造函数方法-(理)(教师版)

专题07 导数有关的构造函数方法 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________； (3)???? ??f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))． (2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型 3.构造x e 形式的函数 4.构造成积的形式 5.与ln x 有关的构造 6.构造成商的形式

解析函数与调和函数的关系

解析函数与调和函数的关系

§3.7 解析函数与调和函数的关系 内容简介 在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。

. ),() 00: ),(22 2 2 内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数 D y x y x Laplace D y x ??? ??=?=??+??定义是，内解析 在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==?+=定理

证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则 x v y u y v x u R C ??- =????= ??- 方程由y x v y u x y v x u ???-=?????=??22 222 2从而有x y v y x v y x v y x u ???= ???∴?22.) ,(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 22 22 =??+??y u x u 内有故在0 22 22 =??+??y v x v 同理有

,0=?=?v u 2 2 22y x ?? +??≡?其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 是，D y x v v y x u u ),(),(==∴. ),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数 为设y x u y x v iv u D y x u +定义

构造函数法解决导数不等式问题教学设计公开课

构造函数法解决导数不等式问题 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x = ，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。 构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥ 构造''[()][()()]x x e f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造''[()]()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ （注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 （1）' ()()0f x f x -≥ 构造'''2()()()()()[]()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）' ()()0xf x f x -≥ 构造''2()()()[]f x xf x f x x x -= （3）' ()()0xf x nf x -≥构造'1''21()()()()()[]()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== （注意对x 的符号进行讨论）

§4.解析函数与调和函数解读

§4. 解析函数与调和函数 一、教学目标或要求： 掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数与调和函数的关系例题 重点：解析函数与调和函数的关系 难点: 例题 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习： 16、17、18 §4. 解析函数与调和函数 在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择 才能使函数在区域D内解析。 设在区域D上解析，则C--R条件成立 ，. 下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 , 两式相加可得 同理可得

定义3.5若二元实函数 在区域 内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方 程，则称为区域内的调和函数。记， 则为运算符号，称为拉普拉斯算子。 定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件 y v x u ??=??， x v y u ??-=?? 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义 设是区域D 上的解析函数，则 ， 两式相乘得 即 所以 就是说，梯度跟梯度 正交. 我们知道，和 分别是曲线族“”和“ ”的法向矢量，因而上式 表示“ ”与“ ”两族曲线相互正交. 这就解析函数

实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。 定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数. 证 由 在 内解析知， ，从而 。又解析 函数具有的无穷可微性保证 ， 在 内均连续，故必相等，于是在 内 。 同理 ，即，满足拉普拉斯方程。 定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理 ),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是) ,(y x u 的共轭调和函数。 函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。 从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。 1.线积方法 定理3.19 设 是在单连通区域 内的调和函数，则存在 ， 使 是 内的解析函数。（其中 是 内定点, 是 内动 点,为任意常数，积分与路径无关） 证 要使成为解析函数,则 必须满足条件 ( 条件), 又 ,故 ，又 在单连通区域 可微，故 积分与路径无关，从而

高考数学抽象函数解题方法归纳

抽象函数解题方法 函数是高中数学的核心内容，它对于学生掌握双基和发展能力具有十分重要的意义。通常所说的函数，一般都具有解析式、图表等某种具体的表现形式，但是有一类函数只给出了函数所满足的一部分性质或运算法则，而没有明确的表现形式，这类函数我们通常称之为抽象函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现数学的本质特征、近现代数学发展的威力，又能体现新课标对知识和技能考核的要求和高考的能力命意，必将受到人们的重视。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法，力求使抽象函数问题的解法有“章”可循。 一、赋值法 赋值法的基本思路是：将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需条件或发现某些性质，其中f（0）、f（1）是常常起桥梁作用的重要条件。 例１设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对于任意正实数x，y都有 f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。若已知f（2）=1， 试求：（１）f（1/2）的值； （２）f（2 - n）的值，其中n为正整数。 思路：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律。 解：（１）令ｘ＝ｙ＝１，则f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0 再令x=2，y=1/2，则f（1）=f（2）+f（1/2）∴f（1/2）= －f（2）= －1 （２）由于f（2 - 2）=f（1/2）+f（1/2）= －2， f（2 - 3）= f（1/2）+f（1/2）+f（1/2）= －3， 依此类推就有f（2 - n）= －n，其中n为正整数。 二、利用函数单调性 解抽象函数不等式，要设法将它转化成显性的不等式求解．这需要具备两个条件：一是要把不等式化为f(□)＞f(△)的形式，二是要判断函数的单调性。再根据函数的单调性，将抽象函数不等式的符号＂f＂去掉，得到具体的不等式求解． 例2 若f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数，且对一切a，b∈（0，+∞）， 都有f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，试解不等式f(x+6)－f(1/x)＞2． 思路：逆用函数单调性，将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系． 解：因为f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，所以f(x+6)－f(1/x)＞2则f(x+6)－f(1/x)＞2f(4)则有f(x 2+6x)－f(4)＞f(4)故f[(x 2+6x)/4]＞f(4)．由于f(x)是（0，+∞）上的减函数，因此由1/x＞0x+6＞0(x 2+6x)/4＜4同时成立解得0＜x＜2，故原不等式的解集是(0，2)． 三、利用函数的对称性 例3 设函数y=f（x）对一切实数x都满足f（x+3）=f（3－x）且方程f（x）=0恰好有

抽象函数的性质问题解析(数学)

抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21( +=x f y 的定义域。 解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ， 对函数)21 ( +=x f y 而言，有1 124x -≤ +<，解之得：),21 (]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),2 1 (]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与2 1+x 的范围等同。 2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。 解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是 妙法。 材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则 )1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/ y x m P -，要使点) ,2(00/ y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则 )21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ， 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的

小题之王——构造函数解决抽象函数问题汇总(一题多解)(第二部分).docx

构造函数解抽象函数汇总版(第二部分)2。唤3】 其次，我们先从第二种思路：构造特殊函数来解答这12个例题: [例1]. (2007陕西卷理科第11题)已知函数/(x)是定义在(0,+oo) ±的非负可导函数，且满足寸(x) + /(x)W(), 对任意正数心b,若a0时, xf \x) -/(x) < 0，则使得/(%) > 0成立的X的取值范围是 A.(—00,—l)u(0,1) B. (—1,0)u(l,+00) C?(-oo-l)u(-l,0) D. (0,l)u(l,+oo) 解法二：(构造具体函数法) 构造函数f(x) = x-x3，此函数满足题目的所有条件，/'(兀)=1-3〒, 由/(朗〉0可得兀一卡>0,解得(-oo-l)u(O,!) 选A [例5] ?已知函数/(劝的导函数为广⑴，且3/(兀)+xf\x)> 0 ,贝怀等式(兀一201 b于(兀一201 $ + 8/(-2) > 0

解法二：(构造具体函数法) 构造函数/(x) = 1,此函数满足3/(x) + V'U)>0, 已知(x—20103/(x—2010 + 8/(—2)>0,即为(x—2018’+8>0, 可得兀—2018 >-2,解得兀>2016 故不等式(x-201 /(x—2018 + 8/(-2) > 0 的解集是｛彳兀 > 201 g。 [例6].已知函数夬兀)是定义在R上的偶函数，设函数几Y)的导函数为f\x),若对任意兀〉0都有 2f(x)-xf\x)> 0 成立,则 B. 9/(-2) >4/(3) c. 2/(3) > 3/(-2) D. 3/(-3) < 2/(-2) A. 4/(-2) >9/(3) 解法二：(构造具体函数法) 构造函数/(x) = 1,此函数满足2/(x)-V*U)>0,满足题意。根据选项选氏 [例7]?已知函数/(兀)是定义在R上的增函数，/(x) + 2>/(x), /(0) = 1,则不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x的 解集为 A. (-oo,0) B. (0,+oo) C. (-00,1) D. (1,+co) 解法三：(取特殊函数法) 构造函数/(x) = ,此函数是定义在R上的增函数，且满足7(x)4-2 >/(x), /(0) = 1, 不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x 即为ln[e x+2]-ln3>x 变形得In [e x +2]>ln + In 3 = ln(3e x) 即e v + 2>3e x从而得e x <\解得x<0 选A 解法四：(取特殊函数法) 构造函数f(x) = 1此函数是定义在R上的增函数，且满足/(x) + 2>f(x),于(0) = 1, 不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x 即为ln[e x+2]-ln3>x 变形得\n[e x + 2]> \ne x +ln3 = ln(3『) 即/ + 2>3夕从而得e v < 1 解得xvO 选A [例8]. /(x)是定义在R上的函数,其导函数为/(%),若广(x)>/(x)-l, /(1) = 201§则不等式 /(劝>201於"+1的解集是