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通信原理通信课后答案及解析

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第二章习题

习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成:

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

式中,

θ是一个离散随机变量,它具有如下概率分布:P (θ=0)=0.5,P (θ=π/2)=0.5

试求E [X (t )]和

X R (0,1)。

解:E [X (t )]=P (

θ=0)2cos(2)t π+P (θ=

/2)2cos(2

)=cos(2)sin 22

t t t

π

πππ+

-

cos t ω

习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成:

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

判断它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解:为功率信号。

[]/2/2

/2/2

1()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt

T

t t dt

T

ττπθπτθ→∞-→∞

-=+=+++?

?

222cos(2)j t j t e e πππτ-==+

2222()()()(1)(1)

j f j t j t j f X P f R e d e e e d f f πτπππττττδδ∞

-∞---∞-∞

=

=

+=-++?

?

习题2.3 设有一信号可表示为:

4exp() ,t 0

(){

0, t<0

t X t -≥= 试问它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解:它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为:

(1)004

()()441j t t j t j t

X x t e

dt e e dt e dt j ωωωωω

+∞-+∞--+∞-+-∞====+???

则能量谱密度 G(f)=

2

()

X f =

2

22

416

114j f ωπ=

++

习题2.4 X (t )=12cos2sin 2x t x t ππ-,它是一个随机过程,其中1x 和2x 是相互统计独立的高

斯随机变量,数学期望均为0,方差均为

2σ。试求:

(1)E [X (t )],E [

2()X t ];(2)X (t ) 的概率分布密度;(3)12(,)X R t t

(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=?-?=-=x E t x E t t x t x E t X E

ππππ

()X P f 因为21x x 和相互独立,所以[][][]2121x E x E x x E ?=。

又因为[][]021==x E x E ,[][]12212x E x E -=σ,所以[][]2

2221σ==x E x E 。

故 ()[]()222

222sin 2cos σσππ=+=t t t X E

(2)因为21x x 和服从高斯分布,()21x x t X 和是的线性组合,所以()t X 也服从高斯分布,其概率分

布函数()???

?

??-=222exp 21

σσπz x p 。 (3)

()()()[]()[]

2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--==

[]212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+=

()1222cos t t -=πσ

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件: (1)

()f f πδ2cos 2+; (2)()a f a -+δ; (3)()2exp f a -

解:根据功率谱密度P (f )的性质:①P (f )0≥

,非负性;②P (-f )=P (f ) ,偶函数。可以判断(1)和(3)满足功

率谱密度的条件,(2)不满足。

习题2.6 试求X (t )=A

cos t ω的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。

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解:R (t ,t+

τ

)=E [X (t )X (t+

τ

)] =

[]cos *cos()E A t A t +

[]221cos cos (2)cos ()22

A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=

2

2

A

习题 2.7 设

()t X 1和()t X 2是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别为

()()ττ21X X R R 和。试求其乘积X (t )=12()()X t X t 的自相关函数。

解:

(t,t+)=E [X (t )X (t+)]=E [

1212()()()()X t X t X t X t ττ++]

=

[][]1122()()()()E X t X t E X t X t ττ++=12()()X X R R ττ

习题2.8 设随机过程X (t )=m (t )

cos t

ω,其中m (t )是广义平稳随机过程,且其自相关函数为

4210,10 kHZ 10 kHZ

()0,X f f P f -?-<<=?

?

其它 (1)试画出自相关函数()X R τ的曲线;(2)试求出X (t )的功率谱密度()X P f 和功率P 。

解:(1)()1, 101010,x R ττττ

τ+-<

=-≤

其它 其波形如图2-1所示。

图2-1信号波形图

(2)因为

)(t X 广义平稳,所以其功率谱密度()()τωX X R P ?。由图2-8可见,()τX R 的波形可

视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此

()()()[]??

?

??

???? ??-+??? ??+=

??? ???*-++?=

2Sa 2Sa 4112Sa 21210

202200ωωωωωωωδωωδππωx P

()()2

10,21d 21===

=

?

-x x R S P P 或ωωπ

习题2.9设信号x (t )的傅立叶变换为X (f ) =

sin f

f

ππ。试求此信号的自相关函数

解:x (t )的能量谱密度为G (f )=

2

()

X f =

2

sin f f

ππ

其自相关函数()21, 10

()1010,j f X R G f e df πτ

τττττ+∞-∞+-≤≤??==-≤

?

其它

习题2.10 已知噪声()t n

的自相关函数()τ

τk -e 2

k R n =,k 为常数。

(1)试求其功率谱密度函数

()f P n 和功率P ;(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。

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解:(1)2

2

2

()()2(2)

k j j n n k k P f R e

d e e d k f τωτ

ωττττπ-+∞

-+∞--∞-∞

===+?

?

()20k R P n ==

(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。

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习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:

()1

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, 11R τττ=--≤<

试求X (t)

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的功率谱密度()X P f 并画出其曲线。

解:详见例2-12

习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为

4210,10 kHZ 10 kHZ

()0,X f f P f -?-<<=?

?

其它 试求其平均功率。

解:343

10*104

2

4

1080

2

()2102*10*

*103

3

X

f P P f df f df +∞--∞====?

?

习题2.13 设输入信号/,0

()0,0

t e t x t t τ

-?≥=?

2-3)上,RC =。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解:高通滤波器的系统函数为

H(f)=

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=

1

122j f j f τ

πτ

πτ

τ

=

++

输出信号y(t)的能量谱密度为

2

2

()()

()()

()(1)

22y R G f Y f X f H f R j fC

j f τππτ

===+

+

习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为y(t)=

[]()/dx t dt τ式

中,

τ

为常数。试求该线性系统的传输函数H(f). 解:输出信号的傅里叶变换为Y(f)=

*2*()j f X f τπ,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 2f πτ

习题2.15 设有一个RC 低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

2

n 的白噪

声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。

解:参考例2-10

习题2.16 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为

2

n 的

高斯白噪声时,试求

(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解:(1)LC 低通滤波器的系统函数为

H(f)=

2

2

2

1221422j fC f LC

j fL

j fC

ππππ=

-+

)

f 图2-3RC 高通滤波图2-4LC 低通滤波器

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输出过程的功率谱密度为2

0021

()()()21i

n P P H LC ωωωω==- 对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为0

0()exp()4Cn C

R L L

ττ=- (2) 输出亦是高斯过程,因此 20

000(0)()(0)

4Cn R R R L

σ=-∞==

习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

02

n 的白

噪声时,试求输出噪声的概率密度。

解:高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由 2.15题可知E(y(t))=0 ,

2

0(0)4y n

R RC

σ==

所以输出噪声的概率密度函数

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20

2())y x RC

p x n =

-

习题2.18

设随机过程

()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+,式中θ是一个离散随变量,且

(0)1/2(/2)1/2p p θθπ====、,试求[(1)]E ξ及(0,1)R ξ。

解:

[(1)]1/2*2cos(20)1/2*2cos(2/2)1;E ξπππ=+++=

(0,1)[(0)(1)]1/2*2cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2cos(2/2)2

R E ξξξππππ==+++=

习题2.19设1020()cos sin Z t X w t X w t =-是一随机过程,若1X 和2X 是彼此独立且具有均

值为 0、方差为

2σ的正态随机变量,试求:

(1)[()]E Z t 、

2

[()]E Z t ; (2)()Z t 的一维分布密度函数()f z ;

(3)

12(,)B t t 和12(,)R t t 。

解: (1)

10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=-=

因为

1X 和2X 是彼此独立的正态随机变量,1X 和2X 是彼此互不相关,所以12[]0E X X =

22222222210200102[()][cos sin ]cos []sin []

E Z t E X w t X w t w tE X w tE X =-=+

又1[]0E X =;222112()[][]D X E X E X σ=-= 22

1[]E X σ?= 同理222[]E X σ=

代入可得 22[()]E Z t σ=

(2)

由[()]E Z t =0;22

[()]E Z t σ= 又因为

()Z t 是高斯分布 可得 2[()]D Z t σ=

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2

2[()])

2z f Z t σ=- (3)

12121212(,)(,)[()][()](,)B t t R t t E Z t E Z t R t t =-=

101201102202[(cos sin )(cos sin )]E X w t X w t X w t X w t =--

221010220102220120[(cos cos sin sin )]cos ()cos E X w t w t X w t w t w t t w σστ

=+=-=

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令 1

2t t τ

=+

习题2.20求乘积

()()()Z t X t Y t =的自相关函数。已知()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机过程,

且它们的自相关函数分别为()x R τ、()y R τ。

解:

()X t 与()Y t 是统计独立,故 [][][]E XY E X E Y =

()[()()][()()()()] [()()][()()]()()Z X Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττττττττ=+=++=++=

习题2.21若随机过程

0()()cos()Z t m t w t θ=+,其中()m t 是宽平稳随机过程,

且自相关函数()m

R τ为

1,10

()1,01

0,m R τττττ+-<

=-≤

()m t 彼此统计独立。 (1) 证明

()Z t 是宽平稳的;

(2) 绘出自相关函数()Z R τ的波形;

(3) 求功率谱密度

()Z P w 及功率S 。

解: (1)

()Z t 是宽平稳的[()]E Z t ?为常数;

00[()][()cos()][()][cos()]E Z t E m t w t E m t E w t θθ=+=+

20

1

[

cos()][()]0

2w t d E Z t π

θθπ

=+=?

1212101202(,)[()()][()cos()()cos()]Z R t t E Z t Z t E m t w t m t w t θθ==++

120102[()()][cos()cos()]E m t m t E w t w t θθ=++

1221[()()]()m E m t m t R t t =-只与21t t τ-=有关:

令2

1t t τ

=+

0101{cos()cos[()]}E w t w t θτθ+++

01010010{cos()[cos()cos sin()sin }E w t w t w w t w θθτθτ++-+

200100101cos *[cos ()]sin *[cos()sin()]w E w t w E w t w t τθτθθ=+-++

0011

cos *{[1cos 2()]}0

2w E w t τθ=++- 01

cos()2w τ=

所以

1201

(,)cos()*()2Z m R t t w R ττ=

只与τ

有关,证毕。

(2)波形略;

0001

(1)cos(),10211

()cos()*()(1)cos(),01

22

0,Z m w R w R w τττττττττ?+-<

?==-≤

??其它

()()Z Z P w R τ?

()Z R τ的波形为

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可以对

()m R τ求两次导数,再利用付氏变换的性质求出()m R τ的付氏变换。

''

2sin(/2)()(1)2()(1)()()

/22m m w w

R P w Sa w τδτδτδτ=+-+-?==

22001

()[()()]

422Z w w w w P w Sa Sa ++?=+

功率S :

(0)1/2Z S R ==

习题2.22已知噪声

()n t 的自相关函数

()exp()

2n a

R a ττ=

-,a 为常数: 求()n

P w 和S ; 解:

因为

22

2exp()a a w a τ-?

+

所以

2

2

2()exp()()2n n a a R a P w w a ττ=-?=+

(0)2

a S R ==

习题2.23()t ξ是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间(-1,1)上,该

自相关函数

()1R ττ

=-。试求

()t ξ的功率谱密度()P w ξ 。 解:见第2. 4 题

2()1()

2w

R Sa ττ=-?

因为

()(2)

T n t t n δδ∞

=-∞=-∑ 所以

()()*()T t R t ξτδ=

据付氏变换的性质可得()()()

R P w P w F w ξ

δ=

()(2)()

T n n t t n w n δδπδπ∞

=-∞=-∞=-?-∑∑

22()()()()*()()*()22

R n n w w n P w P w F w Sa w n Sa w n ξδ

ππδππδπ∞∞=-∞=-∞-==-=-∑∑

习题2.24将一个均值为 0,功率谱密度为为0/2n 的高斯白噪声加到一个中心角频率为c w 、带宽为B 的

理想带通滤波器上,如图

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(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数; (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解:

(1)

2

()()()()2o i n P w H w P w H w ==

因为

0200

()()

w G w Sa w w π

τ?,故

2()()B G w BSa B ππτ?

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2()()*[()()]B c c H w G w w w w w πδδ=++-

1

()()cos()

c c c w w w w w δδτπ

++-?

由 付氏变换的性质 12121

()()()*()2f t f t F w F w π?

可得

0020()()()*[()()22

()()cos()o B c c c n n

P w H w G w w w w w R n BSa B w πδδτπττ=

=++-?= (2)

[()]0o E t ξ=;200(0)[()]R E t Bn ξ==;2

()[()]0o R E t ξ∞==

所以

2

0(0)()R R Bn σ=-∞= 又因为输出噪声分布为高斯分布

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可得输出噪声分布函数为2

00

[()])

2t f t Bn ξ=-

习题2.25设有RC 低通滤波器,求当输入均值为 0,功率谱密度为0

/2n 的白噪声时,输出过程的功率谱

密度和自相关函数。

解:

1

1()11jwC

H w jwRC R jwC ==

++

(1)

2

02

1

()()()*

21()O i n P w P w H w wRC ==+

(2) 因为

22

2exp()a a w a τ-?

+

所以

0021

()*()exp()2()14o O n n p w R wRC RC RC ττ=

?=-+

习题2.26将均值为0,功率谱密度为0/2n 高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,

(1) 求输出噪声的自相关函数;

(2) 求输出噪声的方差。

解:

()R H w R jwL =

+

(1) 2

2

0022

()()()*()exp()2()4o i O R n n R P w P w H w R R wL L L ττ==?=-+

(2)

0[()]0E n t =;

20(0)()(0)4n R

R R R L σ=-∞==

习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形,它的每个脉冲的持续时为b T

,脉冲幅度取1±的概率相等。现假设任一间隔b T

内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关,且过程具有宽平稳性,试证:

(1) 自相关函数0,()1/,b

b b

T R t T T ξτττ?>?=?

-≤??

(2) 功率谱密度

2

()[()]

b b P w T Sa fT ξπ=。

解: (1)

()[()()]

R E t t ξτξξτ=+

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②当

b

T τ≤时,因脉冲幅度取1±的概率相等,所以在

2b T 内,该波形取-1 -1、1 1、-1 1、

1 -1 的概率均为1

4

(A )

波形取-1-1、11 时,

b

T 内,

1

()

[(

)()

]

*11/4

4

R E t t ξτξξτ=+==

(B )

波形取-1 1、1 -1 时,

在图示的一个间隔b 内,

b b

b

T τ≤时,

11()[()()]2*2*()144b b b b

T R E t t T T T ξττ

ττξξτ-=+=+-=-

0,()1/,b

b b

T R t T T ξτττ?>?=?

-≤??

(2)

2()24A w Sa ττ?

,其中2

A τ为时域波形的

面积。所以

2()()(

)2b

b wT R p w T Sa ξξτ?=。

习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器,若输入过程,

()t η是平稳的,求1()t ξ与2()t ξ的互功率

谱密度的表示式。(提示:互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对)

解:

110

()()()t t h d ξηααα

=-?

220

()()()t t h d ξηβββ

=-?

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121,11121()[()()]

R t t E t t τξξτ+=+

11120

1200

[()()()()]

()()()E t h d t h d h h R d d ηηαααητβββαβταβαβ

∞∞

=-+-=+-????

12(

)(

j w

P w R τ

τ

η

τ

ττ

α

αβ

ταββ

---∞

-∞

-∞

-∞

=

=

+-?

?

?

?

'

τταβ=+-

'

''*

12120

()()()[()()()()

jw jw jw P w h e

d h

e d R e d H w H w P w α

βτηηααββττ∞

---∞

==???

习题2.29若()t ξ是平稳随机过程,自相关函数为()R ξτ,试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。

解:

()()()()1jwT

h t t t T H w e δδ-=+-?=+

1/2

()(22cos )H w wT =+

2

()()()2(1cos )()

O P w H w P w wT P w ξξ==+

()2()2cos *()2()()()

jwT

jwT O P w P w wT P w P w e e P w ξξξξ-=+=++

2()()()

R R T R T ξξξτττ?+-++

习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0,功率谱密度为0

/2n 的高斯白噪声,试求输

出过程的一维概率密度函数。

解:

0[()]0E n t =;

2

0000021()*()exp()21()44n n n P w R wRC RC RC RC

ττσ=

?=-?=+

又因为输出过程为高斯过程,所以其一维概率密度函数为

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2

2[])

2x f x σ=-