较为复杂的行程问题

较为复杂的行程问题

知识要点：直线型多次相遇规律：每迎面相遇一次两人所走路程增加2个全程，每背后追上一次多追2个全程。（对开始相向还是同向都适用，相向而行第一次相遇共走一个全程，第一次追上追一个全程。同向第一次相遇共走2个全程，第一次追上共追2个全程）

开始如果相向而行第n次相遇共走（2n-1）个全程,第n次追上也是共追（2n-1）个全程

如果从同一地点同向而行，第n次相遇共走2n个全程，第n次追上共追（2n-1）个全程

环形跑道多次相遇：相向而行每迎面相遇一次增加1个全程；背向而行每次追上一个全程。

例1：甲、乙两辆汽车同时从A、B两站相对开出，第一次在离A站90千米处相遇。相遇后两车继续以原速度行驶，到达目的地后又立刻返回。第二次相遇在离A站50千米处。求A、B两站之间的路程。

分析：两车第一次相遇共走1个全程，第二次共走3个全程。对于甲车来说第一次相遇时候走了90千米。第二次相遇两人走的全程总和是第一次的3倍。所以甲走了90?3=270千米我们再来单独看甲，第二次相遇在离A站50千米处意思就是它距离走2个全程还少50千米。所以全程是（270+50）÷2=160（千米）

练习：1甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程？

2甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

例2：甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？（甲速度快）

提示：可以设甲的速度是x千米每小时

等量关系是第一次相遇甲走的路程+1=第二次相遇的时候甲走的路程

或第一次相遇甲走的路程-1=第二次相遇时甲走的路程

开始两人速度和是60÷6=10千米每小时第二次的时候速度和是10+2=12千米每小时

时间就是5小时相遇

6x+1=5(x+1)或6x-1=5(x+1)

所以x=4或x=6由于甲的速度快所以x=6；所以甲速为6千米每小时，乙速为4千米每小时练习：甲乙两人骑车从相距120千米的AB两地同时出发相向而行，6小时后相遇，如果甲每小时加快1.5千米，乙每小时加快2.5千米，则两次相遇地点的距离是3.5千米，求开始甲乙两人的骑车速度？（甲速度比乙快）

例3如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离Ａ点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，问，这个圆周的长是多少?

分析：第一次相遇时候两只小虫共走半个全程。第二次相遇共走0.5+1=1.5个全程第一次时候从A出发小虫走了8厘米。第二次相遇两人走的路程是第一次的3倍，第二次它就走了8?3=24厘米。A虫比半个全程多6厘米

所以全程是（24-6）?2=36厘米

练习：AB是环形跑道的直径，甲乙两人分别从AB出发反向而行，甲在距B 60米处

第一次与乙相遇，在距A 80米处第二次与乙相遇，求环形跑道长？

例4一支队伍长600米，小李从队尾以10米每秒速度骑车前进，他从队尾到队首要2分30秒，他从队首到队尾要多久？

分析：从队尾到队首是追击是追击问题10-600÷150=6米每秒队伍速度。

回队尾是相遇问题要600÷（10+6）=37.5秒

练习;一列队伍以4米每秒速度前进，小军从队尾以12米每秒速度追上队首队长然后返回共用75秒，求队伍长度？

例5：甲乙两车同时从A出发开往B，甲的速度每小时比乙快12千米。4.5小时后甲到了B，然后立刻返回在距离B 31.5千米处与乙相遇，求甲的速度？

分析：这其实是追击和相遇问题相结合的问题。甲与乙相遇从相遇问题角度看两人共走2个全程。从追击问题角度看甲比乙多走了63千米。根据追击基本公式63÷12=5.25小时

从出发到相遇。那么甲返回了5.25-4.5=0.75小时

所以甲的速度是31.5÷0.75=42千米每小时

练习：甲乙两人同时出发从A地到B地，甲骑车每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲到B地后立即返回，在距离B 3200米处与乙相遇。求AB的距离

例6：甲乙两人骑车同向而行。甲速是11千米每小时，乙速是14千米每小时。甲上午11点经过A地，乙在下午2点经过距离A前方的B地。甲乙的距离是21千米。求乙在距离A 多远处追上甲？

分析：乙3小时走42千米。所以乙11点在A前方42-21=21千米

利用追击问题基本公式 21÷（14-11）=7小时

乙7小时走了14?7=98千米。开始他在A前方21千米。此时距离A 98-21=77(千米)

练习：上午8点8分，小明骑车从家出发，8分钟后爸爸骑摩托车追他，在离家4千米处追上小明，然后爸爸回家，到家后又去追小明，再追上的时候离家恰好8千米，此时几点几分？

例7:某乡镇小学师生去县城参观，汽车从县城出发计划7点到学校接师生立刻去县城，中途车出了故障只好修理。该校师生等到7点10分就步行去县城。中途遇到了修好的车理科上车去县城。汽车速度是步行的6倍，结果比计划迟到了30分钟，修车修了多久？

分析：我们从耽误的时间思考去掉等待的10分钟，有20分钟是因为步行速度比汽车慢造成的，走同样多路程汽车只要20÷（6-1）=4分钟

如果师生一直等则耽误时间是修车时间。事实上师生步行帮汽车省了师生步行路程对应汽车要走一个来回共4×2=8分钟，所以修了30+8=38分钟

练习：某工厂派车下午2点到劳模家接他去工厂，结果车因为故障不得不维修了24分钟，2点4分劳模看车子没到就步行去工厂，中途遇到了修好的车立即上车去工厂还是迟到了20分钟，求汽车速度是劳模的多少倍？

作业：1王、李二人往返于甲、乙两地，王从甲地，李从乙地同时出发，相向而行，第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处迎面相遇，则甲、乙两地的距离是多少千米？

2甲乙两车同时从A去B，甲时速是42千米，乙时速是28千米。甲到B后立刻返回与乙相遇的时候距离B地84千米。求两地距离？

3某工厂每天派车到专家家里去接专家。有一天专家为了早些到厂比平时早一小时出发步行去工厂。他在中途遇到接他的车上车去工厂，结果比平时早10分钟到工厂，求汽车速度是专家的多少倍？专家步行了多久？

4如下图，A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有70米，D离B有80米。这个圆的周长是多少米？

5一支长1.2千米的部队正在行军，在队尾的王涛要送信给队首的首长，结果他跑步用6分钟赶到队首将信送到。为了回到队尾，他在原地等了24分钟。如果他跑步回到队尾，要用多长时间？

6甲乙两车从相距200千米的AB两地同时出发开车相向而行，5小时后相遇。如果两人速度各自增加5千米后，两次相遇地点是2千米。求甲乙两人开始的速度各是多少？（甲的速度比乙快）

7 甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行34千米，乙车每小时行30

千米，相遇时距离两地中点20千米。两地相距多少千米？

2021年行程问题之钟表问题

行程问题之钟表问题 欧阳光明（2021.03.07） 钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有两种： （1）研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度； （2）研究有关时间误差的问题． 在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解． 1、在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？ 2、现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？ 3、在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°？ 4、小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小

明解题共用了多少时间？ 5、一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？ 6、在6点和7点之间，两针什么时刻重合？ 7、现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？ 8、在10点与11点之间，两针在什么时刻成一条直线？ 9、同学们进行了50米赛跑比赛，平平用了12秒，比小华多用了1秒，小花比平平多用1秒，谁跑得最快？ 10、小鹏的手表比家里的挂钟每小时慢30秒钟，而这个挂钟比标准时间每小时快30秒钟，这块手表一昼夜与标准时间相差多少秒钟？ 11、从时针指向4开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？ 12、4时与5时之间，什么时刻时钟的分针和时针成一直线？ 13、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完，钟敲12下，几秒钟可敲完？ 14、当钟面上4时10分时，时针与分针的夹角是多少度？ 15、求7时与8时之间，时针与分针的夹角是多少度？

行程问题 例题答案

模块一、时间相同速度比等于路程比 【例1】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二 人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B 两地相距多少千 米？ 【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙 两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了45 31 77 ?=个全程，与第一次相遇地 点的距离为542 (1) 777 --=个全程．所以A、B两地相距 2 30105 7 ÷=(千米)． 【例2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了， 于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等， 丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少 时间。 【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下： 因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下： （1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的 信 5分钟5分钟 10分钟 当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分 钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信， 换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟）， 此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟） （2）同理先追及甲需要时间为120分钟 【例3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后 在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相

12.数轴上的动点行程问题

12. 几何图形中的动点运动问题 2．（2012?松山区校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，AD=12cm ，P 点在AD 边上以每秒1cm 的速度从 A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从 C 点出发，在CB 间往返运动，二点同时出发，待P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段PQ 有（）次平行于AB ． A ．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，正方形ABCD 的周长为40 米，甲、乙两人分别从 A 、B 同时出发，沿正方形的边 行走，甲按逆时针方向每分钟行55 米，乙按顺时针方向每分钟行30 米． （1）出发后分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇； （2）如果用记号（a，b）表示两人行了 a 分钟，并相遇过 b 次，那么当两人出发后第一次 处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是． 3. 如图，线段AB=20cm ． （1）点P 沿线段AB 自A 点向B 点以 2 厘米/秒运动，同时点Q 沿线段BA 自B 点向 A 点以3 厘米/秒运动，几秒钟后，P、Q 两点相遇？ （2）如图，AO=PO=2cm ，∠POQ=60°，现点P 绕着点O 以30°/s 的速度顺时针旋转一周后 停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向A 点运动，假若点P、Q 两点也能相遇，求点Q 运动的速度．

4. 如图所示，正方形ABCD 是一条环行公路，已知汽车在AB 上的时速为90 千米，在BC 上的时速为120 千米，在CD 上的时速为60 千米，在DA 上的时速为80 千米，从DA 上一点P 同时反向各出发一辆汽车它们将在AB 上的中点相遇；如果PC 的中点M 处各发出一 辆汽车，它们将在AB 上一点N 相遇，那么 A 到N 的距离是N 到B 距离的几倍？ 3．（2015 秋?绍兴校级期中）如图，数轴的单位长度为1，P，A ，B，Q 是数轴上的四个点，其中点 A ，B 表示的数是互为相反数． （1）点P 表示的数是，点Q 表示的数是． （2）若点P 向数轴的正方向运动到点 B 右侧，且以线段BP 的长度为边长做正方形，当该 正方形的面积为 5 时，点P 在数轴上表示的数是． （3）若点 A 以1 单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点 B 以2 单位/秒的速度向数轴的负 方向运动，且两点同时开始运动．那么当运动时间为秒时，A ，B 两点之间的距离恰好为1． 5．（2002?河北）如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ．点P 沿AB 边从点 A 开始向点 B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点 D 开始向点 A 以1 cm/s 的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么： （1）当t 为何值时，△ QAP 为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 11．（2014?郸城县校级模拟）如图，在长方形ABCD 中，AD=BC=16 ，AB=DC=12 ，点P 和点Q 分别是两个运动的点．动点P 从A 点出发，沿线段AB ，BC 向C 点运动，速度为每秒2 个单位长度；动点Q 从B 点出发，沿线段BC 向C 点运动，速度为每秒 1 个单位长度．P，Q 同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（秒）． （1）请用含t 的代数式表示下面线段的长度； 当点P 在AB 上运动时，AP= ；PB= ； 当点P 运动到BC 上时，PB= ；PC= ．

行程问题中的比例

【例1】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时 ] 【例2】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1 9 ，结果提前一个半小时到达； 返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1 6 ，于是提前1 小时40 分到达北京。北京、 上海两市间的路程是多少千米【例3】 一列火车出发 1 小时后因故停车小时，然后以原速的3 4 前进，最终到达目的地晚小时。若出发 1 小 时后又前进90 公里再因故停车小时，然后同样以原速的3 4 前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么 整个路程为多少公里 ) 【例4】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路。小芳上学走这两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍 ~ 行程问题中的比例

【例5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地。下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地。下午 2 点时两人之间的距离是15 千米。下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米。下午 4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地。小张是早晨几点出发 … 【例6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走15 千米，第二小时比第三小时多走25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30 千米，走下坡路比走平路每小时快15 千米。那么甲乙两地相距多少千米 ！ …

行程问题解题技巧

行程问题解题技巧 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公

上坡下坡行程问题

问题从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时20千米，下坡速度为每小时35千米。车从甲地到乙地共用9小时，从乙地返回到甲地共用7.5小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？ 先画出如右图形：图中A表示甲地，C表示乙地。从A到B是上坡路，从B到C是下坡路；反过来，从C到B就是上坡路，从B到A是下坡路。 由于从甲地到乙地用9小时，反过来从乙地到甲地用7.5小时，这说明从A到B的距离大于从B到C的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。 在从A到B的路程中取一个点D，使得从D到B的距离等于从B到C的距离，这样A到D的距离就是AB距离比BC距离多出来的部分。 下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.5＝1.5（时） 从图中容易看出就是因为去时从A到D是上坡，而回来时从D到A变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。 现在的问题是AD这段路程中速度由每小时20千米改为35千米，则时间少用1.5小时，由此可以求出什么？ 如果设速度为每小时20千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时35千米所用时间为： 由此就可以求出AD之间的距离为：

20×3.5＝70（千米） 或 35×2＝70（千米） 还可以求出从D到C和从C到D所用时间均为：9－3.5＝5.5（时） 或 7.5－2＝5.5（时） 至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从D到 上坡所用时间为： 所以去时上坡的总路程就是： 70+20×3.5=140（千米） 下坡总路程是：35×2=70（千米） 上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。 将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图： 这时全程去与回所用的时间都是： 9＋7.5＝16.5（时） 而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设

数轴上的动点行程问题

数轴上的动点行程问题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

数轴上的动点行程问题 一．解答题（共12小题） 1．如图，已知数轴上有A、B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为6个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是；（2）当t=2秒时，点A与点P之间的距离是个长度单位； （3）当点A为原点时，点P表示的数是；（用含t的代数式表示） （4）当t= 秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍． 2．已知：线段AB=40cm． （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以3厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA 自B点向A点以5厘米/秒运动，问经过几秒后P、Q相遇？ （2）几秒钟后，P、Q相距16cm？ （3）如图2，AO=PO=8厘米，∠POB=40°，点P绕着点O以20度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点Q沿直线B自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度．

3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数． （2）当点P以每秒5个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后P到点A、点B的距离相等？ 4．如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，动点P 从O点出发沿OM方向以每秒1cm的速度匀速运动；动点Q从点C出发，在线段CO 上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，立即停止运动），点P，Q同时出发．（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度； （2）若点Q运动速度为每秒3cm时，经过多少时间P，Q两点相距70m； （3）当PA=2PB时，点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，求点Q的速度．5．如图，数轴上两个动点A、B起始位置所表示的数分别为﹣8，4，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A点的运动速度为2个单位/秒． （1）若A、B两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B点的运动速度； （2）若A、B两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两点相距6个单位长度？

用比例解答行程问题

用比例解答行程问题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

用比例解答行程问题 例一：客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米？ 【解】客车速度：货车速度=4：3，那么同样时间里路程比=4：3，也就是说客车比货车多行了1份，多30千米；所以客车走了30×4=120千米，所以两城相距 120×2=240千米。 例2、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中某日和平时的速度比=3：1，所以时间比=1：3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。 例3、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。

【解】甲车速度是乙车的1.2倍，相遇时甲车和乙车行驶距离的比是6：5，甲车行驶6份，乙车行驶5份，甲车比乙车多行驶1份，一份是2*8=16千米，A，B两地的距离就是11*16=176千米。 例4、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分？ 【解】：从爸爸第一次追上小明到第二次追上小明时，小明走了4千米，爸爸走了12千米．这说明，爸爸的速度是小明的3倍，爸爸走4千米所用的时间是是小明的三分之一，比小明少8分，所以小明走4千米需要12分，走8千米要24分，所以第2次追上时是8时32分。这道题关键是发现爸爸和小明的速度比。 巩固练习1 1、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行48千米，返回时，每小时行56千米，返回比去时少用1小时，求甲、乙两地的路程。 2、某人从A城步行到B城办事，每小时走5千米，回来时骑自行车，每小时行1 5千米，往返共用6小时，求A、B两城之间的路程。 3、一辆汽车从甲地去乙地，每小时行45千米，返回时每小时行多行20%，往返共用去11小时。甲地到乙地共有多少千米？ 4.快车从甲地开往乙地，需要8小时，慢车从乙地开往甲地需要10小时，两车同时从两地相向而行，相遇时，慢车行了240km，求两地距离。

行程问题 (讲义及答案)

行程问题 ?课前预习 1.小学我们已经学过行程问题，那么行程问题中的基本关系是 _________=________×________． 2.已知小明家离学校2千米，一天小明在下午5:00放学之后开始步行回家，同时爸 爸骑自行车从家出发去接小明，已知小明步行的速度是60米/分钟，爸爸骑自行车的速度是140米/分钟，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？设小明爸爸从家出发x分钟后接到小明，分别用含x的代数式表达小明和爸爸所走的路程． 爸爸 学校 3.上题中的等量关系是： _______________+_____________=从家到学校的距离． 可列方程为：_________________________．

?知识点睛 行程问题： ①理解题意，找关键词，即________、________、________； ②分析运动过程，通常采用____________或____________的方法来进行； ③梳理信息，列表，提取数据，列表时要按照运动状态或者运动过程进行分类； ④根据等量关系列方程． ?精讲精练 1.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号 队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车 头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会 合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？ 2.启明中学举行了一次路程为60千米的远足活动，八年级学生步行，七年级学生乘 一辆汽车，两个年级的学生同地出发，这辆汽车开到目的地后，再回头接八年级的学生．若八年级学生的速度为5千米/时，比汽车提前一小时出发，汽车的速度为60千米/时，问八年级学生出发后经过多长时间与回头接 他们的汽车相遇？ 3.王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路 匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，

数轴上的行程问题

一道追及问题引发的思考——数轴上的行程问题 1、数轴上两点M、N分别表示—1和2，若点M向数轴负方向移动5个单位长度。 （1）N怎样移动才能使MN距离为8？ （2）N怎样移动才能使MN两点关于原点对称（数轴在原点对折后M、N重合）？（3）N怎样移动才能使MN两点关于表示—1的点对称？ 2、如图，动点M从原点出发向数轴负方向移动，同时，动点N也从原点出发向数轴正方 向移动，3秒后两点相距15个单位长度。已知动点N的速度是动点M的速度的4倍（速度单位：1个单位长度/秒） （1）求两个动点运动的速度，并在数轴上标出M、N两点从原点出发运动3秒时的位置。（2）若M、N两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴负方向移动，问经过几秒钟，原点恰好处在两个动点的正中间？ （3）若M、N两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴正方向移动，问经过几秒钟，两点关于表示9的点对称？ 3、数轴上，A表示—6的点，A、B关于原点对称，A、C关于B点对称。M、N两动点从A 点向C点运动，到达C点后再返回A。已知动点M、N两点的速度分别为1个单位长度/秒、3个单位长度/秒，问经过几秒后M、N两点相距2个单位长度？ 4、数轴上M、N两点分别表示—12和—3，点M向数轴正方向移动20个单位长度，记作 A点，点N向数轴正方向移动21个单位长度，记作B点。 （1）线段MN=（）单位长度，线段AB=（）单位长度。 （2）若线段MN和线段AB的移动速度分别为2个单位长度/秒、3个单位长度/秒。它们在此时的位置上同时相对运动，几秒后两条线段相距3个单位长度？ （3）按照（2）中的速度运动，它们在此时的位置上都向数轴负方向运动，几秒后线段AB 超过线段MN？

小学数学六年级下：《巧用比例解行程问题》习题

班级学生 方法指导：复杂行程问题经常运用到比例知识：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比等。分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。 1、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，甲、乙两车速度比7：5，相遇时距中点12千米，ab两地相距多少千米？ 2、两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客船每小时行42千米，货船的速度是客船的5/6。两只轮船在离甲、乙两港中点7千米处相遇，甲、乙两港间的距离是多少？ 3、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。 4、甲、乙两车分别从ab两地同时相向而行，3小时相遇。已知甲车行1小时距b地340千米，乙车行1小时距a地360千米。ab两地相距多少千米？ 5、甲、乙两车同时从ab两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：5，乙车行完全程需多少小时？ 6、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：11。货车平均每小时行多少千米？ 7、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的1/5，货车每小时行50千米。相遇时客车和货车所行的路程的比是3：2。甲、乙两地相距多少千米？ 8、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：4，这时乙车行了多少千米？

奥数：时钟问题.学生版(精编版)

1．行程问题中时钟的标准制定； 2．时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算； 3．时钟的周期问题 . 时钟问题知识点说明 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人” 分别是时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒 或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格 为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走112 小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的知识点拨 教学目标 时钟问题

分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 5 65 11 分。 模块一、时针与分针的追及与相遇问题 【例 1】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？ 【巩固】在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度. 【例 2】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合? 【巩固】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？ 例题精讲

七年级第十讲行程问题经典例题

第十讲：行程问题分类例析 主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆 流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分 钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行 使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了xh ，则乙车行使了h x )( 60 25-.（如图1） 依题意，有72x+48)(60 25-x =360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体 会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度 是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 图1

12.数轴上地动点行程问题

12.几何图形中的动点运动问题 2．（2012?松山区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB． A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米． （1）出发后分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇； （2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是． 3.如图，线段AB=20cm． （1）点P沿线段AB自A点向B点以2厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3厘米/秒运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？ （2）如图，AO=PO=2cm，∠POQ=60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．

4.如图所示，正方形ABCD是一条环行公路，已知汽车在AB上的时速为90千米，在BC上的时速为120千米，在CD上的时速为60千米，在DA上的时速为80千米，从DA上一点P同时反向各出发一辆汽车它们将在AB上的中点相遇；如果PC的中点M处各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N相遇，那么A到N的距离是N到B距离的几倍？ 3．（2015秋?绍兴校级期中）如图，数轴的单位长度为1，P，A，B，Q是数轴上的四个点，其中点A，B表示的数是互为相反数． （1）点P表示的数是，点Q表示的数是． （2）若点P向数轴的正方向运动到点B右侧，且以线段BP的长度为边长做正方形，当该正方形的面积为5时，点P在数轴上表示的数是． （3）若点A以1单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点B以2单位/秒的速度向数轴的负方向运动，且两点同时开始运动．那么当运动时间为秒时，A，B两点之间的距离恰好为1． 5．（2002?河北）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 11．（2014?郸城县校级模拟）如图，在长方形ABCD中，AD=BC=16，AB=DC=12，点P和点Q 分别是两个运动的点．动点P从A点出发，沿线段AB，BC向C点运动，速度为每秒2个单位长度；动点Q从B点出发，沿线段BC向C点运动，速度为每秒1个单位长度．P，Q同时出发，从两点出发时开始计时，设运动的时间是t（秒）． （1）请用含t的代数式表示下面线段的长度； 当点P在AB上运动时，AP= ；PB= ； 当点P运动到BC上时，PB= ；PC= ．

比例解行程问题

比例解行程问题 1. 理解行程问题中的各种比例关系. 2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题． 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲， ；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲乙乙乙 ，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v = = 甲乙 乙甲 ，s v s v =甲甲乙乙 ，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。 s v t s v t =??? =??甲甲甲 乙乙乙 ，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =?=?乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =?=?乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲 ，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。 模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题 【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A 、B 两城相向而行，甲车先从A 城出发，过一段时间后，乙车 才从B 城出发，并且甲车的速度是乙车速度的5 6 。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米， 则甲车开出 千米，乙车才出发。 【例 2】 甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司 机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的1 3 加上未走路程的2倍，恰好等 于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 。 知识精讲 教学目标

五年级第三次作业练习1(时钟行程问题)

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2 人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟 上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走 1 12 小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为5 6511 分。 【例 1】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？ 【巩固】 在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度. 例题精讲 时钟追及与相遇问题

【例 2】在一段时间里，时针、分钟、秒针转动的圈数之和恰好是1466圈，那么这段时间有秒。 【巩固】在一段时间里，时针、分钟、秒针正好走了3665小格，那么这段时间有秒。 【例 3】有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合? 【巩固】钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？ 【例 4】钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？

(完整)人教版七年级数学上册专题复习数轴上的动点问题讲义含部分答案

数轴上的运动问题 在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。 【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？ 【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下： 小明 甲地 乙地 【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。 200 ÷180 = 10 （米/秒） 9 【解法二】用方程解。设速度为 x 米/ 秒，根据路程=时间×速度，得： 200 = 180x ，解得 x = 10 。 9 如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。 【题 2】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t 。 （1）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 运动的距离； （2）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数； （3）用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。 （4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点 P 为线段 AB 的三等分点？ 【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。 （1）根据路程=速度×时间，有： AP = t ； （2） AP = t ，故点 P 表示的数为t ； （3）点 B 表示的数为 200，点 P 表示的数为t ，且 P 在 B 左边，故 PB = 200 - t 。 （4）若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况： ①AP=2PB ，即： t = 2 ? (200 - t )，解得t = 400 秒； 3 ②2AP=PB ，即： 2t = 200 - t ，解得t = 200 秒； 3 现在，我们将【题 2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题： 【题 3】如图，数轴上有两点 A 、B ，点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为b ，且数 A 和数 B 的距离为 200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t 。 （1）用含 a 的代数式表示数 B ； （2）用含 a 和 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

比和比例在行程问题中的应用

比和比例在行程问题中的应用 一、知识导学 路程一定，速度和时间成； 时间一定，路程和速度成； 速度一定，路程克时间成。 例：①甲、乙两车相向而行，相遇时甲、乙路程比为5:4，则甲、乙两车的速度比为；两车分别从A、B两地相向开出，相遇时，甲比乙多行驶10千米，则A、B两地的距离为千米； ②从A地到B地，甲需5小时，乙需4小时，则甲、乙的速度比为；从C 地到D地，若两车同时出发，则甲比乙晚3个小时到D地，那么甲行完全程需小时，乙行完全程需小时； ③甲车从A地开到B地需5小时，从B地开到C地需4小时，则A到B之间 的距离与B到C之间的距离之比为。 ④在环形跑道上，甲、乙两人的速度之比为5:4。若两人同时同向出发，10分钟后，两人第一次相遇时，此时甲比乙多走400米，则这个环形跑道的周长为，甲的速度为，乙的速度为。

二、典例剖析 例1： 1、从东城到西城，甲需要20小时，乙需要15小时，乙的速度比甲的速度快百分之几？ 2、甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行。相遇时，甲、乙的路程比是5:3。若甲行完全程要2小时，那么乙行完全程要几小时？ : 变式： 1、甲、乙两人步行速度之比是3:2，甲、乙分别从A、B两地同时出发，若相向而行，则1小时后相遇。若同向而行，甲要花多少时间才能追上乙？

2、甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相向开出，速度比是7:11。两车第一次相遇后继续按原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇时甲车离B 地80千米。A 、B 两地相距多少千米？ 3、小王和小李骑摩托车分别从A 、B 两城同时相对开出，经过4小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，小王到达B 地，小李离A 地还有50千米。A 、B 两地相距多少千米？ 4、一辆货车每小时行70千米，相当于客车速度的8 7。现两车同时从甲、乙两地相对开出，结果在距中点50千米处相遇。甲、乙两地相距多少千米？

华杯赛经典教案--时钟问题(教师版)

【例题讲解】 题型：时针与分针的追及与相遇问题 【例 1】 例题：有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次 重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合? 【解析】 在lO 点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度 12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度 为“l”，有时针速度为“112 ”，于是需要时间：1650(1)541211 ÷-=．所以，再过65411分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过65(1210)6054 651111-?-=分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔56511 分钟，时针与分针重合一次． 【例 2】 钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？ 【解析】 32711 此题属于追及问题，但是追及路程是4401525-=格（由原来的40格变为15格），速度差是11111212-=，所以追及时间是：11325271211 ÷=（分）。 【例 3】 8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相 等．问这时是8时多少分? 【解析】 8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x 格， 那么分针走过40-x 格，所以时针、分针共走过x+(40-x)=40格．于是，所需时间为11240(1)361213÷+=分钟，即在8点123613 分钟为题中所求时刻． 【例 4】 现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？ 【解析】 时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分针的速度是 360÷60=6(度/分),即 分针与时 针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10点时，分针与时针的夹角是60度， ,第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，,即 分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。,所以 答案为 9(18060) 5.52111 -÷=(分) 【例 5】 晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。 做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长 时间？ 【解析】 根据题意可知， 从在一条直线上追到重合，需要分针追180度， 8180(60.5)3211 ÷-=（分） 【例 6】 某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为1100， 七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是1100．那么此人外出多少分 钟? 【解析】 如下示意图，开始分针在时针左边1100位置，后来追至时针右边1100位置． 于是，分针追上了1100+1100=2200，对应 2206格．所需时间为2201(1)40612 ÷-=分钟．所以此人外出40分钟． 【例 7】 小红上午8点多钟开始做作业时，时针与分针